Simulation von Naseninnenströmungen. mit Lattice-BGK Methoden

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Simulation von Naseninnenströmungen. mit Lattice-BGK Methoden"

Transkript

1 Smulaton von Nasennnenströmungen mt Lattce-BGK Methoden Von der Fakultät für Ingeneurwssenschaften, Abtelung Maschnenbau der Unverstät Dusburg-Essen zur Erlangung des akademschen Grades DOKTOR-INGENIEUR genehmgte Dssertaton von Markus Fnck aus Dusburg Referent: Prof. Dr.-Ing. D. Hänel Korreferent: Prof. Dr.-Ing. W. Schröder Tag der mündlchen Prüfung: 11. Jul 2007

2

3 Vorwort De vorlegende Arbet stammt aus mener Zet als wssenschaftlcher Mtarbeter am Insttut für Verbrennung und Gasdynamk (IVG) der Unverstät Dusburg-Essen. Das Thema deser Arbet, de Smulaton von Nasennnenströmungen mt LBGK-Methoden, st für enen ngeneurwssenschaftlchen Fachberech scherlch ungewöhnlch, aber sehr nteressant und herausfordernd. Ursprünglch als nterdszplnäres Verbundprojekt geplant, wurde daraus m Wesentlchen en Projekt, n dessen Kontext numersche Methoden genutzt und weterentwckelt wurden, um später als Werkzeug für den klnschen Ensatz zu denen. Ich möchte all den Leuten menen Dank aussprechen, de es möglch gemacht haben, dass men Aufenthalt her am IVG so angenehm und harmonsch verlaufen st. Des glt nsbesondere für mene Famle und mene Freunde, aber auch den Mtarbetern und Studenten des Insttuts. Darüber hnaus möchte ch den Mtarbetern des Aerodynamschen Insttus der RWTH Aachen für de gute Zusammenarbet danken. En Großtel der her verwendeten Verglechsdaten basert auf den dort erzelten Forschungsergebnssen. Men Dank glt darüber hnaus der Deutschen Forschungsgemenschaft, de deses Projekt gefördert hat. Dusburg, m August 2007

4 4

5 Inhaltsverzechns 1 Enletung und Motvaton 9 2 Der LBGK-Algorthmus Grundglechungen der knetschen Gastheore Vertelungsfunktonen und Momente Boltzmannglechung und Maxwell-Vertelung Das BGK-Modell De LBGK-Methode Dskretes BGK-Modell Dskrete Momentenbldung und dskrete Maxwell-Vertelung Konsstenz Betrachtung auf makroskopschen Skalen Der Bassalgorthmus Randbedngungen Bounce-Back und Glechgewchtsrandbedngungen Boundary Fttng Randbedngungen Erweterungen der LBGK-Methode Lokale Gtterverfenerung Anwendung lokaler Dämpfungsterme Geometreverarbetung und Gttererzeugung Handhabung von Geometredaten Boundary Representaton Isogrenzfläche Genererung von Oberflächengttern Oberflächentrangulerung von BRep-Körpern Oberflächentrangulerungen von 3-D Graustufenbldern Verarbetung von Dateen m STL-Datenformat Randcoderung Kartessche Gtter mt Octree-Verfenerung Specherung der Gtterpunkte Specherung der Gtterelemente

6 6 INHALTSVERZEICHNIS Gttererzeugung Anpassung der LBGK-Methode auf Octree-Gtter Bespelgeometren Integrertes Softwarekonzept Motvaton Modulares Konzept Schnttstellentechnk Aufbau der Module Wetergehende Transportmodelle Temperatur- und Wasserdampftransport Thermodynamk der Nase Transportglechungen für Wärme- und Stofftransport Dskretserung Randbedngungen Partkeltransport Modellerung der Partkelphase Bewegungsglechungen sphärscher Partkel Kräfte am Partkel Dskretserung und Verfolgung der Partkeltrajektoren Valderungsrechnungen Valderung des LBGK-Algorthmus Lamnar durchströmtes Rohr Lamnare Zylnderumströmung Valderung des Partkeltransports Valderung des Temperatur- und Wasserdampftransports Strömung durch en Nasenmodell Strömung durch en Nasenmodell Geometre und Rechengtter Statonäres En- und Ausatmen Instatonäres En-/Ausatmen Partkeltransport n der Nase Resultate des Wärme- und Stofftransports Zusammenfassung und Ausblck 99 A Algorthmen 101 A.1 Octree-Punktsuche A.2 Ermttlung der Elementnachbarschaft

7 INHALTSVERZEICHNIS 7 B Bewese 105 B.1 Stabltät der LBGK-Methode B.2 Herletung von t p C Momententabelle 109 C.1 Momente der kontnuerlchen Vertelungsfunkton C.2 Dskrete Momente

8 8 INHALTSVERZEICHNIS

9 Kaptel 1 Enletung und Motvaton De Fludströmung durch de menschlche Nasenhaupthöhle st en sehr komplexes strömungsmechansches Problem, dessen Verständns für de Hals- Nasen- und Ohrenmedzn (HNO) von großem Interesse st. Da auch n der klnschen Praxs der Computer zu enem unverzchtbaren Instrument geworden st, legt sene Nutzung zur Klärung noch offener medznscher Fragestellungen nahe. Vele deser Fragen, we eben das Problem der Nasennnenströmung, snd jedoch nur m Rahmen enes nterdszplnären Ansatzes (z.b. zusammen mt Ingeneurwssenschaften) zu beantworten. De vorlegende Arbet verfolgt enen solchen Ansatz. De mesten m Rahmen der HNO durchgeführten chrurgschen Engrffe fnden m Berech der Nasenhaupthöhle statt. Deser Berech wrd von der Atemluft durchströmt. En Zel herbe st es, das Wohlbefnden des Patenten be der Atmung zu verbessern. Deses subjektv empfundene Wohlbefnden hängt jedoch von der Beschaffenhet der Strömung n der Nase und somt von deren Geometre ab. Darüber hnaus können bespelswese mt der Atemluft mtgeführte Partkel an bestmmten Stellen der Nasenschlemhaut abgelagert werden und dese lokal rezen. Be enem operatven Engrff sollten dese Effekte berückschtgt werden, um en optmales Operatonsergebns zu erzelen. Da de Nasenhaupthöhle für n-vvo-messung schwer zugänglch st, schent der Ensatz von numerschen Methoden zur Strömungsberechnung nahelegend. En geegnetes Verfahren st n der Lage, sowohl de Luftströmung zu modelleren als auch zusätzlche physkalsche Effekte we Klmatserung und Partkeltransport zu berückschtgen. Es exsteren vele verschedene Verfahren zur Smulaton deser Transporteffekte, deren Wahl maßgeblch von der spezellen Aufgabenstellung abhängt. Das n deser Arbet behandelte Lattce-BGK Verfahren schent für de Smulaton der Nasennnenströmung besonders geegnet zu sen. De Vortele deses Verfahrens legen n sener hohen Genaugket sowohl m Ort als auch n der Zet be verglechswese gerngem Aufwand für Implementerung und Rechnung sowe der guten Egnung für Parallelserung. Nachtelg st de Beschränkung auf kartessche Rechengtter. Deser Nachtel relatvert sch jedoch, da de Verwendung enes solchen Gtters für de vor- 9

10 10 KAPITEL 1. EINLEITUNG UND MOTIVATION legende Problemstellung ohnehn zweckmäßg erschent (vgl. Kaptel 3). En weterer Nachtel des LBGK-Verfahrens st sen verglechswese hoher Specheraufwand. De Smulaton der Nasennnenströmung und der damt verbundenen Transporteffekte st Gegenstand zahlrecher Publkatonen. In Martonen et al. [28] wrd en kommerzelles Programmpaket (CFX) n Kombnaton mt blockstrukturerten Gttern genutzt, um de rene Luftströmung durch de Nasenhaupthöhle zu berechnen. De Arbetsgruppe Zhao et al. [46] nutzt das selbe Paket, jedoch n Verbndung mt enem unstrukturerten Tetraeder/Prsmengtter sowe ener passv transporterten Phase, de den Transport von rechbaren Substanzen modellert. Hörschler et al. [22] nutzten ebenfalls en blockstrukturertes Gtter n Verbndung mt enem kompressblen Fnte-Volumen- Verfahren. De Verwendung von blockstrukturerten oder unstrukturerten Gttern hat den Vortel, dass de Randpunkte geometrekonform postonert snd. Dadurch lassen sch Randbedngungen sehr genau mplementeren. Besonders für de Berechnung der Wandschubspannungen st des vortelhaft. Anderersets st de Gttererzeugung, nsbesondere m Falle von blockstrukturerten Gttern, sehr zet- und arbetsaufwändg. Unstrukturerte Gtter können dagegen zwar wetgehend automatsch erzeugt werden, benötgen jedoch en qualtatv gutes Oberflächengtter. Zel deser Arbet st de Smulaton von Nasennnenströmungen mt Hlfe des LBGK- Verfahrens auf Octree-Gttern, d.h. kartesschen Gttern mt herarchscher Verfenerung. Dese snd ebenfalls wetgehend automatsch und mt dem klensten Aufwand zu erzeugen, snd jedoch ncht randkonform. Dadurch st de Implementerung von Randbedngungen auf desen Gttern schwerg. Anderersets können auf Octree-Gttern sehr effzente Lösungsverfahren formulert werden. Neben der egentlchen Luftströmung werden n deser Arbet wetere Transporteffekte, nsbesondere Wärme-, Wasserdampf- und Partkeltransport smulert. Es wrd außerdem ene Methodk vorgestellt, mt der alle Arbetsschrtte von der Geometreverarbetung bs zum Berechnungsergebns n enem Programm ntegrert werden können. Als Tel enes nterdszplnären Forschungsvorhabens sollen de m Rahmen deser Arbet gewonnenen Ergebnsse sowohl mt expermentellen Daten [35] als auch mt dem Fnte- Volumen-Ansatz aus [22] verglchen werden. Ausgangspunkt st de CT-Aufnahme ener,,modellnase, mt deren Hlfe alle relevanten Expermente und Berechnungen durchgeführt wurden.

11 Kaptel 2 Der LBGK-Algorthmus 2.1 Grundglechungen der knetschen Gastheore Der Lattce-BGK (LBGK-) Algorthmus dent zur Berechnung der Strömung von nkompressblen, vskosen Newton schen Fluden. Sene her beschrebene Verson wurde erstmals von [38] publzert. Der LBGK-Algorthmus approxmert nachweslch de nkompressblen Naver-Stokes-Glechungen für Kontnuumsströmungen, basert aber zuglech auf den Transportglechungen der knetschen Gastheore. Aus desem Grunde wrd her zunächst auf den theoretschen Hntergrund der LBGK-Methode engegangen Vertelungsfunktonen und Momente In der knetschen Gastheore werden Gase - m Kontrast zum Kontnuumsansatz - als Ansammlung von mest als kugelförmg angenommenen Molekülen betrachtet. Wegen deren großen Anzahl n makroskopschen Skalen wrd für deren mathematsche Beschrebung en statstscher Ansatz bevorzugt. ξ y r z x Abbldung 2.1: Phasenraum V, ξ um Ortskoordnate r und Molekulargeschwndgket ξ. Innerhalb enes Telvolumens V mt Ortsvektor r wrd de Anzahl der Moleküle n, 11

12 12 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS de sch zur Zet t n enem Geschwndgketsspektrum ξ um de mttlere Molekulargeschwndgket ξ bewegt, mt der Vertelungsfunkton f = f(t, r, ξ) = n V ξ dentfzert (Abbldung 2.1). Dese Vertelungsfunkton beschrebt prnzpell alle makroskopschen Zustandsgrößen enes gasförmgen Fluds, nklusve der Erhaltungsgrößen Masse, Impuls und Energe. Das Tupel aus Ortsvektor r und Vektor der molekularen Geschwndgket ξ wrd als Phasenraum bezechnet. De makroskopschen Zustandsgrößen enes Gases, dessen Vertelungsfunkton f bekannt st, werden über deren Momente berechnet. Des gescheht m allgemenen durch Multplkaton mt ener Funkton Φ( ξ) und anschleßender Integraton über den vollständgen molekularen Geschwndgketsraum. De Telchendchte n bespelswese st defnert als n(t, r) = Φ( ξ) f(t, r, ξ) dξ mt Φ( ξ) = 1 ξ oder n Komponentenschrebwese n(t, x, y, z) = + f(t, x, y, z, ξ x, ξ y, ξ z ) dξ x dξ y dξ z. De Erhaltungsgrößen Masse, Impuls und Energe werden glechfalls über Momentenbldung bestmmt. Dese lauten, bezogen auf en geegnet gewähltes Telvolumen V : ρ = m ρ u = m 1 2 ρ u 2 + ρe = m 2 ξ ξ ξ f dξ (2.1) ξ f dξ (2.2) ξ 2 f dξ (2.3) mt der Molekularmasse m, ρ als Massendchte, u als mttlerer makroskopscher Fludgeschwndgket und e als nnerer oder thermscher Energe. De makroskopsche Geschwndgket u st als mttlere Geschwndgket der gesamten Molekülwolke bezüglch enes ortsfesten Koordnatensystems zu verstehen. Dem gegenüber steht de thermsche Geschwndgket c, de defnert st zu

