BACHELORARBEIT. ausgeführt an der. Fachhochschule Kärnten. Studiengang: Systems Engineering Vertiefungsrichtung: Mechatronics

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1 BACHELORARBEIT Modellierung und Regelung der Aktorik für einen RoboCup Rescue Roboter ausgeführt an der Fachhochschule Kärnten Studiengang: Systems Engineering Vertiefungsrichtung: Mechatronics Zur Erlangung des akademischen Grades eines Bachelor of Science in Engineering unter der Leitung von Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang Werth Verfasser/in Daniela Lingitz Personenkennzeichen Abgabetermin Juni 22

2 Kurzfassung Modellierung und Regelung der Aktorik für einen RoboCup Rescue Roboter In dieser Arbeit ist die Modellbildung und Regelung von Aktoren (Brushless DC Motoren) für einen RoboCup Rescue Roboter beschrieben. Zuerst erfolgt die Identifikation der verwendeten Antriebseinheiten. Das Übertragungsverhalten des Hauptantriebes besitzt, wie die Ergebnisse der Identifikation zeigen, eine signifikante Totzeit. Der Einfluss der Totzeit auf das Regelverhalten wird eingehend untersucht. Dabei werden Regelungskonzepte, die die Totzeit berücksichtigen (Smith-Prädiktor) oder unbeachtet lassen miteinander verglichen. Als Ergebnis konnte gezeigt werden, dass die Spezifikationen trotz auftretender Totzeit erfüllt werden konnten. Abstract Modelling and controlling of a RoboCup Rescue robot actuators In this thesis, the modelling and controlling of the RoboCup Rescue robot actuators (brushless DC motors) are described. First the identification of the drive units are accomplished. The transient behaviour of the main drive has, as the result of the identification shows, a significant dead time. Then the influence of dead time on the control behaviour is studied in detail. Control concepts which consider the dead time (Smith-Predictor) and control concepts which do not consider the dead time are compared. As the result it could be shown that the specifications could be fulfilled despite dead time. Seite I

3 Danksagung Mein Dank gilt allen Wegbegleitern, die mir jederzeit mit Rat und Hilfsbereitschaft zur Seite standen. Meinem Betreuer, Herrn Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang Werth, möchte ich für die Unterstützung und den wertvollen Diskussionen für die Bachelorarbeit danken. Dem Projektteam für die angenehme Zusammenarbeit und besonders möchte ich mich bei meinen Eltern und meinem Freund bedanken, die mich während meiner Studienzeit unterstützten. Seite II

4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Kurzfassung I Abstract I Danksagung II Abbildungsverzeichnis IV Tabellenverzeichnis V Einleitung Aufgabenstellung und Zielsetzung Aufbau der Bachelorarbeit Die Aktorik Umrechnung der Encoderwerte Identifikation der Motoren Vorgehensweise Durchführung Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Die Totzeit Das Frequenzkennlinienverfahren Reglerentwurf unter Vernachlässigung der Totzeit Reglerentwurf unter Berücksichtigung der Totzeit Vergleich: Reglerentwurf ohne Totzeit mit Totzeitbehafteter Strecke Reglerentwurf unter Verwendung der Padé Approximation Reglerentwurf unter Verwendung des Smith-Prädiktors Erkenntnisse Positionsregelung der Flippermotoren Positionsregelung unter Verwendung eines P-Reglers Positionsregelung mittels FKL-Verfahren Digitale Regelung Idee der Diskretisierung Die Abtastzeit Überführung von kontinuierlichen Reglern in digitale Regler z-transformation Durchführung Zusammenfassung und Ausblick Literatur VI Eidesstattliche Erklärung VII Seite III

5 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis. Arena bei den GermanOpen 22 in Magdeburg D Ansicht des Roboters Standardregelkreis Sprungantworten verschiedener Übertragungsglieder Sprungantwort Übertragungsglied.Ordnung (P T ) Sprungantwort P T n -Übertragungsglied Sprungantwort Übertragungsglied 2.Ordnung (P T 2 ) Zusammenhang zwischen dem Dämpfungsgrad und dem Überschwingen Zusammenhang zwischen dem Dämpfungsgrad und dem Produkt von der Anstiegszeit und der ungedämpften Eigenfrequenz Reale Strecke des Hauptantriebes Reale vs. identifizierte Strecke des Hauptantriebes Systemantwort des geschlossenen Regelkreises (Flipperpositioniermotor) Reale vs. identifizierte Strecke des Flipperpositioniermotors Systemantworten der geschlossenen Regelkreise T (s)real, T (s), T (s) Bode-Diagramm des Totzeit-Elements Bode-Diagramm der Streckenübertragungsfunktion ohne Totzeit-Element Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises T(s) ohne Totzeit-Element der Hauptantriebsmotoren Bode-Diagramm der Regelstrecke mit Totzeit G(s) und des offenen Regelkreises L(s) des Hauptantriebmotors Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises T(s) mit Totzeit-Element der Hauptantriebsmotoren Sprungantwort von T(s) mit der totzeitbehafteten Strecke und dem entworfenen Regler ohne Totzeit Simulationsergebnis: Regelung unter Verwendung der Padé Approximation Regelkreis mit Smith-Prädiktor Systemantwort unter Verwendung des Smith-Prädiktors Ergebnisse aus Simulink Sprungantwort der ungeregelten Flippermotoren Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises Bode-Diagramm der Regelstrecke des Flippermotors und des offenen Regelkreises Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises des Flippermotors Digitaler Regelkreis Seite IV

