Nichtlineare modellprädiktive Regelung
|
|
- Kora Schmidt
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Nichtlineare modellprädiktive Regelung Sabine Böhm, Miriam Kießling Mathematisches Institut Universität Bayreuth 23. und 30. Mai 2006 / Seminar MPC, Bayreuth
2 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
3 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
4 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
5 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
6 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
7 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
8 Inhalt 1. Einleitung Einsatz von NMPC Unterschied zu LMPC Problemstellung 2. Lösung durch Linearisierung Lineare Variablentransformation Verwendung von multiplen linearen Modellen
9 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
10 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
11 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
12 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
13 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
14 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
15 3. Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des Pontryaginsches Minimumprinzip (a) Hamilton-Funktion (b) Pontryaginsches Minimumprinzip (c) Lösung des Randwertproblems,single und multiple shooting (d) Variationsrechnung als Grundlage des PMP (e) Anwendungsbeispiel
16 3. Indirekte Lösung von NMPC Dynamische Programmierung nach Bellman 4. direct multiple shooting 5. Zustandsschätzung mittels Erweitertem Kalman-Filter 6. Anwendung auf Destillationskolonne
17 3. Indirekte Lösung von NMPC Dynamische Programmierung nach Bellman 4. direct multiple shooting 5. Zustandsschätzung mittels Erweitertem Kalman-Filter 6. Anwendung auf Destillationskolonne
18 3. Indirekte Lösung von NMPC Dynamische Programmierung nach Bellman 4. direct multiple shooting 5. Zustandsschätzung mittels Erweitertem Kalman-Filter 6. Anwendung auf Destillationskolonne
19 3. Indirekte Lösung von NMPC Dynamische Programmierung nach Bellman 4. direct multiple shooting 5. Zustandsschätzung mittels Erweitertem Kalman-Filter 6. Anwendung auf Destillationskolonne
20 3. Indirekte Lösung von NMPC Dynamische Programmierung nach Bellman 4. direct multiple shooting 5. Zustandsschätzung mittels Erweitertem Kalman-Filter 6. Anwendung auf Destillationskolonne
21 1. Einleitung
22 Einleitung Meistens verwendet man Linearisierung Warum dann nichtlineare prädiktive Regelung?
23 Einleitung Linearisierung ist nicht geeignet, bei starken Nichtlinearitäten im Betriebspunkt. bei zwar lokal nur schwach Nichtlinearitäten, aber weiten Arbeitsbereich. Hier Linearisierungen zu wenig genau (wegen z.b.: strengeren Umweltgesetzen und ökonomischen Gesichtspunkten)
24 Einleitung Linearisierung ist nicht geeignet, bei starken Nichtlinearitäten im Betriebspunkt. bei zwar lokal nur schwach Nichtlinearitäten, aber weiten Arbeitsbereich. Hier Linearisierungen zu wenig genau (wegen z.b.: strengeren Umweltgesetzen und ökonomischen Gesichtspunkten)
25 Beispiele Reinst-Destillationanlagen (Beispiel am Ende) Mehrprodukt-Polymerisationsanlagen Kraftwerkanlagen mit häufigen großen Lastenwechseln
26 Beispiele Reinst-Destillationanlagen (Beispiel am Ende) Mehrprodukt-Polymerisationsanlagen Kraftwerkanlagen mit häufigen großen Lastenwechseln
27 Beispiele Reinst-Destillationanlagen (Beispiel am Ende) Mehrprodukt-Polymerisationsanlagen Kraftwerkanlagen mit häufigen großen Lastenwechseln
28 Unterschied von NMPC zu linearer MPC Größerer Aufwand bei der Entwicklung des Prozessmodells Parameteridentifikation nichtlinearer dynamischer Systeme schwieriger größerer Aufwand zur Lösung von Optimierungsproblems (nichtkonvexes Problem) Stabilität, Optimalität und Robustheit viel komplizierter
29 Unterschied von NMPC zu linearer MPC Größerer Aufwand bei der Entwicklung des Prozessmodells Parameteridentifikation nichtlinearer dynamischer Systeme schwieriger größerer Aufwand zur Lösung von Optimierungsproblems (nichtkonvexes Problem) Stabilität, Optimalität und Robustheit viel komplizierter
30 Unterschied von NMPC zu linearer MPC Größerer Aufwand bei der Entwicklung des Prozessmodells Parameteridentifikation nichtlinearer dynamischer Systeme schwieriger größerer Aufwand zur Lösung von Optimierungsproblems (nichtkonvexes Problem) Stabilität, Optimalität und Robustheit viel komplizierter
31 Unterschied von NMPC zu linearer MPC Größerer Aufwand bei der Entwicklung des Prozessmodells Parameteridentifikation nichtlinearer dynamischer Systeme schwieriger größerer Aufwand zur Lösung von Optimierungsproblems (nichtkonvexes Problem) Stabilität, Optimalität und Robustheit viel komplizierter
32 Nichtkonvexes Problem Zur Lösung des Problems muss Konvexität gelten, da bei konvexen Programmen gilt: Jeder lokale Minimierer ist ein globaler Minimierer globale Lösung Problem: nichtlineare Systeme sind im Allg. nichtkonvex
33 Nichtkonvexes Problem
34 Einleitung Problem: ẋ(t) = f (x(t), u(t)) x(0) = x 0 y(t) = h(x(t), u(t)) mit den Eingängen und Zuständen: u(t) U R m x(t) X R n
35 Einleitung Problem: ẋ(t) = f (x(t), u(t)) x(0) = x 0 y(t) = h(x(t), u(t)) mit den Eingängen und Zuständen: u(t) U R m x(t) X R n
36 Einleitung Dabei er erfüllen U und X die folgenden Annahmen: (A1) U R m ist kompakt, X R n ist zusammenhängend und (0, 0) X U (A2) Das Vektorfeld f : R n R m R n ist stetig erfüllt f (0, 0) = 0 und ist lokal Lipschitz stetig in x. (A3) x 0 X 1, X 1 X und stückweise konstante Fkt. u( ) : [0, T P ] U hat ẋ(t) eine eind. stetige Lösg.
