Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13

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1 Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : ( )( + 2) gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche ggf de Grezwert Behauptug: ( ) 2N kovergiert gege 92 e 2 Beweis Sei 2 N, da gilt: ( )( + 2) Nu gilt ach Grezwertsätze für! : ! 2, also ach Grezwertsätze ! 3, ! ud! e Nu folgt mit de Grezwertsätze für! :! ,! 3 6 e 2 92 e 2

2 Aufgabe (C2) Sei f : R! R, f() : ep( 2 ) Zeige Sie, dass f beliebig oft differezierbar ist ud es für alle 2 N ei Polyom p -te Grades gibt, so dass gilt: f () () p () f (), 2 R Beweis Per vollstädiger Iduktio ach Sei 2 R Iduktiosafag: Für gilt: f ist (-mal) differezierbar ach Ketteregel mit f () f 0 () 2 ep( 2 ), da ep : R! R 7! ep() ud q : R! R 7! 2 differezierbar sid Weiter ist p : R! R, p () : 2 ei Polyom erste Grades ud damit ist f 0 () p () f () Iduktiosschluss: Für beliebiges 2 N gelte, dass f-mal differezierbar ist ud ei Polyom p vom Grad eistiert mit f () () p () f () (Iduktiosvoraussetzug) Wege f () () p () f () ist f () als Produkt differezierbarer Fuktioe differezierbar mit Ableitug f (+) () f () 0 () p 0 () ep( 2 )+2p () ep( 2 ) 2p ()+p 0 () ep( 2 ) Setze p + () : 2p ()+p 0 () Da ist p + ei Polyom vom Grad ( + ) ud f (+) () p + f () Nach Iduktiosvoraussetzug ist f bereits -mal differezierbar, also zusamme mit Obigem ( + )-mal differezierbar Damit ist f-mal differezierbar für alle 2 N, also uedlich oft differezierbar Aufgabe (C3) Weise Sie uter Beutzug der Kovergezkriterie aus der Vorlesug die Kovergez bzw Divergez der folgede beide Reihe ach: Â k k 3 3 k, Â k k 2 k Behauptug: Beide Reihe kovergiere 2

3 Beweis Sei k 2 N ud a k : k3 3 k Da gilt: a k+ a k (k + )3 3 k 3 k+ k k 3 Für k 3 ist + 3 apple + 3 k < 3 k 3 3 k kovergiert ach Quotiete- Setze q : Da ist a k+ a k appleq < für alle k 3 ud  k kriterium Sei u 2 N ud b : 2 Da gilt p b 2 Mit! e < 2 für! eistiert also ei 0 2 N mit p b apple 2 : q < für alle 0 Damit kovergiert die Reihe  k Aufgabe (C) k k 2 ach dem Wurzelkriterium Sei f : R! R, f() : si 2 si Bestimme Sie die Etrema ud Wedepukte vo f i 0, p 2 Welche der Etrema sid Maima bzw Miima? Behauptug: f hat i 0 ud p 2 Miima, i p ei Maimum ud Wedepukte i p 8 ud 3p 8 Dies sid alle Etrem- bzw Wedestelle i 0, p 2 Beweis Sei 2 R Da gilt mit de Additiostheoreme: f () si 2 () si () si 2 () si 2 () si 2 () cos 2 () (2 si() cos()) 2 si 2 (2) 3

4 Nach Ketteregel ist f 0 () 2 si(2) cos(2) 2 si(2) cos(2) 2 si() ud damit f 00 () 8 cos() Sei u 2 [0, p 2 ], da gilt: f 0 () 0 () si() 0 () 0 _ p _ p 2 Nu ist f 00 (0) f 00 p 2 8 > 0, also hat f i 0 ud p 2 Miima Weiter ist f 00 p 8 < 0, also hat f ei Maimum i p Schließlich gilt: f 00 () 0 () cos() 0 () p 2 + mp, m 2 Z () p 8 _ 3p 8 Also hat f Wedepukte i p 8 ud 3p 8 Aufgabe (C5) Zeige Sie, dass f : (0, )! R, f() icht gleichmäßig stetig ist Beweis Zu zeige: 9# > 0 8d > 0 9, y 2 (0, ) ( y < d ^ f () f (y) > #) Wähle # : Sei d > 0 beliebig gegebe Sei obda d < Wähle d, y d 2 Da ist y d 2 < d ud f () f (y) d 2 d d > # Aufgabe (C6) Ma beweise, dass der Grezwert A : lim! 3 l

5 eistiert ud bestimme A Behauptug: lim 3! l 3 Beweis Für 2 R >0 \{} gilt: ! für! l hat für! die Form 0 0 ud es gilt: ( )0 6 0 für alle 2 R >0 \{} Ferer gilt:! für! Nach der Regel vo L Hospital eistiert also der Grezwert vo l für! ud lim! l lim! Es folgt mit de Grezwertsätze, dass lim! 3 l 3 3 Aufgabe (C7) Seie a, b 2 R, a< b ud sei f : (a, b)! R i 0 2 (a, b) differezierbar Zeige uter direkter Beutzug der Defiitioe vo Stetigkeit ud Differezierbarkeit, dass f i 0 stetig ist Beweis Zu zeige: 8# > 0 9d > (a, b) ( 0 < d ) f () f ( 0 ) < #) Sei 0 < # < Da f i 0 differezierbar ist, eistiert der Grezwert f () f ( 0 ) lim f 0 ()! 0 0 Also gibt es d > 0, sodass für alle 2 (a, b) gilt: 0 < d ) f () f ( 0) 0 f 0 ( 0 ) < #, also 0 < d ) f () f ( 0 ) f 0 ( 0 )( 0 ) < # 0 ud mit iverser Dreiecksugleichug 0 < d ) f () f ( 0 ) apple( f 0 ( 0 ) + #) 0 apple( f 0 ( 0 ) + ) 0 5

6 o # Wähle d : mi d, Da folgt aus f 0 ( 0 ) + 0 < d, dass f () f ( 0 ) apple( f 0 # ( 0 ) + ) f 0 ( 0 ) + # 6