13 2.1. GRUNDGLEICHUNGEN DER KINETISCHEN GASTHEORIE 13 c = ξ u (2.4) und kenen Betrag zur geordneten, makroskopschen Bewegung lestet, be der Defnton makroskopscher Transportkoeffzenten und thermscher Zustandsgrößen jedoch ene wchtge Rolle spelt Boltzmannglechung und Maxwell-Vertelung De wchtgste und umfassendste Glechung m Rahmen der knetsche Gastheore st de Boltzmannglechung. Se beschrebt den Transport ener Vertelungsfunkton f(t, r, ξ), wobe t de Zet und r den Ort repräsenteren. ξ beschrebt ene molekulare Geschwndgket. De Größe f repräsentert somt de Anzahl der Gasmoleküle, de sch mt ener Geschwndgket um ξ bewegen, zum Zetpunkt t n enem Volumen V, das an der Ortskoordnate r legt. Innerhalb des Telvolumens V, ξ können Moleküle kollderen, wobe sch Rchtung und Betrag hrer molekularen Geschwndgketen ändern. Des führt zu ener veränderten Vertelungsfunkton, der Postkollsonsvertelung f. Allgemen führen de Kollsonsvorgänge zu enem Quellterm für de Vertelungsfunkton f, wobe nur solche Moleküle berückschtgt werden, de durch ene bnären Kollson (Zweerstoß) n den Geschwndgketsraum um ξ gelangen. Deren ursprünglcher Geschwndgketsraum wrd mt ξ 1 bezechnet, de dazugehörge Vertelungsfunkton mt f 1 (t, r, ξ 1 ) und de Postkollsonsvertelung mt f 1. De vollständge Boltzmannglechung lautet unter Vernachlässgung externer Kräfte f t + ξ f x = ξ 1 A c (f f 1 ff 1 ) g da c d ξ 1. (2.5) Herbe wurde über den Geschwndgketsraum um ξ 1 und den molekularen Wrkungsquerschntt A c ntegrert. De Größe g bezechnet de Relatvgeschwndgket g = ξ 1 ξ zwschen den Phasenräumen. Für de asymptotsche Skalenanalyse wrd de dmensonslose Form der Boltzmannglechung genutzt: mt der Knudsen-Zahl f t + ξ f x = 1 Kn ξ 1 A c ( f f 1 f f 1 ) ḡ dāc d ξ 1 (2.6) und den dmensonslosen Varablen Kn = l f L (2.7)

14 14 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS x = x L t = t L ξ ξ = ḡ = g c 0 c 0 c 0 f = f c0 3 dāc = da c n l f. n Für de Normerung wurden de mttlere free Weglänge l f, ene makroskopsche Körperabmessung L, ene typsche Telchendchte n und de mttlere Molekülgeschwndgket c 0 herangezogen. De Boltzmannglechung benhaltet de Grundglechungen der Kontnuumstheore als asymptotsche Lösung für verschwndende Knudsenzahl Kn 0. In desem Berech verschwnden de konvektven Terme auf der lnken Sete der Boltzmannglechung und es stellt sch en nstantaner Glechgewchtszustand en. De Boltzmannglechung reduzert sch dabe zu f f 1 = f f 1, (2.8) da das Kollsonsntegral unabhängg von der Wahl der Intergratonsgrenzen verschwndet. Logarthmert man (2.8), so ergbt sch de Bezehung lnf + lnf 1 = lnf + lnf 1 (2.9) Dese Bedngung kann als Erhaltungsgesetz von Molekülen der Sorte f und f 1 vor und nach ener elastschen Kollson nterpretert werden. Herzu werden zunächst de Stoßnvaranten für zwe Moleküle der Masse m und m 1 sowe der Geschwndgketen ξ und ξ 1 betrachtet. De Massen-, Impuls- und Energeblanzen für den Zustand vor und (durch en Apostroph bezechnet) nach dem Stoß lauten m + m 1 = m + m 1 m c + m 1 c 1 = m c + m 1 c 1 m 2 c 2 + m 1 2 c 1 2 = m 2 c 2 + m 1 2 c 1 2 Für de Wahl der Geschwndgketen vor und nach dem Stoß st de Betrachtung der thermschen Geschwndgket c ausrechend, da sch der Gesamtmpuls der beden betrachteten Moleküle ncht verändert und somt hre mttlere Geschwndgket u konstant blebt. De Stoßnvaranten bestzen ene formale Ähnlchket mt Glechung (2.9) und drücken denselben Sachverhalt aus. Da (2.9) alle Stoßnvaranten zuglech erfüllen muss, werden dese n ener Lnearkombnaton superponert:

15 2.1. GRUNDGLEICHUNGEN DER KINETISCHEN GASTHEORIE 15 lnf = A m + B m c + C m 2 c 2. Herbe west der Großbuchstabe F auf ene kontnuerlche Vertelungsfunkton für en Gas m Glechgewcht hn. Dese Verenbarung wrd m weteren Verlaufe des Dokumentes bebehalten. Es ergbt sch der Zusammenhang F = exp (A m + B m c + C m ) 2 c 2 oder mttels Normerung mt 2 Cm und quadratscher Ergänzung ( B/C) 2 ( B/C) 2 F = exp C m 2 2 A C ( ) 2 B + C m C 2 ( c + B C ) 2. Da de Funkton F m Falle enes Gases m Glechgewcht kene Vorzugsrchtung aufwesen darf, d.h. kugelsymmetrsch um c = 0 angeordnet sen muss und damt glt, erhält man sofort den Koeffzenten B = 0. F( c) = F( c) (2.10) De unbekannten Koeffzenten A und C werden mttels Momentenbldung bestmmt. Dazu werden de Momente n (Telchendchte) und ρe (Telchenenerge) angesetzt: n = c exp [Am + C m ] 2 c 2 d c und ρe = ρ 3 2 RT = m 2 c 2 exp [Am + C m ] 2 c 2 d c c mt Temperatur T und der Gaskonstante R. Nach engen algebraschen Umformungen sowe unter Benutzung der Integralbezehungen aus [20] erhält man de Ausdrücke exp [A m] = n (2π R T) 3/2 (A wrd ncht explzt benötgt) und C = 1 m R T. Damt ergbt sch de Maxwell- oder Glechgewchtsvertelung zu n F = exp [ c ] 2 (2π R T) 3/2 2 R T (2.11)

16 16 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS De Zahlenwerte für F werden aufgrund des lnearen Zusammenhangs mt der Telchendchte n sehr groß. Aus desem Grund gbt es ene n der Lteratur häufg anzutreffende Varante der Maxwell-Vertelung, de mt der Molekülmasse m erwetert wurde. Mt ρ = n m erhält man F = ρ exp [ c ] 2, (2.12) (2π R T) 3/2 2 R T sodass de Größenordnung O(F) derjengen der Dchte O(ρ) entsprcht. Insbesondere be der Formulerung der LBGK-Methode wrd auf dese Form der Vertelungsfunkton zurückgegrffen. 2.2 Das BGK-Modell De Boltzmannglechung (2.5) st ene Integro-partelle Dfferenzalglechung und kann analytsch ncht allgemengültg gelöst werden. En weteres Problem be der Behandlung des Kollsonsntegrals besteht n der Bestmmung von Schleßungsansätzen für ntermolekulare Vorgänge. Aus desem Grund wurde das Bhatnagar-, Gross-, Krook- (BGK-) Modell [4] entwckelt, welches de wesentlchen Egenschaften des Kollsonsntegrals der Boltzmannglechung benhaltet. De Transportglechung der Vertelungsfunkton f lautet: f t + ξ f x = ω (F f) (2.13) mt der molekularen Kollsonsfrequenz ω und der Maxwellvertelung F. Motvaton für de Wahl des rechtssetgen Relaxatonsterms st de aus dem 2. Hauptsatz der Thermodynamk folgende Bedngung, dass de Vertelungsfunkton f für en geschlossenes System m statonären Zustand stets gegen de Maxwell-Vertelung F strebt. Dese st glechbedeutend mt enem lokalen thermodynamschen Glechgewcht. Somt glt auch für das BGK-Modell das H-Theorem [20] und damt der 2. Hauptsatz der Thermodynamk. Es blebt zu bemerken, dass Glechung (2.13) vom Typ ener hyperbolschen partellen Dfferenzalglechung mt Quellterm und der Charakterstk ξ entsprcht. Mt Hlfe der Chapman-Enskog-Entwcklung (z.b. n [6]) können m Grenzfall Kn 0 aus dem BGK-Modell de vollen Naver-Stokes-Glechungen hergeletet werden. Für de darn benötgten Transportgrößen erhält man ene gasknetsche Interpretaton. So ergbt sch bespelswese der Tensor der Tangentalspannungen (n Tensornotaton) zu σ j = n k T ( ω v + v ) j x j x (2.14) wobe k de Boltzmann-Konstante und T de Temperatur bezechnet. Der Verglech

17 2.3. DIE LBGK-METHODE 17 mt dem Newton schen Spannungsansatz ( v σ j = η + v ) j x j x lefert sofort ene Defnton der dynamschen Zähgket η: η = ν ρ = n k T ω Auch der Wärmestrom q kann mt Hlfe deses Ansatzes bestmmt werden: (2.15) q = 5 2 k n k T m ω Her lefert der Verglech mt dem Fourer-Ansatz q = λ T x de folgende Bezehung für den Wärmeletungskoeffzenten: λ = De LBGK-Methode T x. (2.16) k n k T m ω. (2.17) De LBGK-Methode basert auf der BGK-Glechung (2.13). Dese lautet f t + ξ f = ω (F f) x Weterhn wrd en dskreter Geschwndgketsraum bestehend aus enem Satz dskreter molekularer Geschwndgketsrchtungen vorausgesetzt, we er durch de engezechneten Vektoren n Abbldung 2.2 dargestellt st. p=3 δx p=0 p=1 δx p=1 p=2 p=0 D2Q9 D3Q15 Abbldung 2.2: Dskreter Geschwndgketsraum n 2-D und 3-D Dese Wahl begrenzt de Anzahl der dskreten molekularen Geschwndgketen ξ auf

18 18 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS enen endlchen Wert. Jedem Punkt des als kartessch-äqudstant angenommenen Rechengtters snd dskrete Geschwndgketsrchtungen zugeordnet (9 n 2-D, 15 n 3- D), auf welchen de zugehörgen dskreten Vertelungsfunktonen f separat gespechert werden. Der Faktor p bezechnet dabe den quadrerten Betrag p = ( δx /δx α ) 2 der mt der kartesschen Gtterschrttwete δx α, α = x, y, z normerten,,verbndungsvektoren (Lattce lnks), de an der Geschwndgketsrchtung orentert snd. Für de beden n deser Arbet relevanten Geschwndgketsräume snd de Werte für p n Abhänggket von der Geschwndgketsrchtung n der nachfolgenden Tabelle 2.1 zusammengefasst. D2Q9: p , 3, 5, 7 2 2, 4, 6, 8 3 D3Q15: p , 2, 3, 4, 5, , 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 Tabelle 2.1: Zusammenhang zwschen p und Dskretes BGK-Modell Für de Dskretserung werden de partellen Abletungen der Vertelungsfunkton f durch Dfferenzenquotenten 1. Ordnung ersetzt. De Ortsabletung erfolgt dabe n Rchtung δx, welche von der betrachteten Geschwndgketsrchtung abhängt. Des lefert für jede Geschwndgketsrchtung de Glechung f n+1 f n δt + ξ f f n 1 δx = ω (f eq, n 1 fn 1) (2.18) wobe de Indzerung 1 auf den nächstlegenden Punkt entgegen der durch ξ gegebenen Geschwndgketsrchtung bezogen st, d.h. f 1 x = f x δx und f eq 1 x = f eq x δx Der Term f eq bezechnet ene dskrete Varante der Glechgewchtsvertelung F, de Gegenstand des nächsten Abschntts sen wrd. De Zetschrttwete δt wrd derart gewählt, dass ene entlang ener Geschwndgketsrchtung bewegte Vertelung f gerade auf dem nächsten Gtterpunkt zu legen kommt, also ξ = δx δt. (2.19)

19 2.3. DIE LBGK-METHODE 19 In enem kartessch-äqudstanten Gtter bestzt der Vektor ξ konstante Komponenten, deren Betrag entweder zu 0 oder zu der skalaren molekularen Geschwndgket ξ s defnert wrd. Entlang ener belebgen Raumrchtung α = x, y, z glt demnach alternatv zu (2.19) de Bezehung ξ s = δx α δt. Mt Hlfe deser Wahl für δt verenfacht sch de Glechung (2.18) zu der Automatenvorschrft f n+1 = f n 1 + Ω (feq,n 1 fn 1 ) (2.20) mt dem dmensonslosen Relaxatonsfaktor Ω = ω δt, der abhängg von der knematschen Vskostät ν gewählt wrd (Dese Abhänggket st schon n Glechung (2.15) erschtlch; de Defnton für ω m dskreten Modell folgt jedoch n Abschntt 2.3.3). Es kann gezegt werden, dass de so gewonnene Iteratonsvorschrft n den Grenzen 0 < Ω < 2 stabl blebt (sehe Anhang B.1). In der endgültgen Form wrd Glechung (2.20) aufgespalten n f n 1 = (1 Ω) f 1 n + Ωfeq, n 1 (2.21) f n+1 = f 1, n (2.22) wobe Glechung (2.21) als Kollsons- und Glechung (2.22) als Transportschrtt bezechnet werden Dskrete Momentenbldung und dskrete Maxwell- Vertelung We noch zu zegen st, approxmert de LBGK-Methode de nkompressblen Naver- Stokes-Glechungen mt ener Genaugket von O(δt 2, δx 2 ). De makroskopschen Varablen Druck und Geschwndgket können über de dskreten Momente von f ermttelt werden. In Kaptel 2.1 wurde de Berechnung der Erhaltungsgrößen Masse, Impuls und Energe aus den Momenten der Boltzmannglechung (2.5) vorgestellt. Aufgrund der Wahl enes engeschränkten dskreten Geschwndgketsraums ξ mt senen konstanten Komponenten ξ s glt das Erhaltungsprnzp für de Energe ncht mehr für das vorgestellte LBGK-Modell. Velmehr st deser Ansatz als sotherm und nkompressbel zu bezechnen. Damt st n Analoge zu den nkompressblen Naver-Stokes- Glechungen der Energetransport entkoppelt. Mt der konstanten Temperatur T kann sofort ene thermsche Referenzgeschwndgket (sotherme Schallgeschwndgket) c s = R T engeführt werden. We noch zu zegen st, st dese Referenzgeschwndgket mt der molekularen Geschwndgket ξ s

