3. Mit c n = ( 1) n ist. 4. Mit d n = 2 n ist. 5. Mit y n = ( 1 3) n. 6. Ist x n = (1 + 1 n )n, dann ist. Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl.

Transkript

1 Kapitel 3. Folgen und Reihen 3. Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als a, a, a 3,...) = a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt an, an welcher Stelle in der Folge die Zahl a n steht. Beispiel 3.. Mit a n = n ist a = a n ) =, 4, 9, 6,...) die Folge der Quadratzahlen in N.. Mit b n = n ist b = b n) n N =,, 3, 4,...) die Folge der sogenannten Hauptbrüche in Q. Mathematik I WiSe 004/ Mit c n = ) n ist c = c n ) n N =,,,,,...). 4. Mit d n = n ist d = d n ) n N =, 4, 8, 6, 3, 64, 8,...) die Folge der Zweierpotenzen. 5. Mit y n = 3) n ist 6. Ist x n = + n )n, dann ist y = y n ) n N = 3, 9, 7, 8, 43,... ). x = x n ) n N =, 9 4, 64 7, 65 56,... ) Mathematik I WiSe 004/ Einige weitere Folgenglieder sind in der folgenden Tabelle angegeben: n x n n x n Die sogenannte Fibonacci-Folge ist die Folge a n ) n N mit Die ersten Folgenglieder sind a = a = und a n = a n + a n für n 3. a =,,, 3, 5, 8, 3,, 34,...). Die Zahl a n heißt die n-te Fibonaccizahl. Folgen lassen sich auch als Abbildungen auffassen. Eine Folge ist eine Abbildung a : N R mit Definitionsbereich N. Für den Wert an) an der Stelle n schreibt man üblicherweise a n. Der Wert a n heißt n-tes Folgenglied von a. Die Fibonacci-Folge heißt rekursiv definiert, da man zur Berechnung eines Folgenglieds a n die vorherigen Folgenglieder benötigt und Anfangswerte). Die anderen Folgen hingegen sind explizit definiert, da sich jedes a n direkt aus dem Index n berechnen läßt. Man kann auch für die Fibonacci-Folge eine explizite Formel angeben. Die n-te Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 88

2 Fibonacci-Zahl a n ist nämlich 400 Beispiel 3.. Beispiel a n = + ) n 5 ) n x x Wir können eine Folge a = a n ) n N graphisch veranschaulichen, indem wir die Punkte mit den Koordinaten n, a n ) für einige Werte von n in ein Koordinatensystem zeichnen. Wir tun dies hier für die ersten sechs Beispiele. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Beispiel 3..4 Beispiel 3..6 fuer n<00 Beispiel 3..6 fuer n<0 Beispiel x x x x Mathematik I WiSe 004/005 9 Mathematik I WiSe 004/005 9

3 Eine Folge a = a n ) n N mit a n 0 für alle n N heißt geometrisch, wenn der Quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl q R gibt, so dass gilt a n+ a n = q für alle n N. Beispiel 3. Die Folge aus Beispiel 3..4 ist geometrisch, denn d n+ = n+ = für alle n N. d n n Die anderen Folgen in Beispiel 3. sind nicht geometrisch. So ist etwa für die Folge mit b n = n b 3 = b 3, aber b 4 = 3 b 3 4. Beispiel 3.3 Ein Anfangskapital K 0 wird zum Zinssatz von p = 0.05 also 5%) jährlich verzinst. Dann ist nach n Jahren das Kapital angewachsen auf den Wert K n, der sich wie folgt berechnet Zinseszinz!); K = K 0 + pk 0 = + p)k 0, K = K + pk = + p)k = + p) K 0, K 3 = K + pk = + p)k = + p) 3 K 0, Ebenso ist jede Folge mit der Vorschrift d n = q n für ein festes q R geometrisch. und allgemein K n = + p) n K 0. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Die Folge der jährlichen Kapitalmenge K n ) n N ist also geometrisch, da K n+ K n = + p für alle n N. Für eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten gilt a n+ = qa n und daher a n+ a n = q a = qa, a 3 = qa = q a, a 4 = qa 3 = q 3 a und allgemein a n = a q n oder a n = a 0 q n wobei a 0 := a q. Wir können a 0 als das nullte Folgenglied auffassen. Eine geometrische Folge ist also vollständig durch den Quotienten q und einen Anfangswert a 0 oder a ) bestimmt. Eine Folge a = a n ) n N heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, wenn es also eine Zahl d R gibt, so dass gilt a n+ a n = d für alle n N. Beispiel 3.4 Die Folge a = a n ) n N mit a n = 3n 7 ist arithmetisch, denn a n+ a n = 3n + ) 7 3n 7 ) = 3 für alle n N. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 96

4 Die ersten Folgenglieder sind 4,,, 5, 8,.... Ist eine Folge a = a n ) n N arithmetisch mit der konstanten Differenz a n+ a n = d für alle n N, dann gilt a n+ = d + a n und die einzelnen Folgenglieder ergeben sich durch a = d + a, a 3 = d + a = d + d + a = d + a, a 4 = d + a 3 = 3d + a wobei a 0 = a d wie bei der geometrischen Folge als nulltes Folgenglied interpretiert werden kann. Eine arithmetische Folge ist also vollständig durch die Differenz d und einen Anfangswert a 0 oder a ) bestimmt. Ähnlich wie für Abbildungen wollen wir nun die Begriffe Monotonie und Beschränktheit für Folgen erklären. Zusätzlich gibt es noch den Begriff der alternierenden Folge machen Sie sich klar, dass die Begriffe Monotonie und Beschränktheit sowohl für Folgen als auch reelle Funktionen sinnvoll sind, alternierend aber für Abbildungen auf R nicht sinnvoll definiert werden kann). und allgemein a n = n )d + a oder nd + a 0 Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Eine Folge a heißt konstant, falls a n+ = a n für alle n N gilt. Eine Folge a n ) n N heißt monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls a n+ a n bzw. a n+ > a n für alle n N. Eine Folge heißt alternierend, falls a n+ > 0 ist wenn a n < 0 ist und a n+ < 0 wenn a n > 0 ist. Anders gesagt: a n+ a n < 0 für alle n N die Folgenglieder wechseln also in jedem Schritt das Vorzeichen). Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3. Die Folgen a und d mit a n = n und d n = n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = n ist streng monoton fallend. Eine Folge a n ) n N heißt monoton fallend bzw. monoton fallend, falls streng a n+ a n bzw. a n+ < a n für alle n N. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

