Physikalisches Praktikum

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1 Physikalisches Praktikum Versuchsbericht M13 Schwingende Saite Dozent: Prof. Dr. Hans-Ilja Rückmann http: // www. praktikum. physik. uni-bremen. de Betreuer: Yannik Schädler Mario Alfredo Gollub (Matrikelnr.: ) Nick Neugebauer (Matrikelnr.: ) Wintersemester 2012/2013 Versuchsdurchführung: Inhaltsverzeichnis 1 Zielstellung 2 2 Theoretischer Hintergrund 2 3 Versuchsdurchführung 2 4 Ergebnisse und Diskussion 4 5 Zusammenfassung 7 6 Anhang 8 1

2 1 Zielstellung In diesem Versuch wird das Konzept der stehenden Wellen anhand eines fest eingespannten Drahtes untersucht. Der Draht wird bei unterschiedlichen Zugspannungen gehalten, um die dabei existierenden stehenden Wellen die Harmonischen mit einem Frequenz- Generator und einem Oszilloskop aufzuspüren. 2 Theoretischer Hintergrund Wenn ein Draht unter einer Zugspannung stehend an beiden Enden fest eingespannt wird und dieser danach in Schwingung versetzt wird, stellt sich heraus, dass bei gleichen räumlichen Geometrien, gleicher Zugspanung und gleichem Material immer wieder die gleichen Schwingungsfrequenzen gefunden werden. Diese Frequenzen f sind stabil und werden als die Eigenfrequenzen bezeichnet. Wegen ihrer musikalischen Bedeutung werden diese Frequenzen auch die Harmonischen genannt. Die Eigenfrequenzen f i sind Vielfache der Grundfrequenz f 1 und sie lassen sich über folgende Formel berechnen: f n = n F Zugspannung (1) 2L ρ Draht A Querschnitt mit n = 1, 2, 3,... Zur Berechnung der Lorentzkraft F Lorentz nutzen wir den Zusammenhang: F Lorentz = qvb (2) F Lorentz s = qvb s = NevB s = NeB t = I B (3) F Lorentz = sib (4) 3 Versuchsdurchführung Versuchsaufbau kennen lernen Bei einer Zugspannung von F = 10 N und einem elektrischen Strom von 0,5 A werden die ersten sechs Harmonischen experimentell ermittelt. Hierbei wird das Oszilloskop für die Suche der Frequenzen heran gezogen. Die gefundenen sechs Eigenfrequenzen werden in einer Grafik aufgetragen. 2

3 Abbildung 1: Versuchsaubau M13 Vergleich zwischen Experiment und Theorie Der im vorangehenden Versuchsteil experimentell ermittelte Grundton f 1 wird mit dem theoretisch ermittelten Wert verglichen. In die Diskussion sollen die Messunsicherheiten bewußt einfließen. Lorentzkraft ermitteln Ein Stark-Magnet aus Neodym-Eisen-Bor wurde in Versuchsteil 1 benutzt. Hier werden wir die Lorentzkraft berechnen, mit welcher die Elektronen orthogonal zur Bewegungsrichtung abgelenkt werden. Grundfrequenz bei verschiedenen Zugspannungen Von 2 bis 24 Newton Zugspannung wird die 1. Harmonische experimentell ermittelt. Grafik zu den verschiedenen Zugspannungen Die aus Versuchsteil 4 ermittelten Grundschwingungen werden grafisch anschaulich dargestellt. 3

4 Höhere resonante Schwingung erkennen Es wurde eine Schwebung knapp über 1 khz eingestellt. Mithilfe der Lissajous-Figuren wurden die Knotenpunkte der stehenden Welle ermittelt und an den Abständen der Knoten auf die Gesamtzahl der Knoten geschlossen, wodurch heraus gefunden wurde, die wievielte Harmonische vorlag. 4 Ergebnisse und Diskussion Versuchsaufbau kennen lernen In der folgenden Abbildung 2 sind die ersten sechs Eigenfrequenzen der Saite grafisch aufgetragen. Abbildung 2: Die ersten sechs Harmonischen bei 10 N und 90 cm Saitenlänge Um die Eigenfrequenzen f i schnell zu finden, wurde die Darstellung des Bildschirmes am Oszilloskop in die XY-Stellung gebracht. In diesem Fall sehen wir eine Lissajous- Figur. Wenn wir eine Schwebung gefunden haben, bildet die Lissajous-Figur im Idealfall einen Kreis auf dem Bildschirm ab. Bei Darstellung der Frequenzen am Oszilloskop in (X-T)- und (Y-T)-Stellung, sind die beiden Frequenzen bei einer Schwebung in gleicher Wellenlänge vorzufinden. Diese Darstellung ist für das menschliche Auge aber nicht gut geeignet, um Eigenfrequenzen zu finden. Im Anhang sind zwei Bilder des Speicher-Oszilloskops einzusehen; eines davon in X-T/Y-T-Darstellung und eines in X-Y-Darstellung mit Lissajous-Figur. Die Messwerte stellen einen gut erkennenbaren linearen Zusammenhang zwischen den Harmonischen und deren Frequenzen dar. Der angenommene Fehler (die Messunsicherheit) ist in der Grafik kaum erkennbar, da der obere 4