6 Tabellenverzeichnis Tabellenverzeichnis 4. Stationäres Verhalten von Regelkreisen, geändert übernommen aus []... 7 Seite V

7 Einleitung Einleitung Die Idee hinter der Robot World Cup Initiative (kurz: RoboCup) ist jene, dass Roboter Mitte des 2. Jahrhunderts soweit entwickelt sein werden, dass es möglich sein wird gegen den Weltmeister im Fußball mit einer Mannschaft, bestehend aus Robotern, zu besiegen. Der erste Wettbewerb der RoboCup Liga wurde in Japan ausgetragen und weckte das Interesse an diesem Projekt in der ganzen Welt. Seit 997 finden jährlich die Weltmeisterschaften statt. Gestartet hat der RoboCup mit der Kategorie Soccer. Im Laufe der Zeit kristallisierten sich auch andere Kategorien heraus. Unter anderem die Disziplin RoboCup Rescue Senior. In dieser Kategorie werden Katastrophenszenarien nachgestellt wie sie beispielsweise nach einem Erdbeben oder Tsunami eintreten könnten. Das Areal in dem der Roboter sich bewegen muss, wird Arena genannt. Diese werden in verschiedenen Schwierigkeitsstufen eingeteilt, die farblich gekennzeichnet sind (gelb, orange, rot, blau, gelb-schwarz, schwarz). In diesen Arenen gibt es Aufgaben die der Roboter entweder autonom oder von einem Benutzer, über eine graphische Benutzeroberfläche, gesteuert erfüllen muss. Die Abbildung. zeigt wie eine Arena aufgebaut sein könnte. Beispiele für die Aufgaben, welche hier gestellt werden, sind: Sich im unebenen Terrain fortbewegen zu können Das Überwinden von Hindernissen Das Erkennen und Retten von Opfern Erkennen von Hinweisschildern Um diese Aufgaben bewältigen zu könnten stellt sich jedes Team einigen schwierigen herausfordernden Aufgaben. Die Konstruktion eines geländegängigen robusten Roboters, die Regelung der Aktorik um eine Bewegung des Roboters im Gelände zu ermöglichen, die Sensorik unter anderem für das Erkennen von Opfern, die grafische Benutzeroberfläche für das Steuern des Roboters und der Anzeige der Sensordaten und die Automatisierung um ein autonomes Verhalten des Roboters zu realisieren. Abbildung.: Arena bei den GermanOpen 22 in Magdeburg Seite

8 Einleitung. Aufgabenstellung und Zielsetzung Im Zuge des Projektjahres, entschied sich eine Studentengruppe von acht Studierenden, aus dem Bereich Systems Engineering, das Projekt RoboCup Rescue Roboter zu starten. Es soll ein Roboter entwickelt werden, der an dem RoboCup teilnehmen kann. Dieser Roboter verfügt über einen Hauptantrieb an den Außenseiten sowie über zwei rotierende Ausleger, genannt Flipper, innerhalb des Roboters (siehe Abbildung.2). Alle Antriebe werden als Kettenantriebe ausgeführt. Der Hauptantrieb verfügt über ein gedämpftes Fahrwerk, die Flipper besitzen keine Federung. Diese Flipper müssen getrennt von einander um 36 schwenkbar sein und zusätzlich sollen diese als Hilfsantrieb genutzt werden um beispielsweise schwieriges Terrain überwinden zu können(stufen, Rohre, Treppen, etc.). Für diese Aufgabe ist eine Positionsregelung sowie eine Drehzahlregelung notwendig. Als zentrale Recheneinheit dient ein Mini PC der im Roboter platziert ist. Auf diesem ist auch die Regelungstechnik eingebunden. Die Software der Roboter-Steuerung ist als Win32- Konsolenanwendung mittels C++ realisiert. Deshalb ist es notwendig den Regler digital einzubinden. Abbildung.2: 3D Ansicht des Roboters Da das Projektteam sich noch in der Entwicklungsphase befindet wurden im ersten Schritt die Aktoren unter Laborbedingungen getestet. Im zweiten Schritt, nachdem der Zusammenbau abgeschlossen ist, werden die Motoren auch am Roboter getestet. Die Motoren wurden im Labor aufgebaut und die Datenerfassung erfolgte über das Q4 Terminal Board von Quanser Consulting. Die Regelung in Echtzeit erfolgte mit Hilfe des auf dem Real-Time Workshop von Matlab basierenden Simulink-Programms QuaRC. Die Schnittstelle zwischen dem Quanser Q4 Terminal Board und den Motoren bildet das Starter Kit Module Evaluation Board DEC 5/5, auf dem das Control Board -Q-EC Verstärker DEC Modul 5/5 angebracht ist. Das Control Board und Evaluation Board sind von der Maxon Motor AG..2 Aufbau der Bachelorarbeit Nach diesem Einleitungsteil folgt eine kurze Beschreibung der verwendeten Aktoren und die Umrechnung der Encoderwerte, auf die entsprechende Regelgröße. Im darauf folgen- Seite 2