20 20 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS gekoppelt. De makroskopschen Größen P (Druck) und u, v, w (Geschwndgketen) können mt Hlfe der sothermen Schallgeschwndgket c s und der konstanten Fluddchte ρ 0 drekt aus den Vertelungsfunktonen ermttelt werden. Dabe wrd davon ausgegangen, dass alle Vertelungsfunktonen f berets mt den Molekülmassen m multplzert wurden: und P = c 2 s f (Nulltes Moment) (2.23) u = 1 ξ,x f, ρ 0 oder n Tensornotaton v = 1 ξ,y f, ρ 0 w = 1 ξ,z f ρ 0 v α = 1 ξ,α f (Erstes Moment). (2.24) ρ 0 Umgekehrt kann ene dskrete Glechgewchtsvertelung F als Funkton der makroskopschen Varablen P, u, v, w mttels ener Varante der Maxwell-Vertelung berechnet werden. Unter der Annahme Kn 0, d.h. Kontnuumsströmung mt nur klenen Abwechungen vom Glechgewcht, sowe Ma = v α /c s 1, (2.25) d.h. klener Machzahl und somt klenen Strömungsgeschwndgketen bezogen auf de sotherme Schallgeschwndgket, wrd de Maxwell-Vertelung um v α = 0 mt Hlfe ener Taylor-Rehe entwckelt. Ausgangspunkt st de n Kaptel hergeletete Maxwell-Vertelung (2.12), her n Tensor-Notaton und n der mt der Molekularmasse m erweterten Varante: ρ F(ξ α, ρ, v α ) = exp ( (ξ ) α v α ) 2 (2π c 2 3/2 s) 2 c 2 s Darn enthalten snd de druckabhängge Dchte ρ = P/c 2 s und de kartesschen Komponenten der makroskopschen Geschwndgket v α. Alle anderen auftretenden Größen snd konstant. Mt den partellen Abletungen und F v α = ρ exp (2π c 2 3/2 s) [ (ξ ] α v α ) 2 2 c 2 s ξα v α c 2 s

21 2.3. DIE LBGK-METHODE 21 2 F v α v β = ρ (2π c 2 s )3/2 exp [ (ξ ] ( α v α ) 2 (ξα v α ) (ξ β v β ) 1 ) δ 2 c 2 s c 4 s c 2 α β s sowe dem Kronecker-Symbol δ αβ für den Enhetstensor und der bs zum quadratschen Gled entwckelten Taylorrehe der Glechgewchtsvertelung f eq = F(v α = 0) + F v α vα=0 v α F v α v β vα,β =0 v α v β + O(v 3 α) folgt für de dskrete Glechgewchtsvertelung n jeder Geschwndgketsrchtung [ f eq (ξ,α, ρ, v α ) = ρ t p, 1 + ξ,α v α + v α v β c 2 s 2c 2 s ( ξ,α ξ,β c 2 s δ αβ )]. (2.26) De engeklammerten Terme snd nach hrer Größenordnung bezüglch der Mach-Zahl Ma = v α /c s sortert: ξ,α v α c 2 s v α v β 2c 2 s = O(Ma) (2.27) = O(Ma 2 ) (2.28) Der von dem Verhältns ξ2,α und der sothermen Schallgeschwndgket c c 2 s abhängge s Vorfaktor wurde dabe zusammengefasst zu ( ) 1 t p, = exp ξ2 α. (2π c 2 s )3/2 2c 2 s Der Suffx deutet berets an, dass de Gewchtungsfaktoren t p, vom anhand der n Abbldung 2.2 vorgestellten Betragsquadrat p und damt von den Geschwndgketsrchtungen abhängt. Unter Ausnutzung der Stoßnvaranten, de analog zur kontnuerlchen Maxwell-Vertelung auch m dskreten Fall gelten müssen, erhält man n Überenstmmung mt den Abschätzungen (2.27) und (2.28) de Bezehung ξ 2 s = 3 c 2 s (2.29) sowe t p,, das nur noch abhängg von p und dem gewählten dskreten Geschwndgketsraum (z.b. D2Q9, D3Q15) st. De Zahlenwerte für t p, snd n Tabelle 2.2 aufgelstet. Ene ausführlche Herletung wrd n Anhang B.2 dskutert Konsstenz Aus dem dskreten LBGK-Modell und der verenfachten, dskreten Maxwell-Vertelung st ncht ohne weteres erschtlch, welches physkalsche System mt welcher Genaugket beschreben wrd. Analog zum kontnuerlchen BGK-Modell kann jedoch auch

22 22 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS p t p, D2Q9 0, 1, 2 4/9, 1/9, 1/36 D3Q15 0, 1, 3 2/9, 1/9, 1/72 Tabelle 2.2: Gewchtungsfaktor t p, de beschrebene, dskrete Form mt Hlfe der Chapman-Enskog-Entwcklung analysert werden [6]. Es wrd zunächst ene Normerung der LBGK-Glechung (2.20) durchgeführt, um de Größenordnung der enzelnen Terme n den folgenden Betrachtungen auswerten zu können. Es ergeben sch folgende dmensonslose Varablen: f = f f 0 x α = x α L = f ρ ref t = t ξ s L ω = ω L ξ s e,α = ξ,α ξ s = δx,α δt (2.30) De dmensonbehafteten Größen snd zur Unterschedung mt enem Stern markert. Für den Relaxatonfaktor Ω = ω δt ergbt sch dadurch de Größenabschätzung Ω = ω L ξ s ξ s δt L = ω δt = O(1) De dmensonslose LBGK-Glechung lautet damt oder n Tensornotaton f ( x + e δt, t + δt) = f ( x, t) + Ω (f eq ( x, t)) f ( x, t)) (2.31) f (x α + e,α δt, t + δt) = f (x α, t) + Ω (f eq (x α, t)) f (x α, t)). (2.32) Durch Momentenbldung können außerdem de normerten makroskopschen Varablen Dchte, Geschwndgketen und Druck ermttelt werden: ρ = f = ρ ref f = ρ ref ρ (2.33) ρ v α = ξ,α f = ξ s ρ ref ξ,α f = ξ s ρ ref ρ v α v α P = ξs v α = c 2 s f = c 2 s ρ ref f = c 2 s c 2 s ρ ref P = ξ 2 s ρ ref P.

23 2.3. DIE LBGK-METHODE 23 Im nächsten Schrtt wrd de dskrete Vertelungsfunkton f nach Chapman und Enskog aufgespalten n enen Glechgewchts- und enen Nchtglechgewchtsantel: f = f eq + ǫ f (1) (2.34) Der Term ǫ f (1) bezechnet her ene Störvertelung, de de Abwechung vom Glechgewchtszustand f eq beschrebt. Es wrd angenommen, dass dese Abwechung klen blebt und n der Größenordnung der dskreten Knudsenzahl legt. Dese st unter der Annahme klener Orts- und Zetschrttweten we folgt defnert: ǫ = δt = δx α 1 (dskrete Knudsenzahl). Für den egentlchen Konsstenznachwes wrd f n ener Taylorrehe um enen Punkt (x α, t) entwckelt: f (x α + δt e,α, t + δt) = f ( x, t) + δt f t + δt e,α ( 2 f δt δt e,α t x α f + δt 2 f x α 2 t + 2 ) + δt2 2 e,α e,β 2 f x α x β + O(δt 3 ). (2.35) Ensetzen n de dmensonslose LBGK-Glechung (2.32) und anschleßende Dvson durch δt lefert de folgende partelle Dfferenzalglechung für f ( x, t): t 2 ( 2 f eq t 2 f t + e f,α Ω x α δt (feq f ) = 2 f eq 2 f eq ) + 2 e,α + e,α e,β + O(δt 2 ) (2.36) t x α x α x β Herbe wurde auch auf den Ausdruck e,α = δx,α /δt zurückgegrffen. Durch Ensetzen der Störvertelung aus (2.34) n de so entwckelte Transportglechung ergbt sch unter Rückgrff auf de Bezehung δt = ǫ: ǫ 2 f eq t ( 2 f eq t 2 f eq + e,α + Ωf (1) + ǫ x α ( f (1) t 2 f eq + 2 e,α + e,α e,β t x α f (1) + e,α x α 2 f eq x α x β ) = ) + O(ǫ 2 ). (2.37) Dese Glechung wrd zunächst genutzt, um den Grenzübergang ǫ 0 durchzuführen: f (1) = 1 Ω ( f eq t f eq ) + e,α. (2.38) x α

24 24 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS Dese Bezehung wrd später noch benötgt, um höhere Momente der Störvertelung f (1) abzuschätzen. Als nächstes wrd en Momentenabglech für de Vertelungsfunktonen f und f eq durchgeführt. Aus f = f eq = ρ und e,α f = e,α f eq ergeben sch für de Störvertelung f (1) de Momente und = ρ v α f (1) = 0 (2.39) e,α f (1) = 0. (2.40) Auch dese Bezehungen werden m Verlaufe deses Abschntts noch benötgt. Für de Bestmmung der makroskopschen Transportglechungen werden de ersten beden Momente der vollständgen entwckelten partellen Dfferenzalglechung (2.37) gebldet. Für des nullte Moment ρ = f erhält man wederum mt δt = ǫ t f eq + x α ( ǫ 2 2 t 2 e,α f eq f eq Ω 2 t x α f (1) ( + ǫ t e,α f eq + f (1) 2 x α x β + x α e,α e,β f eq e,α f (1) ) ) = + O(ǫ 2 ) Entsprechend der Defnton der enzelnen Momente (Anhang C.2) für de Vertelungsfunktonen f eq und f (1) erhält man de folgende Transportglechung für de Dchte ρ: ρ t + ρv α = ǫ ( 2 ρ x α 2 t ρv α + (ρv ) αv β + P δ α β ) + O(ǫ 2 ). (2.41) 2 t x α x α x β Analog kann das erste Moment durch Multplkaton mt der molekularen Geschwndgket ρ v α = ξ,α f gebldet werden. De Komponente α des Impulssatzes lautet damt

25 2.3. DIE LBGK-METHODE 25 t e,α f eq ( ǫ t + x β e,α f (1) 2 +2 t x β e,α e,β f eq + x β + Ω ) e,α e,β f (1) e,α e,β f eq + 2 x β x γ e,α f (1) + = ǫ 2 ( 2 e t 2,α f eq ) e,α e,β e,γ f eq + O(ǫ 2 ) (2.42) Das erste Moment der Störvertelung e,α f (1) = 0 verschwndet (vergl. 2.40). Das zwete Moment e,α e,β f (1) hngegen lefert enen Betrag zum Spannungstensor. Mt Glechung (2.38) glt e,α e,β f (1) = 1 Ω ( e,α e,β f eq t + x γ e,α e,β e,γ f eq Der rechte Summand n der Klammer kann mt Hlfe der Defnton für de dskrete Maxwell-Vertelung (2.26) ausgewertet werden. Für hn glt nach [20] x γ e,α e,β e,γ f eq = ρ 0 c 2 s ( vα + v β + v ) γ. (2.43) x β x α x γ Analog dazu kann auch der letzte Summand aus Glechung (2.42) behandelt werden. Mt Hlfe der Annahme ener nahezu konstanten Dchte kann de Verenfachung v α x α = 0 engeführt werden. Daraus ergeben sch de Glechungen für de Impulserhaltung n molekularen Skalen zu ρv α + (ρ v α v β + P δ αβ ) = ( vα η + v ) β t x β x β x β x α ǫ ( 2 2 ρv α ( 1 ) 2 t 2 Ω 1) 2 (ρ v α v β + P δ αβ ) + O(ǫ 2 ) (2.44) t x α ) Dabe wurde berets de dynamsche Zähgket η = ρ 0 ǫ c 2 s 2 ( ) 2 Ω 1 (2.45) engesetzt.

26 26 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS Betrachtung auf makroskopschen Skalen Be der Ausführung des LBGK-Algorthmus werden, we be der Konsstenzuntersuchung m vorangehenden Abschntt gezegt, de Transportglechungen für Masse (2.41) und Impuls (2.44) gelöst. De Überenstmmung mt den nkompressblen Naver- Stokes-Glechungen st ncht ohne weteres erschtlch. Der Grund dafür legt n der für den Konsstenznachwes vorgenommenen Normerung (2.30) und (2.33), de sch von der bekannten dmensonslosen Form der Naver-Stokes n engen Punkten unterschedet. Um de Überenstmmung nachzuwesen, wrd ene Umskalerung vorgenommen, mt dem Zel, alle dmensonslosen makroskopschen Transportgrößen auf ene Größenordnung von O(1) zu brngen. Dazu werden de transporterten Varablen genauer betrachtet und hre Größenordnung abgeschätzt. De Geschwndgketen v α. De Größenordnung der Geschwndgketen st durch de vorausgesetzten klenen Machzahlen (Glechung 2.25) bestmmt. Für Ma 1 und normerter Molekulargeschwndgket ξ s = 1 glt daher v α 1 wegen (2.33). Mt Enführung ener künstlchen Machzahl m = u 0 /ξ s 1, (2.46) wobe u 0 ene typsche dmensonslose makroskopsche Geschwndgket bezechnet, kann de auf Größenordnung O(1) normerte Geschwndgket defnert werden. v α = v α/m (2.47) Strömungszet t. In nederfrequenten Strömungen glt n enem weten Berech für de Strouhal-Zahl Sr = L u 0 = O(1), τ wobe L her ene normerte makroskopsche Länge der Ordnung O(1) bezechnet. Mt u 0 = O(m) aus (2.46) folgt daraus ebenfalls τ = O(m). Für de Normerung wrd daher ene dmensonslose Zet bzw. de Zetabletung engeführt. τ = (1/m) τ bzw. t = m t (2.48) De knematsche Vskostät ν. Mt Hlfe der Defnton ν = η/ρ 0 und der Bezehung (2.45) sowe O(ǫ) = O(m) folgt sofort ν = O(m). De normerte Vs-

27 2.3. DIE LBGK-METHODE 27 kostät ν ergbt sch damt zu ν = ν/m. (2.49) Der Druck P. Der Druck kann aufgespalten werden n enen thermodynamschen sowe enen hydrodynamschen Antel: P = P t + P h. Der thermodynamsche Antel wrd als konstant angenommen und kann über de Zustandsglechung P t = ρ 0 R T ausgedrückt werden. Deser Antel blebt n den nkompressblen Naver-Stokes-Glechungen ohnehn unberückschtgt, da er auch räumlch konstant st. d.h. Pt x α = 0. Für den hydrodynamschen Antel P h glt aufgrund der Normerung (2.30) de Bezehung P h = P ρ ξs 2 und damt P h = O(m 2 ). Der normerte hydrodynamsche Druck P kann damt defnert werden als P = P h /m 2. (2.50) Mt der Annahme enes nkompressblen Fluds ρ ρ 0 = const., den Defntonen (2.47) bs (2.50) sowe der Bezehung O(ǫ) = O(m) 1 können de Massen- und Impulserhaltungsglechungen (2.41) und (2.44) umgeformt werden. Es wrd her auf wetere Detals verzchtet und statt dessen auf de Lteratur [20] verwesen. De Kontnutätsglechung lautet der Impulssatz ρ 0 v α t + x β ( ρ0 v α v β + P δ αβ ) = x β ν ρ 0 v α x α = O(ǫ m), (2.51) ( ) v α + v β + O(ǫ m). (2.52) x β x α Deses Glechungssystem entsprcht den nkompressblen Naver-Stokes-Glechungen. De Größenordnung des Abbruchfehlers beträgt damt für bede Glechungen O(ǫ m). Mt ǫ 1 und m 1 ergbt sch damt en Verfahren, das zweter Ordnung n Raum und Zet genau st.

