8.6.3 Wärmeleitung von Gasen ****** 1 Motivation. 2 Experiment. Wärmeleitung von Gasen V080603

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1 8.6.3 ****** 1 Motivation Dieser Versuch zeigt qualitativ anhand der unterschiedlichem Abkühlung eines glühenden Drahtes, dass die umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Molekularmasse und für nicht zu kleine Drucke nahezu unabhängig vom Druck ist. 2 Experiment 955 hpa 955 hpa Abbildung 1:. Der Luftdruck in den beiden Glaskolben ist derselbe. Ein dünner, stromdurchflossener Platindraht führt durch zwei gasgefüllte Glaskolben, wobei der linke Kolben als Messkolben dient und zu diesem Zweck mit Luft oder Helium gefüllt wird, während der rechte Kolben stets mit Luft unter Aussendruck gefüllt ist und als Referenzkolben dient (siehe Abb. 1). Für die Messungen vergleicht man nach Augenmass die Helligkeiten des erhitzten Drahtes in den beiden Glaskolben. Bei guter Leitfähigkeit wird die Wärme des erhitzten Drahtes besser abgeführt, so dass der Draht sich abkühlt und dunkler wird. 1

2 300 hpa 955 hpa Abbildung 2:. Der Luftdruck in den beiden Glasrohren ist unterschiedlich. Der linke Draht ist heisser und deshalb heller. Versuchsablauf: a) In beiden Kolben befindet sich Luft unter Aussendruck. Man schaltet den Strom ein, und beide Drähte glühen gleich hell (siehe Abb. 1). b) Aus dem Messkolben wird Luft abgepumpt. Ab ca. 300 hpa glüht der Draht deutlich heller (siehe Abb. 2), da die Wärmeleitung reduziert ist. c) Man spült den Messkolben mit Helium durch. Wegen der besseren Wärmeleitung kühlt sich der Draht ab und wird dunkler. d) Zum Schluss pumpt man Helium ab und stellt fest, dass die gleiche Helligkeit wie beim Referenzkolben erst bei sehr kleinem Druck erreicht wird. 3 Theorie 3.1 Mittlere freie Weglänge Die mittlere freie Weglänge ist diejenige Strecke, die ein Molekül im Gas durchschnittlich zurücklegt, bis es auf ein anderes Molekül stösst. Für die folgende Rechnung nehmen wir an, dass das Gas aus nur einer Molekülart besteht; der Durchmesser der Moleküle sei D, die Teilchendichte gleich dn/. Ein Stoss erfolge stets, wenn ein Nachbarmolekül einen zur Flugbahn des Moleküls senkrechten Abstand D unterschreitet (siehe Abb. 3). Die Anzahl dn an Molekülen, mit denen das Molekül der Geschwindigkeit v in der Zeit dt in Berührung kommt, ist dann gleich dn = (vdt) (πd 2 ) dn (1) Die Querschnittsfläche, auf welcher eine Wechselwirkung stattfinden kann, bezeichnet man als Wirkungsquerschnitt σ. In diesem Fall ist es einfach der geometrische Querschnitt: 2

3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS D D v v dt Abbildung 6.1: 3: Zur Berechnung der dermittleren freien freien Weglänge. Die freie Flugzeit zwischen zwei Stössen beträgt damit σ = πd 2 (2) dt dn = 1 v 1 σ dn/ (3) In dieser Zeit legt das Molekül die mittlere freie Weglänge λ zurück: λ = v dt dn Damit beträgt die mittlere freie Weglänge für ein ruhendes Hindernis: λ = 1 σ dn/ (4) (5) Für bewegte Hindernisse ergibt sich Λ = 1 2 σ dn/ (6) 3