37 Einleitung Dabei er erfüllen U und X die folgenden Annahmen: (A1) U R m ist kompakt, X R n ist zusammenhängend und (0, 0) X U (A2) Das Vektorfeld f : R n R m R n ist stetig erfüllt f (0, 0) = 0 und ist lokal Lipschitz stetig in x. (A3) x 0 X 1, X 1 X und stückweise konstante Fkt. u( ) : [0, T P ] U hat ẋ(t) eine eind. stetige Lösg.
38 Einleitung Dabei er erfüllen U und X die folgenden Annahmen: (A1) U R m ist kompakt, X R n ist zusammenhängend und (0, 0) X U (A2) Das Vektorfeld f : R n R m R n ist stetig erfüllt f (0, 0) = 0 und ist lokal Lipschitz stetig in x. (A3) x 0 X 1, X 1 X und stückweise konstante Fkt. u( ) : [0, T P ] U hat ẋ(t) eine eind. stetige Lösg.
39 Einleitung mit min J(x(t), u( ); T p) u( ) J(x(t), u( ); T p ) := t+tp t f 0 (x(τ), u(τ))dτ) + g(x(t + T p )) unter den Nebenbedingungen: ẋ(τ) = f (x(τ), u(τ)), x(t) = x t u(τ) U, τ [t, t + T p ] x(τ) X τ [t, t + T p ] x(t + T p ) E Hierbei ist E die Endregion
40 Einleitung mit min J(x(t), u( ); T p) u( ) J(x(t), u( ); T p ) := t+tp t f 0 (x(τ), u(τ))dτ) + g(x(t + T p )) unter den Nebenbedingungen: ẋ(τ) = f (x(τ), u(τ)), x(t) = x t u(τ) U, τ [t, t + T p ] x(τ) X τ [t, t + T p ] x(t + T p ) E Hierbei ist E die Endregion
41 2. Lösung durch Verwendung von LMPC
42 Linearisierung durch Variablen-Transformation
43 Beispiel Gegeben: Generelles Vorgehen: ẋ(t) = dx dt = f (x, u) (1) dx = f (x, u) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x, u) (2) dt Dann denkt man sich eine Transformation: z = g(x) (3)
44 Variablen-Transformation 2 Varianten zur Wahl von g( ): oder dz dt dz dt = az + bv (4) = a + bv (5)
45 Variablen-Transformation Durch die Ableitung von z = g(x) erhält man: dz dt = dz dx dx dt wenn man (2) in (6) einsetzt, ergibt sich: dz dt = c 1 f 1 (x) dz dx + c 2f 2 (x, u) dz dx Nun wählt man z = g(x) so, dass gilt: dz dx = z f 1 (x) = 1 f 1 (x) und zusätzlich f 2 (x, u) dz dx = v (9) dadurch (7) ˆ=(4) (7) ˆ=(5), wobei a = c 1 und b = c 2. (6) (7) (8)
46 Variablen-Transformation Durch die Ableitung von z = g(x) erhält man: dz dt = dz dx dx dt wenn man (2) in (6) einsetzt, ergibt sich: dz dt = c 1 f 1 (x) dz dx + c 2f 2 (x, u) dz dx Nun wählt man z = g(x) so, dass gilt: dz dx = z f 1 (x) = 1 f 1 (x) und zusätzlich f 2 (x, u) dz dx = v (9) dadurch (7) ˆ=(4) (7) ˆ=(5), wobei a = c 1 und b = c 2. (6) (7) (8)
47 Variablen-Transformation Durch Umformung von (8) erhält man: dz z = dx f 1 (x) dz = dx f 1 (x) oder ln z = dx f 1 (x) = z = exp[ dx f 1 (x) ] = dx f 1 (x) Durch einsetzen von Gleichung (8) in (9) und Umformung erhält man: f 2 (x, u) = vf 1(x) = vf 1 (x) (10) z
48 Variablen-Transformation Durch Umformung von (8) erhält man: dz z = dx f 1 (x) dz = dx f 1 (x) oder ln z = dx f 1 (x) = z = exp[ dx f 1 (x) ] = dx f 1 (x) Durch einsetzen von Gleichung (8) in (9) und Umformung erhält man: f 2 (x, u) = vf 1(x) = vf 1 (x) (10) z
49 Variablen-Transformation Die Gleichung (10) löst man dann nach u auf, um u = q(x, v) zu erhalten. Das Ergebnis ist ein lineares MPC.
