Vorlesung 3. Der Erwartungswert. von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen

Transkript

1 Vorlesung 3 Der Erwartungswert von diskreten reellwertigen Zufallsvariablen

2 0. Diskrete reellwertige Zufallsvariable

3 X sei eine Zufallsvariable, deren Zielbereich R (die Menge der reellen Zahlen) oder eine Teilmenge von R ist. X R

4 X S R Außerdem existiere eine endliche oder abzählbar unendliche Menge S R mit P(X S) = 1.

5 X S R Wir sagen dann: X ist eine diskrete reellwertige Zufallsvariable

6 1. Der Erwartungswert als gewichtetes Mittel

7 Eine einprägsame Kenngröße für die Lage der Verteilung von X ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte von X: E[X] := a S a P(X = a). Man spricht vom Erwartungswert von X. (Wir bezeichnen ihn auch mit µ oder µ X.)

8 a Gewichte

9 Z = Das elementarste Beispiel: { 1 mit Wahrscheinlichkeit p 0 mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p Man erinnere sich an die Situation der ersten Stunde: Rein zufällige Wahl eines Punktes aus dem Quadrat, die Teilmenge A hat den Flächenanteil p; gezählt wird, wenn der Punkt in A fällt.

10 Z = Das elementarste Beispiel: { 1 mit Wahrscheinlichkeit p 0 mit Wahrscheinlichkeit q = 1 p E[Z] = p 1+q 0 = p

11 Dieses Beispiel entspricht dem einfachen Münzwurf: Z Y Kopf 1 Zahl 0 {Y = Kopf} = {Z = 1} Man sagt auch: Z ist die Indikatorvariable des Ereignisses {Y = Kopf} Z = I {Y=Kopf}, E[Z] = P(Y = Kopf).

12 Oder in unserem Logo der ersten Stunde: Z Y 1 A S 1 A 0 {Y A} = {Z = 1} Man sagt auch: Z ist die Indikatorvariable des Ereignisses {Y A} Z = I {Y A}, E[Z] = P(Y A).

13 Für allgemeines diskretes, reellwertiges X hatten wir E[X] = a S a P{X = a} = a S aρ(a) mit ρ(a):= Verteilungsgewichte von X Wohlgemerkt: Der Erwartungswert der Zufallvariablen X hängt nur von deren Verteilung ρ ab. Synonym sprechen wir daher auch manchmal vom Erwartungswert der Verteilung ρ.

14 X eine Zufallsgröße; E[X] eine Zahl.

15 2. Ein Beispiel: Der Erwartungswert der Anzahl der Erfolge beim dreifachen Münzwurf

16 Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X := Anzahl der geworfenen Köpfe.

17 P(X = a) Eine faire Münze wird dreimal geworfen a = Anzahl Kopf

18 E[X] =? a = Anzahl Kopf P(X = x)

19 E[X] = a P(X = a) x = Anzahl Kopf P(X = a)

20 P(X = a) E[X] = = 12 = a = Anzahl Kopf 1

21 P(X = a) Die Zahl E[X] gehört hier gar nicht zum Wertebereich von X a = Anzahl Kopf 1

22 P(X = a) und kann im buchstäblichen Sinn kein erwarteter Wert von X sein x = Anzahl Kopf 1

23 Was denn dann? a = Anzahl Kopf P(X = a)

24 P(X = a) Wie erlebt man den Erwartungswert? a = Anzahl Kopf 1

25 P(X = a) Durch wiederholtes Werfen der drei Münzen a = Anzahl Kopf 1

26 3. Der Erwartungswert als Langzeitmittel

27 P(X = a) Wiederholtes Werfen der drei Münzen a = Anzahl Kopf 1

28 Wiederholungen: X 1,X 2,...,X Xn n

29 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

30 Wiederholungen: X 1,X 2,...,X Xn n

31 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

32 Wiederholungen: X 1,X 2,...,X Xn n

33 M n := (X 1 +X X n )/n Xn n

34 M n E[X] Xn n

35 Warum? Xn n

36 M n = a #{Würfe mit Ergebis a}/n a P(X = a) Xn n

37 Dazu später mehr. Für den Moment nur als kurzer Ausblick:

38 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN Sei X eine Zufallsgröße mit Erwartungswert E[X]. Seien X 1,X 2,... unabhängige Kopien von X. Dann gilt X X n n E[X] Zu klären 1. Was heißt unabhängig? 2. Was heißt?