28 28 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS Der Bassalgorthmus De Bassvarante des LBGK-Algorthmus st relatv enfach zu mplementeren. Ausgangspunkt st herbe en kartessches Gtter, entweder n 2-D oder n 3-D. De Art der Specherung und der Zugrff auf Gtterpunkte st dabe zunächst nebensächlch. Abbldung 2.2 llustrert de Punktnachbarschaften, de entweder durch Berechnung oder durch explzte Specherung bekannt sen müssen. Im Rahmen deser Arbet wurden ausschleßlch de abgebldeten Konfguratonen D2Q9 (2-D; ver kartessche, ver dagonale Nachbarschaften) und D3Q15 (3-D; sechs kartessche Nachbarschaften, acht n Rchtung der Raumdagonalen) verwendet. Folgende Voraussetzung müssen für de Anwendung des LBGK-Algorthmus erfüllt werden: Wahl enes dskreten Geschwndgketsraums (z.b. D2Q9, D3Q15) und Dskretserung des Integratonsgebetes mt enem kartessch-äqudstanten Rechengtter. Je nach Aufbau der Datenstruktur müssen de benötgten Nachbarschaftsbezehungen eventuell explzt gespechert werden. Festlegung der Stoffkenngrößen ρ 0 und η bzw. ν Berechnung der thermschen Geschwndgket c s aus der Machzahl und ener typschen Strömungsgeschwndgket u mt Hlfe der Bezehung Ma = u c s Bestmmung der skalaren molekularen Geschwndgket ξ s = 3 c s (Glechung 2.29) und Berechnung des Zetschrtts δt = δx α /ξ s Berechnung des Relaxatonsfaktors Ω = δt c 2 s ν + c 2 s δt/2 (2.53) Deser Parameter muss sch n den Grenzen 0 < Ω < 2 bewegen, damt das Verfahren stabl blebt. Für hohe Reynolds-Zahlen Re 1 nähert sch der Wert der Stabltätsgrenze Ω 2. In desem Falle muss das Verfahren künstlch stablsert werden, z.b. durch Wahl von Ω 2 ǫ oder durch lokale Anwendung enes Dämpfungsterms. Alle weteren Schrtte zur Durchführung der LBGK-Methode snd n Algorthmus 1 zusammengefasst.

29 2.3. DIE LBGK-METHODE 29 Algorthmus 1 LBGK-Bassalgorthmus Requre: Se n der aktuelle Zetschrtt, N t de Anzahl der notwendgen Zetschrtte, um ene Smulatonszet t max = δt N t abzudecken. Se ene dskrete Geschwndgketsrchtung, N ξ de Zahl der Geschwndgketsrchtungen m dskreten Geschwndgketsraum (9 n 2-D, 15 n 3-D). Se j der Schlefenndex des aktuell betrachteten Punktes und N p de Anzahl aller Punkte m Rechengebet. Ferner wrd der n Rchtung legende Nachbarpunkt des Punktes j mt j nb (, j) bezechnet. for j = 0 to N p 1 do Anfangsbedngung. Setzen des Punktes j entsprechend der gewünschten Anfangsbedngung. Dese wrd häufg mt Hlfe der Maxwell-Vertelung ermttelt. end for for n = 0 to N t 1 do for j = 0 to N p 1 do Randbedngung. Falls j en Randpunkt st, setze de entsprechende Randbedngung. Mehr dazu n Abschntt 2.4. end for for j = 0 to N p 1 do Kollsonsschrtt. Gemäß Glechung (2.21) werden de Postkollsonswerte f n an Punkt j für alle [0, N ξ 1] berechnet. Zur Bestmmung der Glechgewchtsvertelung f eq, n werden de Momente P, u, v und w benötgt. Dese werden zuvor aus der Vertelungsfunkton f n mt Hlfe der Glechungen (2.23) und (2.24) berechnet. Der Kollsonsschrtt st ene rene Punktoperaton. end for for j = 0 to N p 1 do Transportschrtt. Gemäß Glechung (2.22) werden de enzelnen Komponenten der Postkollsonsvertelung f n auf hre jewelgen Nachbarn vertelt, d.h. für den Punkt j und de Geschwndgketsrchtung [0, N ξ 1] glt f n+1 jnb (,j) = f n j. Der Transportschrtt st ene rene Koperoperaton. end for end for Ende der Rechnung und Ergebnsausgabe

30 30 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS 2.4 Randbedngungen De Formulerung der Randbedngungen st unabhängg von Berechnungsverfahren auf nchtkonformen Gttern mmer problematsch, da de Randpunkte des Gtters m Allgemenen ncht auf den tatsächlchen Gebetsrändern legen. Dadurch kommt es nsbesondere be Drchlet schen Randbedngungen zu Genaugketsenbußen. Für das LBGK- Verfahren wurden deshalb spezelle Varanten des Boundary Fttngs entwckelt, z.b. n [9,30] Bounce-Back und Glechgewchtsrandbedngungen Innerhalb des LBGK-Verfahrens macht sch der Enfluss der Randbedngungen m Transportschrtt (2.22) bemerkbar, da jeder Punkt des Rechengebetes nur her mt senen Nachbarpunkten nteragert. Ist ener deser Nachbarpunkte Tel des Gebetsrandes, muss dort zunächst ene physkalsch begründete Randbedngung defnert sen. Da nnerhalb des Transportschrttes de Postkollsonsvertelung f propagert wrd, st en entsprechender Randwert f b, mndestens für dejenge Geschwndgketsrchtung zu ermtteln, n de der benachbarte Feldpunkt legt. Feldpunkte ~ f f, f b,1 Randpunkte Abbldung 2.3: Randbedngungen nach dem Bounce-Back Prnzp En häufg genutzter Ansatz für de Formulerung von Haftbedngungen an festen Wänden st das Bounce-Back Prnzp. Es wrd angenommen, dass en Satz von Molekülen, der mt ener deal rauhen Wand kolldert, n de entgegengesetzte Rchtung

31 2.4. RANDBEDINGUNGEN 31 reflektert wrd (Abbldung 2.3). Für den Randwert f b,1 glt damt f b,1 = f f, (2.54) wobe de Geschwndgketsrchtung 1 entgegengesetzt zu Rchtung defnert st, also ξ = ξ 1. De Vertelungsfunkton f f, st dem n Rchtung 1 benachbarten Feldpunkt zugeordnet. Neben dem Bounce-Back Verfahren st es ebenso möglch, Randbedngungen über Glechgewchtsvertelungen zu realseren. Dabe werden de makroskopschen Größen Druck und Geschwndgket auf dem Randpunkt analog zu konventonellen Lösungsverfahren bestmmt (z.b. durch Extrapolaton). Mt desen Werten wrd anschleßend ene Glechgewchtsvertelung berechnet (Glechung 2.26). In beden Fällen bewegt sch der lokale Abbruchfehler n der Größenordnung des Abstandes Randpunkt - Gebetsrand (O(δx)), da sch de physkalsch exakten Randwerte an Stellen befnden, de m Allgemenen ncht mt der Randgeometre überenstmmen Boundary Fttng Randbedngungen Aufgrund des endlchen Abstandes Randpunkt Gebetsrand exstert m Falle der Randformulerungen 1. Ordnung auf letzterem m Allgemenen ene Dfferenzgeschwndgket. Für ene exaktere Formulerung an den Gebetsrändern st es notwendg, de Vertelungsfunkton auf dem Randpunkt geegnet zu extrapoleren. Feldpunkte r f f f, ~ f b,1 r g r b Randpunkte Abbldung 2.4: Boundary Fttng - Randbedngungen Zunächst wrd der dmensonslose Abstand des randnächsten Fludpunktes zum

32 32 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS Gebetsrand bestmmt: = r f r g r f r b Der Punkt r g bezechnet dabe den tatsächlchen Schnttpunkt des,,lattce lnks mt dem Gebetsrand (Abbldung 2.4). De auf den Randpunkt extrapolerte Geschwndgket wrd über v( r b ) = 1 v( r f) + 1 v( r g) (2.55) ausgedrückt. Für den Fall ener festen Wand st de Rutschgeschwndgket v( r g ) = 0. En ähnlcher Ansatz wrd für de zu reflekterende Vertelungsfunkton f b,1 gemacht: f b,1 = [ (1 Ω) f f, + Ωf eq ] f, (1 ω ) + [ a 1 f eq b, + a 2 f eq ] v g, α ξ,α f, ω 2 t p, c 2 s Der letzte Summand berückschtgt de Rutschgeschwndgket auf der Wand (zu überprüfen anhand von Bldung des ersten Momentes). De Glechgewchtsvertelung f eq b, auf dem Randpunkt wrd mt Hlfe von extrapolerten Momenten bestmmt: [ f eq b, = t P f p, 1 + ξ,α v b,α + v ( )] f,α v f,β ξ,α ξ,β δ c 2 s c 2 s 2c 2 s c 2 αβ. s De Bestmmung des Gewchtungsfaktors ω wrd n [9] ausführlch beschreben. Es ergeben sch folgende Ausdrücke für de noch unbekannten Varablen: ω = Ω (2 1), α 1 = 1, α 2 = 0 für 0.5 (2.56) (2 1) ω = Ω 1 Ω, α 1 = 0, α 2 = 1 für < 0.5 (2.57) 2.5 Erweterungen der LBGK-Methode De n Abschntt vorgestellte Bassvarante des nkompressblen LBGK- Algorthmus wurde n zahlrechen Arbeten erwetert und mt anderen Transportmodellen gekoppelt, z.b. n [10, 21]. Der Autor nutzt nur ene klene, m Verlauf deses Abschntts beschrebene Telmenge der publzerten Methoden Lokale Gtterverfenerung Lokale Gtterverfenerung wrd n Berechen angewendet, n denen mt großen Gradenten n der Lösung gerechnet werden muss (z.b. Grenzschchten). Dadurch kann de Anzahl der Rechenpunkte n enem lokal begrenzten Gebet gestegert werden, ohne solche Bereche, n denen de Strömung verglechswese unform st, ebenfalls stärker aufzulösen (Abbldung 2.5). Aufgrund der konstanten knematschen Vskostät und der n Abschntt 2.3 vorge-

33 2.5. ERWEITERUNGEN DER LBGK-METHODE 33 δxk+1 δxk Abbldung 2.5: Bespel für en lokal verfenertes Gtter n 2-D stellten Defnton der konstanten sothermen Schallgeschwndgket c s = ξ s / 3 snd de Zetschrttwete und der Relaxatonsparameter Ω abhängg von der Wahl der Gtterschrttwete (vergl. 2.19). Daher wrd für jede Verfenerungsstufe (Gebet konstanter Gtterschrttwete δx k ) en egener Zetschrtt δt k und en lokaler Relaxatonsparameter Ω k = δt k c 2 s ν + c 2 s δtk /2 benötgt. Für en lokal verfenertes Gebet mt Gtterschrttwete δx k+1 = δx k /m be enem Verfenerungsfaktor m ergbt sch der reduzerte Zetschrtt δt k+1 = δt k /m. Durch de her genutzten, balancerten Octree-Gtter (Kaptel 3) glt dabe stets m = 2. Betrachtet man de dmensonsbehaftete Chapman-Enskog-Entwcklung f = F + δt f (1) +... (2.58) für das BGK-Modell, so erhält man mt Glechung (2.13) und dem Grenzübergang δt 0 de Bezehung f (1) = 1 ( f Ω t + ξ f ) (2.59) x für de Störvertelung f (1). Im dskreten Fall kann de Glechung (2.20) wederum mt Hlfe der Chapman-Enskog-Entwcklung (2.58) umgeformt werden zu f n+1 = f eq,n 1 + δt (1 Ω) f(1) n 1. De Störvertelung wrd mt Hlfe von Glechung (2.59) ersetzt. Um der Forderung nach stetgen makroskopschen Strömungsgrößen zu genügen, wrd bem Übergang n ene