50 LMPC mit multiplen linearen Modellen
51 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert für jeden ein lineares Modell erstellt alle Modelle werden parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ i
52 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert für jeden ein lineares Modell erstellt alle Modelle werden parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ i
53 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert für jeden ein lineares Modell erstellt alle Modelle werden parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ i
54 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert für jeden ein lineares Modell erstellt alle Modelle werden parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ i
55 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Arbeitsbereich in n Teilbereiche untergliedert für jeden ein lineares Modell erstellt alle Modelle werden parallel zur Vorhersage der Regelgrößen y herangezogen die Vorhersagen der einzelnen Modelle gewichtet aufsummiert gewichteter Mittelwert ŷ = n i=1 α iŷ i
56 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Berechnung der Gewichtsfaktoren α i α i [0, 1] αi = 1 Berechnung der α i : wobei p j,k = N m=1 α j,k = p j,k N m=1 p m,k exp( 1 2 ɛt j,k K ɛ j,k)p j,k 1 exp( 1 2 ɛt m,k K ɛ m,k)p m,k 1 und K eine Konvergenzmatrix und ɛ j,k = (y ŷ i )
57 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Berechnung der Gewichtsfaktoren α i α i [0, 1] αi = 1 Berechnung der α i : wobei p j,k = N m=1 α j,k = p j,k N m=1 p m,k exp( 1 2 ɛt j,k K ɛ j,k)p j,k 1 exp( 1 2 ɛt m,k K ɛ m,k)p m,k 1 und K eine Konvergenzmatrix und ɛ j,k = (y ŷ i )
58 LMPC mit multiplen, linearen Modellen größte Herausforderung: Bestimmung der n Teilmodelle einfachste Zerlegungsmethode: Unterteilung des gesamten Arbeitsbereichs in ein gleichmäßiges mehrdimensionales Gitter
59 LMPC mit multiplen, linearen Modellen größte Herausforderung: Bestimmung der n Teilmodelle einfachste Zerlegungsmethode: Unterteilung des gesamten Arbeitsbereichs in ein gleichmäßiges mehrdimensionales Gitter
60 LMPC mit multiplen, linearen Modellen größte Herausforderung: Bestimmung der n Teilmodelle einfachste Zerlegungsmethode: Unterteilung des gesamten Arbeitsbereichs in ein gleichmäßiges mehrdimensionales Gitter
61 LMPC mit multiplen, linearen Modellen größte Herausforderung: Bestimmung der n Teilmodelle einfachste Zerlegungsmethode: Unterteilung des gesamten Arbeitsbereichs in ein gleichmäßiges mehrdimensionales Gitter
62 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Nachteil: riesigen Zahl von Modellen zu identifizieren Alternative: z.b. LOLIMOT-Verfahren (Local Linear Model Tree) Sukzessive Teilung des Eingangsraums
63 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Nachteil: riesigen Zahl von Modellen zu identifizieren Alternative: z.b. LOLIMOT-Verfahren (Local Linear Model Tree) Sukzessive Teilung des Eingangsraums
64 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Nachteil: riesigen Zahl von Modellen zu identifizieren Alternative: z.b. LOLIMOT-Verfahren (Local Linear Model Tree) Sukzessive Teilung des Eingangsraums
65 LMPC mit multiplen, linearen Modellen Nachteil: riesigen Zahl von Modellen zu identifizieren Alternative: z.b. LOLIMOT-Verfahren (Local Linear Model Tree) Sukzessive Teilung des Eingangsraums
66 LMPC mit multiplen, linearen Modellen
67 LMPC mit multiplen, linearen Modellen
68 3. Indirekte Lösung von NMPC
69 Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des MPC - Algorithmus auf nichtlineares System Problem: Zielfunktional und Nebenbedingungen nichtlinear
70 Indirekte Lösung von NMPC Anwendung des MPC - Algorithmus auf nichtlineares System Problem: Zielfunktional und Nebenbedingungen nichtlinear
71 3.1 Verwendung des Pontryaginschen Minimumprinzip
72 Lösung von NMPC mittels PMP
73 Lösung von NMPC mittels PMP
74 Lösung von NMPC mittels PMP
75 Lösung von NMPC mittels PMP
76 Lösung von NMPC mittels PMP
77 Optimaler Steuerprozess - Bolza-Form Definition Das Problem Minimiere J(x, u) = g(x(t 0 ), x(t f )) + unter den Nebenbedingungen heißt optimaler Steuerprozess tf t 0 ẋ(t) = f (x(t), u(t), t), ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0, u(t) U, t [t 0, t f ], f 0 (x(t), u(t), t)dt
78 Randbedingungen Definition: Sei r N, 0 r 2n. Die Bedingung ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0, für Anfangs- und Endzustand mit einer (bzgl. x(t 0 ) und x(t f )) stetig differenzierbaren Funktion ψ : R n R n R r wird eine allgemeine Randbedingung genannt.
