114 - Drehpendel. 1. Aufgaben. 2. Grundlagen
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- Nelly Mareke Klein
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1 114 - Drehpendel 1. Aufgaben 1.1 Ermitteln Sie die Trägheitsmomente eines Drehtisches und zweier Probekörper (Stab, Scheibe) durch das Ausmessen von Torsionsschwingungen! 1.2 Bestimmen Sie das Direktionsmoment des Drehtisches mit Hilfe (a) einer dynamischen und (b) einer statischen Methode! (c) 1.3 Zusatzaufgabe (für Physik-Studenten): Überprüfen Sie die Gültigkeit des Steinerschen Satzes! 2. Grundlagen Stichworte: Dreh- oder Torsionspendel, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, Schwingungsgleichung, harmonische Schwingung, Steinerscher Satz 2.1 Das Drehpendel als schwingungsfähiges System Ein Drehpendel besteht aus einer horizontalen, drehbar gelagerten Scheibe, deren Drehachse über eine Spiralfeder mit dem Gehäuse verbunden ist. Soll das Pendel um einen bestimmten Winkel gegen seine Ruhelage verdreht werden, muss man ein Drehmoment M (z.b. durch eine tangential im Abstand r von der Drehachse angreifenden Kraft F) anlegen: Die Größe von M wird durch das rücktreibende Moment der Feder (Direktionsmoment D) bestimmt. Es gilt: (1). Wird das Pendel nach erfolgter Auslenkung losgelassen, so vollführt es Drehschwingungen, welche bei Vernachlässigung der Reibung durch die Differentialgleichung (2) beschrieben werden. ist das Massenträgheitsmoment des Drehtisches, welches durch Aufsetzen von Zusatzkörpern verändert werden kann. Die Lösungen der Differentialgleichung sind harmonische Schwingungen mit der Schwingungsdauer. 114-Drehpendel Seite 1 von 6 04/14
2 T = 2 (3) D 2.2 Massenträgheitsmomente Analog zur geradlinigen Bewegung, wo die Wirkung der Kraft F r auf einen r r Körper der Masse m zur Beschleunigung a führt F = m a, ergibt sich bei der Drehbewegung die Winkelbeschleunigung (oder &) aus der Wirkung des Drehmomentes M r auf r r 2 M. Für den Massenpunkt gilt: m r einen Körper mit dem Trägheitsmoment wobei r der Abstand von der Drehachse ist. Eine kleine Masse weit außen angebracht kann somit das gleiche besitzen wie eine große Masse in Achsennähe. Für beliebige Körper berechnet sich das Massenträgheitsmoment aus: Volumen 2 r dm (4) Daraus ergibt sich in unserem speziellen Fall: für einen langen homogenen Stab (Masse m, Länge l), Achse durch den Massenmittel-punkt: m 2 St = l 12 (5) für eine homogene Scheibe (Masse m, Radius r), Achse ist Symmetrieachse: m 2 Sch = r 2 (6) Magnetismus Wird ein Stoff einem magnetischen Feld H ausgesetzt, so wird er magnetisiert. Die resultierende magnetische nduktion B setzt sich aus der magnetischen Feldstärke H und der Magnetisierung M der Probe, die bei vielen Materialien der magnetisierenden Feldstärke proportional ist, in folgendermaßen zusammen: B = μ 0 (H + M) = μ 0 (H + χ m H) = μ 0 μ r H mit μ r = (1 + χ m ). Hierbei ist μ 0 = 4π 10-7 Vs/Am die nduktionskonstante. Die relative Permeabilität (Perme- 114-Drehpendel Seite 2 von 6 04/14
3 abilitätszahl) µ r bzw. die magnetische Suszeptibilität m charakterisieren die Stoffe hinsichtlich ihrer magnetischen Eigenschaften: µ 1, d.h. 0 für Diamagnetika (z.b. Wasser) r m µ 1, d.h. 0 für Paramagnetika (z.b. Co Cl u.a. Salze) r m 2 µ >> 1 für Ferromagnetika (s. Tabelle). r Für ferromagnetische Stoffe hängt die relative Permeabilität von der magnetischen Feldstärke ab; es ergibt sich die in Bild 1 dargestellte Abhängigkeit der magnetischen nduktion B von der magnetischen Feldstärke H. Die magnetische nduktion nimmt zunächst mit wachsender magnetischer Feldstärke zu (Kurve 1) und erreicht dann für H = H S einen Sättigungswert B S. Dieser Kurvenzug wird als Neukurve bezeichnet. Wird die magnetische Feldstärke von H S aus verringert, so nimmt die magnetische nduktion wieder ab (Kurve 2), wobei jedoch für H = 0 der Stoff einen Restmagnetismus aufweist, der durch die Remanenzinduktion B R charakterisiert ist. Erst durch eine Koerzitivfeldstärke H = H C wird diese Remanenz beseitigt (Kurve 3). Bei einer zyklischen Veränderung der magnetischen Feldstärke wird die Hysterese wiederholt durchlaufen. Bild 1: Hystereseschleife eines Ferromagneten. B S Sättigungsinduktion, B R Remanenzinduktion, H C Koerzitivfeldstärke, H S Sättigungsfeldstärke. Tabelle 1: Ferromagnetische Werkstoffe hartmagnetische Werkstoffe weichmagnetische Werkstoffe Eigenschaften - starker Dauermagnetismus - schwer magnetisierbar - schwacher Dauermagnetismus - leicht magnetisierbar 114-Drehpendel Seite 3 von 6 04/14
