Drehimpulse und Atomniveaus für PdM1
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- Harald Kneller
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1 Drehimpulse und Atomniveaus für PdM1 Nils Haag, ) Drehimpuls in der Quantenmechanik 1a) Kugelkoordinaten In Atomen macht das Rechnen mit kartesischen Koordinaten kaum Sinn, da die zu lösenden Gleichungen in (x,y,z) sehr unhandlich sind. Aufgrund des kugelsymmetrischen Zentralpotentials durch den Atomkern wählen wir deswegen sphärische Koordinaten: Abbildung 1: Veranschaulichung der Kugelkoordinaten. Quelle - Wikipedia. Die Umrechnung von kartesischen in Kugelkoordinaten ist wie folgt: Ψ(x, y, z) Ψ( r) = Ψ(r, ϑ, φ) Die 3-dimensionale Schrödingergleichung ( ) [ 2 d 2 2m dx + d2 2 dy + d2 2 dz 2 x = r sin ϑ cos φ y = r sin ϑ sin φ z = r cos ϑ ] + V (x, y, z) Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z) schreibt sich in Polarkoordinaten zwar erstmal etwas komplizierter, aber im Endeffekt lässt sich damit viel leichter rechnen, da sich so der Radialteil und der Winkelanteil der Wellenfunktion voneinander trenne lassen (separierbar sind): ( ( [ 2 1 r 2 ) ( 1 + sin ϑ ) ) ] m r 2 r r r 2 sin ϑ ϑ r 2 sin 2 + V ( r) Ψ( r) = EΨ( r) ϑ φ 2
2 1b) Drehimpulsoperator in der Schrödingergleichung Diese Form der Schrödingergleichung lässt sich unter Verwendung des Drehimpulsoperators ˆL noch einfacher schreiben. Der klassische Drehimpuls in der Mechanik war gegeben durch L = r p. Wir können im quantenmechanischen Fall statt p den Drehimpulsoperator ˆp einsetzen und bekommen somit: ˆL = r ˆp ( = r i ) x = i y z x y z Rechnet man dies aus und überführt dies in Kugelkoordinaten, so ergibt sich: ( ˆL 2 1 = sin ϑ ) r 2 sin ϑ ϑ r 2 sin 2 ϑ φ 2 was genau dem hinteren Teil des Hamiltonoperators in der Schrödingergleichung entspricht.wir können die SG also schreiben als: [ 2 2mr 2 r ( r 2 ) + ˆL ] 2 r 2mr + V ( r) Ψ( r) = EΨ( r) 2 Die SG besteht also aus einem Term der nur r-abhängig ist und einem für den Drehimpuls. Nach einem Separationsansatz lassen sich die Lösungen der folgenden Form finden: Ψ(r, φ, θ) = R(r)F lm (φ, ϑ) F lm (φ, ϑ) nennt man Kugelflächenfunktion. Als Endergebnis erhält man: Ψ(r, φ, ϑ) = R nl (r)pl m (cosϑ)e imφ wobei Pl m (cosϑ) die sogenannten zugeordneten Legendrepolynome sind, die wir nicht explizit näher betrachten wollen. Löst man die Schrödingergleichung also in Kugelkoordinaten mit dem Coulombpotential, ergibt sich (nach einiger Mathematik, die wir weggelassen haben, da sie den Rahmen sprengt), dass die Elektronen-Zustände im Wasserstoffatom (ohne Spin) durch drei Quantenzahlen beschrieben werden können: Hauptquantenzahl n Drehimpulsquantenzahl l magnetische Quantenzahl m l (wird manchmal auch m z oder einfach nur m genannt) Genaueres hierzu folgt in Kapitel 2. Ohne Berücksichtigung, der erst später besprochenen Spin-Bahn-Kopplung und ohne externes Magnetfeld ist die Energie eines Zustandes ausschließlich von der Hauptquantenzahl n abhängig.