5 Die Folge c mit c n = ) n ist weder monoton wachsend noch monoton fallend. Sie ist alternierend. 4 3 Die Folge x mit x n = + n )n ist streng monoton wachsend. Das wird zumindest durch den Graphen angedeutet und es lässt sich auch nachrechnen. Außerdem ist auch die Folge der Kapitalmengen in Beispiel 3.3 bei konstanter jährlicher Verzinsung streng monoton wachsend. Das sollte natürlich auch so sein! Beachte, dass es auch Folgen gibt, die weder monoton wachsend noch monoton fallend noch alternierend sind. Wenn wir mit t n die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n bezeichnen, so sieht der Graph der Folge ) tn) tn) für 000 n 00 so aus: 3 Für die besonders wichtigen geometrischen Folgen ist das Monotonieverhalten wie folgt: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Sei a 0 > 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton wachsend, wenn q > ist, streng monoton fallend, wenn q 0, ) ist, und konstant, wenn q = 0 oder q = ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Sei a 0 < 0. Die geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist streng monoton fallend, wenn q > ist, streng monoton wachsend, wenn q 0, ) ist, und konstant, wenn q = 0 oder q = ist. Für q < 0 ist die geometrische Folge a n = a 0 q n alternierend. Beispiel 3.6 Die Folge a n = 5 ) n ist streng monoton fallend. Die ersten Folgenglieder sind a = 5, a = 5 4, a 3 = 5 8, a 4 = 5 6, a 0 = Für a n = 5 ) n erhalten wir a = 5, a = 5 4, a 4 = 5 6, a 5 = 5 3, a 0 = 5 04 Die Folge ist alternierend. Wir halten fest, dass die Folge a n ) der Beträge von a n monoton fallend ist. Eine Folge a n ) n N heißt beschränkt, falls es eine Konstante M R gibt, so dass a n M für alle n N, d. h. alle Folgenglieder liegen im Intervall [ M, M]. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

6 Beispiel 3.7 Die Folgen a und d mit a n = n und d n = n sowie die Fibonacci-Folge aus Beispiel 3. sind nicht beschränkt. Die Folge b mit b n = n ist beschränkt, denn < für alle n N. Die Folge c mit c n = ) n ist beschränkt: ) n = für alle n N. Die Kapitalzuwachsfolge aus Beispiel 3.3 ist unbeschränkt. lange genug wartet, wird das Kapital beliebig groß. n Wenn man nur Eine geometrische Folge a mit a n = a 0 q n ist unbeschränkt, wenn q > ist und beschränkt, wenn q [, ] ist. Zur Beschreibung des Verhaltens einer Folge bei wachsendem Index wird, wie schon bei Funktionen, der Begriff Konvergenz eingeführt. Zunächst einige anschauliche Beispiele von Konvergenz. Beispiel 3.8 Die Folgenglieder aus Beispiel 3.., 3..4 und 3..7 werden für wachsende n immer größer. Anders gesagt: sie gehen gegen +. Die Folgenglieder aus Beispiel 3.. kommen für wachsende n immer näher an die x-achse, anders: die Werte kommen der Null immer näher. In der Folge aus Beispiel 3..3 wechseln sich die Werte und ab. Die Folge kommt weder dem Wert noch dem Wert beliebig nahe, weil immer wieder der jeweils andere Wert angenommen wird. Die Folgenglieder aus Beispiel 3..5 wechseln sich mit dem Vorzeichen ab, aber wie in Beispiel kommen die Werte der Null, also der x-achse, immer näher. Der Graph der Folge aus Beispiel 3..6 deutet an, dass die Folgenglieder zwar Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ stets anwachsen, aber nicht beliebig groß werden, sondern sich einem Wert nähern. Was ist der genaue Wert? Diesen Wert nennen wir den Grenzwert der Folge: Grenzwert Limes) von Folgen Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert oder Limes einer Folge a n ) n N, wenn es zu jedem vorgegebenen ɛ > 0 einen von ɛ abhängigen Index nɛ) N gibt, so dass a n a ɛ für alle n nɛ). Eine Folge a n ) n N heißt konvergent wenn sie einen Grenzwert a R besitzt. In diesem Fall schreiben wir: lim a n = a oder a n a für n. n Sprechweise: Limes n gegen unendlich von a n ist gleich a, oder: a n konvergiert Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

7 gegen a für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert a = 0, so heißt die Folge eine Nullfolge. Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent. Man sagt auch die Folge divergiert. Wir können auch noch verschiedene Arten der Divergenz unterscheiden. Die Folge a n = n verhält sich sicherlich anders als die Folge ) n n oder ) n. Eine Folge a n ) n N heißt bestimmt divergent gegen, falls es zu jedem M ein n 0 so gibt, dass a n M für alle n n 0, gilt, d.h. die Folgenglieder werden beliebig groß. Entsprechend wird bestimmte Divergenz gegen erklärt. Schreibweise: lim a n =, bzw. lim a n =. n n Achtung: Wir sagen nicht, dass die Folge gegen konvergiert. Wenn wir von Konvergenz sprechen, meinen wir stets Konvergenz gegen eine reelle Zahl, nie gegen ±! Man kann sich die Konvergenz gegen a auch folgendermaßen klar machen: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Eine Folge a n ) n N konvergiert gegen ein a R genau dann, wenn für alle ɛ > 0 nur endlich viele Folgenglieder nicht im Intervall [a ɛ, a + ɛ] liegen; ein solches Intervall heißt auch eine ɛ-umgebung von a. Alternative Sprechweise: fast alle Folgenglieder d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) liegen im Intervall [a ɛ, a + ɛ]. Insbesondere gibt es also nur einen Grenzwert für eine konvergierende Folge. Beispiel 3.9 Die Folge a mit a n = n aus Beispiel 3.. ist divergent bestimmte Divergenz gegen ). Die Folge b mit b n = n ist eine Nullfolge. Die Folge c mit c n = ) n ist divergent. Die Folge d mit d n = n ist bestimmt divergent gegen. Die Folge y mit y n = 3) n ist eine Nullfolge. Die Folge x mit x n = + n )n ist konvergent, ihr Grenzwert ist die Eulersche Zahl e, also ) n e := lim n n Wir gehen darauf später noch genauer ein. Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent gegen. Aus der Definition der Konvergenz folgt sofort Jede konvergente Folge ist beschränkt. Mathematik I WiSe 004/005 3 Mathematik I WiSe 004/005 3