34 34 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS Verfenerungszone gefordert, dass und damt ( f n+1 ( f t + ξ f ) k ( f = x t + ξ f ) k+1 x ) f eq,n k Ω k 1 1 Ω k δt = ( f n+1 k ) f eq,n k+1 Ω k Ω k+1 δt k+1 glt. Durch ensetzen des Kollsonsschrtts (2.21) ergeben sch de Umskalerungsvorschrften ( ) f k = f eq,k+1 + fk+1 f eq,k+1 (1 Ωk ) Ω k+1 m (2.60) Ω k (1 Ω k+1 ) und f k+1 ( ) = f eq,k + fk f eq,k (1 Ω k+1 ) Ω k Ω k+1 (1 Ω k ) m (2.61) jewels an der glechen Ortskoordnate und zum festen Zetpunkt n. Für ene zetgenaue Implementerung müssen zu jedem Zetschrtt auf dem Telgtter mt Schrttwete δx k jewels m Schrtte n der lokal verfenerten Zone δx k+1 erfolgen. De Umskalerungsvorschrften (2.60) und (2.61) können m Transportschrtt untergebracht werden. Verenfachend st dabe de Tatsache, dass de dskrete Maxwell-Vertelung f eq f eq,k nur mt gtterunabhänggen, makroskopschen Größen gebldet wrd, sodass glt = f eq,k Anwendung lokaler Dämpfungsterme Für hohe Reynoldszahlen Re 1 strebt der Relaxatonsparameter des LBGK- Verfahrens gegen de Stabltätsgrenze Ω 2. Treten n der Lösung zusätzlch hohe Gradenten auf, z.b. m Berech von Scherschchten, wrd das Verfahren nstabl und muss abgebrochen werden. De Ursache für deses Verhalten wrd n der Neumann schen Stabltätsanalyse des LBGK-Vefahrens erschtlch. Her zegt sch, dass das Iteratonsschema des Verfahrens nur für Ω 2 stabl st (Anhang B.1). De Erfahrungen mt konventonellen Naver- Stokes-Lösern zegt, dass n enem solchen Fall zusätzlche Dämpfungsterme erforderlch snd, um das Verfahren zu stablseren (numersche Dämpfung [19]). Deses Phänomen steht m engen Zusammenhang mt Problemen be der Smulaton von turbulenten Strömungen. Im Rahmen des LBGK-Verfahrens kann ene numersche Dämpfung durch zusätzlche Vskostät ν realsert werden. Dese wrd mt der physkalsch wrksamen knematschen Vskostät zusammengefasst zu ν num = ν + ν

35 2.5. ERWEITERUNGEN DER LBGK-METHODE 35 Zur Berechnung deser zusätzlchen künstlchen Vskostät wrd en Ansatz nach [43] genutzt. Dabe wrd der Tatsache Rechnung getragen, dass ene Strömung mt verglechswese hohen Reynolds-Zahlen sehr klene Strukturen ausbldet. De klensten von der Kontnuumstheore erfassten Strukturen snd Wrbel (engl. eddes), deren Durchmesser, de Kolmogorov-Länge l K, durch ( L Re abgeschätzt werden kann, wobe L ene charakterstsche makroskopsche Abmessung bezechnet. Im Extremfall ener voll ausgebldeten, turbulenten Strömungen wrd das Spektrum der auftretenden Wrbel so groß, dass der mttleren,,,geordneten Fludbewegung ene chaotsche Bewegung überlagert wrd. Können dese klensten Wrbel aufgrund von Kapaztätsgrenzen heutger Rechner ncht mehr aufgelöst werden, muss hre Wrkungswese durch en sogenanntes subgrd-scale model berückschtgt werden. Ähnlch der knematschen Vskostät lefern de Kolmogorov-Wrbel enen Betrag zum Impulsaustausch nnerhalb ener Strömung. In Analoge zur Defnton der Schubspannung τ = ν ρ u y wrd de formal ähnlche Bezehung l K ) 4/3 τ t = ν ρ ū y angesetzt, wobe ν de sog. Wrbelvskostät und τ t ene,,turbulente Schubspannung darstellt [44]. De Geschwndgket ū berückschtgt nur de mttlere Fludbewegung. Dese Bezehung wrd als Boussnesq-Ansatz bezechnet. Nach Prandtl kann de Wrbelvskostät über de Mschungswegformel ν = l 2 M ū y ausgedrückt werden. Der Mschungsweg l M bezechnet dabe dejenge Weglänge, de ene turbulent überlagerte Scherströmung benötgt, um enen vollständgen Ausglech zwschen den beden Schchten der Strömung herzustellen. In den her betrachteten Problemstellungen der Nasennnenhöhle herrscht zwar kene Turbulenz m egentlchen Snne. Trotzdem kann der her vorgestellte Ansatz herangezogen werden, um de Berechnungen be Bedarf zu stablseren. De zusätzlche, künstlche Vskostät ν wrd ausgedrückt als ν = (C s δ) 2 S αβ.

36 36 KAPITEL 2. DER LBGK-ALGORITHMUS De Varable δ bezechnet de lokale Gtterschrttwete. De Konstante C s st stark problemabhängg. Ene typsche Wahl für nterne Strömungen st jedoch en Wert von C s = Damt bestzt ν ene Größenordnung von O(δ 2 ). De Größe S αβ bezechnet ene belebge Norm des Schertensors S αβ = v α x β + v β x α. Der Ansatz erhöht de effektve Vskostät n Gebeten großer Schubspannungen und brngt damt zusätzlche Dämpfungsantele n das Lösungsverfahren en. En ähnlcher Ansatz st häufg n sogenannten Large-eddy oder Grobstruktursmulatonen (z.b. [24]) zu fnden.

37 Kaptel 3 Geometreverarbetung und Gttererzeugung 3.1 Handhabung von Geometredaten Deses Kaptel befasst sch mt der Struktur und Erzeugung der n deser Arbet genutzten dredmensonalen Rechengtter. Ausgangspunkt st dabe de Form der Beschrebung, n der de durchströmte Geometre für en Vernetzungsverfahren zur Verfügung gestellt wrd. Allene de Art und Wese der Abbldung von geometrschen Daten m Rechner st en komplexes Thema, dessen ausführlche Behandlung den Rahmen deser Arbet sprengen würde. Aus desem Grunde wrd n desem Abschntt nur kurz auf zwe Formen der Geometrerepräsentaton engegangen Boundary Representaton De Beschrebung von Geometren für de Strömungsberechnung kann auf zwe Arten erfolgen. De erste st de stückwese Beschrebung der Körpergrenze durch analytsche Flächenstücke. De gängge Bezechnung für dese Art der Geometrebeschrebung st BRep (Boundary Representaton). Dese Beschrebung hat sch n den Ingeneurwssenschaften für de Bearbetung von technschen Geometren durchgesetzt und als sehr lestungsfähg erwesen. Für de Abbldung von physologschen Geometren we der Nasenhaupthöhle st se jedoch wenger geegnet [31]. De Beschrebung solcher Geometren über BRep st sehr komplex und erfordert außerordentlch vel Entwcklungsarbet und -aufwand. Glücklcherwese exsteren berets sehr ausgerefte Softwarebblotheken zur Verarbetung von BRep-Geometren we z.b. der offene Geometrekern OpenCascade [34], auf den m Rahmen deser Arbet zurückgegrffen wurde. 37

38 38 KAPITEL 3. GEOMETRIEVERARBEITUNG UND GITTERERZEUGUNG Isogrenzfläche De zwete und für dese Arbet relevantere Art der Geometrebeschrebung erfolgt über en dredmensonales Graustufenbld, we es vom Computertomographen- oder Magnetresonanzscan gelefert wrd. De Körpergrenzfläche wrd dentfzert mt enem defnerten Grauwert, dessen Isofläche als Engangsdatum für den Volumengttergenerator verwendet wrd. Auch dese enfache Art der Geometrerepräsentaton erfordert jedoch erheblchen Entwcklungsaufwand nsbesondere m Berech der dgtalen Bldverarbetung, der ncht Thema deser Arbet sen kann. Dennoch werden enge grundsätzlche Technken zur Aufberetung solcher Datensätze beschreben und nsbesondere dejengen Arbetsschrtte aufgezegt, de nötg snd, um aus dem Datensatz en funktonsfähges Rechengtter zu gewnnen. 3.2 Genererung von Oberflächengttern De Genererung von Volumengttern erfordert de Kenntns der zu vernetzenden Kontur. Dese Kontur wrd n velen Fällen als topologsch geschlossene Oberflächentrangulerung beschreben. Es exsteren verschedenste Ansätze zur Erzeugung ener solchen Trangulerung. In deser Arbet wurden verschedene Verfahren realsert, auf de m folgenden engegangen werden soll Oberflächentrangulerung von BRep-Körpern De unstrukturerte Oberflächentrangulerung belebger BRep-Körper st heutzutage ene Standardfunkton jeder kommerzellen CFD-Plattform. Auch n der Lteratur fnden sch vele verschedene Ansätze [5]. In den mesten Fällen wrd ene Trangulerung erzeugt, de dem bekannten Delaunay-Krterum genügt. Deser Ansatz wrd auch oft be der Erzeugung zwedmensonaler Trangulerungen verwendet (z.b. [17, 40, 45]). Dennoch west das Problem der Oberflächentrangulerung von BRep-Körpern enge entschedende Schwergketen auf, de ene Implementerung sowohl für dese Arbet als auch m Hnblck auf zukünftge am Insttut für Verbrennung und Gasdynamk durchzuführende Projekte rechtfertgen. Ausgangspunkt st en durch ene analytsche, stetge Flächenfunkton und enem Satz von Begrenzungskanten endeutg beschrebenes Flächenstück (Abbldung 3.1). De Flächenfunkton wrd m weteren Verlauf des Kaptels mt x = p(s, t) (3.1) bezechnet. Der Parameterraum der Fläche wrd mt den Koordnaten s und t dentfzert. Mt Hlfe von OpenCascade Bblotheksfunktonen kann ene Trangulerung erstellt werden, de auf dem Rsng-Bubble-Verfahren basert [45] und de analytsche

39 3.2. GENERIERUNG VON OBERFLÄCHENGITTERN 39 s t Abbldung 3.1: Analytsche Oberfläche enes BRep-Körpers Oberfläche mt ener vorzugebenden Genaugket annähert (Abbldung 3.2). Dese Trangulerung besteht aus ener Punktlste mt den zugehörgen Koordnaten m Parameterraum als auch n 3-D sowe aus ener Dreeckslste mt je dre Verwesen als Dreeckspunkte. Zudem st es zweckmäßg, ene Kantenlste vorzuhalten, n der sowohl de Kantenendpunkte als auch de angrenzenden Dreecke abgelegt werden. Abbldung 3.2: Oberflächentrangulerung nach dem Rsng-Bubble-Verfahren Dese Trangulerung st ncht gut geegnet für de Wetergabe an enen Volumennetzgenerator, da de her erzeugten Dreecke sehr sptze Wnkel bestzen und hre Größe stark varert. Bedes snd schlechte Voraussetzungen sowohl für oberflächenkonforme als auch für nchtkonforme Gtter (her können numersche Schwergketen be den notwendgerwese auszuführenden Schnttpunktberechnungen auftreten). Somt st ene wetergehende Behandlung der Trangulerung erforderlch. In den genannten Lteraturquellen wrd deser Arbetsschrtt als Gtteroptmerung bezechnet. Darauf wrd m Folgenden engegangen.

40 40 KAPITEL 3. GEOMETRIEVERARBEITUNG UND GITTERERZEUGUNG a) Dreecksverfenerung Zur lokalen Erhöhung der Netzdchte st das Enfügen von zusätzlchen Knotenpunkten erforderlch. Um de topologsche Geschlossenhet der Trangulerung zu erhalten, müssen dabe glechfalls en oder mehrere Dreecke und de dazugehörgen Kanten modfzert werden. Es wurden zwe Arten von Dreecksverfenerungen mplementert: Schwerpunktverfenerung und Kantentelung (Abbldung 3.3). De Kantentelung wrd dabe ausschleßlch zur Verfenerung der Gebetsränder genutzt. Abbldung 3.3: Lokale Dreecksverfenerung durch Ensetzen enes neuen Punktes auf der Fläche (lnks) und durch Telung entlang ener Netzkante (rechts) Es st zu beachten, dass de Punktenfügung m Parameterraum der Fläche durchgeführt wrd. Der zugehörge Raumpunkt P muss ncht notwendgerwese auf der durch das zu verfenernde Dreeck aufgespannten Fläche legen, sondern wrd anhand der Oberflächenglechung (3.1) ermttelt. Aus desem Grunde st erforderlch, zu prüfen, ob de Normalenprojekton P des Punktes P auf das Dreeck nnerhalb dessen Kantenbegrenzung legt (Abbldung 3.4). Nur dann st de Formerung von nchtnegatven Dreeckselementen garantert. P P Abbldung 3.4: Projekton des engefügten Punktes auf de Dreecksfläche b) Kantentausch Der Kantentausch st ene notwendge Operaton zur Erfüllung des Delaunay- Krterums. Deses besagt n 2-D, dass der Umkres enes Dreecks kene weteren Kno-

41 3.2. GENERIERUNG VON OBERFLÄCHENGITTERN 41 tenpunkte der Trangulerung benhalten darf. Ene Trangulerung, de deser Voraussetzung genügt, zechnet sch durch glechmäßge Dreecke mt verhältnsmäßg stumpfen Wnkeln aus. De globale Überprüfung des Delaunay-Krterums st sehr aufwändg und glücklcherwese unnötg. Velmehr wrd n velen Lteraturstellen [40,45] auf en lokales Verfahren zurückgegrffen, welches rekursv angewandt das globale Delaunay-Krterum erfüllt. Herzu werden zunächst zwe an ene gemensame Kante grenzende Dreecke betrachtet (Abbldung 3.5). Der Umkres enes der beden Dreecke wrd berechnet und es wrd geprüft, ob der der Kante gegenüberlegende Punkt des zweten Dreecks davon engeschlossen wrd. Ist des der Fall, so muss de Kante getauscht werden. Deser Test wrd rekursv auf alle Kanten angewendet, bs kene Kante mehr modfzert werden muss; somt st das globale Delaunay-Krterum erfüllt. Abbldung 3.5: Kantentausch, falls das lokale Delaunay-Krterum ncht erfüllt wrd Für de Oberflächentrangulerung ener m Raum gekrümmten Fläche wrd en modfzertes Krterum genutzt. Statt des Umkreses wrd ene Umkugel berechnet, auf deren Äquator de Dreeckspunkte legen. Das modfzerte Delaunay-Krterum glt dann als ncht erfüllt, falls der der Kante gegenüberlegende Punkt des Nachbardreecks von der Kugel umschlossen wrd. Es wrd dabe davon ausgegangen, dass de Abwechung des Dreeckspaares von ener gemensamen Ebene verglechswese klen blebt. c) Netzglättung Neben der Anwendung des modfzerten Delaunay-Krterums zur Verbesserung der Netzqualtät st der Ensatz enes Glättungsverfahrens unbedngt notwendg. Be der Netzglättung wrd en Knotenpunkt auf der analytschen Oberfläche derart verschoben, dass sch de Qualtät des Netzes lokal verbessert, d.h. günstgere Dreeckswnkel entstehen. Dese Verschebung wrd zweckmäßgerwese m Parameterraum vorgenommen, da so gewährlestet st, dass der verschobene Punkt auf der Fläche verblebt. Anderersets st de neue optmale Punktposton am zuverlässgsten m dredmensonalen Raum zu berechnen. Der her angewandte Netzglätter gehört zur Famle der Laplace-Methoden. De Netz-

