9 Integralrechnung. 9.1 Das Riemann-Integral: Sei [a, b] ein beschränktes abgeschlossenes Intervall und f : [a, b] R eine beschränkte Funktion.

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1 9 ntegrlrechnung 9. Ds Riemnn-ntegrl: Sei [, b] ein beschränktes bgeschlossenes ntervll und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Problem: Bestimme Flächeninhlt A zwischen Grphen von f und x-achse. Betrchte dzu Zerlegung Z des ntervlls [, b] in Teilintervlle, d.h. wähle Punkte = < x < x 2 <... < x k = b und bestimme in jedem Teilintervll [x i, x i ], i =,..., k, kleinste obere Schrnke der Funktionswerte M i := sup x [x i,x i ] f(x) bzw. größte untere Schrnke der Funktionswerte m i := inf f(x). x [x i,x i ] (Bemerkung: st f stetig, so sind M i und m i nch 7. Mximum und Minimum von f in [x i, x i ]).

2 Nähere Flächeninhlt A durch Flächen von Rechtecken von oben und unten n: / \ O Z (f) := M i (x i x i ) } {{ } Obersumme und \ \ \ '/ U Z (f) := m i (x i x i ) } {{ } Untersumme t von f bei Zerlegung Z. Dnn gilt U Z (f) A O Z (f). Mn wählt nun Folge von Zerlegungen Z n, die immer feiner werden, d.h. für die gilt δ(z n ) := mx }{{} (x i x i ) 0,...,k Feinheit der Zerlegung Z n und erwrtet, dss O Zn (f) U Zn (f) 0 und dmit 9.2 Def.: O Zn (f) A und U Zn (f) A. Eine beschränkte Funktion f : [, b] R heißt (Riemnn-)integrierbr, wenn für jede Folge (Z n ) n N von Zerlegungen von [, b] mit δ(z n ) 0 gilt O Zn (f) U Zn (f) 0. Der gemeinsme Grenzwert lim O Zn (f) = lim U Zn (f) heißt ds Riemnn-ntegrl von f im ntervll [, b] (oder von nch b ). f(x) dx

3 9.3 Stz: Jede uf [, b] stetige Funktion ist Riemnn-integrierbr. Beweisidee: Betrchte O Zn (f) U Zn (f) = = M i (x i x i ) m i (x i x i ) (M i m i ) (x i x i ) Nun gilt: Stetige Funktionen uf beschränkten bgeschlossenen ntervllen sind gleichmäßig stetig, d.h. ε > 0 δ > 0 : f(x) f(x ) < ε für x x < δ (es knn lso zu ε > 0 für jedes x dsselbe δ gewählt werden gleichmäßig ). st Z n hinreichend fein, nämlich δ(z n ) < δ, so folgt M i m i < ε und dher O Zn (f) U Zn (f) ε (x i x i ) = ε (x i x i ) = ε (b ). 9.4 Eigenschften: Seien f, g : [, b] R integrierbr. (i) Linerität: (f(x) + g(x)) dx = λ f(x) dx = λ f(x) dx + f(x) dx, m g(x) dx λ R (ii) Monotonie: (iii) st c [, b], so ist (iv) Mn setzt dher f g f(x) dx = c f(x) dx f(x) dx + c g(x) dx f(x) dx f(x) dx := b f(x) dx, f(x) dx := 0.

4 9.5 Def.: Huptstz der Differentil- und ntegrlrechnung Sei f : [, b] R eine Funktion. Eine diff bre Funktion F : [, b] R heißt Stmmfunktion von f, wenn gilt 9.6 Bemerkung: F = f. Stmmfunktion F von f ist nur bis uf dditive Konstnte eindeutig bestimmt, d.h. Stmmfunktionen von F sind lle Funktionen der Gestlt F + C mit C R. Sei nun f : [, b] R stetig. Dnn existiert noch 9.3 für lle x [, b] ds ntegrl f(t) dt =: F (x). Untersuche Differenzenquotient von F n einer Stelle [, b]: F (x) F ( ) = ( 0 ) f(t) dt f(t) dt x x = = x x (0 f(t) dt + f(t) dt f(t) dt x x mx 0 s [,x] min s [,x] ) f(t) dt f(s) dt = mx s [,x] f(s) f(s) dt = min s [,x] f(s) d f in stetig. Also ist F in diff br mit F ( ) = f( ), d.h. F ist Stmmfunktion von f. x f( ),

5 Wir erhlten 9.7 Huptstz: Sei f : [, b] R stetig. (i) Dnn ist F : [, b] R, gegeben durch F (x) := eine Stmmfunktion von f mit F () = 0. (ii) st F Stmmfunktion von f, so gilt f(t) dt, f(x) dx = F (b) F () zu (ii): st richtig für die spezielle Stmmfunktion us (i), denn dmit f(x) dx = F (b) = F (b) F () }{{} =0 richtig für jede Stmmfunktion F, d Konstnte C bei Differenzbildung wegfällt. 9.8 Berechnung von ntegrlen: Nch Huptstz muss mn zur Berechnung von f(x) dx eine Stmmfunktion F von f finden. Mn führt dher für die (bis uf Konstnte bestimmte) Stmmfunktion die Bezeichnung F = f(x) dx + C unbestimmtes ntegrl ein. m Gegenstz dzu heißt f(x) dx (= F (b) F ()) bestimmtes ntegrl.

6 Wir finden Stmmfunktionen durch Umkehren der Tbelle für Ableitungen: f(x) f(x) dx x α, α R, α x e x sin x cos x x α+ α + + C log x + C e x + C cos x + C sin x + C + x 2 rctn x + C x 2 rcsin x + C Weiter gilt Linerität: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + λ f(x) dx = λ f(x) dx, g(x) dx λ R 9.9 Beispiel: 2 (x 3 + 3x 2 ) dx unbestimmtes ntegrl = Stmmfunktion: F (x) = (x 3 + 3x 2 ) dx = x 3 dx (x 3 + 3x 2 ) dx = F (2) F () =: x4 4 + x3 x 2 dx = x x3 3 + C = x4 4 + x3 + C 2 = 6 ( ) = 43 4