8 Wir wollen im nächsten Beispiel das Konvergenzverhalten der arithmetischen und geometrischen Folgen sowie der Folgen )n n und n zusammenfassen. Beispiel 3.0 a n a + nd aq n a > 0) n ) n n ) d 0 q a) d > 0 q > ) d 0 0 q + a) d < 0 0 < q < + 3) d = 0 q + + 4) d = 0 < q < q = + + Limes a 0 a 0 0 Die Zeileneinträge bedeuten dabei folgendes: ): monoton steigend; a): streng monoton steigend ): monoton fallend; a): streng monoton fallend 3): beschränkt 4): konvergent Wir geben jeweils an, für welche Werte von a, d, q die Folgen die entsprechende Eigenschaft haben. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Ein sehr wichtiges Konvergenzkriterium ist das folgende: Jede beschränkte und monotone Folge a n ) n N konvergiert, d.h. es gibt ein a R, so dass lim n = a. n Beispiel 3. Die Folge 3 n+) ist monoton fallend) und beschränkt, also konvergent, und der Grenzwert ist 0. Die Folge )n 7n ist nicht monoton aber beschränkt). Diese Folge ist auch konvergent ihr Grenzwert ist ebenfalls 0). Es kann also durchaus nicht monotone Folgen geben, die konvergieren. Unbeschränkt kann eine konvergente Folge aber nicht sein! Rechenregeln für Grenzwerte Seien a n ) n N, b n ) n N konvergente Folgen mit lim n a n = a und lim n b n = b. Dann gilt:. a n ± b n ) n N ist konvergent mit. a n b n ) n N ist konvergent mit lim a n ± b n ) = a ± b. n lim a n b n ) = a b. n Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 36

9 3. Sei b 0. Dann gibt ) es ein n 0 N mit b n 0 für alle n n 0, an und die Folge ist konvergent mit b n n n 0 a n lim = a n b n b. Satz 3. Sei f eine auf a, b) stetige Funktion. Ferner sei x a, b) und x n eine Folge reeller Zahlen mit x n a, b) für alle n. Wenn dann lim n x n = x gilt, so ist lim n fx n) = fx). 4. Sei λ R. Dann ist auch die Folge λa n ) n N konvergent mit lim λa n) = λa. n Es genügt hier sogar, x n a, b) nur für alle n > n 0 für eine Zahl n 0 N zu verlangen. Dieser Satz hat z.b. wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion folgende Konsequenz: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Ist a n 0 für alle n N und lim n a n = a, dann ist lim an = a. n Wir geben gleich eine Menge an Beispielen an, wie wir die oben angegebenen Sachverhalte ausnutzen können. Wir müssen, grob gesagt, den algebraischen Ausdruck, der die Folgenglieder a n definiert, in Teilausdrücke zerlegen, von denen wir dann jeweils die Grenzwerte kennen. Bevor wir zu den Beispielen kommen, hier ein weiteres wichtiges Konvergenzkriterium: Ausquetschen Seien a n), a n) konvergente Folgen mit lim n a n = a = lim n a n. Ist a n ) eine Folge mit dann gilt auch a n a n a n für alle n, lim a n = a. n Als Spezialfall erhalten wir für Nullfolgen: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 30

10 Sei a n) eine Nullfolge. Ist a n ) eine Folge mit a n a n für alle n, dann ist auch a n ) eine Nullfolge. ) 3n + lim n n = lim 3 + n n) = lim 3 + lim n n 3) Für a R mit a < ist lim n an = 0. n = 3. 4) Sei a n = n + n, n N. Bei dieser Folge hilft ein Umformungstrick weiter: Beispiel 3. n + n = n+ n) n++ n) n++ n ) Für k N ist lim n n k = 0. und daher ist = n+ n n++ n = n++ n lim n + n) = 0. n Mathematik I WiSe 004/005 3 Mathematik I WiSe 004/005 3 Warnung: Bei einem Grenzwert lim n n + n versuchen viele Anfänger etwa wie folgt zu argumentieren: lim n + n) = lim n + lim n = = 0. n n n Das geht aber so nicht, weil der Grenzwert der Summe zweier Folgen nur dann die Summe der Grenzwerte dieser beiden Folgen ist, wenn die beiden Grenzwerte existieren. Das ist aber in unserem Beispiel nicht der Fall.Außerdem macht ein Ausdruck der Form keinen Sinn! Die oben angegebene Umformung ist somit falsch!!! Überlegen Sie sich bitte, dass man mit so einem Argument zeigen könnte lim n n + ) n) = lim n n + ) lim n n) = 0, obwohl natürlich lim n + n) = lim ) = n n gilt. Beispiel 3.3 Als einen etwas komplizierteren Grenzwert wollen wir hier zeigen lim n n n = Dazu benötigen wir den binomischen Lehrsatz Hier ist gelesen: n über i), wobei a + b) n = n i=0 ) n a i b n i i ) n n! = i i!n i)! m! = m m ) m )... Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 34

11 die Fakultät von m ist das ist das Produkt aller natürlichen Zahlen m). Machen wir uns dies an einem Beispiel klar: a + b) 3 = a + b) a + b) = a + ab + b )a + b) = = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Der binomische Lehrsatz verallgemeinert die binomischen Formeln Spezialfall n = ). Wir wollen etwas über die Konvergenz von a n = n n aussagen. Dazu definieren wir b n = a n und berechnen b n + ) n mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes: n = b n + ) n = n i=0 ) n b i i n n i = n i=0 ) n b i i n, 3.) weil ja b n + = n n. Die Gleichung 3.) zeigt weil b n 0 beachte: a n ), also Wegen b n 0 erhalten wir somit ) n bn n, nn ) b n n, also b n n. 0 b n n Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ und deshalb Ausquetschen ) lim b n = 0, also lim b n + ) = lim n n n n n =. Prozent gutgeschrieben bekommt. Dann wäre das Kapital nach einem Jahr + x ) K0 Bei einer täglichen Verzinsung ist das schon Wir haben bereits ein Beispiel einer Folge gesehen, die die Entwicklung eines Anfangskapitals K 0 bei einer p prozentigen Verzinsung beschreibt. Wenn x = p/00 ist, gilt für das Kapital nach m Jahren K n = + x) m K 0 nach einem Jahr also + x)k 0. Nun könnte man es doch als fair empfinden, wenn man statt einmal jährlich p Prozent Zinsen zu bekommen, monatlich p/ + x ) 365 K0 365 Vergleichen wir, wie stark sich das Kapital bei den diversen Verzinsungssmodellen und x = 0.05, d.h. bei einer p prozentigen Verzinsung, vergrössert: + x + x ) + x ) Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 38