4 Beispiele Anwendung - Stahl H C = A/m B R = 0,6 T - hartmagnetische Legierungen (65% Fe, 15% Al, 20% Ni) H C = A/m B R = 0,6 0,7 T - keramische Werkstoffe - Dauermagnete - Lautsprecher - Fahrraddynamo - Kleinstmotoren - elektrische Messgeräte - reines Eisen H C = 2 A/m - Fe - Si - Blech H C = A/m - keramische Werkstoffe - Transformatoren - Ferrit - Antennenstäbe - Spulenkerne für Hochfrequenz - und Fernmeldetechnik Vergleich: Erdmagnetfeld: H 50 A/m, B T. 2.2 Wirkungsweise des Ferrographen Der Ferrograph wird mit Hilfe der Schaltung in Bild 2 realisiert. Bild 2: Schaltung des Ferrographen. Sp 1 und Sp 2 Spulen, R V Vorwiderstand, ESO Elektronenstrahloszilloskop, T 1 und T 2 Transformatoren. m magnetischen Wechselfeld einer Spule Sp 1 (Windungszahl N 1, Länge l) wird die zu untersuchende ferromagnetische Probe P (hier das Kernmaterial der Spule) ständig ummagnetisiert. Die momentane Magnetfeldstärke in der Spule ist dabei durch H 1 = N l (1) gegeben. Die dazu notwendige Spannung wird durch die Transformatoren T 1 und T 2 zur Verfügung gestellt. Dabei erfolgt die Regelung der Spannung an T 1 (Trennstelltrafo) während 114-Drehpendel Seite 4 von 6 04/14
5 T 2 eine zusätzliche Transformation auf entsprechend niedrige Spannungswerte bewirkt. Bei einer vorgegebenen Spannung U und bei Vernachlässigung des induktiven Widerstandes der Spule Sp 1 wird die Stromstärke durch die Größe des Vorwiderstandes R V entsprechend = U R V (2) bestimmt. Aus (1) und (2) ergibt sich H N l R 1 = V U (3), d.h. die Magnetfeldstärke H ist dem Spannungsabfall U am Widerstand R V proportional. Der Spannungsabfall U wird deshalb an die horizontalen Ablenkplatten des Elektronenstrahloszilloskops (ESO) gelegt und ist ein Maß für die magnetische Feldstärke. Der magnetische Fluss = BA (A: Probenfläche = Spulenfläche) der Probe P durchsetzt die Spule Sp 2 (Windungszahl N 2 ). n dieser wird eine Spannung gemäß induziert. d db Uind = N2 N2 A dt dt (4) Die Spannung U ind liefert die zeitliche Ableitung der magnetischen nduktion B. Um B selbst zu erhalten, benutzen wir ein RC-Glied zur zeitlichen ntegration. Die Spannung U ind führt bei Vernachlässigung des kapazitiven Widerstandes des Kondensators (R 1/ C im RC-Glied) zu der Stromstärke 2 = U ind /R. Für den Betrag der am Kondensator abfallenden Spannung U C gilt dann (siehe Literatur /1/): U 1 1 C = 2 d t = U ind d C RC t (5). Mit (4) ergibt sich aus (5) 1 d B N2 AB UC = N2 A d t = RC dt RC (6). Folglich ist der Spannungsabfall U C am Kondensator der magnetischen nduktion B proportional und wird als Messspannung an die vertikalen Platten des ESO gelegt. 3. Versuchsdurchführung 3.1 Bauen Sie den Ferrograph nach der Schaltung in Bild 2 auf. Verwenden Sie für den Vorwiderstand eine 100 / 10 -Dekade und überprüfen Sie den Einfluss von R v auf die Form der Hysterese. 114-Drehpendel Seite 5 von 6 04/14
6 Überprüfen Sie für das bereitgestellte RC-Glied, ob R? 1 C erfüllt ist! Die Hysterese wird durch geeignete Einstellung von R V und Versorgungsspannung bis in die Sättigung gefahren (vgl. Bild 1 und Hinweis am Versuchsplatz), mit Hilfe der X- und Y-Verstärkung am ESO auf ein geeignetes Format gebracht und dann abgezeichnet. Zur Messung der Achsenschnittpunkte (U x, U y, H C, B R ) kann das Bild noch weiter vergrößert werden. Dabei arbeitet man mit geeichten Oszi-Einstellungen (rote Feinregler am Rechtsanschlag!). Erstellen Sie für hr Protokoll eine graphische Darstellung der Hysteresekurven (B in Abhängigkeit von H) für den Eisenkern und den Ferritkern. 3.2 Nehmen Sie die Neukurve auf! Dies erfolgt durch schrittweise Erhöhung der Spannung an T 1 beginnend bei U = 0. Sie ist identisch mit dem Weg, den dabei die Spitze der Hysterese zurücklegt. 3.3 Ermitteln Sie aus der Neukurve die Größe von µ r (in Abhängigkeit von H)! Hinweis: Die technischen Daten der verwendeten Spulen und Bauelemente entnehmen Sie bitte den Hinweisen am Versuchsplatz. Literatur : siehe Drehpendel Seite 6 von 6 04/14
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