42 42 KAPITEL 3. GEOMETRIEVERARBEITUNG UND GITTERERZEUGUNG knoten werden durchlaufen und ene neue optmale Poston n Abhänggket zur Lage der Nachbarpunkte wrd berechnet. Es se P der aktuell betrachtete Punkt. De optmerte Poston P berechnet sch zu P = NT NT A T, S T, Herbe bezechnet der Index alle an P angrenzenden Dreecke. De Größe A T, bezechnet den Soll-Flächennhalt des Dreecks, der Ortsvektor S T, senen Schwerpunkt. Der Soll-Flächennhalt berechnet sch mt Hlfe der lokalen Sollnetzdchte G j an Punkt j mt der Bezehung A T, A T, = P j P k ( 1 G j + 1 G k ), wobe de Punkte j und k de Endpunkte derjengen Dreeckskante snd, de dem Punkt P gegenüberlegt. De Verschebung des Punktes P m Parameterraum der Fläche wrd mt Hlfe ener lokalen Lnearserung berechnet. So wrd schergestellt, dass der Punkt P jederzet auf der Körperfläche verblebt. De Verschebungsprozedur wrd so lange wederholt, bs se gegen ene optmale Punktlage konvergert. d) Gesamtablauf für ene Körperfläche Mt den vorangehend vorgestellten Technken kann ene enzelne Fläche enes BRep- Körpers we folgt trangulert werden: 1. Aufruf des Rsng-Bubble-Algorthmus zur Erzeugung ener ersten Trangulerung (Abbldung 3.2) 2. Enfache Verfenerung der Gebetsränder mt Hlfe der Kantentelung (Abschntt,,Dreecksverfenerung ). Bem Enfügen neuer Gtterpunkte auf Randkanten der Trangulerung muss beachtet werden, dass dese konform zu den Randpunkten ener eventuellen Nachbarfläche erzeugt werden. Nur dann lässt sch ene ganzhetlch geschlossene Trangulerung für den gesamten BRep-Körper ermtteln. Dese Art der Verfenerung wrd m Wechsel mt der Schwerpunktverfenerung (Schrtt 3) vorgenommen. 3. Netzverfenerung durch enfache Iteraton aller Dreecke der Trangulerung. Falls de lokale Netzdchte für das aktuell betrachtete Dreeck unter hrem Sollwert legt, so wrd ene Schwerpunktverfenerung vorgenommen (Abschntt,,Dreecksverfenerung ). Falls kene weteren Punkte engefügt wurden, weter be Schrtt 6.

43 3.2. GENERIERUNG VON OBERFLÄCHENGITTERN Rekursver Kantentausch zur Erfüllung des globalen Delaunay-Krterums 5. Netzglättung, anschleßend zurück zu Schrtt Ende der Flächentrangulerung De enzelnen Telflächen können anschleßend be Bedarf zu ener geschlossenen Oberflächentrangulerung zusammengesetzt werden. Deser Schrtt st jedoch für de m nächsten Abschntt beschrebene Volumenvernetzung ncht erforderlch. Das Resultat deses Algorthmus st n Abbldung 3.6 sowe Abbldung 3.7 dargestellt. Abbldung 3.6: Fertge Trangulerung Oberflächentrangulerungen von 3-D Graustufenbldern Für de Arbet an ener physologschen Geometre we der Nase blden Daten aus enem Computertomographen- oder Magnetresonanzscan de wchtgste Informatonsquelle. Dese werden n dredmensonalen Graustufenbldern, engebettet n das n der Medzntechnk wet verbretete DICOM-Format [32], gespechert und wetergegeben. Zur weteren Bearbetung st es nötg, de Oberfläche des gescanten Gewebes anhand enes Grautons zu dentfzeren und ene Oberflächentrangulerung zu extraheren. Im Prnzp st dese Aufgabenstellung analog zu der Erstellung von Isoflächen für z.b. Plottng-Programme. Der n der Lteratur häufg anzutreffende Ansatz dafür st das sog. Marchng-Cubes-Verfahren [27]. In deser Arbet wurde en gerngfügg anderer Lösungsweg gewählt. En Satz von acht Pxeln enes Graustufenbldes kann als kartessches Würfelelement betrachtet werden. Deses kann nnerhalb enes jk-abzählbaren Feldes endeutg und

44 44 KAPITEL 3. GEOMETRIEVERARBEITUNG UND GITTERERZEUGUNG Abbldung 3.7: Trangulerung enes nasenähnlchen BRep-Körpers ohne Verletzung von Anschlussbedngungen n sechs Tetraeder zerlegt werden (Abbldung 3.8). An desen Tetraedern kann en Telstück der Isofläche mt enem oder zwe Dreecken ermttelt werden. Sobald de Oberfläche ener zu vernetzenden Geometre n Form ener oder mehrerer Trangulerungen bekannt st, kann m nächsten Schrtt der Volumennetzgenerator genutzt werden. De drekte Verarbetung von DICOM-Dateen stellte sch als machbar heraus, lefert jedoch leder nur Oberflächennetze von schlechter Qualtät, d.h. unnötg vele Dreecke mt relatv ungünstgen Innenwnkeln. Zudem werden de be qualtatv schlechten Aufnahmen zahlrechen Artefakte mt n der Trangulerung verbaut. Ene Verbesserung deses Zustandes kann nur mt Hlfe umfangrecher Bldverarbetungsalgorthmen erzelt werden Verarbetung von Dateen m STL-Datenformat Da de drekte Verarbetung von DICOM-Dateen für de Genererung von Oberflächengttern sehr aufwändg st, wrd deser Schrtt ener kommerzellen Software [29] über-

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

6 Numerische Simulation von druckentlasteten Gasexplosionen

6 Numerische Simulation von druckentlasteten Gasexplosionen 6 Numersche Smulaton von drucentlasteten Gasexplosonen Explosonen von brennbaren Gasen und Dämpfen stellen omplexe Prozesse mt gegensetger Beenflussung physalscher und chemscher Prozesse dar. Se snd dadurch

Mehr

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R

Temporäre Stilllegungsentscheidungen mittels stufenweiser E W U F W O R K I N G P A P E R Temporäre Stlllegungsentschedungen mttels stufenweser Grenzkostenrechnung E W U F W O R K I N G P A P E R Mag. Dr. Thomas Wala, FH des bf Wen PD Dr. Leonhard Knoll, Unverstät Würzburg Mag. Dr. Stephane

Mehr

Ertragsmanagementmodelle in serviceorientierten IT- Landschaften

Ertragsmanagementmodelle in serviceorientierten IT- Landschaften Ertragsmanagementmodelle n servceorenterten IT- Landschaften Thomas Setzer, Martn Bchler Lehrstuhl für Internetbaserte Geschäftssysteme (IBIS) Fakultät für Informatk, TU München Boltzmannstr. 3 85748 Garchng

Mehr

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02

1 BWL 4 Tutorium V vom 15.05.02 1 BWL 4 Tutorum V vom 15.05.02 1.1 Der Tlgungsfaktor Der Tlgungsfaktor st der Kehrwert des Endwertfaktors (EWF). EW F (n; ) = (1 + )n 1 T F (n; ) = 1 BWL 4 TUTORIUM V VOM 15.05.02 (1 ) n 1 Mt dem Tlgungsfaktor(TF)

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

11 Chemisches Gleichgewicht

11 Chemisches Gleichgewicht 11 Chemsches Glechgewcht 11.1 Chemsche Reaktonen und Enstellung des Glechgewchts Untersucht man den Mechansmus chemscher Reaktonen, so wrd man dese enersets mt enem mkroskopschen oder knetschen Blck auf

Mehr

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: (91 888 5598 De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

WÄRMEÜBERTRAGUNG - Doppelrohr

WÄRMEÜBERTRAGUNG - Doppelrohr WÄRMEÜBERTRAGUNG - Doppelrohr Dpl.-Ing. Eva Drenko 1. Voraussetzungen Für de Durchführung deses Übungsbespels snd folgende theoretsche Grundlagen erforderlch: a. Gesetzmäßgketen von Transportprozessen;

Mehr

Ein Vorschlag zur Modellierung von Summenexzedenten- Rückversicherungsverträgen in Internen Modellen

Ein Vorschlag zur Modellierung von Summenexzedenten- Rückversicherungsverträgen in Internen Modellen En Vorschlag zur Modellerung von Summenexzedenten- Rückverscherungsverträgen n Internen Modellen Dorothea Ders Preprnt Seres: 27-22 Fakultät für Mathematk und Wrtschaftswssenschaften UNIVERSITÄT ULM En

Mehr

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid

Innovative Handelssysteme für Finanzmärkte und das Computational Grid Innovatve Handelssysteme für Fnanzmärkte und das Computatonal Grd von Dpl.-Kfm. Mchael Grunenberg Dr. Danel Vet & Dpl.-Inform.Wrt. Börn Schnzler Prof. Dr. Chrstof Wenhardt Lehrstuhl für Informatonsbetrebswrtschaftslehre,

Mehr

Mobile Sicherheit durch effiziente Public-Key-Verschlüsselung

Mobile Sicherheit durch effiziente Public-Key-Verschlüsselung Moble cherhet durch effzente ublc-key-verschlüsselung Hagen loog Drk Tmmermann Unverstät Rostock, Insttut für Angewandte Mkroelektronk und Datenverarbetung Rchard-Wagner-tr., 9 Rostock Hagen.loog@un-rostock.de

Mehr

Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik

Numerische Methoden der Thermo- und Fluiddynamik Technsche Unverstät Berln HERMANN FÖTTINGER INSTITUT FÜR STRÖMUNGSMECHANIK Numersche Methoden der Thermo- und Fluddynamk von T. Rung, L. Xue, J. Yan, M. Schatz, F. Thele vorläufge Verson 2002 Redakton:

Mehr

Metrische Untersuchung der Wiederverwendung im Content Management. Statische Kennzahlen in der Technischen Redaktion

Metrische Untersuchung der Wiederverwendung im Content Management. Statische Kennzahlen in der Technischen Redaktion Metrsche Untersuchung der Wederverwendung m Content Management Statsche Kennzahlen n der Technschen Redaton W. Zegler 1 [Stand: 14. September 2008] De Enführung von Content Management (CM) Methoden und

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Schlussbericht. der Forschungsstelle(n) Nr. 1, Instiut für Fördertechnik und Logistik und

Schlussbericht. der Forschungsstelle(n) Nr. 1, Instiut für Fördertechnik und Logistik und Schlussbercht der Forschungsstelle(n) Nr. 1, Instut für Fördertechnk und Logstk und Insttut für Arbetswssenschaft und Betrebsorgansaton, KIT zu dem über de m Rahmen des Programms zur Förderung der Industrellen

Mehr

Leitliniengerechte psychosoziale Versorgung aus der Sicht des Krankenhausmanagements

Leitliniengerechte psychosoziale Versorgung aus der Sicht des Krankenhausmanagements Unser Auftrag st de aktve Umsetzung der frohen Botschaft Jesu m Denst am Menschen. Ene Herausforderung, der wr täglch neu begegnen. Mt modernster Technk und Kompetenz. Und vor allem mt Menschlchket. Letlnengerechte

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN

ZUSATZBEITRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN ZUSAZBEIRAG UND SOZIALER AUSGLEICH IN DER GESEZLICHEN KRANKENVERSICHERUNG: ANREIZEFFEKE UND PROJEKION BIS 2030 Martn Gasche 205-2010 Zusatzbetrag und sozaler Ausglech n der Gesetzlchen Krankenverscherung:

Mehr

ifh@-anwendung ifh@-anwendung Technische Rahmenbedingungen Welche Mindestvoraussetzungen müssen erfüllt sein?

ifh@-anwendung ifh@-anwendung Technische Rahmenbedingungen Welche Mindestvoraussetzungen müssen erfüllt sein? FH@-Anwendung Für de Umsetzung von Strukturfonds-Förderungen st laut Vorgaben der EU de Enrchtung enes EDV- Systems für de Erfassung und Übermttlung zuverlässger fnanzeller und statstscher Daten sowe für

Mehr

Neues Sensorkonzept zur Bestimmung der aerodynamischen. Wandschubspannung

Neues Sensorkonzept zur Bestimmung der aerodynamischen. Wandschubspannung Neues Sensorkonzept zur Bestmmung der aerodynamschen Wandschubspannung Edgar Augensten*, Chrstoph Egbers*, Slke Eckertª, Mak Hartmannª, Helge Mschke, Wolfgang Rehak * Lehrstuhl Aerodynamk und Strömungslehre,

Mehr

Cloud Computing: Willkommen in der neuen Welt der Geschäftsanwendungen

Cloud Computing: Willkommen in der neuen Welt der Geschäftsanwendungen Cloud Computng: Wllkommen n der neuen Welt der Geschäftsanwendungen Marktforscher und Analysten snd sch eng: Cloud Computng st das IT-Thema der Zukunft. Doch was verbrgt sch genau hnter dem Begrff Cloud

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

Hypothekenversicherung oder Bankhypothek?