12 Genauere Untersuchungen zeigen: und Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. lim + n = e n n) lim + x ) n = e x n n Interessant ist, dass Banken bei Krediten eher eine monatliche Verzinsung wählen, bei Zinszahlungen aber eher nur jährlich abrechnen. Die unterschiedlichen Modelle können sich nach mehreren Jahren schon bemerkbar machen, wenn auch nicht sehr dramatisch. Wir können die Exponentialfunktion e x oder, wenn es um das Wachstum in m Jahren geht, die Funktion e mx = e x ) m als eine Grenzfunktion interpretieren, die das Wachstum bei einer kontinuierlichen oder stetigen Verzinsung beschreibt. Wir setzen wieder x = 0.05: Abschreibungen + x) m + x ) m e mx m = m = m = m = m = m = Folgen treten in der Ökonomie auch beim Thema Abschreibungen auf. Wichtig sind hier die folgenden drei Größen: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ A: Anschaffungsaufwendungen R: Restwert am Ende der Nutzungsdauer T : Nutzungsdauer in Jahren) Abschreibungsbetrag im n-ten Jahr, n =,..., T a n Wir unterscheiden drei Typen von Abschreibungen: Lineare Abschreibung Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Beginnen wir mit der linearen Abschreibung. In diesem Fall wird in jedem Jahr derselbe Betrag a abgeschrieben, wir erhalten also a = A R. T Die Abschreibungsbeträge sind also konstant. Bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung bilden die a n eine arithmetische Folge, d.h. a n = a n )d Wenn hier A, R und T bekannt sind, kann nicht unmittelbar auf a und d geschlossen werden. Man kann die Abschreibung aber genau bestimmen, wenn der letzte Abschreibungsbetrag genau d sein soll, also a T = d. Dann gilt nämlich d = A R T T + ). Der Grund für diese Formel ist folgender: Im ersten Jahr wird T d abgeschrieben, dann T )d, dann T )d usw, bis im T -ten Jahr d abgeschrieben wird. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 33

13 Insgesamt gilt dann Man kann zeigen woraus die Formel für d folgt. A R = T i d) = d i= T i = i= T T + ), T i. Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung bilden die Abschreibungsbeträge a n eine geometrische Reihe, bezogen auf A also a n = Ap n für ein 0 < p <. Der Prozentsatz 00p heißt der Abschreibungsprozentsatz: In jedem Jahr werden p Prozent des Anschaffungswertes abgeschrieben. Setzen i= wir q = p, so ist der Buchwert nach einem Jahr A Ap = Aq, nach zwei Jahren Aq und nach T Jahren Aq T, also R = A p) T. Man kann diese Formel auch nach p auflösen: p = T R A. Beachten Sie: 0 < p <, deshalb entspricht p gerade einem Prozentsatz von 00p Prozent. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Reihen Sei a n ) n N eine Folge. Wir definieren die n-te Partialsumme oder: Teilsumme) der Folge a n ) n N durch Aufaddieren der ersten n Folgenglieder, also n s n = a + a + + a n = a k für alle n N. k= Die Folge s n ) n N der Partialsummen heißt eine unendliche) n ) Reihe und wird auch als a k geschrieben. k= n N Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Die entsprechenden Beispiele werden im nächsten Abschnitt behandelt. Die Bezeichnung n-te Partialsumme bezieht sich auf die Anzahl der aufsummierten Folgenglieder. Beachten Sie, dass zur Darstellung der n-ten Partialsumme mit dem Summenzeichen ein zweiter Laufindex, hier k, benötigt wird. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

14 Bei Reihen treten also immer zwei verschiedene Folgen auf: die Folge a n ) n N der einzelnen Glieder und die Folge s n ) n N der Partialsummen, das ist dann die Reihe. Beispiel 3.4. Sei a n = n. Dann ist s n = n n = k etwa k=. Ist a n = n, dann ist s 3 = = 7 = 0, s 0 = 03 0, s 00 0, s 3 = = 6, s 0 = = 738, 93, 50 s 00 5, 9 s , 79. Die Reihe s n ) n N heißt harmonische Reihe. 3. Sei a n = n. Dann ist s = 3, s 0 = = 55, s 00 = Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Sei a n = ) n n. Dann ist s 3 = + 3 = 5 6, s 0 = s , 6930, s , , 6456, Beispiel 4.: Harmonische Reihe In diesem Fall heißt die Folge s n ) n N alternierende harmonische Reihe x Ist a n = ) n, dann ist die Folge der Partialsummen gegeben durch s =, s = + = 0, s 3 = + + ) =, s 4 = 0 und allgemein s n = 0 und s n = für alle n N Beispiel 4. Die Graphen der Folgen in Beispiel 3.4., und 4 sehen folgendermaßen aus x Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

15 Beispiel 4.4: Alternierende harmonische Reihe a und den Quotienten q bzw. die Differenz d vollständig festgelegt sind, lassen sich auch die Partialsummen allein aus a und q bzw. d berechnen x Ist a n n N eine geometrische Folge, so heißt n ) a k geometrische Reihe. k= n N Ist a n n N eine arithmetische Folge, so heißt n ) a k arithmetische Reihe. k= n N Da bei geometrischen bzw. arithmetischen Folgen alle Folgenglieder bereits durch Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Sei a n ) eine arithmetische Folge mit a n+ = a n + d. Dann ist n ) n ) d s n = a k = n a +. k=. Ist a n ) eine geometrische Folge mit a n+ = q, so ist s n = a n n na falls q =, a k = q n a falls q. q k= Beispiel 3.5. Die Folge a n = n ist geometrisch. Daher bilden die zugehörigen Partialsummen eine geometrische Reihe und lassen sich berechnen durch siehe etwa s 0 in Beispiel s n = /)n / = n n,. Die Folge a n = n aus Beispiel ist arithmetisch mit d = und a =. Folglich ist die Folge s n ) n N der Partialsummen eine arithmetische Reihe und die Summen lassen sich berechnen durch s n = n + n ) = nn + ). Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

16 3. Für die geometrische Folge a n = 5 3 n ergeben sich die Partialsummen s n = 5 3n, etwa s 0 = Ist a n = 3 4n+, dann ist mit Hilfe der Rechenregeln für Summen aus Abschnitt. s n = n 3 4 = n 3) k 3 = k k= k= n k= ) k 4 = )n = )n ) = 4 )n Zum Beispiel ist s 5 = 4 )5 4 = , 498. Da Reihen nur eine spezielle Form von Folgen sind, lassen sich die Begriffe aus dem letzten Abschnitt übertragen. Eine Reihe s n ) n N mit s n = n k= heißt streng) monoton steigend oder fallend bzw. beschränkt, falls die Folge s n ) n N diese Eigenschaften hat. a k Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Beispiel 3.6 n ) Die harmonische Reihe ist streng monoton steigend, da in jedem k n N k= Schritt eine positive Zahl addiert wird. n ) Allgemein ist jede Reihe a k k= n N wenn a n > 0 bzw. a n < 0) für alle n N ist. streng monoton steigend bzw. fallend), Für a > 0 und q < 0 ist die geometrische Reihe n aq k) weder streng monoton steigend noch fallend, denn es wird abwechselnd eine positive Zahl addiert oder subtrahiert. So ist etwa für q = k= s = 0, 5, s = 0, 5, s 3 = 0, 375, s 4 = 0, 35, s 5 = 0, Auch der Grenzwertbegriff lässt sich übertragen. Für alle a, q > 0 ist die geometrische Reihe steigend. n aq k) streng monoton k= Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