79 Optimale Lösung Definition: Ein zulässiges Funktionenpaar (x, u ) zur Endzeit t f heißt optimale Lösung des optimalen Steuerprozesses, falls J(x, u ) J(x, u) für alle zulässigen Paare (x, u) zur Endzeit t f gilt.
80 Hamiltion-Funktion und adjungierte Variable Definition: Sei λ 0 R und λ R n. Dann heißt H(x, λ, u, t) := λ 0 f 0 (x, u, t) + λ T f (x, u, t) die Hamilton-Funktion zum Steuerprozess. λ wird adjungierte Variable zu x genannt
81 Pontryaginsches Minimumprinzip Für eine optimale Lösung (x, u ) existieren eine reelle Zahl λ 0 0, eine stetig und stückweise stetig differenzierbare Funktion λ : [t 0, t f ] R n, sowie ein Vektor ρ R r, so dass gelten: 1. (λ 0, λ T (t), ρ T ) 0, t [t 0, t f ]
82 Pontryaginsches Minimumprinzip Für eine optimale Lösung (x, u ) existieren eine reelle Zahl λ 0 0, eine stetig und stückweise stetig differenzierbare Funktion λ : [t 0, t f ] R n, sowie ein Vektor ρ R r, so dass gelten: 1. (λ 0, λ T (t), ρ T ) 0, t [t 0, t f ]
83 Pontryaginsches Minimumprinzip 2. An allen Stetigkeitsstellen t von u in [t 0, t f ] gelten: Minimumbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t), Adjungierte Differentialgleichungen: λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t),
84 Pontryaginsches Minimumprinzip 2. An allen Stetigkeitsstellen t von u in [t 0, t f ] gelten: Minimumbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t), Adjungierte Differentialgleichungen: λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t),
85 Pontryaginsches Minimumprinzip 2. An allen Stetigkeitsstellen t von u in [t 0, t f ] gelten: Minimumbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t), Adjungierte Differentialgleichungen: λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t),
86 Pontryaginsches Minimumprinzip 3. Transversalitätsbedingung: λ(t 0 ) = x(t0 )(λ 0 g(x (t 0 ), x (t f )) + ρ T ψ(x (t 0 ), x (t f ))) T, λ(t f ) = x(tf )(λ 0 g(x (t 0 ), x (t f )) + ρ T ψ(x (t 0 ), x (t f ))) T,
87 Varitationsrechnung Vereinfachung: Zielfunktional besteht nur aus bestimmtem Integral Integrand nur von x(t) und zusätzlich von ẋ(t) abhängig keine Nebenbedingungen
88 Varitationsrechnung Vereinfachung: Zielfunktional besteht nur aus bestimmtem Integral Integrand nur von x(t) und zusätzlich von ẋ(t) abhängig keine Nebenbedingungen
89 Varitationsrechnung Vereinfachung: Zielfunktional besteht nur aus bestimmtem Integral Integrand nur von x(t) und zusätzlich von ẋ(t) abhängig keine Nebenbedingungen
90 Variationsrechnung Variationsproblem: J = tf t 0 f (t, x, ẋ(t))dt Gesucht ist diejenige Funktion x = x(t), welche die Randbedingungen x(t 0 ) = x 0 und x(t f ) = x f erfüllt und J minimiert.