Hypothekenversicherung oder Bankhypothek? Unverstät Augsburg Prof Dr Hans Ulrch Buhl Kernkompetenzzentrum Fnanz- & Informatonsmanagement Lehrstuhl für BWL, Wrtschaftsnformatk, Informatons- & Fnanzmanagement Dskussonspaper WI-44 Hypothekenverscherung

Mehr

Projektmanagement / Netzplantechnik Sommersemester 2005 Seite 1

Projektmanagement / Netzplantechnik Sommersemester 2005 Seite 1 Projektmanagement / Netzplantechnk Sommersemester 005 Sete 1 Prüfungs- oder Matrkel-Nr.: Themenstellung für de Kredtpunkte-Klausur m Haupttermn des Sommersemesters 005 zur SBWL-Lehrveranstaltung Projektmanagement

Mehr

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE

VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE VERGLEICH VON TESTVERFAHREN FÜR DIE DEFORMATIONSANALYSE Karl Rudolf KOCH Knut RIESMEIER In: WELSCH, Walter (Hrsg.) [1983]: Deformatonsanalysen 83 Geometrsche Analyse und Interpretaton von Deformatonen

Mehr

Engineering Desktop Anwendungen in der Tragwerksplanung auf der Grundlage der COM-Technologie

Engineering Desktop Anwendungen in der Tragwerksplanung auf der Grundlage der COM-Technologie 1 Enführung Engneerng Desktop Anwendungen n der Tragwerksplanung auf der Grundlage der COM-Technologe Horst Werkle und Hartmut Pleßke Insttut für angewandte Forschung, Fachhochschule Konstanz Computer

Mehr

9 Diskriminanzanalyse

9 Diskriminanzanalyse 9 Dskrmnanzanalyse Zel ener Dskrmnanzanalyse: Berets bekannte Objektgruppen (Klassen/Cluster) anhand hrer Merkmale charakterseren und unterscheden sowe neue Objekte n de Klassen enordnen. Nötg: Lernstchprobe

Mehr

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung

Y 1 (rein) Y 2 (rein) Mischphase Bezeichnung (g) (g) (g) Mischung (l) (l) (l) Mischung,Lösung (l) (s) (l) Lösung. (s) (g) (s) Lösung 3 Lösungen 3. Mschungen und Lösungen Homogene Phasen, n denen alle Komonenten glechartg behandelt werden, heßen Mschungen. Wenn ene Komonente m Überschuß vorlegt, kann man von Lösungen srechen. Sezfsche

Mehr

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften

Grundlagen der makroökonomischen Analyse kleiner offener Volkswirtschaften Bassmodul Makroökonomk /W 2010 Grundlagen der makroökonomschen Analyse klener offener Volkswrtschaften Terms of Trade und Wechselkurs Es se en sogenannter Fall des klenen Landes zu betrachten; d.h., de

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen

9 Phasengleichgewicht in heterogenen Mehrkomponentensystemen 9 Phasenglechgewcht n heterogenen Mehrkomonentensystemen 9. Gbbs sche Phasenregel α =... ν Phasen =... k Komonenten Y n (α) -Molzahl der Komonente Y n der Phase α. Für jede Phase glt ene Gbbs-Duhem-Margules

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Energie, Masse und Information

Energie, Masse und Information Energe, Masse und Informaton Professor Dr. Klaus Hofer De Beschrebung unserer Welt mt Hlfe der ver Naturelemente Feuer, Wasser, Erde, und Luft geht auf den grechschen Naturphlosophen Empedokles (473 v.ch.)

Mehr

4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls

4. Energie, Arbeit, Leistung, Impuls 34 35 4. Energe, Arbet, Lestung, Ipuls Zentrale Größen der Physk: Energe E, Enhet Joule ( [J] [N] [kg /s ] Es gbt zwe grundsätzlche Foren on Energe: knetsche Energe: entelle Energe: Arbet, Enhet Joule

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

Grundmodell zur integrierten Risk-/Return- Optimierung des Gesamtbank-Portfolios

Grundmodell zur integrierten Risk-/Return- Optimierung des Gesamtbank-Portfolios Grundmodell zur ntegrerten Rsk-/Return- Optmerung des Gesamtbank-Portfolos Dr. Ursula-A. Theler Rsk Tranng Carl-Zess-Str. D-83052 Bruckmühl Tel./ Fax: 08062/805545 E-mal: theler@rsk-tranng.de http://www.rsk-tranng.de

Mehr

Was haben Schüler und Großbanken gemein?

Was haben Schüler und Großbanken gemein? Armn Fügenschuh Aleander Martn Was haben Schüler und Großbanken gemen? Mathematsche Modellerung Analyse und Lösung am Bespel des Rucksackproblems Unter gegebenen Randbedngungen optmale Entschedungen zu

Mehr

Bewertung von Derivaten mit finiten Differenzen

Bewertung von Derivaten mit finiten Differenzen Bewertung von Dervaten mt fnten Dfferenzen Lutz Kruschwtz und Rolf Ketzler 22 Jul 2002 Inhaltsverzechns 1 Enführung 2 2 Rekaptulaton des Black Scholes Modells 2 3 Fnte Dfferenzen 3 31 Gtter und Dfferenzenbldung

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1

Vorlesung 1. Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, insb. Finanzdienstleistungen Universität Regensburg. Prof. Dr. Klaus Röder Folie 1 Vorlesung Entschedungslehre h SS 205 Prof. Dr. Klaus Röder Lehrstuhl für BWL, nsb. Fnanzdenstlestungen Unverstät Regensburg Prof. Dr. Klaus Röder Fole Organsatorsches Relevante Informatonen önnen Se stets

Mehr

FAMOS - ein ganzheitlicher Ansatz zum Fehlermanagement

FAMOS - ein ganzheitlicher Ansatz zum Fehlermanagement FAMOS - en ganzhetlcher Ansatz zum Fehlermanagement Dpl.-Ing.(FH) Andreas Plach 1 Prof. Dr.-Ing. Rüdger Hornfeck 1 Prof. Dr.-Ing. Frank Reg 2 Prof. Dr. habl. Jörg Roth 1 1 Georg-Smon-Ohm-Hochschule Nürnberg

Mehr

Fachlabor Wärmeübertrager

Fachlabor Wärmeübertrager Fachlabor Wärmeübertrager RUHR UNIVERSITÄT BOCHUM Fachlabor Wärmeübertrager Wasser Wasser Wärmeübertragung Lehrstuhl für Verfahrenstechnsche Transportprozesse Insttut für Thermo und Fluddynamk Inhaltsverzechns

Mehr

Leitfaden zu den Volatilitätsindizes der Deutschen Börse

Leitfaden zu den Volatilitätsindizes der Deutschen Börse Letfaden zu den Volatltätsndzes der Deutschen Börse Verson.4 Deutsche Börse AG Verson.4 Letfaden zu den Volatltätsndzes der Deutschen Börse Sete Allgemene Informaton Um de hohe Qualtät der von der Deutsche

Mehr

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Netze 2015.2 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 11. September 2015

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Netze 2015.2 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 11. September 2015 Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE NetKalk.Netze 2015.2 Strom und Gas Stand des Handbuchs: 11. September 2015 INHALTSVERZEICHNIS 1 NetKalk.Netze als praktsche Software-as-a-Servce-Lösung... 5 1.1 Zugrff

Mehr

Vertrieb / CRM. Erfolgreiches Kundenmanagement mit staffitpro WEB

Vertrieb / CRM. Erfolgreiches Kundenmanagement mit staffitpro WEB Vertreb / CRM Erfolgreches Kundenmanagement mt staffitpro WEB Vertreb /CRM Aufgabe des Leadsmoduls Kontaktanbahnung: Enen neuen Lead erfassen Mt dem Leadsmodul halten Se de Kundendaten m Geschäftskontaktemodul

Mehr

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik

5. Transmissionsmechanismen der Geldpolitik Geldtheore und Geldpoltk Grundzüge der Geldtheore und Geldpoltk Sommersemester 2013 5. Transmssonsmechansmen der Geldpoltk Prof. Dr. Jochen Mchaels Geldtheore und Geldpoltk SS 2013 5. Transmssonsmechansmen

Mehr

Dr. Leinweber & Partner Rechtsanwälte

Dr. Leinweber & Partner Rechtsanwälte Referent: Rechtsanwalt Johannes Rothmund Dr. Lenweber & Partner Rechtsanwälte Lndenstr. 4 36037 Fulda Telefon 0661 / 250 88-0 Fax 0661 / 250 88-55 j.rothmund@lenweber-partner.de Defnton: egenständge Bezechnung

Mehr

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik

Quant oder das Verwelken der Wertpapiere. Die Geburt der Finanzkrise aus dem Geist der angewandten Mathematik Quant der das Verwelken der Wertpapere. De Geburt der Fnanzkrse aus dem Gest der angewandten Mathematk Dmensnen - de Welt der Wssenschaft Gestaltung: Armn Stadler Sendedatum: 7. Ma 2012 Länge: 24 Mnuten

Mehr

Planung und Budgetierung bedeutet ein

Planung und Budgetierung bedeutet ein nternehmersche Entschedungen snd stets zukunftsbezogen und mt Unscherheten verbunden, da nemand de Zukunft punktgenau vorhersagen kann. Es lassen sch ledglch Bandbreten der zu erwartenden Entwcklung angeben,

Mehr

Universität Koblenz Landau Fachbereich Informatik

Universität Koblenz Landau Fachbereich Informatik Unverstät Koblenz Landau Fachberech Informatk Computergenererte Federzechnungen (Strchzechnungen, Pen-And-Ink Drawngs) Gudo Stegmann Matrkelnummer 882022 Semnar Computergraphk betreut von Prof. Dr.-Ing.

Mehr

6 Makromoleküle. Π = c i RT [1 + B c i +... ], (6.01) Kapitel 6, Seite 1

6 Makromoleküle. Π = c i RT [1 + B c i +... ], (6.01) Kapitel 6, Seite 1 Kaptel 6, Sete 1 6 Makromoleküle Klene Moleküle bestehen aus zwe oder zumndest wenger als zehn Atomen. Bekannte Vertreter der großen Moleküle snd de Chlorophylle, deren Molmasse noch unter 1000 legt. Makromoleküle

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

Credit Analyzer RISK CONSULTING GROUP. Technische Dokumentation. Methode und Implementierung des Kreditrisiko-Modells. Release 5.0. www.rcg.

Credit Analyzer RISK CONSULTING GROUP. Technische Dokumentation. Methode und Implementierung des Kreditrisiko-Modells. Release 5.0. www.rcg. Credt Analyzer Release 5.0 Technsche Dokumentaton Methode und Implementerung des Kredtrsko-Modells RISK CONSTING GROU www.rcg.ch Release 1.0: 08/1999 Release.0: 10/001 Release 3.0: 01/005 Release 4.0:

Mehr

Geld- und Finanzmärkte

Geld- und Finanzmärkte Gel- un Fnanzmärkte Prof. Dr. Volker Clausen akroökonomk 1 Sommersemester 2008 Fole 1 Gel- un Fnanzmärkte 4.1 De Gelnachfrage 4.2 De Bestmmung es Znssatzes I 4.3 De Bestmmung es Znssatzes II 4.4 Zwe alternatve

Mehr

Wir fokussieren das Wesentliche. OUTLINE Individuelle Lösung von d.vinci OUTLINE. Recruiting-Prozess. Unternehmen. Einflussfaktoren.

Wir fokussieren das Wesentliche. OUTLINE Individuelle Lösung von d.vinci OUTLINE. Recruiting-Prozess. Unternehmen. Einflussfaktoren. Wr fokusseren das Wesentlche. Der demografsche Wandel, ene hohe Wettbewerbsdchte, begrenzte Absolventenzahlen es gbt enge Faktoren, de berets heute und auch n Zukunft für enen Mangel an qualfzerten und

Mehr

IP Kamera 9483 - Konfigurations-Software Gebrauchsanleitung

IP Kamera 9483 - Konfigurations-Software Gebrauchsanleitung IP Kamera 9483 - Konfguratons-Software Gebrauchsanletung VB 612-3 (06.14) Sehr geehrte Kunden......mt dem Kauf deser IP Kamera haben Se sch für en Qualtätsprodukt aus dem Hause RAEMACHER entscheden. Wr

Mehr

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Netze 2015.1 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 1. Januar 2015 (SaaS)

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Netze 2015.1 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 1. Januar 2015 (SaaS) Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE NetKalk.Netze 2015.1 Strom und Gas Stand des Handbuchs: 1. Januar 2015 (SaaS) INHALTSVERZEICHNIS 1 NetKalk.Netze als praktsche Software-as-a-Servce-Lösung... 5 1.1

Mehr

Wirtschaftliche Analyse des Leasing

Wirtschaftliche Analyse des Leasing Wrtschaftlche Analyse des Leasng Mchael Btz und Karn Nehoff *) Dskussonsbetrag Nr. 316 2002 * Unv.-Prof. Dr. Mchael Btz st Inhaber des Lehrstuhls für Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Bank- und Fnanzwrtschaft

Mehr

Stochastik - Kapitel 4

Stochastik - Kapitel 4 Aufgaben ab Sete 5 4. Zufallsgrößen / Zufallsvarablen und hre Vertelungen 4. Zufallsgröße / Zufallsvarable Defnton: Ene Zufallsgröße (Zufallsvarable) X ordnet jedem Versuchsergebns ω Ω ene reelle Zahl

Mehr

Webshop Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Produkte aus dem Comarch Webshop auf Google Shopping zeigen. www.comarch-cloud.

