Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y. Er ist durch folgende Formel charakterisiert:

Transkript

1 Korrelatoskoeffzet Der Korrelatoskoeffzet st e Maß für de leare Zusammehag zwsche zwe Varable X ud Y. Er st durch folgede Formel charaktersert: r xy corr XY ( x x)( y y) ( ) x x ( y y) x x y x ( ) ( ) x y y y Statstk für SozologIe Regresso

2 Korrelatoskoeffzet x II. Quadrat III. Quadrat ( x x) I. Quadrat ( y y) IV. Quadrat y Statstk für SozologIe Regresso

3 Bvarate Normalvertelug Statstk für SozologIe 3 Regresso

4 Test auf Sgfkaz Wll ma Hypothese der Form H 0 : corr0 versus H a : corr 0 (zwesetg) bzw. H 0 : corr<0 versus H a : corr>0 (esetg) teste, so ka des uter der Aahme eer bvarate Normalvertelug mt folgeder Statstk erfolge: r t mt r Frehetsgrade Statstk für SozologIe 4 Regresso

5 Bespel X Y X² XY Y² Summe Wr wolle de Nullhypothese teste, dass de Merkmale X ud Y ukorrelert sd. Kovaraz Sxy 484 Varaz X Sxx 06 Varaz Y Syy 467 Korrelato Rxy 0,70 Teststatstk Zähler, Neer 0,7 t 3, Tabellewert t -;0,975,3 > Ho ablehe Statstk für SozologIe 5 Regresso

6 Leare Regresso De efachste Form ees fuktoale Zusammehages stellt ee leare Fukto dar Modellvorstellug: der Zusammehag zwsche X ud Y ka (zumdest stückwese) durch ee Grade beschrebe werde: Y b 0 + b X + e b 0... Abstad der Gerade vom Ursprug auf der Ordate b... Stegug der Gerade Statstk für SozologIe 6 Regresso

7 Learer stochastscher Fuktoszusammehag Asteg: b b Statstk für SozologIe 7 Regresso

8 Notato De Ausgagspukt blde Beobachtugspaare (x,y ), de wr als Datepukte eem Streudagramm vsualsere köe. X Y x y x y x y x y Statstk für SozologIe 8 Regresso

9 Learer stochastscher Fuktoszusammehag e y yˆ y Asteg: b b 0 x b0 + b x yˆ Statstk für SozologIe 9 Regresso

10 Bestmmug der Regressosgerade Idee: Gerade so lege, daß de Summe der QUADRATE aller Abwechuge mmal wrd. Klest-Quadrate-Przp De optmale Regressosgerade ergbt sch da durch Lösug folgeder Optmerug: S e ( ) y b b x m! 0 Statstk für SozologIe 0 Regresso

11 Statstk für SozologIe Regresso Mathematsche Herletug ( ) x b b y b S ( ) 0 0 x x b b y b S () y b b x + 0 () xy b x b x + 0 Aus ( ) b y b x 0 ach Substtuto: ˆ x x y x y x b

12 Iterpretato der Formel für Koeffzete Stegug der Regressosgerade: Kovaraz vo X ud Y dvdert durch de Varaz vo X bˆ x y x y x x cov( X, Y) var( X ) Abstad auf der Ordate: Leare Regressosgerade verläuft durch de Schwerpukt der Pukte bˆ 0 y bx Statstk für SozologIe Regresso

13 Tabellarsches Recheschema Nr. X Y X X*Y Y 55 6, , , ,4 57, , ,6 46, , ,5 6, , , , ,64 Summe 55 48, ,5 40,5 Mttelwert vo X: 9,83 Mttelwert vo Y: 8,3 Berechug vo b : Neer 3399,00 b 0,05 Zähler 66,0 b 0 3,73 bˆ x x y x b0 y bx x y Statstk für SozologIe 3 Regresso