9 Einleitung dem Kapitel ist die Identifikation der Aktorik beschrieben. Aufbauend darauf erfolgt im vierten Kapitel der Reglerenwurf für die Drehzahlregelung des Hauptantriebs. Im fünften Kapitel wird die Positionsregelung der Flipper durchgeführt. Den Abschluss bildet eine Zusammenfassung und ein Ausblick. Seite 3

10 2 Die Aktorik 2 Die Aktorik Die Aktorik besteht aus vier Brushless DC Motoren von der Firma Maxon Motor AG, die folgend aufgeteilt sind: zwei für den Hauptantrieb zwei für die Flipperrotation Dies gilt jeweils für die linke und rechte Seite. Die Dimensionierung erfolgt nach dem Ansatz, dass der Roboter eine 45 steile Rampe mit einer Geschwindigkeit von.5 m/s aufwärts fahren kann [2]. Für den Hauptantrieb wird ein EC 4 mit 7 Watt eingesetzt, an dem ein Planetengetriebe mit einer Untersetzung von 26: angebracht ist. Beim Inkrementalencoder handelt es sich um einen optischen Encoder HEDS 554 mit 5 Impulsen/Umdrehung. Die Flipperposition wird mit einem ECmax 4 mit einer Leistung von 7 Watt durchgeführt und ist ebenfalls mit einem Planetengetriebe mit einer Untersetzung von 53: ausgeführt. Der Inkrementalencoder ist ein magnetresistiver MR Encoder, ebenfalls mit einer Auflösung von 5 Impulsen/Umdrehung. Die Motoren werden von der Firma Maxon Motor AG im Zusammenbau mit Getriebe und Inkrementalencoder geliefert. 2. Umrechnung der Encoderwerte Abbildung 2. zeigt den Standardregelkreis. Die Eingangsgröße oder Führungsgröße ist mit r gekennzeichnet. Der Ausgang mit y und die Stellgröße der Regelstrecke G(s) mit u. Die Regelabweichung wird mit e bezeichnet und ist auch die Eingangsgröße des Reglers C(s). Für die Regelabweichung gilt: e = r y und ist im optimalem Fall im stationären Zustand gleich Null. Es ist darauf zu achten, dass y und r die selbe Einheit haben müssen und eventuelle Umrechnungen notwendig sein könnten. Abbildung 2.: Standardregelkreis Bei der Drehzahlregelung wird als Führungsgröße r eine Solldrehzahl in Umdrehungen/Sekunde vorgegeben. Die Ausgangsgröße y wird mittels Inkrementalencoder mit einer Auflösung von 5 Inkrementen pro Umdrehung gemessen. Daraus folgt, dass vor der Rückführung für die Berechnung von der Regelabweichung e eine Umrechnung folgendermaßen durchgeführt werden muss: Seite 4

11 2 Die Aktorik - Die Anzahl der Encoder werden in Radiant durch 2π k () k = i 5 4 umgerechnet und somit erhält man den Winkel der Motorwelle in Radiant. i steht für die Getriebeuntersetzung, 5 Inkremente liefert der Encoder pro Umdrehung und der Faktor 4 muss miteinbezogen werden, weil es sich hier um einen Quadraturencoder handelt - Durch die. Ableitung des Winkels erhält man die Winkelgeschwindigkeit ω. Es gilt dϕ dt = ϕ = ω in rad s - Die Relation zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und der Drehzahl n ist durch n = ω 2π gegeben und hat ebenfalls wie die Eingangsgröße die Einheit Umdrehungen/Sekunde. Für die Positionsregelung müssen die Encoderwerte anders umgerechnet werden. Als Eingangsgröße r wird hier ein Winkel in Grad vorgegeben. Also muss auch die Ausgangsgröße y in Grad umgerechnet werden. Diese Schritte sind wie folgt: - Zuerst wird die Führungsgröße r in Radiant umgerechnet. Dies erfolgt über π 8 - Vor dem Rückführzweig müssen nun wieder die Encoderwerte in Radiant umgerechnet werden. Das erfolgt, wie vorhin schon erwähnt, nach Gleichung. Daraus folgt, dass die Regelabweichung e nun die selbe Einheit hat wie die Führungsgröße r. - Als letzten Schritt muss noch von Radiant auf Grad über 8 umgerechnet werden um die Ausgangsgröße in Grad anzeigen zu können. Nachdem diese Schritte erarbeitet wurden ist es möglich die Regelstrecke zu identifizieren. π Seite 5

