Aufgabe 3. Sei A eine Menge von Zahlen und neg das Tripel. neg = (A, A, R) A = N A = Z A = R A = R \ {0} mod : N 0 N N 0

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1 Funktionen Aufgabe 1. Finden Sie 3 Beispiele von Funktionen und 3 Beispiele von partiellen Funktionen, die nicht total sind. Es sollten auch mehrstellige Funktionen darunter sein. Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für jede Funktion f A B die Relation R = {x, y x, y A, fx = fy} reflexiv auf A, symmetrisch und transitiv ist. Wenn der allgemeine Beweis zu schwierig ist, untersuchen Sie ein paar Beispiele für konkrete Mengen A und Funktionen f. Aufgabe 3. Sei A eine Menge von Zahlen und neg das Tripel mit neg = A, A, R R = {x, y x A, y A, x + y = 0}. Für welche der nachfolgenden Mengen A ist neg eine partielle Funktion, für welche eine totale Funktion? Begründen Sie Ihre Antwort und berechnen Sie negx für ein paar Beispiele x A. Aufgabe 4. Die Funktion A = N A = Z A = R A = R \ {0} ist definiert durch mod : N 0 N N 0 x mod y = der Rest bei der ganzzahligen Division von x durch y. Also z.b. 10 mod 3 = 1 5 mod 7 = 5 da 10 geteilt durch 3 gleich 3 Rest 1 ist bzw. 5 geteilt durch 7 gleich 0 Rest 5 ist. Berechnen Sie 4 mod 3, 8 mod 4, 4 mod 8, 5 mod 1. Zeigen Sie, dass für alle x, y N 0 gilt x 3 y genau dann wenn x mod 3 = y mod 3. Definieren Sie 5 verschiedene Erweiterungen von mod. 1

2 Aufgabe 5. Die Menge Z 3 ist definiert als Z 3 = {0, 1, 2}. Weiterhin sind die Funktionen 3 Z 3 Z 3 Z 3 und 3 Z 3 Z 3 Z 3 definiert durch Berechnen Sie x 3 y = x + y mod 3 x 3 y = xy mod , 0 3 2, 2 3 2, Zeigen Sie an ein paar Beispielen, dass für alle x, y, z N 0 gilt xx + yy + z mod 3 = x 3 x 3 y 3 y 3 z wobei x = x mod 3, y = y mod 3 und z = z mod 3. Untersuchen Sie anhand von Beispielen, ob dieser Zusammenhang auch allgemein für andere arithmetische Ausdrücke gilt. Aufgabe 6. Das Tripel neg 3 = Z 3, Z 3, R ist definiert durch R = {x, y x Z 3, y Z 3, x 3 y = 0}. Zeigen Sie, dass neg 3 eine Funktion ist und berechnen Sie neg 3 0, neg 3 1, neg 3 2. Hinweis neg 3 1 = 2, da = mod 3 = 0. Analog zu Z 3 kann man auch Z 4 definieren als Z 4 = {0, 1, 2, 3} und 4, 4 Z 4 Z 4 Z 4 durch Ist neg 4 = Z 4, Z 4, R mit auch eine Funktion? x 4 y = x + y mod 4 x 4 y = xy mod 4. R = {x, y x Z 4, y Z 4, x 4 y = 0}. Aufgabe 7. Das Tripel inv 3 = Z 3 \ {0}, Z 3, R ist definiert durch R = {x, y x Z 3 \ {0}, y Z 3, x 3 y = 1}. Zeigen Sie, dass inv 3 eine Funktion ist und berechnen Sie inv 3 1, inv