39 Diese Klärung wird in der Vorlesung in wenigen Wochen erfolgen. Jetzt halten wir erst einmal fest:

40 Zwei Vorstellungen von E[X] 1. Gewichtetes Mittel der möglichen Werte: E[X] := a P(X = a) 2. Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen: X X n n E[X]

41 4. Die Additivität des Erwartungswertes - anschaulich und als Werkzeug

42 Die wichtigste Eigenschaft des Erwartungswerts ist die Additivität E[X+Y] = E[X]+E[Y]

43 Die Additivität des Erwartungswerts wird intuitiv sofort klar aus der Vorstellung als Langzeitmittelwert bei unabhängigen Wiederholungen : 1 n ((X 1 +Y 1 )+...+(X n +Y n )) = 1 n (X X n )+ 1 n (Y Y n ) E[X]+E[Y]

44 Ein prominenter Fall ist X = Z 1 + +Z n, wobei die Z 1,...,Z n nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Dann gilt E[Z i ] = P(Z i = 1) und somit E[X] = P(Z 1 = 1)+ +P(Z n = 1).

45 5. Der Erwartungswert der Binomialverteilung (als Erwartungswert der Anzahl der Erfolge beim n-fachen p-münzwurf)

46 X sei Bin(n, p) verteilt. E[X] =? n k=0 k P(X = k) = n k=0 k ( ) n k p k q n k =... Es GEHT so (vgl Buch Seite ) Aber es geht auch einfacher (vgl. Buch S. 49):

47 Sei Z = (Z 1,...,Z n ) ein n-facher p-münzwurf. Dann ist (Z 1 + +Z n ) Bin(n,p)-verteilt. E[Z 1 + +Z n ] = E[Z 1 ]+ +E[Z n ] E[Z i ] = 1 p+0 q = p Fazit: Der Erwartungswert einer Bin(n,p) verteilten ZV ist np.

48 6. Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung (als Erwartungswert der Anzahl der Erfolge beim n-fachen Ziehen ohne Zurücklegen)

49 BEISPIEL Ziehen ohne Zurücklegen Eine Urne enthält r rote und b blaue Kugeln. ooooooooooooo r = b = 5 Aus der Urne werden ohne Zurücklegen n Kugeln gezogen. ooooooooo n = 9 R := Anzahl der gezogenen roten Kugeln E[R] =?

50 Verteilung von R? P(R = k) =? P(R = k) = r k b n k / r+b n Eine ZV mit diesen Verteilungsgewichten (k = 0,..., n) heißt hypergeometrisch verteilt zu den Parametern (n, r + b, r). (vg. Buch Seite 2)

51 P(R = k) = r k b n k / r+b n E(R) =? E[R] = n k=0 k r k b n k / r+b n =... Es GEHT so (vgl. Buch Seite 32) Aber es geht auch einfacher (vgl. Buch S. 50/51):

52 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) =? Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r+b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?

53 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) = r r+b Man stelle sich vor, die Nummern der Züge werden als rein zufällige Permutation an die r+b Kugeln vergeben. Wie wahrscheinlich ist es, dass Nummer i auf eine rote Kugel fällt?

54 R = Z 1 +Z Z n Z i = 1 falls i-te gezogogene Kugel rot Z i = 0 falls i-te gezogene Kugel blau ooooooooooooo r = b = 5 P(Z i = 1) = r r+b E[Z i ] = r r+b E[R] = E[Z 1 ]+E[Z 2 ]+...+E[Z n ] E[R] = n r r+b

55 7. Der Erwartungswert einer Anzahl von Runs

56 BEISPIEL Runs beim fairen Münzwurf: Z := (Z 1,Z 2,...,Z n ) n-facher fairer Münzwurf P{Z i = 1} = 2 1 P{Z i = 0} = 2 1 Run: ein Block von Nullen (Einsen), der nicht echt in einem größeren Block enthalten ist R := Anzahl Runs in Z R = R = R =

57 E[R] =? Dazu schreiben wir R als Summe von Zählern. Bei jedem Wurf zählen wir eins dazu, wenn bei diesem Wurf ein Run beginnt:

58 Y i := 1 falls bei i ein Run beginnt, Y i := 0 sonst R = Y 1 +Y Y n Y 1 1 {Y i = 1} = {(Z i 1,Z i ) = (0,1) oder (1,0)} (i > 1) P(Y i = 1) = = 1 2 (i > 1) E[Y i ] = 1 2 (i > 1) E[R] = E[Y 1 ]+E[Y 2 ]+E[Y 3 ]+...+E[Y n ] E[R] = (n 1)