12 3 Identifikation der Motoren 3 Identifikation der Motoren In diesem Kapitel ist die Identifikation der Regelstecken beschrieben. Als Regelstecke werden hier die Übertragungsfunktionen der Motoren für den Hauptantrieb und der Flipperpositionierung definiert. Im ersten Abschnitt wird auf die theoretische Modellbildung mit ihren Vor-und Nachteilen eingegangen. Danach folgt eine Beschreibung der Grundglieder (P T, P T n und P T 2 ) mit ihren Eigenschaften. Abschließend wird die Vorgehensweise und Identifikation der Motoren beschrieben. Um einen Regler für ein System entwerfen zu können ist es notwendig das dynamische Verhalten der Regelstrecke zu identifizieren. Dazu muss die Streckenübertragungsfunktion G(s) als Verhältnis der Ausgangsgröße y(s) zu Eingangsgröße u(s) im Laplacebereich, auch als Frequenzbereich bekannt, gefunden werden. Meist wird ein mathematisches Modell über Differentialgleichungen aufgestellt, welche das zeitliche Verhalten der Regelstrecke möglichst genau beschreibt. Dabei werden alle essentiell wichtigen physikalischen Eigenschaften berücksichtigt und mittels Laplace- Transformation in den Frequenzbereich übergeführt. Somit ist die Übertragungsfunktion nicht mehr von der Zeit t abhängig sondern vom Laplaceoperator s. Ein sehr großer Vorteil der theoretischen Modellbildung ist es, dass das zu regelnde System noch nicht existieren muss. Jedoch setzt diese Vorgehensweise das Kennen der inneren und äußeren Abläufe voraus. Ein Nachteil ist, dass bei komplexeren Regelstrecken der mathematische Aufwand sehr hoch ist. Lässt sich keine Übertragungsfunktion der Regelstrecke über diesen Weg bestimmen, wird die Identifikationsmethode, auch experimentelle Modellbildung genannt, angewendet. 3. Vorgehensweise Bei der experimentellen Modellbildung muss das System oder ein Labormodell vorhanden sein. Anders als bei der theoretischen Modellbildung wird das System als Black-Box angesehen. D.h. die physikalischen Gesetzmäßigkeiten müssen nicht geklärt werden, wenngleich a priori Kenntnisse der Strecke die Identifikation schneller zum Ziel führen lässt und im Allgemeinen zu besseren Ergebnissen führt. Das System wird ohne Rückkopplung mit einer einfachen Eingangsgröße (Sprung, Impuls, Rampe etc.) angeregt und das Ausgangssignal aufgezeichnet. Das zeitliche Verhalten des Ausgangssignals erlaubt das Bestimmen von Kennwerten, die in einfache Modelle eingetragen werden können [3]. Im ersten Schritt wird auf Grund der Gestalt des Aussgangssignals die Modellstruktur festgelegt. In Abbildung 3. sind als Beispiele dargestellt, wie typische Sprungantworten von P T, P T n und P T 2 Übertragungsglieder mit Totzeit aussehen. Jedes dieser Systeme hat seine Eigenschaft, auf die im nächsten Abschnitt weiter eingegangen wird. Als nächstes müssen die Modellparameter bestimmt werden. Diese können z.b. über Experimentieren in einem Rechnersimulationsprogramm gefunden bzw. optimiert werden. Dies geschieht, in dem die Parameter solange verändert werden, bis das Modell sich mit der realen Strecke ausreichend gut deckt [4]. Seite 6

13 3 Identifikation der Motoren Diese Vorgehensweise kommt auch im Abschnitt 3.2 zum Einsatz, um ein Modell der Aktoren aufzustellen. Step Response.5 PT PT n Amplitude.5 PT Time (sec) Abbildung 3.: Sprungantworten verschiedener Übertragungsglieder Das PT-Glied Die Übertragungsfunktion vom P T -Glied (Übertragungsglied.Ordnung) wird im Allgemeinen folgend beschrieben: G(s) = y(s) u(s) = V (2) T s + Demnach wird das Übertragungsglied durch den Verstärkungsfaktor V und der Zeitkonstante T beschrieben. Wie in Abbildung 3.2 gezeigt handelt es sich beim Verstärkungsfaktor um den stationären Endwert, wenn als Eingangsgröße der Einheitssprung gewählt wird. Die Zeitkonstante T liest man an jenem Zeitpunkt ab, zu welchem die Ausgangsfunktion den Endwert V zu 63% erreicht hat. Step Response Amplitude.5 V V(63%) PT T Time (sec) Abbildung 3.2: Sprungantwort Übertragungsglied.Ordnung (P T ) Seite 7