3 Die Energieniveaus im Coulombproblem sind also entartet. Der Wert der Energie für das Wasserstoffatom ergibt sich zu: E = m ez 2 e (4πɛ 0 ) 2 n 2 1c) Eigenwerte des Drehimpulses Den Wert des Drehimpulsquadrats eines Elektrons im Zustand Ψ erhält man, indem man den Operator ˆL 2 auf die Wellenfunktion (eine Drehimpuls-Eigenfunktion) anwendet - sich also die Eigenwertgleichung ansieht (genau wie man z.b. die kinetische Energie mit dem Energieoperator erhält, wenn man diesen auf dessen Eigenfunktionen anwendet - siehe Übungen). Für den in der Schrödingergleichung verwendeten Operator ergibt sich - ohne Herleitung, da diese zu weit geht: ˆL 2 Ψ = 2 l(l + 1)Ψ Der Wert des Drehimpulses (ganz genau gesprochen: Den Eigenwert für den Betrag des Drehimpulses) ist also L = l(l + 1) Ganz analog kann man auch die z-komponente des Drehimpulses ansehen, die sich ergibt zu ˆL z Ψ = m l Ψ Der Wert der z-komponente des Drehimpulses ist also L = m l Anmerkung1 : Wir hätten auch die x- oder y- Komponente nehmen können, aber es ist allgemein übliche Konvention, die z-richtung zu wählen. Anmerkung2 : Diese Beziehungen gelten ganz allgemein für jeden Drehimpuls und die dazugehörigen Quantenzahlen, egal ob Bahndrehimpuls (l, m l ), Spin (s, m s ) oder Gesamtdrehimpuls (j, m j ). Abbildung 2: Die möglichen Einstellungen des Bahndrehimpulsvektors L für l = 1. Die Länge der Vektoren ist jeweils gleich ( l(l + 1) = 2 ) und die z-komponente hat nur drei diskrete Möglichkeiten.
4 2) Quantenzahlen im Atom mit einem Elektron 2a) Die möglichen Werte der Quantenzahlen Nähert man das Wasserstoffatom durch ein 3-dimensionales Kastenpotential, erhält man auch auf drei Quantenzahlen n x, n y und n z. Der Hauptunterschied ist, dass in dem hier realistischen Wasserstoffatom mit echtem Coulombpotential nicht alle drei Quantenzahlen unabhängig voneinander sind. Denn es gelten die folgenden Abhängigkeiten - auch dies soll hier nicht bewiesen werden: Die Hauptquantenzahl n kann beliebige ganzzahlige, positive Werte annehmen: n N Die Drehimpulsquantenzahl l nimmt ganzzahlige Werte zwischen 0 und (n-1) an: 0 l n 1 oder anders l = 0, 1,...n 1 Die magnetische Quantenzahl m l nimmt in Schritten von 1 alle Werte zwischen l und +l an: m l oder anders m l = l, l + 1,..., l 1, l Betrachten wir das Wasserstoffatom unter Vernachlässigung des Spins und ohne äußere Magnetfelder, so legt die Hauptquantenzahl n die Energie des Zustands fest. In jeder dieser Schalen (bei n = 1, sagt man, das Elektron befindet sich in der ersten Schale, bei n = 2 in der zweiten etc.) gibt es n 2 -Orbitale, die durch die Quantenzahlen l und m l bestimmt werden. Denn es gibt für jedes l genau 2l+1 Möglichkeiten und insgesamt gibt es pro Schale n verschiedene Möglichkeiten für l. Die Orbitale benennt man nach der Hauptquantenzahl und einem Buchstaben für l wobei man für l = 0, 1, 2, 3, 4 die Buchstaben s, p,d, f, g verwendet. Die untenstehende Grafik gibt einige Beispiele an. Abbildung 3: Die möglichen Orbitale im Wasserstoffatom für die ersten drei Schalen. Jedes Orbital existiert (isoenergetisch) 2l+1 mal, unterschieden durch die Quantenzahl m l. Wie gesagt gibt es insgesamt jeweils 2l+1 Orbitale jedes Typs, die aber nicht gesondert gezeichnet werden, da sie alle die gleiche Energie haben.
5 2b) Auswahlregeln Durch die Absorption und Emission von Photonen darf sich der Drehimpuls immer nur um l = ±1 ändern (Photonen haben einen Spin von s = 1). Auch die magnetische Quantenzahl m l kann sich um maximal 1 ändern. Die Auswahlregeln sind also: l = ±1 m = 1, 0, 1 In der obigen Zeichnung bedeutet dies, dass Dipol-Übergänge nur stattfinden können, wenn sie von einer Spalte in eine direkt angrenzende Spalte stattfinden: Abbildung 4: Darstellung der Auswahlregeln für Dipolstrahlung.
