Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig. 4. Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen. wird in Umgebung von x0 D f
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- Valentin Egger
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1 4. Dieretilrechug ür Fuktioe eier reelle Veräderliche 4. Begri des Dieretilquotiete :D, D wird i Umgebug vo D bzgl. ihrer "Veräderug" utersucht. De. 4. Dieretilquotiet Die i eier Umgebug vo deiierte Fuktio heißt der Stelle dierezierbr (di 'br, we der Grezwert ( + h ( y ( h h eistiert. Dieser Grezwert heißt Dieretilquotiet oder. Ableitug vo der Stelle. dy d ( Adere Bezeichuge: y,, d d Höhere Ableituge etstehe durch mehrmlige Dieretitio k ( k d (,,, ( bzw. k d Bemerkug ist der Stelle h+ ( + ( + h h rechtsseitig bzw. liksseitig di 'br, we bzw. h ( + h h eistiert. Folgeruge. sei u I deiiert ( I D. D heißt u I di 'br, we di 'br ür jede iere Pukt vo I ud eiseitig di 'br ür die Rdpukte ist. dy Schreibweise: (,, d, wobei I d d. heißt (kurz di 'br, we u di 'br ist. Stz 4. Flls di 'br ist, d ist stetig. (Umkehrbrkeit gilt icht D Stz 4. Mittelwertstz b], b, ( ( b b < < b. sei u [ stetig ud u ( di 'br. D eistiert midestes eie Stelle mit Bild
2 Bemerkug C[, b ] - Mege ller u [ b], stetige Fuktioe (bilde Vektorrum C [, b ] - Mege ller di 'bre Fuktioe u [ b, ] mit ( u [ b], stetig (bilde Vektorrum - (stetig di 'br ud C [, b] C[, b]. Stz 4. Stz vo Rolle (65-79 sei u [ b, ] stetig ud u ( b, di 'br. Gilt ( mit. [vgl. Stz vo Weierstrß ud Stz 4.] b, so eistiert ei ( b, 4. Dieretitio elemetrer Fuktioe (Dieretitiosregel Stz 4.4 Die Gruduktioe sid i ihre Deiitiosgebiete di 'br. µ µ µ, µ,,. isbesodere :, (, \ + {} ( [,,. > speziell: ( e e, l,, ; si cos, ; cos si, ;. Stz 4.5 ( sei u I di 'br. Besitzt y ( eie Umkehruktio ( y, d ist ( y I di 'br, ud es gilt ( ( y u d ( dy dy d mit (. Beispiele π π. y ( si,,, di 'br ; ( y rcsi y, y (, ( rcsi y cos si si y somit ( rcsi, (,.,,, di 'br ; y ( e ( y l y, y (,
3 ( l y e y ( e somit ( l, (, Stz 4.6, g seie u I di 'br, d ± g, r ( r, g ud g mit g( sid u I di 'br. Dbei gilt: ± g ± g r r, r g g+ g Produktregel g g, g ( Quotieteregel g g Stz 4.7 sei u I ud g sei u J di 'br, d ist g g (Ketteregel. Dbei gilt dy dy dz, : d dz d Bemerkug: y g( z z ( y g ( Beispiele: cos, z cos ; z. d dz z cos ( l ( si l si dz d z l, u ; z u l u. dz du z ( ( du d u ( z g u I di 'br, lls ( I J. Stz 4.8 Die elemetre Fuktioe sid (i ihre Deiitiosgebiete bis u eizele Pukte di 'br. Ihre Ableituge sid wieder elemetre Fuktioe. Bemerkuge. Für ds Diereziere elemetrer Fuktioe sid die i Stz ormulierte Di 'regel usreiched. v. Für ichtelemetre Fuktioe der Form ( u mit > die so gete logrithmische Dieretitio: v( u ( ( ( v ( l u( +. u( u ür D u gilt
4 Herleitug vo. ( l v ( l ( l v u v u v ( l u( + u Beispiele: ( u (. (, (, ; u( u (, v( v ( l ( ( l + ( l+ oder ( l l ; ( l ( l + l +. ( ( ( ( e ( ( + ; ( l l + l l + ( l + + ( e ( ( + ( +, + Erweiterter Mittelwertstz der Di 'rechug [vgl. Stz 4.] ud g seie u [ b], stetig ud u ( b, di 'br. Ist g ( (, b, d (, b eistiert ei mit ( b g g b g. Bemerkug: Für g( Mittelwertstz der Di 'rechug. [vgl. Stz 4.] 4. Utersuchug vo Fuktioe mit Hile ihrer Ableituge 4.. Höhere Ableituge Schreibweise: etspreched ( k ( k d,, (, bzw. k d ( k,,, bzw. ( k k d d Beispiel : Produktregel ( Leibiz'sche Regel [vgl. Biomilstz u.. i Abschitt ] k k k k ( ( g g 4