3 Ist inv 4 = Z 4 \ {0}, Z 4, R mit R = {x, y x Z 4 \ {0}, y Z 4, x 4 y = 1}. auch eine Funktion? Hinweis: = = = = 2 also existiert zu 2 Z 4 kein y Z 4 so dass 2 4 y = 1, bzw. 2, y R, folglich... Ist inv 4 wenigstens eine partielle Funktion? Aufgabe 8. Wieviele Elemente hat die Menge {0, 1} {0, 1, 2}? Stellen Sie ein Element dieser Menge als Tripel A, B, R dar. Aufgabe 9. Wieviele Elemente hat die Menge {0, 1} {0, 1} {0, 1}? Hinweis: Achten Sie auf die Klammern, es handelt sich hier nicht um eine Menge von Funktionen. Aufgabe 10. Ist das Tripel f = {1, 2, 3}, {4, 5}, {1, 4, 2, 4, 3, 4} eine Funktion? Geben Sie eine kurze Begründung. Aufgabe 11. Finden Sie eine Relation R so dass das Tripel {1, 5}, {2, 3, 4}, R eine injektive Funktion ist. Ist diese Funktion auch surjektiv? Aufgabe 12. Gibt es eine Relation R so dass {1, 2}, {3}, R eine Funktion ist? Falls ja nennen Sie eine solche Relation, falls nein geben Sie eine kurze Begründung. Nennen Sie alle Relationen R so dass {1}, {2, 3}, R eine Funktion ist. 3

4 Aufgabe 13. Handelt es sich bei dem Tripel N, Z, {x, 0 x N} um eine Funktion? Geben Sie einen Satz Begründung. Aufgabe 14. Sei f = R, R, R R = {a, b a, b R a 2 + b 2 = 2}. Handelt es sich bei f um eine Funktion bzw. eine partielle Funktion? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 15. Für jede Relation R ist die Umkehrrelation R 1 definiert durch R 1 = {a, b bra}. Finden Sie eine Menge A und eine Relation R so dass A, A, R und A, A, R 1 Funktionen sind A, A, R eine Funktion ist, aber A, A, R 1 keine Funktion ist. Aufgabe 16. Sei f = N N, N, R R = {a 1, a 2, b a 1, a 2, b N, a 1 + a 2 = b} Ist f eine Funktion? Wie sieht s mit f = N, N N, R R = {a, b 1, b 2 a, b 1, b 2 N, b 1 + b 2 = a} aus? Beweisen Sie Ihre Antwort ausführlich. Aufgabe 17. Sei A eine Menge und f = A, A,. Handelt es sich bei f um eine partielle Funktion? Beweisen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 18. Zu jeder Funktion gibt es eindeutige Funktionen f A B n f i A B, i = 1, 2,..., n 4

5 so dass fx = f 1 x, f 2 x,..., f n x für alle x A. Die Funktionen f i heißen Komponenten von f. Die Zerlegung einer Funktion f in ihre Komponenten wird z.b. in der Simulation gebraucht. Beschreibt f R R 3 den Geschwindigkeitsvektor eines Körpers zum Zeitpunkt t in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, so sind f 1 t, f 2 t und f 3 t seine Geschwindigkeitskomponenten zum Zeitpunkt t in Richtung der Koordinatenachsen. Analog kann man auch mit Position und Beschleunigung verfahren, d.h. man kann eine dreidimensionale Simulation auf drei eindimensionale Simulationen reduzieren. Sei nun f = A, B n, R für eine gegebene Relation R. Definieren Sie die Relationen R i der Komponenten f i von f so dass f i = A, B, R i, i = 1, 2,..., n. Sie dürfen in der Definition natürlich f oder R verwenden. Hinweis: In der Definition treten auch die Projektionsfunktionen π i auf. Aufgabe 19. Berechnen Sie die Menge N N 0 N N. Aufgabe 20. Beweisen Sie ausführlich, dass es für alle a, c N höchstens ein b N gibt so dass a + b = c. Formulieren Sie die Aussage zuerst in der Sprache der Prädikatenlogik und machen Sie deutlich an welcher Stelle im Beweis Sie die Symmetrie und die Transitivität der Gleichheitsrelation benutzen. Versuchen Sie analog zu beweisen, dass es für alle a, c Q höchstens ein b Q gibt so dass ab = c. Diese Aussage ist übrigens falsch an welcher Stelle scheitert der Beweis? Aufgabe 21. Definieren Sie eine Relation R, so dass f = P N, P N 2, R eine Funktion ist. Berechnen Sie dann f{2, 5} und f. Aufgabe 22. Sei f = N 2, N, R mit R = {x, y, z x, y, z N xy = xz}. 5