6 3) Spin und Gesamtdrehimpuls 3a) Der Spin Bisher haben wir den Spin des Elektrons vernachlässigt, dies soll sich nun ändern. Der Spin ist ebenfalls ein Drehimpuls. Anders aber als der Bahndrehimpuls, der ein sogenannter äußerer Drehimpuls ist, weil man ihn sich durch die Bewegung des Elektrons um den Atomkern vorstellen kann, ist der Spin ein innerer Drehimpuls. Die Vorstellung, dass sich das Elektron selbst als Ball dreht, hilft weiter, ist aber eigentlich nicht korrekt (nicht zuletzt, da das Elektron unseres Verständnisses nach ein punktförmiges Teilchen ist und somit gar keinen Drehimpuls durch eine Eigenrotation haben kann). Der Spin wird formal genau wie der Bahndrehimpuls behandelt. Anders als dieser ist die Spinquantenzahl aber für jedes Teilchen eine feste Konstante. Er wird beschrieben durch die Spinquantenzahl s und deren z-komponente m s 1. So gilt: Fermionen haben halbzahlige Spins. Der einzig für uns relevante Wert ist hierbei die Spinquantenzahl s = 1 (Elektronen, Protonen, Neutronen, Muonen, Neutrinos...also vor allem 2 alles, aus dem Materie bestehen kann). Bosonen haben ganzzahligen Spin (0, 1, 2). Wie beim Bahndrehimpuls erhält man den Wert des Drehimpulses durch ŜΨ = S Ψ = s(s + 1)Ψ Anmerkung: Man muss etwas mit der Formulierung aufpassen. Man spricht meist salopp davon, dass das Elektron Spin 1 hat. Was man eigentlich meint, ist dass das Elektron eine Spinquantenzahl s = 1 hat, 2 2 was bedeutet, dass der Wert des Eigendrehimpulses s(s + 1) = 3 4 beträgt. Die z-komponente der Spinquantenzahl für Elektronen (die die einzigen Teilchen sind, die wir betrachten) hat somit die beiden Einstellmöglichkeiten m s = ± 1 2. Wie weiter unten erläutert, darf jedes der Atomorbitale mit zwei Elektronen besetzt werden, die jeweils entgegengesetzten Spin, also m s = 1 2 bzw. m s = 1 2 haben. 1 Wie wir in der Teilchenphysik noch sehen werden, können Teilchen in zwei Kategorien eingeteilt werden: Fermionen, wie z.b. Elektronen, mit halbzahligem Spin und Bosonen, wie z.b. Photonen, mit ganzzahligem Spin.
7 3b) Addition von Drehimpulsen: Der Gesamtdrehimpuls In einigen Situationen, die wir in Kapitel 4 betrachten werden, sind der Bahndrehimpuls und der Spin des Elektrons nicht mehr getrennt erhalten. Erhalten ist dort der Gesamtdrehimpuls J, der sich aus der vektoriellen Summe aus Bahndrehimpuls L und Spin S definiert: J = L + S Da die Vektoren L und S nur bestimmte Einstellmöglichkeiten haben (vgl. Kapitel 1c) und Abb. 2), ergeben sich auch für J nur diskrete Einstellmöglichkeiten. Untenstehende Grafik zeigt ein Beispiel für die Werte l = 1 und s = 1 2 : Abbildung 5: Die möglichen Kombinationen des Bahndrehimpulsvektors L und des Spinvektors S zum Gesamtdrehimpulsvektor J. Hierbei kann die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses j nur die beiden Werte j = l ±s, also l ± 1 2 annehmen. m j ist (wie bei allen Drehimpulsen) zwischen j und j. Somit können die in der Grafik außen gezeichneten beiden Niveaus (m j = ± 3 ) nur in Systemen 2 mit Gesamtdrehimpuls j = 3 angenommen werden. Die beiden Niveaus mit m 2 j = ± 1 können zu 2 j = 1 oder j = 3 gehören. 2 2
8 4) Die Aufspaltungen der Energieniveaus im Atom Bis jetzt haben wir gesehen, dass allein die Hauptquantenzahl n die Energie eines Atomniveaus bestimmt. Die Quantenzahlen l, m l und m s haben einzig festgelegt, wie viele Elektronen in eine Schale passen 2. Betrachtet man die Spektren der Atome allerdings mit einer höheren Auflösung, so sieht man, dass die Kopplung der oben behandelten Drehimpulse zum einen und zum anderen die Kopplung mit eventuellen externen Magnetfeldern zu einer Aufspaltung der Energieniveaus führt - man spricht auch von einer Aufhebung der Entartung der Energieniveaus 3. Man unterscheidet hierbei zwischen Effekten, die auch ohne das Einwirken externer Felder auftreten, und solchen, die