Webshop Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Produkte aus dem Comarch Webshop auf Google Shopping zeigen. www.comarch-cloud. Webshop SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Produkte aus dem Comarch Webshop auf Google Shoppng zegen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 EINFÜHRUNG 3 2 PRODUKTATTRIBUTE ZUWEISEN 3 3 WEBSHOP KONFIGURIEREN

Mehr

Die risikoadäquate Kalkulation der Fremdkapitalkosten für nicht öffentlich gehandelte Unternehmen

Die risikoadäquate Kalkulation der Fremdkapitalkosten für nicht öffentlich gehandelte Unternehmen De rskoadäquate Kalkulaton der Fremdkaptalkosten für ncht öffentlch gehandelte Unternehmen Patrck Behr * Schwerpunkt Fnanzen, Unverstät Frankfurt André Güttler ** Schwerpunkt Fnanzen, Unverstät Frankfurt

Mehr

Was hätte man sonst machen können? Alternativszenarien zur rot-grünen Einkommensteuerreform

Was hätte man sonst machen können? Alternativszenarien zur rot-grünen Einkommensteuerreform Dskussonsbeträge des Fachberechs Wrtschaftswssenschaft der Freen Unverstät Berln Volkswrtschaftlche Rehe 006/3 Was hätte man sonst machen können? Alternatvszenaren zur rot-grünen Enkommensteuerreform Tmm

Mehr

Quantitatives IT-Portfoliomanagement: Risiken von IT-Investitionen wertorientiert steuern

Quantitatives IT-Portfoliomanagement: Risiken von IT-Investitionen wertorientiert steuern Quanttatves IT-Portfolomanagement: Rsken von IT-Investtonen wertorentert steuern Dr. Alexander Wehrmann, Dr. Bernd Henrch, Dr. Frank Sefert Kernpunkte Zentraler Bestandtel des IT-Busness-Algnments st das

Mehr

Outlier Detection in USENET Newsgruppen

Outlier Detection in USENET Newsgruppen Dplomarbet Outler Detecton n USENET Newsgruppen Stephan Deutsch Dplomarbet am Fachberech Informatk der Unverstät Dortmund Oktober 2006 Betreuer: Prof. Dr. Katharna Mork Dpl.-Inform. Mchael Wurst 2 Inhaltsverzechns

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Wirtschaftlichkeitsanalyse bei der Einführung und Gestaltung von Wissensmanagementsystemen am Beispiel der Kundenserviceprozesse einer Automobilbank

Wirtschaftlichkeitsanalyse bei der Einführung und Gestaltung von Wissensmanagementsystemen am Beispiel der Kundenserviceprozesse einer Automobilbank Unverstät Augsburg Prof. Dr. Hans Ulrch Buhl ernkompetenzzentrum Fnanz- & Informatonsmanagement Lehrstuhl für BWL, Wrtschaftsnformatk, Informatons- & Fnanzmanagement Dskussonspaper WI-163 Wrtschaftlchketsanalyse

Mehr

FACT SHEET. ProjectNetWorld

FACT SHEET. ProjectNetWorld ProjectNetWorld Inhalt ProjectNetWorld 3 De Funktonen Der Untersched zu anderen Lösungen 7 Gründe für SaaS Ensatzbereche und Branchen Warum ProjectNetWorld Aufbau & Organsaton 4 MyWorld I ProjectWorld

Mehr

Numerische Klassifikation (Cluster Analyse) anhand nominaler, ordinaler oder gemischter Merkmale

Numerische Klassifikation (Cluster Analyse) anhand nominaler, ordinaler oder gemischter Merkmale 2 Schrften aus der Fakultät Sozal- und Wrtschaftswssenschaften der Otto-Fredrch-Unverstät Bamberg Numersche lassfkaton (Cluster Analyse) anhand nomnaler, ordnaler oder gemschter Merkmale Theore und Praxs

Mehr

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum

Mehr

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Tarife 4.0.101 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 6. Mai 2015

Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE. NetKalk.Tarife 4.0.101 Strom und Gas. Stand des Handbuchs: 6. Mai 2015 Anwenderhandbuch KALKULATIONSSOFTWARE NetKalk.Tarfe 4.0.101 Strom und Gas Stand des Handbuchs: 6. Ma 2015 INHALTSVERZEICHNIS EINFÜHRUNG 1 Das Programm NetKalk.Tarfe... 5 1.1 Zugrff und Besonderheten...

Mehr

Erweiterung des Anlageuniversums für deutsche Investoren: Rendite- und Risikopotenzial österreichischer und ungarischer Aktien- und Rentenmärkte

Erweiterung des Anlageuniversums für deutsche Investoren: Rendite- und Risikopotenzial österreichischer und ungarischer Aktien- und Rentenmärkte rof. Dr. Thomas Zmmerer* Erweterung des Anlageunversums für deutsche Investoren: Rendte- und Rskopotenzal österrechscher und ungarscher Akten- und Rentenmärkte Fachhochschule Ansbach Fachberech Wrtschafts-

Mehr

netbank Ratenkredit Große Flexibilität hohe Sicherheit

netbank Ratenkredit Große Flexibilität hohe Sicherheit netbank Ratenkredt Große Flexbltät hohe Scherhet Beten Se Ihren Kunden mt dem netbank Ratenkredt mehr Frehet für ene schere Investton n de Zukunft. In deser Broschüre fnden Se alle wchtgen Informatonen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN INSTITUT FÜR ENERGIETECHNIK. Lehrstuhl für Fluidmechanik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN INSTITUT FÜR ENERGIETECHNIK. Lehrstuhl für Fluidmechanik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN INSTITUT FÜR ENERGIETECHNIK Lehrstuhl ür Fludmechank Modulare und objektorenterte Implementerung der Fnte Volumen Methode (FVM) zur Smulaton kavterender Strömungen n Turbomaschnen

Mehr

Ein stochastisches Modell zur Ertragsoptimierung bei Versicherungen

Ein stochastisches Modell zur Ertragsoptimierung bei Versicherungen En stochastsches Modell zur Ertragsoptmerung be Verscherungen Clauda Garschhammer und Rud Zagst Clauda Garschhammer Bahnhofstr. 34, 8340 aufen Tel: 0868 / 548, c.garschhammer@web.de Prof. Dr. Rud Zagst,

Mehr

VDA. Planungsgütemessung im Aftermarket. Version 1.0 vom Mai 2010. Arbeitskreis SCM Aftermarket. Herausgeber: Verband der Automobilindustrie

VDA. Planungsgütemessung im Aftermarket. Version 1.0 vom Mai 2010. Arbeitskreis SCM Aftermarket. Herausgeber: Verband der Automobilindustrie VDA Planungsgütemessung m Aftermarket 9 Verson. vom Ma 2 Arbetskres SCM Aftermarket Herausgeber: Verband der Automoblndustre Copyrght Behrenstraße 5 Nachdruck und jede sonstge Form 7 Berln der Vervelfältgung

Mehr

Signalformanalyse und Korrelationstechniken

Signalformanalyse und Korrelationstechniken 19. Kolloquum challemsson Vortrag 17 gnalformanalyse und Korrelatonstechnen Horst KÜHNICKE * * Fraunhofer-Insttut für Zerstörungsfree Prüfverfahren, Insttutstel Dresden horst.uehnce@zfp-d.fraunhofer.de

Mehr

Teil 2: Statistische Versuchsplanung

Teil 2: Statistische Versuchsplanung Tel : Statstsche Versuchsplanung 4. Enführung n de stat. Versuchsplanung 4. Arten statstscher Versuchspläne - Faktorelle Versuchspläne. Ordnung k und k- - Zentral zusammengesetzte Versuchspläne - Mschungspläne

Mehr

Grundzüge der Geldtheorie und Geldpolitik

Grundzüge der Geldtheorie und Geldpolitik Grundzüge der Geldtheore und Geldpoltk Sommersemester 2012 8. Monetäre Transaktonskanäle Prof. Dr. Jochen Mchaels SoSe 2012 Geldtheore & -poltk 8. De Übertragung monetärer Impulse auf de Gesamtwrtschaft

Mehr

Reale Außenwirtschaft

Reale Außenwirtschaft Vorlesungsskrpt Reale Außenwrtschaft. Auflage (erwetert und verbessert), 007 Mchael Rauscher Glederung. Vorbemerkungen. Gegenstand der realen Außenwrtschaftstheore?. En emprsches Bld der nternatonalen

Mehr

Lineare Regressionsanalyse mit SPSS

Lineare Regressionsanalyse mit SPSS Unverstät Trer Zentrum für Informatons-, Medenund Kommunkatonstechnologe (ZIMK) Bernhard Baltes-Götz Lneare Regressonsanalyse mt SPSS 850 800 750 Y 0 700 5 5 X 0 0 X 0 5 5 04 (Rev. 40804) Herausgeber:

Mehr

D I E R I S I K O A D J U S T I E RT E P E R F O R M A N C E O F F E N E R A K T I E N F O N D S

D I E R I S I K O A D J U S T I E RT E P E R F O R M A N C E O F F E N E R A K T I E N F O N D S D I E R I S I K O A D J U S T I E RT E P E R F O R M A N C E O F F E N E R A K T I E N F O N D S Ene theoretsche und emprsche Untersuchung ausgewählter Probleme n der Performancemessung sebastan krmm Dssertaton

Mehr

Angeln Sie sich Ihr Extra bei der Riester-Rente. Private Altersvorsorge FONDSGEBUNDENE RIESTER-RENTE

Angeln Sie sich Ihr Extra bei der Riester-Rente. Private Altersvorsorge FONDSGEBUNDENE RIESTER-RENTE Prvate Altersvorsorge FONDSGEBUNDENE RIESTER-RENTE Angeln Se sch Ihr Extra be der Rester-Rente. Rendtestark vorsorgen mt ALfonds Rester, der fondsgebundenen Rester-Rente der ALTE LEIPZIGER. Beste Rendtechancen

Mehr

DIE DYNAMISCHE OPTIMIERUNG BEIM GRADIENTENENTWURF

DIE DYNAMISCHE OPTIMIERUNG BEIM GRADIENTENENTWURF DIE DYNMISCHE OPTIMIERUNG BEIM GRDIENTENENTWURF Wlhelm CSPRY Hansbert HEISTER Walter WELSCH In: CSPRY, Wlhelm / WELSCH, Walter (Hrsg.) [98]: Beträge zur großräumgen Neutrasserung Schrftenrehe des Wssenschaftlchen

Mehr

C. Nachbereitungsteil (NACH der Versuchsdurchführung lesen!)

C. Nachbereitungsteil (NACH der Versuchsdurchführung lesen!) Physkalsh-heshes Praktku für Pharazeuten C. Nahberetungstel (NACH der Versuhsdurhführung lesen!) 4. Physkalshe Grundlagen 4.1 Starke und shwahe Elektrolyte Unter Elektrolyten versteht an solhe heshen Stoffe,

Mehr

Optimierung der Prozessführung komplexer verfahrenstechnischer Prozesse mit Support Vector Machines

Optimierung der Prozessführung komplexer verfahrenstechnischer Prozesse mit Support Vector Machines Optmerung der Prozessführung komplexer verfahrenstechnscher Prozesse mt Support Vector Machnes Chrstan Kühnert, Justus Mnx, Dr. Thomas Bernard, Dr. Helge-Björn Kuntze, Fraunhofer IITB, Karlsruhe Kurzfassung

Mehr

"Physikalische Chemie für Verfahrenstechniker (Fernstudium) WS 2012/2013 Sammlung von Fundamentalkonstanten 2

Physikalische Chemie für Verfahrenstechniker (Fernstudium) WS 2012/2013 Sammlung von Fundamentalkonstanten 2 Prof. Dr. Thomas Wolff Phskalsche Cheme "Phskalsche Cheme für Verfahrenstechnker (Fernstudum) WS 01/013 Sammlung von Fundamentalkonstanten Ka. 1: Enletung 3 Was st Phskalsche Cheme Begrffe Zustandsgrößen

Mehr

Dämmung von Anlagen in Industrie und Gewerbe. Kosten sparen und Energieeffizienz steigern.

Dämmung von Anlagen in Industrie und Gewerbe. Kosten sparen und Energieeffizienz steigern. Dämmung von Anlagen n Industre und Gewerbe. Kosten sparen und Energeeffzenz stegern. Inhalt. Grußwort. Grußwort... 3 Energeeffzent handeln, Gewnn optmeren.... 4 We kann ch Potenzale n menem Unternehmen

Mehr

Mit Stahlseilen verstärken

Mit Stahlseilen verstärken Mt Stahlselen verstärken EASI-Bautele. Ene neuartge Technologe für de Herstellung von Sprtzgussbautelen mt Endlos-Stahlsel-Verstärkung (EASI) ermöglcht den Zugang zu Kunststoffkomponenten ener ganz neuen

Mehr

JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN

JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN FACHBEREICH WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN Ulrch Kaser/Andrea Szczesny Enfache ökonometrsche Verfahren für de Kredtrskomessung: Logt- und Probt-Modelle No.61

Mehr

Teambildung für Projekte. Eine Analyse auf Basis Der Agency-Theorie

Teambildung für Projekte. Eine Analyse auf Basis Der Agency-Theorie Teambldung für Projekte Ene Analyse auf Bass Der Agency-Theore Free wssenschaftlche Arbet zur Erlangung des Grades enes Dplom-Kaufmannes an der Fakultät für Betrebswrtschaft der Ludwg-Maxmlans-Unverstät

Mehr

Does the choice of the performance measure have an influence on the evaluation of hedge funds?

Does the choice of the performance measure have an influence on the evaluation of hedge funds? Martn Elng * /Frank Schuhmacher ** Does the choce of the performance measure have an nfluence on the evaluaton of hedge funds? * Correspondng Author: Dpl.-Kfm. Martn Elng, Unversty of St. Gallen, Insttute

Mehr

MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt

MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt MULTIVAC Kundenportal Ihr Zugang zur MULTIVAC Welt Inhalt MULTIVAC Kundenportal Enletung Errechbarket rund um de Uhr Ihre ndvduellen Informatonen Enfach und ntutv Hlfrech und aktuell Ihre Vortele m Überblck

Mehr

Chair of Software Engineering

Chair of Software Engineering 1 2 Enführung n de Programmerung Bertrand Meyer Vorlesung 13: Contaner-Datenstrukturen Letzte Bearbetung 1. Dezember 2003 Themen für dese Vorlesung 3 Contaner-Datenstrukturen 4 Contaner und Genercty Enthalten

Mehr

bciiii $elbbtbc~\~o!lntcti I-Ieim dagegen nictir. Bei freiiidgciiutztcn Inimobilien zeigt ein Vergleich nach Sreucrii, daß das Modell der

bciiii $elbbtbc~\~o!lntcti I-Ieim dagegen nictir. Bei freiiidgciiutztcn Inimobilien zeigt ein Vergleich nach Sreucrii, daß das Modell der uen gegenwärtg d, dle zudem unte 11 'Slgugh..r solltc de Nutzutgs'rt der Innublc 1- rd d.s %~sn\,cau berückschtgt werdenu, rat,,,,,, r Sre~scl~. l)c Nutzungsnrt der Irmoble sctwchtg, wel hc Jer vcrctctc

Mehr

Serie: Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten - Teil 4

Serie: Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten - Teil 4 45 www.rsknews.de 11.2002 Kredtrsko Sere: Bestmmung von Ausfallwahrschenlchketen - Tel 4 Ausfallwahrschenlchketen m Konjunkturzyklus Credt Portfolo Vew En Betrag von Uwe Wehrspohn Wr haben n unserer Sere

Mehr