Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 08/9 c Dr. K. Rothe Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt Mengen Darstellung durch: a) Aufzählung der Elemente: A := {,, 0,, } b) Element, Grundmenge und charakterisierende Eigenschaft: Bezeichnungen und Verknüpfungen: B := {x A x = } A, B : Mengen {}, : leere Menge IN, Z, Q, IR, C : natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen a A : a ist Element von A a / A : a ist kein Element von A A = B : A und B besitzen dieselben Elemente A B : A ist Teilmenge von B A \ B : A ohne B A B : A vereinigt B n A i := A A A n i= A B : A geschnitten B n A i := A A A n i= A B : kartesisches Produkt von A und B n A i := A A A n i=

2 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Intervalle: [a, b] : abgeschlossenes Intervall a, b) : offenes Intervall [a, b), a, b] : halboffene Intervalle Euklidische Ebene: IR := IR IR = {x, y) x IR y IR} Aufgabe 5: a) Gegeben seien die Mengen A = [, ] [0, ], B = {x, y) IR x + 4y 4}. Man stelle folgende Mengen graphisch dar: A, B, A B, A B, A \ B. b) Eine Funktion heißt gerade, wenn fx) = f x) gilt, bzw. ungerade, wenn f x) = fx) gilt. Welche der folgenden Funktionen sind gerade bzw. ungerade man zeichne die Funktionsgraphen): i) fx) = x + sinln x ), ii) gx) = x 3 + sinx). Lösung: a) A A B B A B

3 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) A \ B Bild 5.a b) i) f ist gerade, denn es gilt f x) = x) + sinln x ) = x + sinln x ) = fx) Bild 5.b. fx) = x + sinln x ) ii) g ist ungerade, denn es gilt g x) = x) 3 + sin x)) = x 3 sinx) = gx) Bild 5.b.: gx) = x 3 + sinx)

4 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 4 Funktionen Eine reellwertige Funktion oder Abbildung) f einer reellen Veränderlichen x ist eine Vorschrift, die jedem Element x D IR des Definitionsbereiches D genau eine reelle Zahl fx) W IR aus dem Wertebereich W zuordnet: f : D W x fx). Andere Bezeichnungen für D bzw. W sind Urbildbereich bzw. Bildbereich. Funktionsgraph von f: graphf) := {x, y) D IR y = fx)} Bild : fx) = x Bild : fx) = x Bild 3: fx) = x Bild 4: fx) = x

5 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Bild 5: fx) = x Bild 6: fx) = e x Bild 7: fx) = sin x Bild 8: fx) = cos x Eine Funktion f heißt gerade, wenn fx) = f x) für alle x D gilt, bzw. ungerade, falls f x) = fx) gilt.

6 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 6 Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn es für jedes y W wenigstens ein x D gibt, so dass gilt y = fx). Eine Funktion f heißt injektiv, wenn es für jedes y W höchstens ein x D gibt, so dass gilt y = fx). Eine Funktion f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, d.h. zu jedem y W gibt es genau ein x D. Damit ist die Funktion f dann umkehrbar, mit Umkehrfunktion: f : W D y x = f y) Bild 9: gx) = x Bild 0: gx) = ln x Bild : gx) = arcsin x Bild : gx) = arccos x

7 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 7 Aufgabe 6: a) Man entscheide, welche der folgenden Funktionen injektiv, surjektiv und bijektiv sind und zeichne die zugehörigen Funktionsgraphen: i) f : [ 5, 5] [, ], f x) = x, ii) f : [0, ] [0, ], f x) = x 4, iii) f 3 : [0, π/] [0, /], f 3 x) = sin x cos x, iv) f 4 : IR 0, ), f 4 x) = e x. b) Für die Funktion f mit dem Definitionsbereich D =, ] und der Funktionswertzuweisung fx) = x 4x + 5 gebe man den Wertebereich W an, berechne, falls dies möglich ist, die Umkehrfunktion f und zeichne f und f. Lösung: a) i) f ist weder injektiv noch surjektiv ii) Bild 6.a. f ist injektiv aber nicht surjektiv f x) = x Bild 6.a. f x) = x 4

8 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 8 iii) f 3 ist surjektiv aber nicht injektiv iv) f 4 ist bijektiv Bild 6.a.3 f 3 x) = sin x cos x = sin x Bild 6.a.4 f 4 x) = e x b) Die Scheitelpunktform des quadratischen Polynoms: y = fx) = x 4x + 5 = x + ) + 9 y W =, 9]. f ist in, ] bijektiv und damit invertierbar. Berechnung der Umkehrfunktion: y = x + ) + 9 x + ) = 9 y x + = ± 9 y x = ± 9 y Wegen x, ] folgt f y) = 9 y. y 5 x x y Bild 6.b fx) = x 4x + 5 und f y) = 9 y

9 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 9 Beweisprinzip der vollständigen Induktion Behauptung: Die Aussage An) gilt für alle n n 0 mit n, n 0 IN. Diese Aussage kann über vollständige Induktion bewiesen werden. Beweisprinzip: a) Induktionsanfang: Man zeigt, dass An 0 ) gilt. b) Induktionsschluss: Man setzt für ein beliebiges n n 0 die Gültigkeit von An) voraus Induktionsannahme) und leitet daraus die Gültigkeit von An + ) her An 0 ) An 0 + ) An 0 + ) An) An + )

10 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 0 Aufgabe 7: Man beweise durch vollständige Induktion a) für q und alle n IN 0 gilt n k=0 q k = qn+ q, b) a n := n+ + n ist für alle n IN durch 33 teilbar. Lösung: a) Beweis über vollständige Induktion: 0 n = 0 : q k = q 0 = = q q, n n + : k=0 n+ q k = k=0 n ) q k + q n+ k=0 = qn+ q + q n+ = qn+ + q)q n+ q = qn+ q, b) Mit a n := n+ + n gilt n+ = a n n. Beweis über vollständige Induktion: n = : a = + = 33 ist durch 33 teilbar, n n + : a n+ = n+ + n+ = n+ + n+ = a n n ) + n = a n + n ) = a n + 33 n ist durch 33 teilbar.

11 Analysis I, c K. Rothe, WiSe 08/09, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Aufgabe 8: a) Man beweise, dass für alle n IN folgende Ungleichung gilt n n n +. n b) Zur Berechnung von + ) finde man eine Formel notfalls durch k + k= Probieren) und beweise diese ggf. durch vollständige Induktion). Lösung: a) Beweis über vollständige Induktion: n = : + n n + : n n + ) n n + ) n + n + n + n + n + = > n + n + 5n + n + 4n + n + b) direkter Beweis n k= + ) k + = n k= k + ) + k + = n k= k + k + Alternativer Beweis von = n n k= durch vollständige Induktion: n = : + ) k + n n + : k= n+ + ) k + k= n n + ) n + ) 3 nn + ) + ) = n n + ) k + = + + = 3 = + ) = n k= + k + = n n + ) = n n + 3) ) ) + + n + = n n + ) n + ) )