sich nur durch das Anlegen von Magnet- oder elektrischen Feldern zeigen. Untenstehende Liste fasst die meisten Effekte zusammen, wobei in rot diejenigen Effekte stehen, die wir in der Vorlesung nicht behandeln werden (und die ihr nicht wissen müsst). I) Intrinsische Effekte (treten ohne externe Felder auf): 4a) Die Feinstrukturaufpaltung kommt durch die Kopplung des Bahndrehimpulses L und des Spins S zustande. Die Hyperfeinstrukturaufspaltung ist auf die Kopplung von Gesamtdrehimpuls J und Kernspin I zurückzuführen. Eine relativistische Verschiebung und Aufspaltung der Energieniveaus mit gleichem l entsteht dadurch, dass das Elektron durch die schnelle Bewegung um den Kern eine Massenzunahme erfährt (die sogenannte F einstrukturauf spaltung beinhaltet entgegen der obigen Nomenklatur üblicherweise auch diesen Effekt). Der Lamb-Shift beschreibt die Änderung der Energieniveaus aufgrund der Wechselwirkung der Elektronen mit der sogenannten virtuellen Vakuumpolarisation. II) Effekte, die durch externe Felder induziert werden: 4b) Beim normalen Zeeman Effekt koppelt der Bahndrehimpuls L an ein äußeres Magnetfeld. Hierbei vernachlässigt man den Elektronenspin bzw. betrachtet Systeme mit Gesamtspin 0. 4c) Beim anomalen Zeeman Effekt koppelt der Gesamtdrehimpuls J an ein externes Magnetfeld. Der Paschen-Back Effekt beschreibt die Aufspaltung der Energieniveaus in einem extrem starken Magnetfeld. Der Stark-Effekt beschreibt die Aufspaltung der Energieniveaus durch die Einwirkung eines externen elektrischen Feldes. 2 Wie die Schalen mit Elektronen gefüllt werden, wird in der Vorlesung noch behandelt. 3 Ein Energieniveau nennt man entartet, wenn es mehrere verschiedene Zustände gibt, die dieselbe Energie haben.
9 4a) Die Feinstrukturaufspaltung Aus der Elektrodynamik wissen wir, dass elektrische Kreisströme Magnetfelder erzeugen. Das Entstehen der Feinstrukturaufspaltung kann man sich vorstellen als Wechselwirkung des magnetischen Moments, das das Elektron aufgrund seines Spins hat, mit dem Magnetfeld, das durch den Bahndrehimpuls erzeugt wird. Wir hatten oben gesehen, wie wir L und S zu J koppeln können. Dies führte dazu, dass j zwei Werte annehmen konnte, nämlich j = l ± s. Berücksichtigt man dies in der Schrödingergleichung, was wir hier nicht explizit behandeln wollen (eine Erweiterung der SGL mit Spin ist die Pauli- Gleichung), kommt man darauf, dass jedes Energieniveau sich nun je nach j in zwei Niveaus aufspaltet - außer natürlich die s-orbitale, da hier nur j = 1 möglich ist. Niveaus mit gleichem n 2 und gleichem j haben dieselbe Energie. Abbildung 6: Die Feinstrukturaufspaltung aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung. Der Unterschied dieser Energieniveaus mit unterschiedlichem j und gleichem n beträgt übrigens nur etwa 10 4 bis 10 5 ev. Das ist also etwa 4 bis 5 Größenordnungen kleiner als die Energieabstände der Schalen (n=1, 2...).
10 4b) Der normale Zeeman Effekt Der Zeeman Effekt zeigt sich, wenn man das Atom in ein äußeres Magnetfeld einbringt. Beim normalen Zeeman Effekt spielt der Spin keine Rolle (somit gilt dieser Effekt für das Wasserstoffatom gar nicht, sondern nur für Systeme mit Gesamtspin 0). Der Zeeman Effekt beschreibt eine Aufspaltung E der Energieniveaus durch die Kopplung des magnetischen Moments µ des Atoms an ein äußeres Magnetfeld: E = µ B = e 2m L B = e 2m m lb = µ B m l B Hierbei haben wir das Magnetfeld in z-richtung angelegt und damit die z-komponente des Drehimpulses erhalten. Zudem haben wir das Bohr sche Magneton µ B = e 2m definiert. Jedes Orbital mit Quantenzahl l spaltet also in 2l + 1 verschiedene Energieniveaus auf - eines für jeden Wert von m l. Der Abstand der einzelnen Niveaus ist µ B B und ist gegeben durch die Größe von µ B ev T. Abbildung 7: Aufspaltung der Energieniveaus der Orbitale aufgrund des normalen Zeeman Effekts.