91 Variationsrechnung
92 Variationsrechnung Vorgehensweise von Euler: Annahme: Lösung x = x (t) sei gefunden Konstruktion einer einparametrigen Schar von Vergleichskurven x(t) = x (t) + ɛ x(t), (11) ɛ 0 < ɛ < ɛ 0 (ɛ 0 > 0), x(t) beliebige Funktion mit x(t 0 ) = 0, x(t f ) = 0
93 Variationsrechnung Vorgehensweise von Euler: Annahme: Lösung x = x (t) sei gefunden Konstruktion einer einparametrigen Schar von Vergleichskurven x(t) = x (t) + ɛ x(t), (11) ɛ 0 < ɛ < ɛ 0 (ɛ 0 > 0), x(t) beliebige Funktion mit x(t 0 ) = 0, x(t f ) = 0
94 Variationsrechnung
95 Variationsrechnung eingesetzt ins Zielfunktional: J = tf t 0 f (t, x (t) + ɛ x(t), ẋ (t) + ɛ x(t))dt = F (ɛ) optimale Lösung x (t) ist für ɛ = 0 in der Vergleichskurvenschar enthalten F (ɛ) muss für ɛ = 0 Minimum haben [ ] df = 0 dɛ ɛ=0
96 Variationsrechnung eingesetzt ins Zielfunktional: J = tf t 0 f (t, x (t) + ɛ x(t), ẋ (t) + ɛ x(t))dt = F (ɛ) optimale Lösung x (t) ist für ɛ = 0 in der Vergleichskurvenschar enthalten F (ɛ) muss für ɛ = 0 Minimum haben [ ] df = 0 dɛ ɛ=0
97 Variationsrechnung Nach Differenzieren nach ɛ, Nullsetzen von ɛ, partieller Integration: J = tf t 0 [ f x d ( )] f x(t)dt = 0 dt ẋ soll für eine bis auf die Randwerte beliebige Funktion x(t) gelten es muss gelten: t [t 0, t f ]: f x d dt ( f ẋ ) = 0. (Euler - Lagrangesche Differentialgleichung)
98 Variationsrechnung Nach Differenzieren nach ɛ, Nullsetzen von ɛ, partieller Integration: J = tf t 0 [ f x d ( )] f x(t)dt = 0 dt ẋ soll für eine bis auf die Randwerte beliebige Funktion x(t) gelten es muss gelten: t [t 0, t f ]: f x d dt ( f ẋ ) = 0. (Euler - Lagrangesche Differentialgleichung)
99 Variationsrechnung Als allgemeine Lösung ergibt sich eine zweiparametrige Kurvenschar: x = x(t, c 1, c 2 ) c 1 und c 2 sind aus den Randbedingungen zu ermitteln: x(t 0, c 1, c 2 ) = x 0, x(t f, c 1, c 2 ) = x f
100 Variationsrechnung durch Eulersche Idee, eine einparametrige Vergleichskurvenschar einzuführen, Rückführung des Variationsproblem auf ein gewöhnliches Extremalproblem PMP Weiterentwicklung der Variationsrechnung
101 Variationsrechnung durch Eulersche Idee, eine einparametrige Vergleichskurvenschar einzuführen, Rückführung des Variationsproblem auf ein gewöhnliches Extremalproblem PMP Weiterentwicklung der Variationsrechnung
102 Pontryaginsches Minimumprinzip Ergebnis des PMP: u kann in Abhängigkeit von x, λ und t aus der Minimumbedingung bestimmt und dann für jedes t in das kanonische Differentialgleichungssystem eingesetzt werden 2-Punkt-Randwertproblem für 2n gewöhnliche Differentialgleichungen. Lösung des Randwertproblems mit numerischen Verfahren
103 Pontryaginsches Minimumprinzip Ergebnis des PMP: u kann in Abhängigkeit von x, λ und t aus der Minimumbedingung bestimmt und dann für jedes t in das kanonische Differentialgleichungssystem eingesetzt werden 2-Punkt-Randwertproblem für 2n gewöhnliche Differentialgleichungen. Lösung des Randwertproblems mit numerischen Verfahren
104 Pontryaginsches Minimumprinzip Ergebnis des PMP: u kann in Abhängigkeit von x, λ und t aus der Minimumbedingung bestimmt und dann für jedes t in das kanonische Differentialgleichungssystem eingesetzt werden 2-Punkt-Randwertproblem für 2n gewöhnliche Differentialgleichungen. Lösung des Randwertproblems mit numerischen Verfahren
105 Pontryaginsches Minimumprinzip Ergebnis des PMP: u kann in Abhängigkeit von x, λ und t aus der Minimumbedingung bestimmt und dann für jedes t in das kanonische Differentialgleichungssystem eingesetzt werden 2-Punkt-Randwertproblem für 2n gewöhnliche Differentialgleichungen. Lösung des Randwertproblems mit numerischen Verfahren
106 3.2 Verfahren zur Lösung des Randwertproblems
107 Einfach - Schießverfahren
108 Einfach - Schießverfahren Randwertproblem: ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0. ẋ = f (x, t), (12)
109 Einfach-Schießverfahren Bestimmung eines Anfangswertes s R n für das Anfangswertproblem ẋ = f (x, t), (13) x(t 0 ) = s, so dass die Lösung x(t) = x(t; s) die Randbedingungen (12) erfüllt.
110 Einfach-Schießverfahren Das heißt: ψ(x(t 0 ; s), x(t f ; s)) ψ(s, x(t f ; s)) = 0. Es ist eine Nullstelle der Funktion F(s) := ψ(s, x(t f ; s)) zu bestimmen.