5 4.. Berechug vo Grezwerte Grezwerte vo Fuktioe [vgl. De..6,.7]: ( ( Bemerkuge - Wichtige Grezwerte sid us eischlägige Telwerke ersichtlich. - Bestimmug vo Grezwerte k ch geeigeter Umormug der Fuktio, z.b. bei Polyome durch Polyomdivisio erolge. Beispiel ( , - Regel vo de l' Hospitl [vgl. cholgede Stz 4.9] (mehrch wede ud mit dere Methode kombiiere Regel vo de l' Hospitl Etsteht bei der Berechug des Grezwertes ei sogeter ubestimmter Ausdruck der Form:,, " ",,,, so lässt sich die Regel vo de l' Hospitl wede. Stz 4.9 Regel vo Beroulli ( de l' Hospitl (66-74 ud g seie midestes i eier puktierte Umgebug vo di 'br. Flls ( ud g(, d gilt ( g g, we der Grezwert eistiert. Bemerkug: Stz 4.9 gilt sigemäß uch ür +,,,. Aweduge. : li si cos m. : e e e ". : geg.: " ( ud g ( ; ges.: (. ( g( b. ( g( g g ( g Umormug 5
6 z.b. l li m l " 4. " : geg.: ud g( ( - ( ( g( g oder - g ( ; ges.: ( g ( g( ( ( g (, wobei. b. ( g ( möglich; > ( ( g( ( ür < g( ; ( ( g( weiter ch ( " " oder - g(, ( sid gebroche rtiole Fuktioe Hupteer bilde si si cos si Beispiel: li m + g - Erweiter mit ( ( g( + g g + g + g k zu " " ühre; prüe 5. " ",, : geg.:, g Umormug: ( ( g( l ( + e + g g ; ges.: ( ( Beispiele.. ( l + e e + [ vgl.:. ] l + + l e e e e e 6
7 4.. Kurvediskussio Gegebe: : D Gesucht: Lokles ud globles Verhlte der Fuktio [bisher vgl..4.]. Dzu ist zu bestimme:. Deiitiosbereich, Wertebereich [vgl..]. Nullstelle [vgl..4.]. Pole [vgl..4.] 4. Lücke [vgl..4.] ±, vgl..4.,.5., ±, Pol 5. symptotisches Verhlte ( [ ] ( 6. reltive Etrem 7. Wedepukte 8. Mootoieeigeschte 9. Krümmugseigeschte (kove, kokv zu 6. Bestimmug reltiver Etrem Es sei stetig. : D ud zudem so ot dierezierbr, wie beötigt. Die Ableituge seie Notwedige Bedigug ür reltive Etremwert ( ist der Stelle dierezierbr ud ( Hireichede Bedigug ür reltive Etremwert ( k ( k ud (, d ht bei eie reltive Etremwert ud zwr ei reltives ( k Mimum ( <, lls. ( k,, k Miimum ( > zu 7. Bestimmug vo Wedepukte Notwedige Bedigug ür Wedepukt ( ist der Stelle zweiml dierezierbr ud ( Hireichede Bedigug ür Wedepukt ( k ( k+ ( ud (, d ht bei eie Wedepukt ( k,,. zu 8. Mootoieeigeschte ( ist streg mooto wchsed > im betreede Itervll. lled < wchsed ( ist s mooto ( im betreede Itervll. lled Eie Äderug der Mootoie erolgt i Etrem. 7
8 zu 9. Krümmugseigeschte ( ist streg (vo ute kove > im betreedem Itervll. kokv < ( ist (vo ute kove im betreedem Itervll. kokv Eie Äderug der Krümmug erolgt i Wedepukte ud Pole ugerder Ordug. P( Beispiel: ( Q(. Deiitiosbereich: \{,} D ; Wertebereich: W. Nullstelle: (-ch, weil. Pole: ud, weil Q P,P 4. Lücke: keie; Bemerkug: Flls ( bei eie Lücke besitzt, d weiterreche mit Erstzuktio. 5. Asymptotisches Verhlte: + ; Asymptote: y A y, y A Asymptotisches Verhlte de Pole: :, + + :, + Bemerkug: Berechug k wie olgt durchgeührt werde: z.b. ( ε ε ε ε ε : ε + ε ε ε 6. Reltive Etrem: 4 ( ; ( ( zweich ud, ( ( + ( ; zweich : Wedepukt? 4 4 ( ( ( A 6 5 : ( 5 > Miimum mit 6 6 : ( 6 < Mimum mit ( 8
9 7. Wedepukte: 4 6( ( 4 ; ( 4 ( (zweich ist Wedepukt mit Mootoie < < streg mooto steiged < < < < streg mooto lled < < < < mooto lled * * Flls Itervll bei geteilt wird, ist Fuktio streg mooto lled. 9. Krümmugseigeschte (kove, kokv < < streg kokv, d < < < streg kove, d > < < streg kokv, d < < < streg kove, d >