11 4c) Der anomale Zeeman Effekt Da das Elektron einen Spin trägt, kann das Wasserstoffatom nicht als spinloses System angesehen werden (was ja auch zur Feinstrukturaufspaltung geführt hatte). Somit koppelt ein Magnetfeld nicht nur an den Bahndrehimpuls, sondern an den Gesamtdrehimpuls. Hier ist zusätzlich zur quantenmechanischen Vektoraddition zu beachten, dass der Spin (mit einem g-faktor von 2) doppelt so stark an ein Magnetfeld koppelt wie der Bahndrehimpuls. Das Ergebnis der (hier nicht durchgeführten) Berechnungen ist, dass jedes Energieniveaus nl j in 2j + 1 Niveaus aufspaltet - je nach der z-komponente des Gesamtdrehimpulses, m j. Allerdings ist hierbei der Abstand der Niveaus nicht gegeben durch µ B B, wie noch beim normalen Zeeman Effekt, sondern hängt von j ab und ist somit i.a. für die Orbitale nl j unterschiedlich. Dies ist eine Folge der Addition zweier Drehimpulse, die zudem noch unterschiedliche Kopplungsstärken haben. Abbildung 8: Aufspaltung ausgewählter Energieniveaus aufgrund des anormalen Zeeman Effekts.
12 5) Mehrelektronenatome und der Aufbau des Periodensystems 5a) Das Pauliprinzip In der Quantenmechanik sind Teilchen gleichen Typs ununterscheidbar (alle Elektronen sind identisch). Die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Wellenfunktion zweier Teilchen ψ( r 1, r 2 ) 2 bei der räumlichen Vertauschung der beiden Teilchen ändert sich somit nicht: ψ( r 1, r 2 ) 2 = ψ( r 2, r 1 ) 2 ψ( r 1, r 2 ) und ψ( r 2, r 1 ) können sich also maximal um einen Phasenfaktor unterscheiden: ψ( r 1, r 2 ) = e iφ ψ( r 2, r 1 ) Da bei zweimaliger Vertauschung des Ortes wieder die selbe Funktion ψ( r 1, r 2 ) entstehen muss, folgt für den Phasenfaktor φ direkt: ψ( r 1, r 2 ) = e iφ ψ( r 2, r 1 ) = e iφ e iφ ψ( r 1, r 2 ) ( e iφ) 2 = 1 und damit: ψ( r 1, r 2 ) = ±ψ( r 2, r 1 ) Es stellt sich empirisch heraus, dass das Pluszeichen für Teilchen gilt, die ganzzahligen Spin haben (sogenannte Bosonen, wie das Photon), und das Minuszeichen für Teilchen mit halbzahligem Spin (sogenannte Fermionen, wie das Elektron, Proton oder Neutron). Dies hat auch die direkte Konsequenz, dass sich Fermionen nicht am selben Ort aufhalten dürfen. Verallgemeinert auf die Atomphysik dürfen sich zwei Elektronen nicht im selben Zustand n, l, m l, m s befinden. Dies ist der Grund, weswegen jedes Niveau nl m mit maximal zwei Elektronen (m s = ± 1 2 ) belegt werden darf. 5b) Die Hundschen Regeln und der Aufbau des Periodensystems In welcher Reihenfolge belegen die Elektronen die Energieniveaus, wenn man im Periodensystem zu schwereren Elementen wandert. Anders gefragt: Was sind die Regeln, die einem ohne die Schrödingergleichung lösen zu müssen sagen, welche Energieniveaus niedriger liegen als andere? Bei Atomen im Grundzustand mit mehreren Elektronen füllen sich die Energieniveaus und Orbitale den sogenannten Hundschen Regeln folgend auf. Diese geben ein Kochrezept dafür ab, wie man die einzelnen Orbitale bei steigenden Elektronenzahlen nacheinander mit Elektronen belegt und sich somit das Periodensystem aufbaut. Diese Regeln geben auch an, wie man die Gesamtdrehimpulquantenzahl J aus der Gesamtdrehimpuls-QZ L und dem Gesamtspin S berechnet. Sie lauten: i) Der Gesamtspin S und Gesamtdrehimpuls L in abgeschlossenen Schalen ist 0. ii) Bei nicht gefüllten Schalen wird der Spin in den entarteten m l -Zuständen maximiert. iii) Bei gleicher Multiplizität (definiert als 2S+1) liegen Zustände mit dem größten L energetisch am tiefsten (werden also zuerst bevölkert). iv) Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl J berechnet sich bei mehr als halbgefüllten Schalen über J = L + S und bei weniger als halbgefüllten Schalen über J = L S
