10.3 Flussquantisierung durch Supraleitung

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Brit Brandt
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Bemerkung : Die Londonsche Eindringtiefe ist über die Dichte der Cooperpaare temperaturabhängig Sie divergiert bei Annäherung an die kritische Temperatur Experimentell bestätigt ist das folgende

1 Bemerkung : Die Londonsche Eindringtiefe ist über die Dichte der Cooperpaare temperaturabhängig Sie divergiert bei Annäherung an die kritische Temperatur Experimentell bestätigt ist das folgende Verhalten T 4 T Tc (4) Bemerkung : Im Innern des Supraleiters verschwindet nicht nur das B-Feld, sondern auch alle Ladungsströme wegen der Maxwell-Relation j B 3 Flussquantisierung durch Supraleitung Betrachten wir einen makroskopischen, supraleitenden Ring, der sich in einem äußeren B-Feld befindet In einer Oberflächenschicht fließen Kreisströme, die das B-Feld im Innern des Materials unterdrücken Die besonderen Eigenschaften führen darüber hinaus zu einer überraschenden Bedingung für den magnetischen Fluss, der durch die vom Ring begrenzte Fläche, die sich ja im normalleitenden Zustand befindet, hindurchtreten kann Abbildung 65: supraleitender Ring Im Inneren des Rings verschwinden alle Ströme Für die Wellenfunktion der Cooperpaardichte bedeutet dies, dass die Phase entlang des Rings zunimmt gemäß Gleichung (8) mit Nach einem vollen Umlauf muss die Wellenfunktion wieder in sich selbst überführt werden (Bosonen), es muss also gelten für eine beliebige ganze Zahl s Also gilt qa s dl

2 q q q q s Adl Adf Bdf F Hierbei ist die Integrationsfläche F gerade die von dem Ring umgebene Fläche, also gerade der durch die Fläche tretende Fluss Für diesen haben wir damit die Quantisierungsbedingung F s s s (5) q e gefunden Bei gegebenem äußeren Feld stellen sich die Kreisströme also gerade so ein, dass der Fluss Gleichung (5) gehorcht Da die Cooper-Paare praktisch keiner Streuung unterliegen (verlustfreie Stromleitung), ist die Dichtewelle auch entlang eines makroskopischen Proberings phasentreu Man beobachtet deshalb überraschenderweise Quanteneffekte auf der Längenskala von Metern! (Ein experimentelles Beispiel ist in Abbildung 66 gezeigt) Abbildung 66: Quantisierung des Flusses 4 Thermodynamik des Phasenübergangs Anhand von experimentellen Ergebnissen hatten wir gesehen, dass der Phasenübergang zwischen supraleitender Phase und normalleitender Phase kontinuierlich ist Zur Beschreibung der Phasenstabilitäten in Abhängigkeit vom Ordnungsparameter reicht in diesem Fall eine einfache Entwicklung der Freien Enthalpie aus, die auf Landau zurückgeht Der Ordnungsparameter, mit dessen Hilfe der Unterschied zwischen beiden Phasen charakterisiert werden kann, ist im Falle der Supraleitung die Dichte der Cooperpaare, die wir über das Amplitudenquadrat der Wellenfunktion einführen Damit machen wir für die Freie Enthalpie folgenden Ansatz 4 s c s s g r g T T (6) Der Verlauf der Freien Enthalpie ist in Abbildung 67 für verschiedene Temperaturen aufgetragen

3 Abbildung 67: Freie Enthalpie für verschiedene Temperaturen Im Gleichgewicht stellt sich der Zustand minimaler Freier Enthalpie ein Das Entscheidende der Reihenentwicklung (6) ist das Auftreten zweier Minima bei * =+/- für Temperaturen unterhalb von T c Diese Minima laufen mit zunehmender Temperatur kontinuierlich zusammen Für T größer T c existiert dann nur noch ein eindeutiges Minimum bei = Auf diese Weise ergibt sich genau ein Phasenübergang Ordnung mit einem Sprung in der Ableitung des Ordnungsgrades nach der Temperatur Durch Minimierung folgt aus Gleichung (6) die Dichte der Cooperpaare für eine Temperatur unterhalb T c * Der Phasenübergang bei wachsendem äußerem Feld findet statt, wenn die beiden Potentiale () und () identisch werden Die kritische Feldstärke ist also erreicht, falls 3 T T c (7) Vergleichen wir den Enthalpie-Unterschied zwischen den Phasen, so finden wir deren relative Stabilität c S L N L * g g g g g T T, (8) dh mit abnehmender Temperatur wird der SL-Zustand immer stabiler Allerdings verändert ein äußeres Magnetfeld diese relative Stabilität Denn für das thermodynamischen Potential gilt bei Einschalten eines äußeren Feldes Für den NL-Zustand, der nur schwach diamagnetisch ist, gilt dg dg BdH (9) B H NL gh g H () Die Freie Enthalpie des NL Zustandes wird also durch das äußere Feld abgesenkt, während für den SL-Zustand keine Änderung erfolgt, da das B-Feld abgeschirmt wird SL gh g * ()