5 und der untere Fehlerbalken mit dem Balken des Funktionswertes zu nah beieinander liegen. Messunsicherheiten Durchmesser der Saite: (3, 6 ± 0, 5) 10 4 m Länge der Saite: (9 ± 0, 02) 10 1 m Zugspannung: (10 ± 1) N f 1 /s 1 f 2 /s 1 f 3 /s 1 f 4 /s 1 f 5 /s 1 f 6 /s 1 0, 32 0, 64 0, 96 1, 28 1, 60 1, 92 Tabelle 1: Messunsicherheiten Für die Berechnungen siehe Fehlerrechnung im Anhang. Vergleich zwischen Experiment und Theorie f 1 / Hz f 2 / Hz f 3 / Hz f 4 / Hz f 5 / Hz f 6 / Hz Theorie 59, , , , , , 20 Experiment 59, , , , , , 10 Tabelle 2: Vergleich von theoretischen und experimentell ermittelten Frequenzen Die Berechnung der theoretischen Werte ist der Formel 7 aus dem Anhang zu entnehmen. Die Fehlerrechnung ist dem Anhang (siehe Fehlerrechnung) zu entnehmen. Die Messunsicherheiten sind auf dieser Seite oben tabellarisch aufgeführt. Dass es zu größeren Abweichungen bei den experimentell ermittelten Messungen gekommen ist, kann auf verschiedene Faktoren zurückgeführt werden. Neben der mangelnden Experimentier- Erfahrung der Teilnehmer, ist vor allem zu erwähnen, dass die Metall-Saite des Versuchsaufbaus an einer Stelle stark geknickt war, und zum Anderen die Abnahme der Frequenz über ein Mikrofon ein ungenaues Signal übermittelt hat. Lorentzkraft ermitteln F Lorentz = sib = 0, 02m 0, 49A 0, 25T = 2, N (5) Grundfrequenz bei verschiedenen Zugspannungen Dies sind die Messergebnisse 5

6 Kraft / N ( N = +/- 0,2) Frequenz / Hz ( f = +/- 1,0) 2 27, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70 Tabelle 3: Von der Zugspannung abhängige Frequenz 6

7 Grafik zu den verschiedenen Zugspannungen Bei verschiedenen Zugspannungen wurde die Grundfreuquenz ermittelt und grafisch aufgetragen. Abbildung 3: Grundfrequenz bei veränderter Zugspannung Höhere resonante Schwingung erkennen Bei einer Stromstärke von 0,7 A und einer Zugspannung von F = 10 N wurde bei Hz eine Schwebung gefunden. 17 Knoten waren über die 90 cm lange Strecke der Saite verteilt. Daher war es die 18. Harmonische. Der theoretische Wert der 18. Harmonischen müsste nach unserer Rechnung 18 59, 7 1 bei 1074,6 Hz liegen. s 5 Zusammenfassung Die Messungen haben ergeben, dass ein linearer Zusammenhang zwischen der Frequenz und den Harmonischen existiert und dass mit erhöhter Zugspannung die Abstände der Frequenzen zwischen den Harmonischen kleiner werden. Die Ungenauigkeiten der Messungen werden a) auf Veränderungen der Drahtgeometrie (Teile der Saite waren geknickt), b) auf Störung der Frequenzaufnahme am Mikrofon (durch die Umgebung) und c) auf die zeitlich ungenaue Druckerzeugung des Klebeschildes (an der Saite vor dem Mikrofon) zurückgeführt. 7

8 6 Anhang Fehlerrechnung Die ersten 6 Harmonischen bei einer Zugspannung von 10 N f 1 = d dl f 1 L + d f 1 df Zug F Zug + d da f 1 A F 1 = ρa 2 ( 1) 1 L 2 L + (2L) 1 (ρa) F 1 2 Zug F Zug + (2L) 1 F 1 2 Zug ρ( )(ρa) 2 A = 2, m s }{{} L +0, N s }{{} F =2 mm = 4, s + 0, 321 s + 19, s =1 N +0, m 2 s A }{{} 19, m 2 = 0, 32 1 s Die folgenden fünf Harmonischen haben nach Formel 1 einen Faktor n. Dieser vergrößert ebenfalls den Fehler. Somit ergibt sich für den Fehler der folgenden fünf Harmonischen: f 2 = 2 f 1 = 0, 64 1 s f 3 = 3 f 1 = 0, 96 1 s f 4 = 4 f 1 = 1, 28 1 s f 5 = 5 f 1 = 1, 60 1 s f 6 = 6 f 1 = 1, 92 1 s Berechnung der theoretischen Frequenzen Die Berechnung der Frequenzen aus den Formeln: f n = n 1, 8 m 10 m kg s 2 8, kg m 3 3, m 2 π = n 1, 8 m 1, m s =n 59, 7 1 s (6) (7) 8

9 In der folgenden Abbildung ist beispielhaft ein Bild des Speicher-Oszilloskops zu sehen, bei welchem die vom Mikrofons und vom Frequenzgenerators abgenommene Schwingung zu sehen ist: Abbildung 4: Bild aus dem Speicher-Oszilloskop; Schwingungungen am Mikrofon und am Frequenz-Generator In der folgenden Abbildung ist eine aufgezeichnete Lissajous-Figur zu sehen: Abbildung 5: Bild aus dem Speicher-Oszilloskop; Lissajous-Figur 9

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