13 Anmerkung zu den einzelnen Regeln: i) Berechnet man den Drehimpuls, Spin und den Gesamtdrehimpuls eines Atoms, so tragen alle abgeschlossenen Orbitale nl nichts zum Gesamtbetrag bei. Man muss also nur nicht-volle Orbitale betrachten. ii) Man belegt alle Subniveaus m l eines Orbitals mit Drehimpuls-QZ l erst einfach mit Elektronen des gleichen Spins. Danach erst werden die Niveaus mit einem zweiten Elektron gefüllt, dass entgegengesetzten Spin hat. iii) Füllt man ein Orbital mit Drehimpuls l mit Elektronen, gibt es also ein einfaches Rezept: Man setzt ein Elektron in das Niveau mit m l = l; das zweite kommt in das Niveau m l = l + 1 und so weiter bis zum Zustand m l = l. Erst wenn jeder m l -Zustand einmal belegt wurde - siehe Regel ii) - fängt man wieder am ersten Orbital an und belegt sie in gleicher Reihenfolge mit dem zweiten Elektron. So ist der resultierende Drehimpulsbetrag immer maximal. (Man kann auch mit m l = l starten und dann rückwärts gehen, das ändert nichts.) Beachtet hierzu und zum gleich folgenden Abschnitt zu den Termsymbolen auch die Übungsaufgabe A26, bei der dieses Vorgehen ausführlich geübt wird. Die Regeln beschreiben also, wie innerhalb eines Orbitals die Subniveaus m l mit den entsprechenden Spinzuständen belegt werden. Allerdings sagen sie noch nichts darüber, in welcher Reihenfolge die Orbitale nl aufgefüllt werden. Denn zu höhreren Hauptquantenzahlen n ist es nicht mehr automatisch so, dass alle zu n gehörigen Orbitale energetisch niedriger liegen als die der n + 1sten Hauptschale. Hierzu gibt es eine graphische Merkregel. Folgt man von oben folgend nacheinander den Diagonalen in untenstehender Grafik, sieht man, dass die Orbitale in folgender Reihenfolge belegt werden: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s... Somit wird also z.b. das Orbital 4s gefüllt, bevor die dritte Schale mit dem 3d Orbital abgeschlossen wird. Dies sieht man ebenso in der Darstellung des Periodensystems, in der in der dritten Zeile nur das s- und das p-orbital belegt werden, die 10 Elemente, bei denen das 3d-Orbitale aufgefüllt werden, kommen aber erst nach K und Ca, bei denen die Elektronen das 4s-Orbital füllen.
14 5c) Nomenklaturen Eine übliche Notation um den Gesamtzustand eines Atoms zu beschreiben ist das sogenannte Termsymbol 2S+1 L J, an dem man sofort die sogenannte Multiplizität 2S + 1, sowie den Gesamtbahndrehimpuls L und des Gesamtdrehimpuls J ablesen kann 4. Hierbei wählt man für L abermals die schon beim Wasserstoff übliche Nomenklatur, dass man für L = 0, 1, 2, 3... die Buchstaben S, P, D, F... schreibt. Ein Atom mit S = 1, L = 1 und J = 0 hat also das Termsymbol 3 P 0 (Kohlenstoff im Grundzustand). Für jedes Atom kann man zudem die sogenannte Elektronenkonfiguration angeben. In dieser wird explizit aufgeführt, wieviele Elektronen in den jeweiligen Orbitalen zu finden sind. Zum Beispiel ist die Elektronenkonfiguration für Natrium mit 11 Elektronen: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1. Man liest dies so: Es befinden sich im 1s-Orbital 2-Elektronen, im 2s-Orbital sind ebenfalls 2 Elektronen, 6 Elektronen sind im 2p-Orbital und eines im 3s-Orbital. Bei schwereren Elementen kürzt man das typischerweise so ab, dass das letzte Edelgas angegeben wird und nur die weiteren Elektronen genannt werden. Bei Natrium schreibt man dies z.b. : [Ne]3s 1 Auch diese Nomenklaturen werden in Aufgabe 26 ausführlich geübt. 4 Die Buchstaben werden hier alle groß geschrieben, um zu signalisieren, dass es um den Gesamtzustand des Atoms und nicht um ein einzelnes Elektron geht.