17 Eine Reihe s n ) n N mit s n = n k= heißt konvergent bzw. divergent), wenn sie als Folge konvergiert bzw. divergiert). Ist sie konvergent, so schreiben wir für den Grenzwert lim s n = lim n n Beachten Sie, dass das Symbol k= a k n a k = a k. k= a k den Grenzwert der Reihe und nicht die k= Reihe selbst) bezeichnet, sofern er existiert. Entsprechend wird die bestimmte Divergenz für Folgen auf Reihen übertragen. Beispiel 3.7. Harmonische Reihe: Die zur Folge k ) k N gehörende Reihe n k= k ) n N ist divergent, also k =. k=. Dezimalzahlen: Eine Zahl r = r 0, r r r 3 mit r 0 N 0 und r n {0,..., 9} für n hat den Wert r = r 0 + r 0 + r = r k 0 k Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge r k 0 k ) k N0 gehörenden Reihe n r k 0 k ) n N0. Dass diese Reihe tatsächlich immer konvergiert, wird später in Beispiel 3.3. noch mal begründet. 3. Die zur Folge k +k ) k N gehörende Reihe n also k + k =, k= k= denn k +k = k k+ und daher n k + k = und somit n k= k= k= n k k + = n + k= k + k =. k +k ) n N konvergiert gegen, Analog zeigt man die Konvergenz der Reihe n ) k k k= indem man k k = k k benutzt. Es gibt eine sehr einfache notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge. n N Satz 3. Ist die Reihe n k= a k) n N konvergent, dann gilt lim a n = 0. n Achtung: die Umkehrung gilt nicht! Erinnern Sie sich aus Abschnitt.3, dass eine Implikation A B äquivalent zu B A ist. Daher läßt sich obige Aussage auch formulieren als Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 35

18 Beispiel 3.8 Ist a n ) n N keine Nullfolge, dann konvergiert die Reihe n k= a k) n N nicht.. Die Folge a n ) n N mit a n = 3n+5 6n ist keine Nullfolge, daher ist die zugehörige Reihe nicht konvergent.. Die Folge a n ) n N mit a n = n ist eine Nullfolge, aber die zugehörige Reihe ist nicht konvergent. Das ist gerade die harmonische Reihe. Es folgt nun sofort: Die arithmetische Reihe zu der Folge mit a n+ = a n + d konvergiert nur für a = d = 0. Die Beschreibung des Konvergenzverhaltens geometrischer Reihen ist etwas aufwändiger. Grenzwert geometrischer Reihen: Sei a n ) n N eine geometrische Folge mit a n+ a n = q R und a 0.. Ist q <, dann konvergiert die geometrische Reihe n k= a k) n N, und es gilt a k = lim k= n n k= a k = lim a q n n q = a q.. Für q ist die geometrische Reihe divergent. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Beachten Sie, dass hier a n = a q n gilt. Setzen wir a =, so erhalten wir q k = q k für q < = q für q k= Beachten Sie bitte den kleinen Unterschied, wenn die Summation mit k = beginnt: { q q k für q < = q k= für q Beispiel 3.9 Sei a n = ) n 7 und sn = n k= a k. Dann ist lim s ) k n = a k = = n 7 = 7 =, Die Konvergenz ist sehr schnell. Es ist zum Beispiel s 0, , s 6, Durch einige Umformungen lässt sich auch Konvergenzverhalten und Grenzwert der Reihe k 3 7 k+ bestimmen. Diese Reihe ist nicht geometrisch, setzt sich aber aus geometrischen Reihen zusammen. Setze s n = n k 3. Dann ist nach den Rechenregeln für 7 Summen Abschnitt.) k+ n k s n = 7 3 ) n ) k = k+ 7 7 n 3 ) k k = 7 n ) k n ) k. 7 Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

19 Also folgt nach den Grenzwertformeln für die geometrische Reihe sowie nach den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen Abschnitt 3.) lim s n = ) k 3 k n ) = = 5 = 0, 3. 7 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen: Sei a n ) n N eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit lim a n = 0. Dann ist die n alternierende Reihe n ) ) k a k k= n N konvergent. Für Reihen gibt es im Gegensatz zu Folgen einige einfache Kriterien für Konvergenz. Sie besagen allerdings nur, ob eine gegebene Reihe konvergiert, geben aber nicht den zugehörigen Grenzwert an. Ein hinreichendes Kriterium für spezielle Reihen ist das Es ist wichtig, dass a n > 0 für alle n N. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Beispiel 3.0 Die alternierende harmonische Reihe n ) k ) konvergiert. k= k Ohne den genauen Grenzwert zu kennen, zeigen die in Beispiel 3.44 ausgerechneten Partialsummen, dass die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe sehr langsam ist. Die Partialsummen s 5000 und s 0000 unterscheiden sich noch in der 4. Dezimalstelle. Vergleichen Sie dies auch mit der Konvergenz der geometrischen Reihe in Beispiel 3.9 n N Quotientenkriterium I Sei n k= a k) n N eine Reihe, und es gebe ein k 0 N mit a k 0 für alle k k 0. Gibt es ein c 0, ) mit a k+ a k c für alle k k 0, dann konvergiert die Reihe n k= a k) n N. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

20 Quotientenkriterium II Gibt es eine Zahl c > mit a k+ a k c für alle k k 0, dann ist die Reihe n k= a k) n N divergent. Wenn weder Quotientenkriterium I noch II erfüllt sind, ist auf den ersten Blick keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe möglich. Ist die Folge der Quotienten Q k := konvergent, dann gilt: ist ist ist a k+ a k )k N lim Q k <, so konvergiert die Reihe n ) a k k k= lim Q k >, so divergiert die Reihe n ) a k k k= lim Q k =, so ist keine Aussage möglich. k n N n N Als Folgerung erhalten wir: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Beispiel 3.. Die Reihe s n ) n N mit s n = k 3 k n k= k 3 k 3 k ist konvergent, denn es ist a k = > 0 für alle k > und 3 k a k+ a k = k + ) 3 k + ) 3 k 3 k+ k 3 k = 3 k k 3 + 3k + 3k + k ) 3 k+ k 3 k) = k 3 + 3k + k 3k 3 k) k 3. Also ist für genügend großes k der Quotient a k+ a stets kleiner als und die k Reihe konvergiert.. Die Reihe s n ) n N mit s n = alle k N und a k+ a k n k= 3 k k konvergiert nicht, denn a k = 3k > 0 für k = 3k+ k + ) k 3 = 3k k k + k + k 3 Also ist für genügend großes k der Quotient echt größer als. n 3. Für die Reihe s n ) n N mit s n = ist keine Aussage möglich, denn k k= a k+ a k = k + ) k = k k. k + k + Übrigens konvergiert diese Reihe, und zwar gegen π 6. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