14 3 Identifikation der Motoren Das PTn-Glied Das P T n -Glied ist eine Reihenschaltung von n P T -Gliedern und wird folgendermaßen beschrieben: G(s) = y(s) u(s) = V (3) (T s + ) (T 2 s + )... (T n s + ) Ein Merkmal eines P T n -Gliedes ist der s-förmige Verlauf. Der Verstärkungsfaktor V ist auch bei diesem Übertragungsglied ein wichtiger Parameter. Die einzelnen Zeitkonstanten sind weniger von Interesse, weil durch diese die Berechnung für die Übertragungsfunktion sehr aufwändig wird. Viel mehr Bedeutung hat die Summenzeitkonstante T Σ. T Σ = T + T 2 + T T n (4) Diese T Σ ist jener Zeitpunkt an dem die Flächen A und A2 gleich groß sind (siehe Abbildung 3.3. Step Response Amplitude.5 V A A T Time (sec) PT n Abbildung 3.3: Sprungantwort P T n -Übertragungsglied Für zwei Zeitkonstanten kann näherungsweise folgende Relation verwendet werden: G(s) = V (T s + ) (T 2 s + ) V ( TΣ2 s + ) 2 (5) Seite 8

15 3 Identifikation der Motoren Das PT2-Glied Das Übertragungsglied 2.Ordnung ist abhängig: - vom Verstärkungsfaktor V - vom Dämpfungsgrad d (mit <d<) - von der ungedämpften Eigenfrequenz ω n bzw. von der Zeitkonstanten T (mit T >, ω n = T ) und ist wie folgt definiert: G(s) = y(s) u(s) = V T 2 s 2 + 2dT s + = V s 2 + 2d s Die charakteristischen Größen im Zeitbereich sind hier: ω 2 n ω n + = V ω2 n s 2 + 2dω n s + ω n (6) Die Überschwingweite M p, welche dem Maximalwert der Sprungantwort entspricht Die Anstiegszeit (Risetime) t r, jene Zeit, in der die Funktion von % auf 9% vom Verstärkungsfaktor erreicht hat Die Ausregelzeit (Settlingtime) t s, nach dieser Zeit weicht die Funktion nur mehr ± 2% vom Verstärkungsfaktor ab In der nachfolgenden Abbildung 3.4 sind diese Größen an einem Beispiel einer Sprungantwort eines P T 2 -Gliedes veranschaulicht..5 Step Response Amplitude.5 t r M p t s PT Time (sec) Abbildung 3.4: Sprungantwort Übertragungsglied 2.Ordnung (P T 2 ) Für die Überführung der zeitlichen Größen in den Frequenzbereich und somit auf die Form wie in Gleichung 6 beschrieben gelten Zusammenhänge, welche kurz beschrieben werden. Oft gibt man anstatt der Überschwingweite M p das prozentuelle Überschwingen ü an, welches folgend berechnet werden kann: ü = (M p V ) V in % (7) Das Überschwingen ü ist nur vom Dämpfungsgrad d abhängig. Die Werte dieser beiden Größen können entweder über die in Abbildung 3.5 dargestellten Kennlinie abgelesen werden oder über die Berechnung nach Gleichung 8 bzw. Gleichung 9. d = (8) π + 2 (ln( ü ))2 Seite 9

16 3 Identifikation der Motoren ü = e πd d 2 [%] (9) Die ungedämpften Eigenfrequenz ω n ist auch vom Dämpfungsgrad d abhängig und kann entweder über die Näherungsformel für beispielsweise d.5 t r.7 ω n () bestimmt werden oder über die in Abbildung 3.6 gezeigten Zusammenhang abgelesen werden. Abbildung 3.5: Zusammenhang zwischen dem Dämpfungsgrad und dem Überschwingen Abbildung 3.6: Zusammenhang zwischen dem Dämpfungsgrad und dem Produkt von der Anstiegszeit und der ungedämpften Eigenfrequenz Seite