15 Anhang: Aufgaben 1) Wasserstoffatom ohne Berücksichtigung der Spin-Bahnkopplung und ohne Magnetfeld: a) Welche der folgenden Orbitale existiert: 1s, 2f, 3d, 2d, 1d, 5g? b) Welche Werte kann die magnetische Quantenzahl m l für die erlaubten Niveaus annehmen? c) Welche der folgenden Orbitale haben dieselbe Energie: 1s, 2p, 3d, 2s, 3p, 4g, 4s? d) Ergänzen Sie das untenstehende Termschema um die Orbitale bei n = 4 und zeichnen Sie alle Übergänge ein, die zwischen der 2. und der 4. Schale erlaubt sind. e) Beschriften Sie in der obigen Abbildung alle Niveaus mit der Anzahl der Elektronen, die dieses Niveau besetzen können (achten Sie hierbei auf die zwei Möglichkeiten für den Spin). f) Wieviele Elektronen besetzen jeweils insgesamt die 1., die 2. die 3. und die 4. Schale? Beweisen Sie, dass jede Schale mit 2n 2 Elektronen gefüllt werden kann. (Tipp: Beweis per vollständiger Induktion) g) Zeichnen Sie schematisch die Form eines 1s-Orbitals und die eines 2p-Orbitals. h) Wie kommen die Auswahlregeln zustande? Weswegen darf sich l nur um ±1 ändern, m l aber um -1, 0, und 1? i) Welchen Wert hat nimmt der Drehimpuls für die folgenden Orbitale:1s, 2f, 3d, 2p, 1d, 4s, 5g? Welche Werte kann die z-komponente des Drehimpulses haben? j) Beschreiben Sie den Unterschied zwischen ˆL, L, l und dem (Eigen-)Wert des Bahndrehimpulses. 2) Drehimpulskopplung und Spin (ohne Magnetfeld): k) Welche Werte nehmen s und m s beim Elektron an. l) Welche möglichen Werte für j gibt es für die folgenden Orbitale: 1s, 2f, 3d, 2p, 1d, 4s, 5g? Geben Sie die Notationen nl j für die Kombinationen an. m) Welche Werte kann m j jeweils annehmen?
16 n) Erklären Sie das Zustandekommen der Feinstrukturaufspaltung im Wasserstoffatom. o) In wieviele Niveaus spaltet jedes Orbital nl auf? p) Von welchen Quantenzahlen hängt die Energie eines Orbitals unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung ab? q) In welcher Größenordnung liegt die Aufspaltung der Nivaeus im Vergleich zur Energiedifferenz der einzelnen Schalen? r) Nennen sie einen Grund, warum die Vorstellung des Spins beim Elektron als Drehimpuls einer rotierenden Kugel nicht korrekt sein kann? 3) Zeeman Effekt: s) Erklären Sie, weswegen ein äußeres Magnetfeld Einfluss auf die Energieniveaus im Atom hat. t) Was ist der Unterschied zwischen dem normalen und dem anomalen Zeeman Effekt? u) Was sagt der g-faktor (Landè-Faktor) aus? v) Von welchen Quantenzahlen hängt die Aufspaltung der Energieniveaus beim normalen Zeeman Effekt ab? w) Welche energetischen Abstand haben die Niveaus beim normalen Zeeman Effekt? Wie hängt dieser von n oder l ab? x) Die Kopplung welcher Größen muss beim anormalen Zeeman Effekt betrachtet werden? y) Wieviele verschiedene Energieniveaus existieren für die folgenden Orbitale aufgrund des anomalen Zeeman Effektes: 1s, 2p, 3p, 3d? Geben Sie hierbei die korrekte Notation der Atomniveaus an. 4) Mehrelektronenatome: z) Bearbeiten Sie Aufgabe A26 und verstehen Sie daran die Regeln der Elektronenbelegung in Mehrelektronensystemen.
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