Deterministisches Chaos

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2 Institut für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg im Breisgau 26. Juni 2012 I

3 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort zum Versuch 1 2 Ziel des Versuchs 1 3 Aufgabenstellung 2 4 Aufgaben zur Vorbereitung 2 5 Versuchsdurchführung 3 6 Geräteliste 4 7 Literatur 5 II

4 1 Vorwort zum Versuch Im Jahr 1889 wurde zum 60. Geburtstags von Oskar XI, König von Norwegen und Schweden, ein mathematischer Wettbewerb veranstaltet, in dem zu beweisen war, dass das Sonnensystem ein stabiles System darstellt, das heißt, dass die Planeten sich stets um die Sonne, und die Monde immer um ihre Planeten drehen. Der Preis ging an Henri Poincaré. Er bewies, dass das Sonnensystem nicht stabil ist und dass es keine allgemeine analytische Lösung des Drei-Körper-Problems (Sonne, Erde, Mond) gibt. Er zeigt mit einer neuartigen Methode (geometrische Modelle, Phasenraum), dass es Anfangsbedingungen gibt, bei der sich die zukünftige Entwicklung des System nicht genau vorhersagen lässt. Eine kleine Ursache, die uns entgehen mag, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht ignorieren können und wir sagen dann, dass dieser Effekt auf Zufall beruht. (Poincaré, Wissenschaft und Methode, 1903). Dies ist ein typischen Merkmal für chaotische Systeme, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen führen zu einer vollkommen unterschiedlichen zeidichen Entwicklung. 2 Ziel des Versuchs Der Versuch dient dazu einen ersten Einblick in die Welt des deterministischen Chaos zu schaffen. An einem nicht-linearen Schwingkreis wird der Weg ins Chaos und chaotisches Verhalten untersucht und universelle Prinzipien, wie die Beschreibung chaotischer Systeme durch einfache Abbildungsvorschriften, veranschaulicht. 1

5 3 Aufgabenstellung 1. Messung am linearen Schwingkreis Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am Kondensator in Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Bestimmen Sie durch einen Fit an die Daten den Widerstand, die Induktivität und die Kapazität der Schaltung und vergleichen Sie diese mit den auf den Bauteilen aufgedruckten Werten. Diskutieren Sie das Ergebnis. 2. Messungen an verschiedenen nicht linearen Schwingkreisen (a) Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls an der Diode in Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Achten sie darauf, dass die Amplitude der treibenden Spannung klein ist, damit keine Bifurkationen auftreten. Vergleichen Sie mit dem linearen Schwingkreis. (b) Beobachten Sie den sogenannten Weg ins Chaos und erzeugen Sie durch Variation der Amplitude der treibenden Spannung Bifurkationen beziehungsweise Periodenverdopplungen. Nutzen Sie dabei verschiedene Darstellungsmöglichkeiten mit dem Oszilloskop, z.b. x-y-darstellung, mit der treibenden Spannung als x und dem Spannungsabfall an der Diode als y. Bestimmen Sie die ersten Folgenglieder a n und d n, die gegen die Feigenbaumkonstanten α und Θ konvergieren (c) Bestimmen Sie die erste Wiederkehrabbildung für mindestens zwei System und vergleichen Sie mit der logistischen Abbildung. Welche Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede gibt es? (d) Bestimmen Sie die erste Wiederkehrabbildung für mindestens zwei System und vergleichen Sie mit der logistischen Abbildung. Welche Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede gibt es? 4 Aufgaben zur Vorbereitung ˆ Berechnen Sie die Fitfunktion für Aufgabenteil 1 ˆ Wie groß ist eine Abschwächung um 40 db? ˆ Machen Sie sich mit den Eigenschaften der logistischen Abbildung vertraut. Insbesondere mit den Begriffen: Kontrollparameter, Bifurkation, Weg ins Chaos, Chaos, Fenster im Chaos, Feigenbaumkonstanten. ˆ Stellen Sie die Differentialgleichung für den nicht-linearen Schwingkreis auf. ˆ Was ist bei diesem Experiment der Kontrollparameter? ˆ Warum werden bei diesem Experiment die Bifurkationen auch Periodenverdopplung genannt? ˆ Wie sieht die erste Wiederkehrabbildung für einen linearen Serienschwingkreis aus? 2

