Spannungs- und Verzerrungstensoren
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- Käte Salzmann
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1 10 Spannungs- und Verzerrungstensoren Spannungs- und Verzerrungstensoren
2 4 2 Motivation / Einführung Spannungsvektor im Stab ist abhängig von Orientierung des fiktiven Schnitts. Spannungsverteilung ist oft nicht gleichförmig, wie im Stab angenommen. Ziel: Allgemeinere Beschreibung des Spannungszustands Spannungs- und Verzerrungstensoren 1
3 2 Der Spannungsvektor Spannungsvektor in beliebigem Punkt auf Schnittfläche Eigenschaften des Spannungsvektors Aus Definition folgt die Vektoreigenschaft Interpretation: Kraft pro Fläche Zerlegung in Normalkomponente und Tangentialkomponente (Schubspannung) Ist abhängig vom betrachteten Punkt und Schnitt (Normalenvektor) Spannungs- und Verzerrungstensoren 2
4 Spannungsvektor und Spannungstensor Spannungsvektor ist abhängig vom Normalenvektor des fiktiven Schnitts (Cauchy-Postulat: dies ist eine lineare Abbildung ) Ziel: Normalenvektor-unabhängiges Spannungsmaß Spannungstensor Folgerung aus Cauchy-Postulat bzw. Der Spannungstensor ist also eine Abbildung, welche bei einem gegebenen Normalenvektor den zugehörigen Spannungsvektor herausgibt. Rechnerisch behandeln wir den Spannungstensor wie eine Matrix. Ermittlung der Koordinaten des Spannungstensors (kartesische Koordinaten): Betrachtung von drei (orthogonalen) Schnitten ( ), z.b.: Spannungs- und Verzerrungstensoren 3
5 2 Spannungstensor Vorzeichenkonvention: Positive Spannungen zeigen am positiven (negativen) Schnittufer in positive (negative) Koordinatenrichtung Erster Index: Richtung der Normalen Zweiter Index: Richtung des Spannungsvektors Anzahl der Koordinaten des Spannungstensors Drei Normalspannungen: Sechs Schubspannungen: Spannungs- und Verzerrungstensoren 4
6 Kommentar zum Tensorbegriff Ein Skalar ist ein Tensor 0. Stufe. Ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe. Aber das ist kein Vektor: Das ist ein Vektor: Einstein sche Summenkonvention: Summenzeichen bei doppelt vorkommenden Indizes oft weggelassen Ein Tensor enthält die Komponenten und die zugehörige Basis. Erst damit weiß man wie sich ein Tensor verhält, wie man verschiedene Tensoren multipliziert, usw. Die Koeffizienten eines Tensors 2. Stufe kann man sich als Matrix vorstellen. Für Orthonormalbasen (ONS) gilt die übliche Matrix- und Vektormultiplikation, z. B.: Wir werden in der Regel Orthonormalbasen annehmen und nicht explizit zwischen Tensoren und ihren Koeffizienten unterscheiden, z. B.: Spannungs- und Verzerrungstensoren 5
7 Spannungstensor Skizze mit sich ändernden Spannungen und Symmetrie Frage: Sind die Komponenten des Spannungstensors unabhängig? 2 analoges Vorgehen in 3D: der Spannungstensor ist also symmetrisch Spannungs- und Verzerrungstensoren 6
8 2 Spezialfall: ebener Spannungszustand (ESZ) Randbedingungen - Gleichgewicht Annahme: Sehr dünn ( Seitenlängen), keine Kräfte in z-richtung Scheibe sehr dünn Spannungszustand an Rändern = Spannungszustand im Inneren Später analog: ebener Verzerrungszustand für sehr dicke Scheiben Spannungs- und Verzerrungstensoren 7
9 2 Verzerrungstensor Motivation / Einführung Wiederholung: Verschiebung ist kein Maß für Deformation des Körpers Wiederholung: Verzerrung für Stab (1D) aus Längenänderung in einer Richtung Ziel: Allgemeine Beschreibung von Längenänderungen + Winkeländerungen Spannungs- und Verzerrungstensoren 8
10 2 Grundlegende Idee (in 2D) Idee: Analysiere Änderung von infinitesimal benachbarten Punkten Mit Verschiebungsvektor hat Punkt x Koordinaten in der verformten Lage und der inf. benachbarte Punkt x Inf. Änderung der Verschiebung Verzerrungsdefinition für eine Längenänderung bekannt aus der Stabdehnung, z. B. Spannungs- und Verzerrungstensoren 9
11 2 Winkeländerungen Es gibt zwei klassische Verzerrungsexperimente (sowie unzählige Kombinationen): Verzerrung aus Zug/Druck ( Längenänderung) und Verzerrung aus Scherung ( Winkeländerung) Verzerrung durch Winkeländerung (für kleine Deformationen) Approximierte Gesamtwinkeländerung Spannungs- und Verzerrungstensoren 10
12 Zusammenfassung von Längen- und Winkeländerungen zu einem Verzerrungstensor Idee: Verzerrungstensor mit (2D): Verzerrungstensor ist ein Tensor zweiter Stufe (2D bzw. ebener Verzerrungszustand) Verzerrungstensor im allgemeinen Fall (3D) Spannungs- und Verzerrungstensoren 11
13 2 Elastizitätsmodell für linear-elastische, isotrope Materialien Einaxialer Zugversuch bei homogenen, isotropen Werkstoff Beobachtung I: Stab wird bei positiver Spannung (Kraft) länger Annahme: linearer Zusammenhang (s. Stabmodell) Beobachtung II: Stab wird dünner in orthogonaler Richtung Annahme: linearer Zusammenhang (Poissonsche Zahl) Aufgrund von Isotropie gilt Analoges für Spannung in y-richtung Spannungs- und Verzerrungstensoren 12
14 Elastizitätsmodell für linear-elastische, isotrope Materialien Aufgrund der Linearität des Modells greift das Superpositionsprinzip, das heißt wir können die Einflüsse überlagern und erhalten so zusammen mit Temperatureinflüssen: Für die Scherkomponenten nehmen wir auch einen linearen Zusammenhang an, der im isotropen Fall jedoch unabhängig von der Temperatur ist: E-Modul, Schermodul, Querkontraktionszahl/Poissonzahl Spannungs- und Verzerrungstensoren 13
15 2 Elastizitätsmodell für linear-elastische, isotrope Materialien Es gibt für linear-elastische, isotrope Materialien nur zwei unabhängige, elastische Materialparameter, wie hängen die drei erwähnten zusammen? Spannungs- und Verzerrungstensoren 14
16 Zusammenfassung Der Spannungstensor ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe. Im Gegensatz zum Spannungsvektor ist er unabhängig von einer Schnittnormalen. Selbiges gilt für den Verzerrungstensor. Beide sind für ein linear-elastisches, isotropes Material verknüpft über Spannungs- und Verzerrungstensoren 15
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