111 Einfach-Schießverfahren Das heißt: ψ(x(t 0 ; s), x(t f ; s)) ψ(s, x(t f ; s)) = 0. Es ist eine Nullstelle der Funktion F(s) := ψ(s, x(t f ; s)) zu bestimmen.
112 Nullstellenbestimmung Newtonverfahren Newtonartige Verfahren
113 Nullstellenbestimmung Newtonverfahren Newtonartige Verfahren
114 Einfach-Schießverfahren Bestimmung von x(t f ; s) durch Lösen des Anfangswertproblems (13) in jedem Iterationsschritt Differenz der durch die Anfangsschätzung bestimmten Lösung in t f, d.h. x(t f ; s), und der bekannten Endbedingungen x(t f ) wird zu Null gerechnet
115 Einfach-Schießverfahren Bestimmung von x(t f ; s) durch Lösen des Anfangswertproblems (13) in jedem Iterationsschritt Differenz der durch die Anfangsschätzung bestimmten Lösung in t f, d.h. x(t f ; s), und der bekannten Endbedingungen x(t f ) wird zu Null gerechnet
116 Einfach - Schießverfahren
117 Lösung des Anfangswertproblems Einschrittverfahren (Polygonzugverfahren von Euler, Runge-Kutta Verfahren) Mehrschrittverfahren (Adams - Bashforth, Adams - Moulton) Extrapolationsverfahren Schrittweitensteuerung
118 Lösung des Anfangswertproblems Einschrittverfahren (Polygonzugverfahren von Euler, Runge-Kutta Verfahren) Mehrschrittverfahren (Adams - Bashforth, Adams - Moulton) Extrapolationsverfahren Schrittweitensteuerung
119 Lösung des Anfangswertproblems Einschrittverfahren (Polygonzugverfahren von Euler, Runge-Kutta Verfahren) Mehrschrittverfahren (Adams - Bashforth, Adams - Moulton) Extrapolationsverfahren Schrittweitensteuerung
120 Lösung des Anfangswertproblems Einschrittverfahren (Polygonzugverfahren von Euler, Runge-Kutta Verfahren) Mehrschrittverfahren (Adams - Bashforth, Adams - Moulton) Extrapolationsverfahren Schrittweitensteuerung
121 Einfach - Schießverfahren Problem: erhebliche Ungenauigkeiten, sofern x(t) = x(t; s) sehr empfindlich von s abhängt
122 Mehrzielmethode
123 Mehrfach - Schießverfahren Unterteilung von [t 0, t f ] Anwendung des Einfachschießverfahrens auf Teilintervalle für werden die Werte t 0 = t 1 < t 2... < t M = t f s k = x(t k ), k = 1,..., M 1 der exakten Lösung x(t) des Randwertproblems (12) gleichzeitig iterativ berechnet
124 Mehrfach - Schießverfahren Unterteilung von [t 0, t f ] Anwendung des Einfachschießverfahrens auf Teilintervalle für werden die Werte t 0 = t 1 < t 2... < t M = t f s k = x(t k ), k = 1,..., M 1 der exakten Lösung x(t) des Randwertproblems (12) gleichzeitig iterativ berechnet
125 Mehrfach - Schießverfahren Unterteilung von [t 0, t f ] Anwendung des Einfachschießverfahrens auf Teilintervalle für werden die Werte t 0 = t 1 < t 2... < t M = t f s k = x(t k ), k = 1,..., M 1 der exakten Lösung x(t) des Randwertproblems (12) gleichzeitig iterativ berechnet
126 Mehrfach - Schießverfahren x(t; t k, s k ) sei Lösung des Anfangswertproblems ẋ = f (x, t), (14) x(t k ) = s k (15)
127 Mehrfach-Schießverfahren Vektoren s k, k = 1,..., M 1 sind so zu bestimmen, dass die aus den x(t; t k, s) stückweise zusammengesetzte Funktion x(t) := x(t; t k, s k ) für t [t k, t k+1 [, k = 1,..., M 1, stetig ist und die Randbedingungen ψ(x(t 0 ), x(t f )) = 0 erfüllt.