6 5 Versuchsdurchführung 1. Bauen Sie mit Hilfe des Steckbrettes einen linearen Serienschwingkreis wie in Abbildung 1 auf. Greifen Sie die Spannung am Kondensator ab und machen Sie diese am Oszilloskop sichtbar. Die Spannung wird zwischen Spule und Kondensator abgegriffen und die Masse des Tastkopfs wird zwischen Kondensator und Sinusgenerator angeschlossen. Legen Sie auf den zweiten Kanal die treibende Spannung. Variieren Sie die Frequenz der treibenden Spannung und tragen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am Kondensator gegen die Frequenz der treibenden Spannung auf. Sie können das Oszilloskop mit einem PC auslesen und so Frequenz und Amplitude genauer wie durch Ablesen am Oszilloskop schirm bestimmen. Achten Sie darauf, dass sich das Oszilloskop im Speichermodus (Storage) befindet. Beispielsweise mit Hilfe des Programms Origin kann die von Ihnen zu berechnende theoretische Kurve an die Daten gefittet werden. Abbildung 1: Der lineare Schwingkreis 2. Benutzen Sie für den Aufbau des nicht-linearen Schwingkreises das blaue Spulensteckbrett. Speziell gewickelte Spulen mit einer geringen Kapazität sind fest an das Steckbrett montiert und können über einen Drehknopf ausgewählt werden. Am Ausgang des Frequenzgenerators befinden sich Druckknöpfe zur Abschwächung des Ausgangssignals. Verwenden Sie die größtmögliche Abschwächung, um sicherzustellen, dass während dieser Messreihe keine Bifurkationen auftreten. Wiederholen Sie die Messung von Aufgabenteil 1. Abbildung 2: Der nichtlineare Schwingkreis Stellen Sie die Frequenz der treibenden Spannung auf die Resonanz des Schwingkreises ein. Erhöhen Sie nun die Amplitude der treibenden Spannung und protokollieren Sie Ihre Beobachtungen. Berechnen Sie daraus die ersten Glieder der Folgen, die gegen die Feigenbaumkonstanten konvergieren. Nutzen Sie zum bestimmen der Bifurkationspunkte die x-y Darstellung des Oszilloskops mit der treibenden Spannung auf der einen und dem Spannungsabfall an der Diode auf der anderen Achse. Wie kommt die charakteristische Form zustande? Stellen Sie zur Bestimmung der ersten Wiederkehrabbildung das Oszilloskop auf Zeitablenkung. Die Amplitude der treibenden Spannung wird so groß gewählt, dass das System chaotisches Verhalten 3

7 zeigt. Die erste Wiederkehrabbildung wird folgendermaßen konstruiert: Die Spannungsamplitude U n des n-ten Peaks wird mit der Auslese-/Auswertungssoftware bestimmt. Tragen Sie anschließend U n+1 gegen U n in ein Diagramm auf. Nehmen Sie etwa 60 Punkte auf. Es wurde von Feigenbaum gezeigt, dass bei allen Abbildungen X n+1 = f(x n ), die nur ein einziges Maximum besitzen, die sogenannte Feigenbaumroute ins Chaos auftritt. Die Feigenbaumkonstanten α und δ hängen nur von der Ordnung des Maximums ab. Siehe auch Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations, J. Stat. Phys. 19,25 (1978). Zur Aufnahme des Amplitudenbifurkationsdiagramms modulieren Sie die Amplitude der Ausgangsspannung des Sinusgenerators mit einer Dreieckspannung, deren Frequenz klein gegen die Frequenz der Sinusspannung ist. Diese Dreiecksspannung kann am Ausgang AUX des Sinusgenerators abgegriffen werden. Legen Sie die Dreiecksspannung auf Kanal 1 des Oszilloskops. Triggern Sie auf den Sägezahn. Legen Sie auf Kanal 2 den Spannungsabfall an der Diode und wechseln Sie in die x-y Darstellung. Sie können auf dem Schirm das Bifurkationsdiagramm des Schwingkreises sehen. Achten Sie darauf, dass Sie den Analog-Modus des Oszilloskops arbeiten und nicht im Speicherbetrieb (Storage). Nehmen Sie das Diagramm auf. Untersuchen Sie Hysterese-Effekte, also ob sich der Weg ins Chaos ändert, wenn Sie die Dreieckspannung für die Amplitudenmodulation positiv oder negativ durchfahren. Verbiegen Sie auch die Kabel, mit denen die Diode mit dem Steckbrett verbunden ist und protokollieren Sie Ihre Beobachtungen. 6 Geräteliste ˆ Elektrometer: Keithley 602 ˆ Frequenzgenerator: Wavetec Model 193 ˆ Hochpass: Eigenbau (M688) ˆ Zähler: Dietechnik Typ 102 4

8 7 Literatur Staatsexamensarbeiten ˆ Kastner, R.: Demonstrationsversuch zum Deterministischen Chaos, Zulassungsarbeit, Universität Freiburg, 1986 Wissenschaftliche Arbeiten ˆ van Buskirk, R.; Jeffries, C.: Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators, Dep. of Phys, University of California, Berkeley, 1984 ˆ Lauterborn, W.; Meyer-Ilse, W.: Chaos, Physik in unserer Zeit, 17 / Jahrg / Nr.6 ˆ Feigenbaum, M.J.: Universal Behavior in Nonlinear Systems, Los Alamos Science , 1980 Weiterführende Literatur ˆ Schuster, H.G.: : Eine Einführung, VCH Verlagsgesellschaft Weinheim, 1994 ˆ Scheck, F.: Theoretische Physik 1: Mechanik, Kapitel 6: Stabilität und Chaos, Springer, Berlin, 7.Aufl.,

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