17 3 Identifikation der Motoren 3.2 Durchführung Für die Identifikation der verschiedenen Motoren wird in der Matlab / Simulink - Umgebung die reale Strecke über die Quanser Blöcke HIL Write Analog und HIL Read Encoder eingebunden. Strecke vom Hauptantrieb Der Hauptantrieb wird mit der Sprungfunktion als Eingangsgröße gespeist. Die aufgezeichnete Systemantwort ist in Abbildung 3.7 dargestellt. Drezahl [/s].2. reale Strecke Zeit [s] Abbildung 3.7: Reale Strecke des Hauptantriebes Der Verlauf deutet auf ein P T -Verhalten mit Totzeit T t hin. Daher können die Parameter, wie im Abschnitt 3. bereits beschrieben, abgelesen werden: - V = T =.68 sec. - T t =.7 sec. Daraus ergibt sich das abgelesene Modell in folgender Form: G(s) = y(s) u(s) = e Tts V T s + = e.7s s + Die Übertragungsfunktion des Hauptantriebmotors lautet nun wie folgt: G(s) = e.7s s () Drezahl[/s].2. reale Strecke identifizierte Strecke Zeit[s] Abbildung 3.8: Reale vs. identifizierte Strecke des Hauptantriebes Das experimentell gefundene Modell wird zusammen mit dem realem System in Abbildung 3.8 dargestellt und zeigt, dass die Sprungantwort der identifizierten Strecke sich Seite

18 3 Identifikation der Motoren hinreichend genau mit der realen Strecke deckt. Für den Reglerentwurf wird daher diese Übertragungsfunktion verwendet. Strecke der Flipperpositionierung Für diese Streckenidentifikation wird der geschlossene Regelkreis T (s) (Standardregelkreis) gemessen, da sich aus vorigen Versuchen über den offenen Regelkreis L(s) gezeigt hat, dass es sich um eine integrierende Strecke handelt. Als Regler C(s) wurde ein P- Regler mit K p = 6 eingesetzt. Da die Strecke, für die Drehzahlregelung sich wie ein P T -Glied verhält und die Integration der Winkelgeschwindigkeit dem Winkel entspricht wird angenommen, dass die Strecke für die Positionierung folgende Gestalt hat: V G G(s) = e Tts s(s + α) Es sollen nun die Parameter für V G, T t und α gefunden werden. Mit dem Ansatz aus Gleichung 2 wird die Führungsübertragungsfunktion berechnet: T (s) = (2) C(s)G(s) + C(s)G(s) = K p V G e Tts s(s + α) + V G K p e Tts (3) Daraus lassen sich die gesuchten Parameter nur auf schwierigem Wege berechnen. Jedoch wenn man die gemessenen Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises in Abbildung 3.9 betrachtet, kann angenommen werden, dass sich das geregelte System wie ein P T n -Glied mit Totzeit verhält, welches laut nachstehender Gleichung beschrieben werden kann: T (s) = e Tts V ( TΣ2 s + ) 2 = V e Tts T 2 Σ 4 (s2 + 4 T Σ s + 4 T Σ 2 ) (4) Winkel [ ] Zeit [s] Abbildung 3.9: Systemantwort des geschlossenen Regelkreises (Flipperpositioniermotor) Die Parameter können somit folgendermaßen abgelesen werden: - V = - T Σ =.8 sec. - T t =.52 sec. Daraus ergibt sich das gemessene Modell für den geschlossenen Regelkreis des Motors: T (s) = e Tts V ( TΣ2 s + ) 2 = e.52s (.9s + ) 2 (5) Die Sprungantwort des identifizierten geschlossenen Regelkreises und des realen geschlossenen Regelkreises ist in Abbildung 3. gezeigt. Aus dieser Abbildung ist ersichtlich, dass Seite 2

19 3 Identifikation der Motoren sich die beiden Funktionen sehr gut decken. Daher kann der berechnete geschlossenen Regelkreis T (s) näherungsweise über den Ansatz aus Gleichung 4 beschrieben werden. Abbildung 3.: Reale vs. identifizierte Strecke des Flipperpositioniermotors Es kann also näherungsweise angenommen werden, dass T (s) T (s) entspricht. Die nachstehenden Berechnungen sollen zeigen, wie der störende e-funktionsterm durch eine Approximation ersetzt werden kann. Wobei nur der Totzeitterm im Nenner in T (s) ersetzt werden soll um ein Polynom im Nenner zu erhalten. Somit ist es möglich über einen Koeffizientenvergleich von T (s) mit T (s) die Parameter der Regelstrecke zu berechnen. Man betrachtet die Reihenentwicklung der e-funktion e x : Für x = st t ergibt sich: e x = + x + x2 2! + x3 3! +... e stt = st t + s2 Tt 2 2 Für kleine Werte von T t gilt näherungsweise: s3 Tt e stt st t Setzt man nun diese Approximation in Gleichung 3 ein ergibt sich: T (s) V G K p e stt s 2 + αs + K p ( st t ) = V G K p e stt s 2 + (α V G K p T t )s + V G K p (6) Über folgenden Koeffizientenvergleich können die Parameter V G und α berechnet werden: T (s) = e Tts V T 2 Σ 4 (s2 + 4 T Σ s + 4 T 2 Σ ) = V G K p e stt s 2 + (α V G K p T t )s + V G K p 4 2 T = V GK p V G = 4 2 Σ T = 2.5 Σ K p 4 = (α K p V G T t ) α = 4 + K p V G T t = 28.6 T Σ T Σ Seite 3