4 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS c i /% ca c B 25 0 x A B j + j x λ x x + λ Abbildung Abbildung 4: Diffusion 6.1: Diffusion wird durchwird ein Konzentrationsgefälle durch ein Konzentrationsgefälle der Moleküleder A bzw. Moleküle B verursacht. A bzw. B verursacht. 3.2 Diffusion Wir haben im vorherigen Abschnitt die mittlere Reichweite λ der Moleküle eines Gases berechnet. Nun werden wir die Diffusion eines Gases A in einem anderen Gas B untersuchen, bei dem die Konzentrationen vom Ort abhängen, so dass die Gase also nicht vollständig durchmischt sind. Ferner nehmen wir an, dass das Konzentrationsgefälle nur von x abhängt (siehe Abb. 4). Wir bezeichen die Teilchenzahldichte für eine Molekülart i mit dn i (x, y, z) := ρn i (x) (7) Wir betrachten nun den gesamten Teilchenstrom, der durch eine Fläche A fliesst, welche am Ort x senkrecht zur x-richtung aufgespannt ist. Der vom Ort x ausgehende Teilchenstrom ist selbstverständlich symmetrisch nach links und nach rechts. Da aber die Konzentration links und rechts von x verschieden gross ist, sind die Teilchenströme, welche vom Ort x λ in positiver Richtung und vom Ort x + λ in negativer Richtung fliessen, unterschiedlich gross (siehe Abb. 4). Die Anzahl dn A an Teilchen A, welche in der Zeit dt durch die Fläche A hindurchlaufen, ist also gleich 4

5 dn A = 1 6 {ρn A(x λ) v dt A ρ n A(x + λ) v dt} (8) ] [ ]} 1 6 {[ρ A v dt n A(x) λ dρn A dx (x) ρ n A(x) + λ dρn A dx (x) ] = 1 6 [ 2λ A v dt dρn A dx (x) = ( 1 3 vλ) (A d t) dρn A (x) (9) dx Die x-komponente der Teilchenstromdichte j A ist damit j x dn A A dt = ( 1 3 vλ) dρn A (x) (10) dx Für beliebige Konzentrationsgefälle folgt daraus das 1. Ficksche Gesetz: j = D grad dn (11) mit der Diffusionskonstanten D = 1 vλ (12) 3 Beim Diffusionsprozess bleibt die Masse erhalten. Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die Änderung der Teilchenzahl in einem geschlossenen Volumen V gleich dem Teilchenfluss aus dem Volumen heraus ist: j d A = dn (13) t Mithilfe des Gaußschen Satzes folgt daraus: V V div j = dn t (14) Nun folgt aus Gln. 11 und 14: D div grad dn = dn t Daraus folgt für zeitabhängige Dichteverteilungen das 2. Ficksche Gesetz: (15) dn t = D dn (16) Ausgedrückt durch die Konzentration c(r) lauten die beiden Gesetze: j = D c 1. Ficksches Gesetz (17) 5

6 und ċ = D c 2. Ficksches Gesetz (18) bzw., in Komponentenschreibweise: { c 2 } t = D c x c y c z 2 (19) Diese partielle Differentialgleichung, die Diffusionsgleichung, ähnelt der Wellengleichung; die Zeitableitung ist aber in diesem Fall nur in 1. Ordnung. 3.3 Die Diffusionsgleichung gilt nicht nur für den Materietransport, sondern auch für den Transport von Wärmeenergie beim Vorhandensein eines Temperaturgradienten. Ein Molekül im Gas transportiert im Mittel die Energie E = f 2 kt Die Anzahl Durchtritte durch eine Fläche A in der Zeit dt beträgt dn = 1 dn v dt A 6 Die dabei durch die Fläche hindurchtransportierte Energie beträgt de = 1 dn 6 f v dt A k {T (x Λ) T (x + Λ)} (20) 2 Daraus folgt das 1. Ficksche Gesetz für die Wärmestromdichte: j Q = κ T (21) mit ( f κ = 1 3 v Λ 2 k dn ) = 1 ( ) 8kT 3 πm 1 2 σ dn/ = fk 3σ ( f 2 k dn ) kt 2πm, (22) wobei m die Masse, σ die geometrische Querschnittsfläche und f die Anzahl Freiheitsgrade des Moleküls sowie k die Boltzmann-Konstante bedeuten. Es gilt somit: κ T m (23) 6

7 Bei kleinerer Drücken gilt Λ L, wobei L die Dimensionen des Gasgefässes angibt. Ein Temperaturgradient und damit auch ein Wärmeleitkoeffizient κ im Gas lassen sich nicht mehr definieren.. In diesem Bereich ist der Energietransport proportional zur Anzahl Molekülen und damit zum Gasdruck. 7