14 Graphsche Darstellug Streudagramm: Lestug - Verbrauch Kraftstoffverbrauch l/00km 0 8 y 0,05x + 3, ,00 60,00 80,00 00,00 0,00 40,00 60,00 80,00 Lestug kw Statstk für SozologIe 4 Regresso

15 Automatserte Berechug mt EXCEL Statstk für SozologIe 5 Regresso

16 Varabltät der Regresso y y y ŷ P( x, y ) ŷ b + 0 b x ŷ y ŷ y ( y y) ( y ŷ ) + ( ŷ y) SQT SQR ( y y) ( y yˆ ) x e x Totale Quadratsumme der Abwechuge vom arthmetsche Mttel cht erklärte (resduale) Abwechugsquadratsumme SQE ( yˆ y) erklärte Abwechugsquadratsumme Statstk für SozologIe 6 Regresso

17 Zerlegug der Quadratsumme SQT SQR + SQE ( ) y + ( ) y e yˆ y r SQE SQT ( yˆ y) ( y ) y r Bestmmthetsmaß (~ Atel der erklärte Varaz a der gesamte Varaz) r Korrelatoskoeffzet Statstk für SozologIe 7 Regresso

18 Iterpretato vo r² r² ka Werte zwsche Null (ke Zusammehag zwsche Y ud X) ud Es (alle Pukte lege exakt auf eer Gerade) aehme Je äher r² be es legt, desto besser wrd Y durch X mttels eer leare Regresso erklärt r² st der Atel der Varato vo Y, der durch X erklärt werde ka Statstk für SozologIe 8 Regresso

19 Bestmmug vo r² m Bespel Nr. X Y X X*Y Y e e ŷ ( y y) ( ˆ y ) ( ˆ y ) 55 6, ,96 6,37 0,03 0,00 3,00 -,77 3, 74 7, ,4 57,76 7,8 0,3 0,0 0,8-0,85 0, , ,6 46,4 7,4-0,6 0,39,78-0,7 0, , ,5 6,4 7,8 0,09 0,0 0,05-0,33 0, 5 0 9, ,49 9,00 0,30 0,09,36 0,87 0, , ,64 0,9-0, 0,0 7,,79 7,77 Summe 55 48, ,5 40,5 48,80 0,00 0,60 3,59 0,00,99 y y Mttelwert vo X: 9,83 Mttelwert vo Y: 8,3 Berechug vo b: Neer 3399,00 b 0,05 Zähler 66,0 b 0 3,73 SQT 3,59 00,0% SQR 0,60 4,4% SQE,99 95,6% Statstk für SozologIe 9 Regresso

20 Iferezstatstk Es wrd ageomme, daß de Werte der uabhägge Varable feste (chtzufällge) Größe sd. Es wrd ageomme, daß sch de Beobachtuge der abhägge Varable durch ee X leare Term plus eer zufällge Störkompoete ergebe. Über de Störkompoete werde folgede Aahme getroffe Kee systematsche Störug, d.h. Erwartugswert st ull E(e ) 0 Kostate Streuug der Störkompoete Var(e ) cost. De Störuge sd uabhägg voeader Cov(e, e j ) 0 De Störkompoete se ormalvertelt mt Erwartugswert 0 ud der Varaz σ² Statstk für SozologIe 0 Regresso

21 Modellaahme De bedgte Dchte vo Y für gegebee Wert vo X uterschede sch ur hrem Erwartugswert Statstk für SozologIe Regresso

22 Sgfkaz der Regressosbezehug Frage st der Atel der erklärte Varaz sgfkat? Atwort: F-Test Erklärte durch chterklärte mttlere Quadratsumme (d.. de Quadratsumme durch de Zahl der Frehetsgrade dvdert) Dese Prüfgröße st F-vertelt mt ud - Frehetsgrade F SQE / SQR /( ) r / ( r ) /( ) Statstk für SozologIe Regresso