6 Beweisen Sie ausführlich, dass f eine Funktion ist. Wäre auch eine Funktion? f = Z 2, Z, R mit R = {x, y, z x, y, z Z xy = xz} Aufgabe 23. Nennen Sie jeweils ein Beispiel für eine Funktion f N N für das die Formel x, y N fx = fy x = y wahr bzw. falsch ist. Aufgabe 24. Geben Sie einen ausführlichen Beweis oder finden Sie ein Gegenbeispiel für die folgende Aussage: Für alle Mengen A, B, alle Funktionen f A B und alle symmetrischen Relationen R A A A ist die Relation R B = {fx, fy x, y R A } symmetrisch. Aufgabe 25. Sei R = {f, g f, g N N, f1 + g2 = 42} eine Relation auf N N. Prüfen Sie ob R reflexiv auf N N, symmetrisch bzw. transitiv ist und geben Sie für jede Eigenschaft eine kurze Begründung eine Zeile oder ein Gegenbeispiel. Aufgabe 26. In relationalen Datenbanken wird oft mit Tabellen gearbeitet, z.b. Typ Kennzeichen Farbe Baujahr Ford HN-DA-8190 rot 1995 VW S-KR-7618 blau 2001 Fiat MOS-RT-1783 grün 2003 Dass eine solche Tabelle tatsächlich eine Relation ist, erkennt man wenn man die beteiligten Mengen identifiziert: Typ = {Ford, VW, Fiat,...} Kennzeichen = {HN-DA-8190, S-KR-7618, MOS-RT-1783,...} Farbe = {rot, blau, grün,...} Baujahr = N. Die oben als Tabelle dargestellte Relation ist dann die Menge der Quadrupel R = { Ford, HN-DA-8190, rot, 1995, VW, S-KR-7618, blau, 2001, Fiat, MOS-RT-1783, grün, 2003 } 6

7 Somit gilt R Typ Kennzeichen Farbe Baujahr. Es gibt natürlich mehrere Autos des selben Herstellers, mehrere mit der selben Farbe und auch mehrere mit dem selben Baujahr. Andererseits gibt es aber zu gegebenem Kennzeichen höchstens ein Auto mit diesem Kennzeichen. Das Attribut Kennzeichen wird daher auch Schlüssel der Tabelle genannt. Formulieren Sie in der Sprache der Logik, dass das Attribut Kennzeichen Schlüssel der Relation R ist. Aufgabe 27. Sei R = {f, g f, g N N f1 = g2} eine Relation auf Funktionen von N nach N. Definieren Sie zwei Funktionen f, g so dass f, g R. Entscheiden Sie, welche der folgenden Eigenschaften R besitzt: reflexiv auf N N symmetrisch transitiv. Eine Begründung ist nicht erforderlich, eine falsche Antwort gibt aber Punktabzug. Aufgabe 28. Sei R = {A, B A, B N x N x A x + 1 B}. Sei A = {1, 2, 3}. Berechnen Sie eine Menge B so dass A, B R. Formulieren Sie in der Sprache der Prädikatenlogik: Für alle X existiert höchstens ein Y so dass X, Y R. Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass diese Aussage für die vorliegende Relation falsch ist. Finden Sie Mengen X, Y so dass f = X, Y, R 1 eine Funktion ist. Berechnen Sie dann f, f{1}, f{1, 2} und fn. Aufgabe 29. Seien A und B endliche Mengen. Wieviele Elemente hat dann die Menge A B in Abhängigkeit von A und B? Überlegen Sie sich zunächst ein paar einfache Beispiele. Sei C ebenfalls eine endliche Menge. Wie viele Elemente hat dann und wieviele hat A B C A B C? Sind die beiden Mengen gleich groß? 7

8 Aufgabe 30. Entscheiden Sie von jeder der folgenden Mengen ob sie endlich oder unendlich ist. Falls die Menge endlich ist, geben Sie an wieviele Elemente sie hat. Nennen Sie zu jeder Menge ein Element als Beispiel. N {1} {1} N {1} {1} 8