20 3 Identifikation der Motoren Die Parameter können nun in die Gleichung 2 eingesetzt werden und es ergibt sich die Streckenübertragungsfunktion des Flipperpositioniermotors wie folgt: G(s) = e.52s 2.5 s(s ) (7) Zuletzt soll die Übertragungsfunktion noch verifiziert werden. Mittels Matlab wird die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit der Streckenübertragungsfunktion aus Gleichung 7 und dem P-Regler K p = 6 simuliert. Das Ergebnis ist in der nachstehenden Abbildung 3. dargestellt und man kann erkennen, dass die errechnete Strecke in guter Näherung dem realem System entspricht. Abbildung 3.: Systemantworten der geschlossenen Regelkreise T (s)real, T (s), T (s) Seite 4

21 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Im vorigem Kapitel stellte sich heraus, dass es sich bei der Übertragungsfunktion der Regelstrecke für den Hauptantrieb um ein einfaches Übertragungsglied mit Totzeit handelt. Inwieweit diese Totzeit Einfluss auf das Regelverhalten der Ausgangsgröße hat wird in diesem Kapitel behandelt. Beginnend mit der Beschreibung eines Totzeit-Elements wird anschließend das Frequenzkennlinienverfahren erläutert. Nach dieser Methode wird auch der Reglerentwurf durchgeführt. Die Regelung von Systemen mit einem Totzeit-Element wird auf drei verschiedenen Arten behandelt. Zuerst wird die Totzeit vernachlässigt, dann miteinbezogen. Als dritte Variante wird die Padé Approximation untersucht. Abschließend wird das Konzept des Smith-Prädiktors eingesetzt und getestet. 4. Die Totzeit Die kennzeichnende Eigenschaft eines Totzeit-Elements ist jene, dass die Ausgangsgröße nach einer Änderung der Eingangsgröße während der Totzeit ihren Wert beibehält. Die Totzeit ist jene Zeitspanne zwischen der Änderung des Eingangssignals und Reaktion des Ausgangssignals. Die Übertragungsfunktion des Totzeit-Elements ist beschrieben durch: G t (s) = K p e Tts Das Bode-Diagramm des Totzeit-Elements Der Betrag des Frequenzgangs des Totzeit-Elements ist folgend beschrieben: G t (jω) = K p Das Argument ergibt sich aus folgender Gleichung: arg(ω) = arg{g t (jω)} = arctan Im{G t(jω)} Re{G t (jω)} = ω T t In Abbildung 4. ist das Bode-Diagramm des Totzeit-Elements (e.7s ) vom Hauptantrieb dargestellt. Die Betragskennlinie bleibt konstant, die Phasenkennlinie fällt mit steigender Kreisfrequenz ω. Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 4.: Bode-Diagramm des Totzeit-Elements Seite 5

22 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Daraus ist ersichtlich, dass die Totzeit bei Regelkreisen einen Einfluss haben wird. Untersucht werden vier verschiedene Varianten. Wobei der Reglerentwurf immer mit der Methode des Frequenzkennlinenverfahrens durchgeführt wird, welches im nächsten Abschnitt erläutert ist. 4.2 Das Frequenzkennlinienverfahren Das Frequenzkennlinienverfahren, auch Bode-Verfahren genannt, wird zur Einstellung von Regelkreisen im Frequenzbereich verwendet. Ausgangspunkt ist hier die Darstellung des Frequenzganges des offenen Regelkreises im Bode-Diagramm. Die Aufgabe besteht darin, einen Regler zu entwerfen, der das Verhalten des offenen Regelkreises so verändert, dass er die geforderten Spezifikationen an den geschlossenen Regelkreis erfüllt. Folgende Spezifikationen werden gestellt:. Der Regelkreis muss stabil sein 2. ein gutes stationäres Verhalten haben (e ) 3. ein definiertes Überschwingen (ü) 4. und eine vorgegebene Schnelligkeit besitzen (t r ) Diese Bedingungen müssen in den Frequenzbereich übergeführt werden, da dort der Reglerentwurf geradlinig durchgeführt werden kann. Die nötigen Schritte dazu sind in den nachstehenden Abschnitten erläutert. zu. Stabilität Um eine Aussage über die Stabilität eines Regelkreises treffen zu können wird der Regelkreis nach dem vereinfachten Nyquist-Kriterium untersucht. Durch das vereinfachte Nyqiust-Kriterium erhält man eine Stabilitätsaussage anhand des offenen Regelkreises für den geschlossenen Regelkreis. Die Bedingungen dafür, dass ein System BIBO stabil ist, sind: dass der offenen Regelkreis L(s) vom einfachem Typ ist d.h. dass genau bei einer Frequenz der Betrag von L(jω c ) = ist (Durchtrittsfrequenz ω c ) L(s) nur Pole links und eventuell Pole bei besitzt V L > ist und die Phasenreserve positiv sein muss zu 2. Stationäres Verhalten Das stationäre Verhalten wird über die bleibende Regelabweichung e definiert. e = lim t e(t) = lim t (r(t) y(t)) (8) Die bleibende Regelabweichung ist vom Verstärkungsfaktor V und der Anzahl von integrierenden Faktoren λ L des offenen Regelkreises abhängig. In Tabelle 4. sind die Zusammenhänge von V, e und λ L zusammengefasst. Seite 6