128 Mehrfach - Schießverfahren
129 Mehrfach - Schießverfahren n(m 1) Bedingungen: x(t k+1 ; t k, s k ) = s k+1, k = 1,..., M 2, (Stetigkeit) ψ(s 1, x(t M ; t M 1, s M 1)) = 0, (Randbedingungen) für die n(m 1) unbekannten Komponenten s (j) k, j = 1,..., n, k = 1,..., M 1 der s k
130 Mehrfach - Schießverfahren Gleichungssystem: F 1 (s 1, s 2 ) F 2 (s 2, s 3 ) F (s) :=. := F M 2 (s M 2, s M 1 ) F M 1 (s 1, s M 1 ) = 0 x(t 2 ; t 1, s 1 ) s 2 x(t 3 ; t 2, s 2 ) s 3. x(t M 1 ; t M 2, s M 2 ) s M 1 ψ(s 1, x(t M ; t M 1, s M 1 ))
131 Verfahren zur Nullstellenbestimmung Newton Quasi - Newton Reduzierung des Rechenaufwands durch Verwendung von Broyden - Approximationen zur Bestimmung von F(s)
132 Verfahren zur Nullstellenbestimmung Newton Quasi - Newton Reduzierung des Rechenaufwands durch Verwendung von Broyden - Approximationen zur Bestimmung von F(s)
133 Verfahren zur Nullstellenbestimmung Newton Quasi - Newton Reduzierung des Rechenaufwands durch Verwendung von Broyden - Approximationen zur Bestimmung von F(s)
134 3.3 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzip
135 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
136 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
137 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
138 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
139 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
140 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
141 Anwendung des Pontryaginschen Minimumprinzips Gegeben sei das folgende Problem: unter min N 1 j=0 tj+1 t j u(t)dt ẋ(t) = e x(t) x(t)u(t) = f (x(t), u(t)) x(t 0 ) = x 0 x(t f ) = x f 0 u(t) 4 t 0... t f
142 Bestimmung der Hamiltonfunktion Definition Hamiltonfunktion: H(x, λ, u, t) := λ 0 f 0 (x, u, t) + λ T f (x, u, t) Es gilt: H(x, λ, u, t) = λ(t)[e x(t) x(t)u(t)] + λ 0 u(t)
143 Bestimmung der Hamiltonfunktion Definition Hamiltonfunktion: H(x, λ, u, t) := λ 0 f 0 (x, u, t) + λ T f (x, u, t) Es gilt: H(x, λ, u, t) = λ(t)[e x(t) x(t)u(t)] + λ 0 u(t)
144 Minimumbedingung Definition Minimumbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t) min u U λ(t)ex (t) λ(t)x (t)u(t) + λ 0 u(t) = min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)]
145 Minimumbedingung Definition Minimumbedingung: H(x (t), λ(t), u (t), t) = min u U H(x (t), λ(t), u, t) min u U λ(t)ex (t) λ(t)x (t)u(t) + λ 0 u(t) = min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)]
146 Minimumbedingung min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)] 1. Fall: λ 0 λ(t)x (t) > 0 Minimum für u(t) = 0 2. Fall: λ 0 λ(t)x (t) < 0 Minimum für u(t) = 4 3. Fall: λ 0 λ(t)x (t) = 0 singuläre Steuerung nur noch der 3.Fall ist zu untersuchen
147 Minimumbedingung min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)] 1. Fall: λ 0 λ(t)x (t) > 0 Minimum für u(t) = 0 2. Fall: λ 0 λ(t)x (t) < 0 Minimum für u(t) = 4 3. Fall: λ 0 λ(t)x (t) = 0 singuläre Steuerung nur noch der 3.Fall ist zu untersuchen
148 Minimumbedingung min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)] 1. Fall: λ 0 λ(t)x (t) > 0 Minimum für u(t) = 0 2. Fall: λ 0 λ(t)x (t) < 0 Minimum für u(t) = 4 3. Fall: λ 0 λ(t)x (t) = 0 singuläre Steuerung nur noch der 3.Fall ist zu untersuchen
149 Minimumbedingung min u U λ(t)ex (t) + u(t)[λ 0 λ(t)x (t)] 1. Fall: λ 0 λ(t)x (t) > 0 Minimum für u(t) = 0 2. Fall: λ 0 λ(t)x (t) < 0 Minimum für u(t) = 4 3. Fall: λ 0 λ(t)x (t) = 0 singuläre Steuerung nur noch der 3.Fall ist zu untersuchen
150 Adjungierte Differentialgleichung Definition Adjungierte Differentialgleichung: λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t) λ(t) = x H(x, λ, u ) = λ(t)e x (t) + λ(t)u (t)
151 Adjungierte Differentialgleichung Definition Adjungierte Differentialgleichung: λ T = x H(x (t), λ(t), u (t), t) λ(t) = x H(x, λ, u ) = λ(t)e x (t) + λ(t)u (t)
152 Singuläre Steuerung σ(t) := λ 0 λ(t)x (t) = 0 auf singulärem Intervall d dt σ(t) 0 d dt σ(t) = λ(t)x (t) λ(t)ẋ (t) = [λ(t)e x (t) λ(t)u (t)]x (t) λ(t)[e x (t) x (t)u (t)] = λ(t)e x (t) [x (t) 1] = 0
153 Singuläre Steuerung σ(t) := λ 0 λ(t)x (t) = 0 auf singulärem Intervall d dt σ(t) 0 d dt σ(t) = λ(t)x (t) λ(t)ẋ (t) = [λ(t)e x (t) λ(t)u (t)]x (t) λ(t)[e x (t) x (t)u (t)] = λ(t)e x (t) [x (t) 1] = 0
154 Singuläre Steuerung σ(t) := λ 0 λ(t)x (t) = 0 auf singulärem Intervall d dt σ(t) 0 d dt σ(t) = λ(t)x (t) λ(t)ẋ (t) = [λ(t)e x (t) λ(t)u (t)]x (t) λ(t)[e x (t) x (t)u (t)] = λ(t)e x (t) [x (t) 1] = 0
155 Singuläre Steuerung Für λ 0 = 1 : auf singulärem Intervall gilt: λ 0 λ(t)x (t) = 0 λ(t)x (t) = 1 λ(t)e x (t) [x (t) 1] = 0 x (t) 1 ẋ (t) 0 0 = ẋ (t) = e x (t) x (t)u (t) = e u (t) u (t) = e
156 Singuläre Steuerung Für λ 0 = 1 : auf singulärem Intervall gilt: λ 0 λ(t)x (t) = 0 λ(t)x (t) = 1 λ(t)e x (t) [x (t) 1] = 0 x (t) 1 ẋ (t) 0 0 = ẋ (t) = e x (t) x (t)u (t) = e u (t) u (t) = e
Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrNichtlineare modellprädiktive Regelung