4 g NL H g SL H H g g T T c Hc Tc T () B Das kritische Feld variiert nach der Landau-Theorie linear mit der Temperatur unterhalb von T c Die bereits diskutierten experimentellen Ergebnisse zeigen, dass dies nur für eine endliche Umgebung um T c gültig ist Die Landauentwicklung liefert offensichtlich eine quantitative Beschreibung nur in der Umgebung von T c Sie ist aber darüber hinaus hilfreich, um Zusammenhänge in einem qualitativen Sinne zu verstehen 5 Supraleiter zweiter Art Wir hatten bereits festgestellt, dass oberhalb eines kritischen Feldes der Meissner-Ochsenfeldeffekt und damit die Supraleitung zusammenbricht Eine genauere Analyse zeigt, dass dieser Zusammenbruch der Supraleitung auf zwei unterschiedliche charakteristische Weisen erfolgt Bei einem Supraleiter Art dringt der Fluss bei Überschreiten des kritischen Feldes sofort vollständig in die Probe ein Bei einem Supraleiter Art hingegen dringt Fluss in Form von Flussschläuchen teilweise bereits vor Erreichen des kritischen Feldes, das durch die Bedingung () definiert ist, ein Mit zunehmender Feldstärke nimmt die Dichte der Flussschläuche immer mehr zu Allerdings bleibt zwischen den Flussschläuchen die gute Stromtragfähigkeit des Supraleiters bis zu einem kritischen Feld H c >H c erhalten, so dass Supraleiter Art die bevorzugten technischen Materialien sind für die Anwendung supraleitender Spulen Abbildung 68: Vergleich von Supraleitern Art und Art Ein einzelner Flussfaden trägt jeweils einen Fluss entsprechend der Quantisierungsbedingung e Je nachdem, ob man die Verarmung an Cooperpaaren oder das lokale B-Feld misst, erhält man für die radiale Dicke der Flussschläuche ein unterschiedliches Resultat, wie in Abbildung 69 dargestellt Die Schärfe des Übergangs des B-Feldes ist durch die bereits besprochene Londonsche Eindringtiefe gegeben Genauso definiert man für die minimale Ausdehnung der Variation der Cooper-Paar- Dichte die Kohärenzlänge 4

5 Abbildung 69: Veranschaulichung der Kohärenzlänge ξ und der Londonschen Eindringtiefe λ Diese beiden Längen sind Materialparameter und in der Regel voneinander verschieden Die Bedingung für das Eindringen von Flussfäden ist nun überraschender Weise an die relative Größe dieser beiden Parameter gebunden Betrachten wir dazu den Energieaufwand bei Bildung eines Cooper-Paar freien Schlauches in einem zuvor homogenen Supraleiter Den Unterschied der Freien Enthalpie Dichte hatten wir bereits berechnet (Gleichung (8) und ()) NL SL g g g Tc T H c Zur Bestimmung des Aufwandes pro Flussfaden müssen wir mit dessen Volumen multiplizieren G L H c (3) Diesem Aufwand müssen wir den Gewinn an Freier Enthalpie durch das Eindringen des Feldes gegenüberstellen Damit ist die totale Änderung der Freien Enthalpie g H A G L H A (4) G Hc H A (5) Ist diese Änderung mit Auftreten eines Flussfadens negativ, so beobachtet man ein Verhalten Art Da H A < H c folgt als Bedingung für einen Supraleiter Art (6) 5

6 Darüber hinaus können wir das minimale Feld H c, bei dem zum ersten Mal ein Flussfaden eindringt, abschätzen, wenn wir die Flussquantisierung durch eine NL Fläche berücksichtigen (siehe Abschnitt 4) Denn falls ein Faden eindringt, muss er mindestens den Fluss tragen HA HA G Hc L L L H c e e c Hc H (8) 6

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