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Exponentialfunktionen und die e- Funktion. Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.
R. Brikma http://brikma-du.de Seite.. Eiführug Epoetialfuktioe ud die e- Fuktio Bei de bisher betrachtete Fuktioe trate Epoete ur als Zahle auf. q Potezfuktio : f a mit q Beispiel: f Fuktioe mit positiver
Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...
Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name:..........................Vorame:............................ Matr.Nr.:........................Studiegag:.........................
Zusammengesetzte Funktionen
Nr7-2204 Zusmmegesetzte Fuktioe Aus Fuktioe g ud h werde eue Fuktioe gebildet: ) f = gh, mit f() = g() h() ; Summe b) f = g-h, mit f() = g() - h() ; Differez c) f = g h, mit f() = g() h() ; Produkt d)
KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
Gebrochenrationale Funktionen
Gebrocheratioale Fuktioe Aufgabe Bestimme de Defiitiosbereich der Fuktio f() = ösug: Hier ist der maimale Defiitiosbereich icht R, de im der Neer wird für = Null ud ma würde durch Null teile. Aus diesem
Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I
Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
8 Unendliche Reihen, Potenzreihen, Taylor-Reihen, Fourier-Reihen
8 Uedliche Reihe, Potezreihe, Tylor-Reihe, Fourier-Reihe 8. Uedliche Reihe 8.. Grudlegede Deiitioe ud Eigeschte Im Kp..4. wurde Zhleolge ud ihre Kovergez behdelt. Hier betrchte wir olgede uedliche geometrische
Jetzt ändert sich die dritte Stelle nach dem Komma nicht mehr, man hat also vier zählende Stellen
9. M setze = ud bereche mit Hilfe der Folge (9.5) die dritte Wurzel us uf vier zählede Stelle geu. = + + =,, =,, =.75, 4 =,48889, =,449, =,4478 Jetzt ädert sich die dritte Stelle ch dem Komm icht mehr,
Übungsaufgaben mit Lösungen zur Analysis und linearen Algebra
Übugsaufgabe mit Lösuge zur ud lieare Algebra Fuktioe mit eier uabhägige Variable, Folge ud Reihe ) Bilde Sie die. Ableitug der folgede Fuktioe: a) f (x) = (x 7 + 5x + 4) 0 = f (x) = 0(x 7 + 5x + 4) 9
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe
Formelsammlung Mathematik (ET052)
Formelsmmlug Mthemtik (ET05) Äderugshistorie.05.006 Mittelwertstz, Tylor'sche Formel, Mc Luresche Formel 3.05.006 Polyome, Nullstelle vo Polyome, Regul flsi, Ableituge spezieller Fuktioe, Regel vo de l'hospitl,
6. Kommentar zu den von Musil notierten Formeln zu Grenzwerten
Fraz Gustav Kollma: Traskriptio ud Kommetare zu de vo Musil im "Register -Heft otierte Formel. Kommetar zu de vo Musil otierte Formel zu Grezwerte. Akademie der Wisseschafte ud der Literatur Maiz (Hrsg.),
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
= 1 für alle n 1. = f hinzu, erhält man das Gleichungssystem
Formel o Biet (Beweis mit Liearer Algebra) Die Folge der Fiboacci-Zahle ( ) wird rekursi deiiert durch + + mit, ür alle Fügt ma zu dieser Formel die Gleichug hizu, erhält ma das Gleichugssstem + +, das
10. Stetigkeit Definition (Stetigkeit) Beispiele. Wir übertragen den Stetigkeitsbegriff für reelle Funktionen auf metrische Räume.