Nichtlineare modellprädiktive Regelung Seminararbeit von Sabine Böhm, Miriam Kießling FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK MATHEMATISCHES INSTITUT Datum: 23. und 30. Mai 2006 Betreuung: Prof. Dr. L. Grüne
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrEntladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrOptimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz
Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrExtrema von Funktionen in zwei Variablen
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrInstitut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2
Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Übungen Regelungstechnik 2 Inhalt der Übungen: 1. Grundlagen (Wiederholung RT1) 2. Störgrößenaufschaltung 3. Störgrößennachbildung
MehrÜbungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrOptimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen
Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehr(1) Problemstellung. (2) Kalman Filter
Inhaltsverzeichnis (1) Problemstellung...2 (2) Kalman Filter...2 Funktionsweise... 2 Gleichungen im mehrdimensionalen Fall...3 Schätzung des Systemzustands...3 Vermuteter Schätzfehler... 3 Aktualisierung
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
Mehr4. Dynamische Optimierung
4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrKapitalerhöhung - Verbuchung
Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrStabilität mittels Ljapunov Funktion
Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt
MehrFachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen
Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: Februar
MehrWir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen:
1 Parallele Algorithmen Grundlagen Parallele Algorithmen Grundlagen Wir unterscheiden folgende drei Schritte im Design paralleler Algorithmen: Dekomposition eines Problems in unabhängige Teilaufgaben.
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrKlausur Mathematik 2
Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrWenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrModellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele
Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
MehrUniversität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
Mehr!(0) + o 1("). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen.
Bifurkationen an geschlossenen Orbits 5.4 167 der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (")
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
Mehr(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrBestimmung einer ersten
Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
Mehr3. Grundlagen der Linearen Programmierung
3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrAusarbeitung des Seminarvortrags zum Thema
Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrEntscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrLU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.
Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems
MehrOptimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn
Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrBinäre abhängige Variablen
Binäre abhängige Variablen Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Einführung Oft wollen wir qualitative Variablen
Mehr6. Bayes-Klassifikation. (Schukat-Talamazzini 2002)
6. Bayes-Klassifikation (Schukat-Talamazzini 2002) (Böhm 2003) (Klawonn 2004) Der Satz von Bayes: Beweis: Klassifikation mittels des Satzes von Bayes (Klawonn 2004) Allgemeine Definition: Davon zu unterscheiden
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrDas Mathematik-Abitur im Saarland
Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die
MehrEntwurf robuster Regelungen
Entwurf robuster Regelungen Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik z P v K Juni 25 76 5 OPTIMALE ZUSTANDSREGELUNG 5 Optimale Zustandsregelung Ein optimaler
MehrGeneboost Best.- Nr. 2004011. 1. Aufbau Der Stromverstärker ist in ein Isoliergehäuse eingebaut. Er wird vom Netz (230 V/50 Hz, ohne Erdung) gespeist.
Geneboost Best.- Nr. 2004011 1. Aufbau Der Stromverstärker ist in ein Isoliergehäuse eingebaut. Er wird vom Netz (230 V/50 Hz, ohne Erdung) gespeist. An den BNC-Ausgangsbuchsen lässt sich mit einem störungsfreien
MehrMathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung
Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrZusammenfassung der 8. Vorlesung
Zusammenfassung der 8. Vorlesung Beschreibung und und Analyse dynamischer Systeme im im Zustandsraum Steuerbarkeit eines dynamischen Systems Unterscheidung: Zustandssteuerbarkeit, Zustandserreichbarkeit
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrLernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah
Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem
MehrSchritt für Schritt zur Krankenstandsstatistik
Schritt für Schritt zur Krankenstandsstatistik Eine Anleitung zur Nutzung der Excel-Tabellen zur Erhebung des Krankenstands. Entwickelt durch: Kooperationsprojekt Arbeitsschutz in der ambulanten Pflege
Mehr