Stochastik Musterlösung 4

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1 ETH Zürich HS 218 RW, D-MATL, D-MAVT Prof. Marloes H. Maathuis Koordinator Dr. Marvin S. Müller Stochastik Musterlösung 4 1. Die Zufallsvariable, die die Anzahl eingehender Telefonanrufe in einer Telefonzentrale innerhalb von 1 Minuten beschreibt, nennen wir X. Sie folge einer Poissonverteilung mit Erwartungswert λ = 2, d.h. X P ois(λ). a) Die (sehr kleine) Telefonzentrale ist überlastet, wenn es in einer bestimmten 1-Minuten-Periode mehr als drei Telefonanrufe gibt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in einer bestimmten 1-Minuten-Periode überlastet ist? b) Wir nehmen an, dass die Anzahl Anrufe in einer 1-Minuten-Periode von der Anzahl Anrufe in einer anderen 1-Minuten-Periode unabhängig ist. Die Zufallsvariable, welche die Anzahl Anrufe in einer Stunde beschreibt, bezeichnen wir mit Y. Welcher Verteilung folgt Y? a) Mit der Formel für Komplementärereignisse erhalten wir P (X > 3) = 1 P (X 3) = b) Die Anzahl Anrufe in einer Stunde lässt sich beschreiben als sechsmal die Anzahl Anrufe in zehn Minuten, da wir zwischen 1-Minuten-Perioden nicht unterscheiden (gleiche Verteilung). Die Anzahl Anrufe in diesen sechs 1- Minuten-Periode sind zudem laut Annahmen Poisson-verteilt und unabhängig. Da die Summe von unabhängigen Poisson-verteilten Zufallsvariablen wieder Poisson-verteilt ist mit der Summe der einzelnen Parameter, haben wir Y Poisson( λ) = Poisson(12). 2. Es wird so lange mit einem fairen Würfel gewürfelt, bis jede der Zahlen 1,..., mindestens einmal erschienen ist. a) Sei X i die Anzahl Würfe bis die i-te verschiedene Zahl, i = 1,..., geworfen ist. Begründe, dass X 1 = 1. b) Sei Y i = X i X i 1, i = 2,...,. Beschreibe Y i in Wörter. Was ist die Verteilung von Y i? Bitte wenden!

2 c) Wie gross ist der Erwartungswert der Anzahl der benötigten Würfe bis jede der Zahlen 1,..., mindestens einmal erschienen ist? a) X 1 ist die Anzahl Würfe bis die erste (verschiedene) Zahl gewürfelt wird. Das wird immer beim ersten Wurf passieren, somit ist X 1 = 1. b) Für i = 2,..., beschreibt Y i := X i X i 1 die Anzahl der Würfe, welche es nach dem Erscheinen der (i 1)-ten verschiedenen Zahl braucht, bis die i-te Zahl erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Erscheinen der (i 1)-ten verschiedenen Zahl die i-te verschiedene Zahl erscheint, ist gegeben durch p i := ( (i 1))/, das heisst P [Y i = 1] = p i. So folgern wir P [Y i = 2] = (1 p i )p i, P [X i = 3] = (1 p i ) 2 p i und so weiter. Die Y i -s sind daher geometrisch verteilt mit Erfolgsparameter p i. c) Wir wissen dass die Erwartung von einer geometrisch verteilten Zufallsvariable mit Erfolgsparamter p ist 1/p, und somit E[Y i ] = 1/p i. Wegen der Linearität des Erwartungswertes gilt daher E[X ] = E[X 1 ] + E[Y 2 ] E[Y ] = = In der Stadt Zürich gibt es bekanntlich viele Baustellen. Die Dauer X der Arbeiten bei einer Baustelle liege zwischen und 2 Wochen. Die Dichte f(x) habe die folgende Form. { c c x falls x [, 2] 2 f(x) = sonst. a) Was ist c und warum? b) Berechne die kumulative Verteilungsfunktion und skizziere diese. c) Bestimme mittels der kumulativen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit, dass die Bauzeit X (i) maximal 5 Wochen beträgt, (ii) zwischen 5 und 1 Wochen beträgt. d) Berechne den Erwartungswert, den Median und die Standardabweichung der Dauer X. e) Welche Dauer wird nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% überschritten? f) K = 4 X entspreche dem Betrag in Franken, den die Arbeiten bei einer Baustelle kosten. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeiten bei einer Baustelle höchstens 12 Franken kosten? Siehe nächstes Blatt!

3 a) Damit f(x) eine Dichte ist, muss die Fläche unter der Funktionskurve (das Integral der Funktion) gleich 1 sein. Wir berechnen das Integral f(x)dx = 2 c c c 2 2 xdx = 2c = 1c. Es muss also gelten 1c = 1, das heisst c = 1 1. b) Die kumulative Verteilungsfunktion von X lässt sich durch Integration der Dichtefunktion berechnen: Für x 2 gilt: F (x) = P (X x) = x f(t) dt = Für x ist F (x) = und für x 2 gilt F (x) = 1. Skizze von F (x): x ( 1 1 t ) dt = x 2 1 x2 4. Kumulative Verteilungsfunktion von X F(x) x c) Es gilt: P [X 5] = F (5) =.4375 und, da die Verteilung stetig ist, P [5 X 1] = P [5 < X 1] = F (1) F (5) = Bitte wenden!