21 Besonders wichtig ist das folgende Beispiel. Beispiel 3. Die Reihe n x k ) k! n N konvergiert für jedes feste x R nach dem Quotientenkriterium, denn mit a k = xk k! ist a k+ a k = x k+ k! x k k + )! = x k +. Also ist für k x a k+ a k x x + < x x = Somit ist mit c = das Quotientenkriterium erfüllt, und die Reihe konvergiert. ) Der Grenzwert der Reihe stimmt mit dem früher definierten Wert n xk k! n N e x bzw. expx) überein, es gilt also e x = lim + x ) n x k x = = + x + n n k!! + x3 3! +. Insbesondere ist für x = e= lim + ) n = n n k! = Beachten Sie wieder, dass die Summation hier mit dem Index k = 0 beginnt. Für die Frage nach der Konvergenz der Reihe ist das unerheblich, es ist aber wichtig, wenn man konkret den Grenzwert ausrechnen will, vgl. auch Seite 355. Für kleine Werte von x wie sie z.b. in der Zinsrechnung auftreten liefert die Reihendarstellung von e x bessere Näherungswerte für die Exponentialfunktion Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ als die Folge + n) x n. Das zeigen etwa folgende Näherungswerte von e, indem man x = einsetzt: n + n n )n k!, 5, 5 3, 370, 667 4, 44, 708 5, 488, 77 0, 594, Ein sehr praktisches Hilfsmittel zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens einer Reihe ist noch Majoranten-Kriterium: Sei a n ) n N eine gegebene Folge. Außerdem sei n k= b k) n N eine konvergente Reihe, und es gebe ein n 0 N mit a n b n für alle n n 0. Dann konvergiert auch die Reihe n k= a k) n N. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

22 Beispiel 3.3. Die zur Folge ) n n N gehörende Reihe n k= ) k n N konvergiert, denn k für alle k k k aufgrund der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe. und die Reihe n k= k k ) n N konvergiert nach Beispiel Die Reihe für Dezimalzahlen r = r 0 + r 0 + r = r k 0 k, wobei r k {0,..., 9} für k N, konvergiert, da r k 0 k 9 0 k für alle k N und ) k 9 0 k 9 = 9 = 0 = 0 0 Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit in %) d = p 00 Zinssatz pro Zeiteinheit q = + d Aufzinsungsfaktor n Anzahl der Zeiteinheiten i.a. Jahre) Z n Zinsen nach n Zeiteinheiten Kapital nach n Zeiteinheiten K n Zinsrechnung A) Die lineare einfache) Verzinsung, bei der innerhalb eines Kapitalüberlassungszeitraumes kein Zinszuschlagtermin oder Zinsverrechnungstermin) liegt, wird durch eine arithmetische Folge beschrieben. Beispiel 3.4 Zum Zinssatz d = 0, 06 = 6% p.a. wird das Kapital K 0 = oder Maltesische Lira) für einen Zeitraum von 6 Jahren ausgeliehen. Damit ergibt sich K 0 = , K = K 0 + d), Z = K 0 d, K = K 0 + d), Z = K 0 d, K 3 = K d),. Z 3 = K 0 3 d,. Nach 6 Jahren belaufen sich die Zinsen auf Z 6 = K 0 6 d = Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 37

23 und das End)-Kapital beträgt K 6 = K d) = Lineare Verzinsung: Bei der linearen Verzinsung zum Zinssatz d ergeben sich die folgenden expliziten Formeln für das Kapital und die Zinsen nach n Jahren: K n = K 0 + n d) und Z n = K 0 n d. Beispiel 3.5 Welches Anfangskapital K 0 muss bei einfacher Verzinsung angelegt werden, wenn nach 7 Jahren ein Kapital von vorhanden sein soll und der Zinssatz 0, 05 bzw. 0, 06 beträgt? Im ersten Fall muss die Gleichung K 7 = = K , 05) = K 0, 35 nach K 0 aufgelöst werden. Das ergibt ein benötigtes Anfangskapital von Im zweiten Fall ergibt sich analog K 0 = 00000, 35 K 0 = 00000, Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ B) Neben der einfachen Verzinsung spielt natürlich die Zinseszinsrechnung eine wichtige Rolle. Hier gibt es innerhalb der Kapitalüberlassungsfrist weitere Zinsverrechnungs- oder Zinszuschlagtermine, in denen die bis dahin entstandenen Zinsen dem Kapital als Zinszuschlag hinzugefügt werden und mit ihm zusammen das weiter zu verzinsende Kapital bilden. Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel, wobei diesmal die Zinsen jährlich nachträglich dem Kapital zugeschlagen und ebenfalls verzinst werden. Beispiel 3.6 Es wird das Kapital K 0 = für einen Zeitraum von 6 Jahren angelegt. Nach jeder Zinsperiode Jahr) erfolgt ein Zinszuschlag von d = 0, 06 = 6%. Damit ergibt sich K 0 = , K = K 0 + d), K = K + d) = K 0 + d),. Nach 6 Jahren ist also das Gesamtkapital K 6 = K 0 + d) Zinseszinsrechnung: Bei Berücksichtigung nachschüssiger Zinseszinsen ergeben sich die folgenden Formeln für das Kapital und die Zinsen nach n Jahren: K n = K 0 + d) n und Z n = K n K 0. Nachschüssigkeit bedeutet, dass die Zinsen am Ende des Jahres gezahlt werden. Beispiel 3.7 Der Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und nachschüssigem) Zinseszins bezogen auf einen Zeitraum von bis zu 50 Jahren ist Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

24 in der folgenden Tabelle für zu erkennen. K 0 =.000 und d = 0, 05 = 5% n K 0 + nd) K 0 + d) n Beispiel 3.8 Welches Anfangskapital K 0 muss bei nachschüssigem Zinseszins angelegt werden, wenn nach 7 Jahren ein Kapital von vorhanden sein soll und der Zinssatz 0, 05 bzw. 0, 06 beträgt? Im ersten Fall muss die Gleichung K 7 = = K 0 + 0, 05) 7 nach K 0 aufgelöst werden. Das ergibt ein benötigtes Anfangskapital von K 0 = , 057 Analog ergibt sich im zweiten Fall K 0 = , 067 Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Die Berechnung von K 0 aus gegebenem n, d und K n wird auch als Bestimmung des Barwertes einer zukünftigen Zahlung bezeichnet. Barwertformel der Zinseszinsrechnung: Der heute zahlbare Betrag K 0, der benötigt wird, um eine in n Zeitperioden fällige Schuld K n abzulösen, beträgt K 0 = K n + d) n = K n + d) n, wobei d der Zinssatz pro Zeitperiode ist. K 0 heißt Barwert des nach n Zeitperioden fälligen Betrags K n oder auch n-mal abgezinstes bzw. diskontiertes Kapital K n. Das Abzinsen erlaubt den Vergleich von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten: eine Zahlung K, fällig in n 0 Zeitperioden, und eine Zahlung K, fällig in ñ 0 Zeitperioden, heißen äquivalent bzgl. eines Zinssatzes d, wenn gilt K + d) ñ 0 = K + d) n 0 oder, anders geschrieben, K = K + d)ñ0 n 0. Es gilt das folgende Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik: Sind zwei zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällige Zahlungen äquivalent bezüglich eines Zeitpunktes, so auch in Bezug auf jeden anderen Zeitpunkt. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