10 Stetigkeit Wir übertrge de Stetigkeitsbegriff für reelle Fuktioe uf metrische Räume 101 Defiitio (Stetigkeit) Seie (X, d x ), (Y,d y ) metrische Räume, f : X Y eie Abbildug Wir sge f ist stetig im Pukt
Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 11. c n (z a) n,
f : a P UNIVERSIÄ DES SAARLANDES FACHRICHUNG 6. MAHEMAIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. obias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 202 Musterlösug zu Blatt Aufgabe. Zeige Sie durch Abwadlug
Konvexität und Ungleichungen
Koveität ud Ugleichuge Tag der Mathematik 2003 Holger Stepha Weierstraß Istitut für Agewadte Aalysis ud Stochastik http://www.wias-berli.de/people/stepha = Für mathematisch iteressierte Schüler = Folie
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
4.2 Das bestimmte Integral
4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 63 4. Ds bestimmte Itegrl Die geometrische Iterprettio eies bestimmte Itegrls ist die Fläche uter eiem Fuktiosgrphe ft. M zerlege ei Itervl [, b] uf der t-achse äquidistt i Teilitervlle
Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13
Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : (2 + 32 )( + 2) 2 3 + 2 2 gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe FH Emden/Leer
vo Prof. Dr. Ig. Dirk Rbe FH Emde/Leer Überblick: Folge ud Reihe Folge: Zhlefolge ( ) ; ; ; ist eie geordete Liste vo Zhle ( IN) : Glieder der Folge f(): Bildugsgesetz (eplizit i oder rekursiv) z.b.: (
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Ausbau der Funktionentheorie
Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Skript zum Ausbu der Fuktioetheorie I Ausbu der Fuktioetheorie Potezfuktioe (PF) Bisher hbe wir us mit liere Fuktioe ud dere jeweiligem chrkteristische Verluf bzw
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
x mit Hilfe eines linearen, zeitinvarianten
Übug &Prktiku zu Digitle Sigle ud Systee The: Fltug Diskrete Fltug Wird ei zeitdiskretes Sigl ( T ) x it Hile eies liere, zeitivrite Siglverrbeitugssystes verrbeitet, so lässt sich ds Verhlte des verrbeitede
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
Übungsaufgaben mit Lösungen. Mathematik I
Fachhochschule Pforzheim - Eletrotechi / Iformatiostechi - Übugsaufgabe mit Lösuge zur Vorlesug Mathemati I Prof. Dr. Mazura ud Prof. Dr. Gohout) für Studete der Fachrichtuge Eletrotechi / Techische Iformati
3.3 Grenzwert und Stetigkeit
50 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.3 Grezwert ud Stetigkeit Wichtige Eigeschafte eier Fuktio f a eier Stelle 0 sid mit ihrem Verhalte bei beliebiger Aäherug a 0 verbude. Eier dieser Eigeschafte ist die Stetigkeit
Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
Zahlenfolgen. Zahlenfolgen
Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
Unterlagen für die Lehrkraft
Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Prüfug zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 6/7 Mathematik B. Mai 7 9: Uhr Uterlage für die Lehrkraft Lad Bradeburg. Aufgabe: Differetialrechug Gegebe
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
HTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG... 3. DARSTELLUNG EINER FOLGE... 3 3. BEISPIELE... 4 4. ENDLICHE REIHE... 4 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN... 4 6. GEOMETRISCHE