Relationen. Ein wichtiger Spezialfall ist der, dass die Mengen identisch sind:

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1 Relationen Es seien zwischen und und Mengen. Eine (binäre) Relation ist eine Teilmenge von. Ein wichtiger Spezialfall ist der, dass die Mengen identisch sind: und Eine binäre Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge, also eine Menge, deren Elemente Paare von Elementen von sind. Statt schreibt man oft auch Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.1/16

2 Eigenschaften von Relationen Eine Relation reflexiv auf irreflexiv, falls, falls symmetrisch, falls aus antisymmetrisch, falls aus folgt, und transitiv, falls aus folgt. heißt für kein für alle und gilt, stets auch und gilt, stets stets folgt, Stets bedeutet dabei: für jede Wahl der Elemente. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.2/16

3 Relationenprodukt Das Relationenprodukt von Relationen wie folgt definiert: und auf ist es gibt ein mit und Das Relationenprodukt ist assoziativ. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.3/16

4 Inverse Relation, Gleichheitsrelation Die inverse Relation zu einer Relation durch ist gegeben Die Gleichheitsrelation auf ist id Für diese Relation gibt es viele Namen, z.b. die Identität, die Diagonale oder einfach. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.4/16

5 Eigenschaften, anders formuliert Ist eine Relation auf, dann gilt ist genau dann reflexiv, wenn id ist genau dann irreflexiv, wenn id ist genau dann symmetrisch, wenn ist genau dann antisymmetrisch, wenn ist genau dann transitiv, wenn heißt konnex, wenn, Ø,, gilt., id, Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.5/16

6 Gerichteter Graph Ist eine binäre Relation auf, dann nennt man auch einen gerichteten Graphen mit Eckenmenge und Bögenmenge. Man veranschaulicht solche gerichteten Graphen durch Diagramme ähnlich den schon vorgestellten Graphendiagrammen, bei denen die Kanten aber eine Richtung haben, was durch einen Pfeil angedeutet wird. Hat eine Relation spezielle Eigenschaften, dann können andere Darstellungsformen besser sein. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.6/16

7 Äquivalenzrelation Eine Relation heißt Äquivalenzrelation auf, wenn reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Das einfachste Beispiel einer Äquivalenzrelation ist die Gleichheitsrelation id. Man kann Äquivalenzrelationen als verallgemeinerte Gleichheiten deuten. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.7/16

8 Äquivalenzklassen Ist eine Äquivalenzrelation auf, so definiert man für und nennt dies die Äquivalenzklasse von nach. Andere Schreibweisen dafür sind z.b.:,. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.8/16

9 Faktormenge Die Menge der Äquivalenzklassen nach bezeichnet, es ist also wird mit Man bezeichnet als die Faktormenge von nach. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.9/16

10 Hilfssatz Hilfssatz 1 Für je zwei Elemente gilt entweder oder Ø Mit anderen Worten: Äquivalenzklassen sind disjunkt oder gleich. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.10/16

11 Partition Eine Partition einer Menge ist eine Menge nicht leerer Teilmengen von, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung gleich ist. Man nennt die Elemente von. die Klassen der Partition Andere Namen sind: Blöcke, Fasern. All diese Namen bedeuten eigentlich Menge(n). Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.11/16

12 Anders gesagt... Eine Partition von ist also eine Menge von Mengen mit den folgenden Eigenschaften: 1. Jedes enthält mindestens ein Element, 2. alle Elemente der sind auch Elemente von, 3. jedes Element von kommt in genau einer der Mengen vor. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.12/16

13 Äquivalenz vs. Partition Hilfssatz 2 Die Faktormenge einer Äquivalenzrelation auf einer Menge ist stets eine Partition. Umgekehrt gilt: Ist eine Partition von, dann ist eine Äquivalenzrelation. Für jede Äquivalenzrelation auf gilt jede Partition von gilt und für Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.13/16

14 Anzahl der Partitionen Wieviele Möglichkeiten gibt es, Dinge in Klassen aufzuteilen? Präziser gefragt: Wieviele -elementige Partitionen hat eine -elementige Menge? Satz 1 (Stirling) Die Anzahl der einer -elementigen Menge ist -elementigen Partitionen Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.14/16

15 Stirling Zahlen Die Zahlen nennt man die Stirling Zahlen zweiter Art. Man berechnet sie gern rekursiv mit Hilfe folgender Informationen: falls, für alle, und für alle und. Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.15/16

16 Tafel der Stirling-Zahlen Mathematik I für Informatiker Relationen auf einer Menge p.16/16