25 Ebenso wie das Anfangskapital K 0 lassen sich auch der Zinssatz d sowie die Anzahl n der Jahre aus den anderen Größen in der Zinseszinsformel ermitteln d = n Kn K 0, n = Kn ln K 0 ln + d) = ln K n ln K 0 ln + d) Beispiel 3.9 Sie bringen ein Anfangskapital von 500 zur Bank und erhalten 8% jährliche nachschüssige Zinseszinsen. Wie lange müssen Sie warten, bis Sie ein Kapital von 900 besitzen? Wir berechnen die Anzahl der Jahre durch. Geben Sie bei einer Aufgabe wie dieser Ihr Ergebnis bitte nicht in der Form n = 7, 637 an. Die hier verwendeten Formeln sagen zunächst nur etwas aus über die Kapitalentwicklung zu festen Zeitpunkten, also z.b. nach 7 und nach 8 Jahren, und nicht, nach welcher Formel sich das Kapital dazwischen entwickelt. Außerdem suggeriert eine Angabe wie 7, 637 Jahre eine unangemessene Genauigkeit: Sie rechnen hier genauer als bis auf einen Tag genau, obwohl in der Regel bei kleineren) Finanzgeschäften nur bis auf den Tag genau und nicht etwa Stundengenau gerechnet wird! n = Sie müssen also 8 Jahre warten. ln 900 ln 500 ln, 08) 7, 637. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ C) Werden die Zinsen dem Kapital auch nach Zeitintervallen gutgeschlagen, die kleiner sind als ein Jahr oder die dem angegebenen Zinssatz zugrunde liegende Zeiteinheit) und im weiteren mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung. Beispiel 3.30 Eine Bank gibt für die Verzinsung eines Kapitals K 0 einen nominellen Jahreszinssatz d an. Der Zinszuschlag erfolgt allerdings nicht jährlich, sondern nach jedem Quartal. Dann ergibt sich nach einem Jahr als Kapital K 0 + d ) 4 4 Ist zum Beispiel K 0 = 000 und d = 0, 05, so ergibt sich ) K = K 0 + 0, ) K = K + 0,05 4 ) 4 = K0 + 0, ) K 3 = K + 0,05 4 ) 4 = K0 + 0, ) K 5 = K 4 + 0,05 4 ) 4 = K0 + 0, ) K 0 = K 9 + 0,05 4 ) 4 = K0 + 0, Vergleichen Sie K 5 und K 0 auch mit den Erträgen in der Tabelle von Beispiel 3.7. und der effektive Jahreszins beträgt + d 4) 4. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

26 Unterjährige Verzinsung: Erfolgt bei einem nominellen Jahreszinssatz d an m Zeitpunkten eines Jahres ein nachschüssiger Zinszuschlag, dann beträgt das Kapital nach Ablauf des n-ten Jahres K n = K 0 + m) d m n. Der effektive Jahreszins ist gleich + d m) m. Die folgende Tabelle gibt den effektiven Zinssatz bei unterjähriger Verzinsung zu verschiedenen Zeitintervallen sowie bei stetiger Verzinsung an. Die nominellen Zinssätze sind %, 5% und 0%. m % 5% 0%, 00 5, 063 0, 50 4, 05 5, 095 0, 38, 08 5, 6 0, , 00 5, 7 0, 57 e d )%, 00 5, 7 0, 57 Lässt man die Zeitintervalle der Zinszuschläge immer kürzer werden d. h. m ), so kommt man zur stetigen Verzinsung. Der effektive Jahreszins ist dann + m) d m = e d. lim m Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Rentenrechnung Unter einer n-maligen Rente versteht man eine regelmäßige, in n gleichen Zeitabständen fällige Zahlung, die aus n Teilzahlungen R j, mit j =,..., n, besteht, den Rentenraten. Bei der nachschüssigen Rente erfolgt die Zahlung R j am Ende des j-ten Zeitabschnitts, bei der vorschüssigen Rente dagegen am Beginn des j-ten Zeitabschnitts. wird die erste Rentenzahlung nur n Jahre verzinst, bei vorschüssiger aber n Jahre. Entsprechendes gilt für die weiteren Zahlungen. Im folgenden betrachten wir nur den Fall konstanter Rentenzahlungen, also R j = R für alle j. Im Zusammenhang mit Renten interessiert man sich vor allem für den Gesamtwert, unter Berücksichtigung von Zinseszins, den eine Rente am Anfang bzw. Ende der Rentenzahlungen hat. Hierbei kommt es darauf an, ob die Rente nach- oder vorschüssig gezahlt wird. Denn bei nachschüssiger Zahlung einer n-maligen Rente Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

27 Rentenendwertformel bei nach- und vorschüssiger Zahlung: Bei dem Aufzinsungsfaktor q = + d und der konstanten Rentenzahlung R ergibt sich bei nachschüssiger Zahlung der Gesamtwert K n = Rq n + Rq n + Rq n R n n = Rq n k = Rq k = R qn q k= und bei vorschüssiger Zahlung k= K n = Rq n + Rq n + Rq n Rq n n = Rq n k = Rq k = Rq qn q k= Falls zu Beginn des Zeitraums auch noch ein Anfangskapital K 0 vorliegt wie oft bei Ratensparverträgen), so ergeben sich als Endwerte bei nach- und vorschüssiger Zahlung K n = K 0 q n + R qn q, K n = K 0 q n + Rq qn q. Beispiel 3.3 Sie schließen mit Ihrer Bank einen Ratensparvertrag über 0 Jahre und zu einem Zinsfuß von 6% ab. Zu Beginn des ersten Jahres zahlen Sie einen Einmalbetrag von 500 ein und anschließend jeweils am Ende des Jahres eine Rate von 00. Welchen Wert hat das Kapital nach 0 Jahren? Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Da es sich um nachschüssige Ratenzahlung handelt, ergibt sich als Endwert K 0 = 500, , , 06 Das von Ihnen eingezahlte Kapital beträgt = Der Rest stammt aus den Zinseszinsen. Löst man die Rentenendwertformeln ohne Anfangskapital) nach R auf, so kann man bestimmen, welche jährliche Rate zu zahlen ist, um bei einem Zinsfuß von p% nach n Jahren ein gewünschtes Kapital zu erhalten. Mit dem Aufzinsungsfaktor q = + d = + p 00 ergeben sich bei nach- und vorschüssiger Zahlung q R = K n q n und R = K n q q q n Bei Berücksichtigung eines Anfangskapitals K 0 erhalten wir R = K n K 0 q n ) q q n R = K n K 0 q n ) q qq n ) nachschüssig) vorschüssig) Wenn Sie wissen wollen, nach wie vielen Jahren Sie bei konstanter Rentenzahlung R ein Kapital K angespart haben, müssen Sie nach n auflösen: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/005 39