4 d) E(X) = xf(x)dx = 2 V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 E(X 2 ) = 2 x 2 f(x)dx = x V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = 2 3 [ 1 ( x 1 x ) ] dx = 1 ( ) x x3 ( 1 x ) dx = 1 ( x x4 8 ( ) 2 2 = ) 2 2 = 2 3 = 2 3 Also ist die Standardabweichung σ X = V ar(x) = 2 1/ Für den Median m muss gelten: F (m) =.5. Der Median liegt sicher im Intervall [,2] und somit haben wir m 1 m2 4 =.5 = m = e) Gesucht ist x, so dass P (X > x) =.1. Es gilt: f) P (X > x) = 1 P (X x) = 1 F (x) =.1. Ähnlich wie in Teilaufgabe d) ergibt sich: F (x) = x 1 x2 4 =.9 = x = , da x im Intervall [,2] liegen muss. Hinweis: Beim gesuchten x handelt es sich um das 9%-Quantil von X. P (K 12 ) = P (4 X 12 ) = P ( X 3) = P (X 9) = F (9) = = Aufgrund langjähriger Untersuchungen ist bekannt, dass der Bleigehalt X in einer Bodenprobe annähernd normalverteilt ist. Ausserdem weiss man, dass der Erwartungswert 32 ppb beträgt und dass die Standardabweichung ppb beträgt. a) Mache eine Skizze der Dichte von X und zeichne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bodenprobe zwischen 2 und 38 ppb Blei enthält, in die Skizze ein. Siehe nächstes Blatt!

5 b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bodenprobe höchstens 4 ppb Schwermetall enthält? Hinweis: Gehe zur standardisierten Zufallsvariablen Z über und benutze die Tabelle der Standardnormalverteilung. c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die in Aufgabe a) eingezeichnet wurde? d) Welcher Bleigehalt wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 97.5% unterschritten? Das heisst, bestimme dasjenige c, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Bleigehalt kleiner oder gleich c ist, genau 97.5% beträgt. e) Welcher Bleigehalt wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% unterschritten? a) Siehe Bild. b) X bezeichne den Bleigehalt. Es gilt: X N (µ, σ 2 ) mit µ = 32 und σ 2 = 2. Ohne Computer geht man aus praktischen Gründen (Tabelle!) normalerweise zur standardisierten Zufallsvariablen Z = (X µ)/σ über. Es gilt: Z N (, 1). P (X 4) = P (Z 4 32 ) = P (Z 1.33) = Φ(1.33) =.982 c) P (2 X 38) = P ( Z ) = P ( 1 Z 1) = Φ(1) Φ( 1) = 2 Φ(1) 1 = =.82 Bitte wenden!

6 d) P (X c) =.975 = P (Z c 32 c 32 ) = Φ( ) Mit Hilfe der Tabelle findet man Φ(1.9) =.975 (Bemerkung: 1.9 ist das 97.5%-Quantil der Standardnormalverteilung). Also muss gelten: c 32 = 1.9 und deshalb c = = 43.7 e) Aus der Tabelle: Φ(1.28) =.9 und Φ( 1.28) = 1.9 =.1. Somit c = = Ein System bestehe aus 2 Maschinen, welche voneinander unabhängige Lebensdauern T 1 und T 2 besitzen mit Dichten (Die Maßeinheit von t sei Stunden) f T1 (t) = { 1 1 exp( 1 1 t) t sonst, f T2 (t) = { 1 15 exp( 1 15 t) t sonst. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass nach 2 Stunden beide Maschinen noch funktionieren. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass nach 2 Stunden noch mindestens eine Maschine funktioniert. a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch P (T 1 2, T 2 2) unabhängig = P (T 1 2) P (T 2 2) = (1 P (T 1 2))(1 P (T 2 2)) = (1 F T1 (2))(1 F T2 (2)), wobei F Ti die kumulative Verteilungsfunktion von T i ist, d.h. für t > F T1 (t) = t f T1 (s)ds = 1 e 1 1 t. F T2 (t) = t f T2 (s)ds = 1 e 1 15 t. Somit ist die Wahrscheinlichkeit: P (T 1 2, T 2 2) = e 2 1 e 2 15 =.715. b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch P (T 1 2 oder T 2 2) = P ((T 1 2 und T 2 2) c ) = 1 P (T 1 2, T 2 2) unabhängig = 1 F T1 (2)F T2 (2) = 1 (1 e 2 1 )(1 e 2 15 ) =.9774.