23 Durchführug des Tests ANOVA (Aalyss of Varace) Frehetsgrade (df) Quadratsumme (SS bzw. SQ) Mttlere Quadratsumme Prüfgröße (F) P-Wert Regresso,990,990 86,95 0,0007 Resdue 4 0,603 0,5 Gesamt 5 3,593 r² 0,956 (-r²) 0,044 (-r²)/4 0,0 Statstk für SozologIe 3 Regresso

24 Schätzug vo σ² De Schätzug der ubekate Varaz der Störkompoete st de Voraussetzug für Iferez über de Parameter bzw. für Kofdeztervalle für Progosewerte. Naheleged st de achstehede Formel (E(e)0!) σˆ e De postve Quadratwurzel führt zum Stadardfehler der Resdue (Resdual Stadard Error) Statstk für SozologIe 4 Regresso

25 Kofdeztervalle ud Tests für Regressoskoeffzete Schätzug der Varaz der Regressoskoeffzete ˆ σ ˆ σ x ˆ b σ 0 ( x x) b ˆ σ ( x x) Iterpretato: Be große Werte vo x st de Varabltät der Kostate ceters parbus größer. Je stärker de x-werte streue, desto gerger st ceters parbus de Streuug der Koeffzete Statstk für SozologIe 5 Regresso

26 Test für de Regressoskoeffzete Nullhypothese: b 0 Koeffzet Stadardfehler t-statstk P-Wert b 0 3,73 0,500 7,465 0,007 b 0,048 0,005 9,84 0,0007 ˆ σ 0,60 / 4 0,5 Iterpretato: ( x x) x x , ,8 ˆ b 0, 005 σ 0, ,8 b Geht de Regresso durch de Ursprug? b0... Ist de Stegug sgfkat vo Null verschede? Das etsprcht m Fall der Efachregresso der zuvor dskuterte Fragestellug: Ist der Atel der erklärte Varaz sgfkat? Hwes: Vergleche de p-value für de Stegug mt dem F-Test Statstk für SozologIe 6 Regresso

27 Kofdeztervall für de durchschttlche Progosewert T Ŷ E(Y S t-vertelt mt - Frehetsgrade Ŷ ) P(Ŷ ts E(Y ) Ŷ + ts ) α Ŷ Ŷ Für ee kokrete Stchprobe ergbt sch damt das folgede Kofdeztervall für de durchschttlche Progosewert (Vertrauestervall) ŷ ts E(Y ) ŷ + ts Ŷ Ŷ mt ŷ b + 0 b x ud s Yˆ ˆ σ + ( x x) j ( x x) j Statstk für SozologIe 7 Regresso

28 Progosetervall für dvduelle Progosewert Y T Ŷ Y S t-vertelt mt - Frehetsgrade F P(Ŷ ts Y Ŷ + ts ) α F F Aus eer kokrete Stchprobe ergbt sch somt das folgede Kofdeztervall für de Progose ees bestmmte Ezelwertes a der Stelle x : ŷ ts Y ŷ + ts F F mt ŷ b + 0 b x ud s F ˆ σ + + ( x x) j ( x x) j Statstk für SozologIe 8 Regresso

29 Awedug m Bespel Progosetervall für Ezelwerte (dvduelle Progosewerte) x S F Progose UG OG se 0, ,477 6,88 4,887 7, t:, ,4604 6, , , ,4504 6, , , ,446 6,8473 5,69 8, ,434 7, ,8836 8, ,48 7,365 6,3756 8, ,437 7,5667 6, , ,408 7,8058 6, , ,494 8, , , ,496 8,85 7,0006 9, ,44 8,5476 7, , ,448 8,7644 7, , ,497 9, ,8069 0, ,4360 9,437 8, , ,4438 9, ,53 0,7558 Statstk für SozologIe 9 Regresso

30 Vertraues- ud Progosetervall Kraftstoffverbrauch l/00km Vertrauestervall Progosetervall Lestug kw Statstk für SozologIe 30 Regresso