28 K + R ) q n = ln K 0 + R / lnq) nachschüssig) q K q n = ln + R ) q K 0 + R / lnq) vorschüssig) q Eine einfache Formel, um q aus R, n, K n und K 0 auszurechnen, gibt es nicht. Tilgungsrechnung Tilgung, Annuität: Werden Schulden in Teilbeträgen, den sogenannten Raten zurückgezahlt, so spricht man von einer Tilgung, bei der die Schulden auf eine Restschuld vermindert werden. Die in einem Zeitabschnitt vom Schuldner aufzubringende Leistung wird als Annuität bezeichnet. Die Annuität A setzt sich aus der Tilgungsrate T und den Zinsen Z für den Zeitabschnitt zusammen: A = T + Z. Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Zeitabschnitten zu erbringenden Annuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heißt Tilgungsplan. Bei der Ratentilgung ist die Tilgungsrate während der gesamten Tilgungsdauer konstant. Bei der Annuitätentilgung erfolgt die Tilgung am Ende jeder Periode so, dass die Annuität über den gesamten Zeitraum konstant bleibt. Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Da die Restschuld und damit die Zinsen im Laufe der Zeit sinken, wird bei der Annuitätentilgung von Jahr zu Jahr ein größerer Betrag getilgt. Soll eine Schuld K 0 in n Jahren mit einer Ratentilgung getilgt werden, so beträgt die jährliche Tilgungsrate T = K 0 n. Da die zu verzinsende Restschuld von Jahr zu Jahr abnimmt, werden die Annuitäten mit der Zeit geringer. Beispiel 3.3 Ratentilgung) Der Tilgungsplan für eine Schuld K 0 = bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 0 Jahren hat folgende Form Jahr Tilgungsrate Zinsen Annuität Restschuld Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

29 Wie man an der Tabelle sieht, sind die Belastungen des Schuldners ungleichmäßig über die Tilgungsdauer verteilt. Ratentilgung: Sei K 0 die Schuld und T die Tilgungsrate, um die Schuld in n Jahren zu tilgen, also T = K 0 n. A m = T + Z m. Dann ist K m = K m T, m =,..., n Z 0 = K 0 d, Z m = Z m T d, m =,..., n, A 0 = Z 0 + T, A m = A m T d, m =,..., n. Bei der Ratentilgung bilden Zinsen, Annuitäten und Restschuld jeweils arithmetische endliche) Folgen: Sei d der Zinssatz, K m die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Z m die zu zahlenden Zinsen für die m + )-te Periode und A m die Annuität, also Beispiel 3.33 Annuitätentilgung) Will man nun in der gleichen Situation wie in Beispiel 3.3 die Schuld mit der Annuitätentilgung ableisten, so benötigt man diejenige konstante Annuität A, die nach 0 Jahren zur Gesamttilgung der Schuld mit den aufgelaufenen Zinsen führt. Dieser Wert A berechnet sich wie folgt: Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ In 0 Jahren wird aus der Schuld K 0 = bei nachschüssigem Zinseszins K n = K 0, 08 0 = 589, 50. Die Tilgung dieser Gesamtschuld in 0 Jahren kann man sich nun als eine n-malige Rente vorstellen. Daher ist die gesuchte Annuität A gerade diejenige konstante Rentenzahlung, die zu einem Endwert von 589, 50 führt. Bei nachschüssiger Zahlung muss also die erste Formel auf Seite 39 angewendet werden und liefert q A = K n q n = 589, 50 0, , 95., 08 0 typischerweise begleicht man nicht gleich bei Aufnahme des Kredits eine Schuld, sondern beginnt nach dem ersten Zeitintervall, daher nachschüssige Zahlung). Damit hat der Tilgungsplan für eine Schuld von K 0 = bei 8% Zinsen und einer Laufzeit von 0 Jahren die Form Jahr Tilgung Zinsen Annuität Restschuld 6.90, , , , , , , , , , , , , , 4.90, , , , , , , , , , , 3.948, , , , , , , , 88.6, , , , 0.03, , 95 0, , , 50 Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/

30 Annuitätentilgung: Sei K 0 die Schuld, d der jährliche Zinssatz, q = + d der Aufzinsungsfaktor, und sei A die konstante Annuität, die erforderlich ist, um die Schuld nach n Jahren zu tilgen. Dann ist K 0 q n = A qn q. Bei der Annuitätentilgung bildet die Tilgung eine geometrische endliche) Folge. Sei K m die Restschuld am Ende der m-ten Periode, Z m die zu zahlenden Zinsen für die m + )-te Periode und T m die zu zahlende Tilgungsrate für die m + )-te Periode. Dann gilt K m = K 0 q m A qm q, Z 0 = K 0 q ) m =,..., n Z m = Z m q A q ), m =,..., n T 0 = A K 0 q ) T m = T m q, m =,..., n Beispiel 3.34 Statt die Situation eines Schuldners und seiner Bank zu betrachten, können die Rollen auch vertauscht werden, d.h. wir behandeln nun folgende Situation: Sei K 0 ein Anfangskapital, das zu Beginn eines Jahres eingezahlt und mit dem jährlichen Zinssatz d verzinst wird. Innerhalb eines Jahres vermehrt sich das Mathematik I WiSe 004/ Mathematik I WiSe 004/ Kapital um den Aufzinsungsfaktor q = + d. Am Ende jeden Jahres wird dem Kapital ein fester Betrag R entnommen die Rente ). Dieser Betrag R entspricht der konstanten Annuität in der Situation der Annuitätentilgung. Wie groß ist dann das Kapital nach n Jahren? Die Formel aus dem obigen Satz liefert unmittelbar die Antwort; dies ist die sogenannte Sparkassenformel für den Kapitalabbau durch Auszahlung einer festen Rente bei einem Zinssatz d: K n = K 0 q n R qn q = K 0 + d) n R + d)n d Mathematik I WiSe 004/