23 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Tabelle 4.: Stationäres Verhalten von Regelkreisen, geändert übernommen aus [] e λ L = λ L = λ L = 2 r(t) = σ(t) +V L r(t) = tσ(t) V L r(t) = 2 t2 σ(t) V L zu 3. das Überschwingen Das Überschwingen ü wird in % angegeben und steht im Zusammenhang mit der Phasenreserve φ r die folgend definiert ist: φ r := 8 + argl(jω c ) (9) Mit ω c wird die Durchtrittsfrequenz benannt. Die folgende Näherungsformel zur Bestimmung der nötigen Phasenreserve für ein definiertes Überschwingen findet häufig in der Praxis Anwendung: φ r + ü 7 (2) zu 4. Schnelligkeit Schnelligkeit wird über die Anstiegszeit t r der Sprungantwort definiert und steht im Zusammenhang mit der Durchtrittsfrequenz ω c, welcher durch folgende Näherungsformel gegeben ist: ω c t r.5 (2) 4.3 Reglerentwurf unter Vernachlässigung der Totzeit In diesem Abschnitt wird das Totzeit-Element der Streckenübertragungsfunktion vernachlässigt. Betrachtet wird die Streckenübertragungsfunktion G(s) aus Gleichung ohne Totzeit- Element: G(s) = (s + 4.7) Es wird folgendes Verhalten an den Regelkreis gefordert: - e r(t)=σ(t) = - t r.4sec. - ü % Ausgehend davon, dass e = sein muss, legt man die Anzahl der integrierenden Faktoren im Regler λ C fest. Es gilt: λ C = λ L λ G (22) Da die Streckenübertragungsfunktion G(s) keinen integrierenden Anteil besitzt, wird laut Tabelle 4. für r(t) = σ(t), λ C = gewählt. Dadurch ist sicher, dass ein I-Regler zu Seite 7

24 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren verwenden ist. Das Überschwingen ü wird mit % gefordert. Dadurch ergibt sich laut Gleichung 2 die Phasenreserve φ r = 7 ü = 7 die mindestens notwendig ist. Nun muss noch die Durchtrittsfrequenz ermittelt werden. Diese erhält man über den Zusammenhang aus Gleichung 2. Somit liegt diese bei einer Anstiegszeit t r =.4s bei ω c = Somit wurden die zeitlichen Bedingungen in den Frequenzbereich übergeführt und man kann mit dem eigentlichem Entwurf beginnen. Basierend auf das Bode-Diagramm dieser Übertragungsfunktion, welches in Abbildung 4.2 dargestellt ist, wird der Reglerentwurf durchgeführt. - Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 4.2: Bode-Diagramm der Streckenübertragungsfunktion ohne Totzeit- Element Die Phasenkennlinie dreht sich von auf -9. Das ist typisch für ein P T Element, weil jede Polstelle die Phase um 9 senkt. Umgekehrt, hebt eine Nullstelle die Phase um 9. Bei Konstanten würde die Phase einen konstanten Wert beibehalten. Der aktuelle Betrag und die Phase bei der geforderten Durchtrittsfrequenz ω c = 3.75 haben folgende Werte und können mittels Matlab berechnet werden: G(j3.75) =.2825 arg(g(j3.75)) = 4.3 Wie vorhin schon erwähnt, muss ein I-Regler eingesetzt werden um stationär genau zu sein. Der erste Regler kann also folgend definiert werden: C (s) = s Ein I-Regler senkt die Phase um 9. Somit wird eine Phasenreserve von 75.7,mehr als gefordert, bei der Durchtrittsfrequenz ω c = 3.75 erreicht. Der Betrag hat sich auf L(j3.75) =.753 verändert, weil die Betragskennlinie des Integrierers linear abnimmt. Seite 8

25 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Durch die Addition der Betragskennlinien sinkt der Betrag des offenen Regelkreise. Die Betragskorrektur erfolgt durch die Multiplikation des inversen aktuellen Betrages. C 2 (s) =.753 = Der Gesamtregler ergibt sich aus der Multiplikation der Einzelregler. C(s) = C (s) C 2 (s) = s Die geforderte Anstiegszeit von.4 Sekunden wird nicht erreicht (t r =.43). Als Maßnahme um den Regelkreis schneller zu machen wird der Verstärkungsfaktor leicht von auf 4.63 erhöht, wodurch sich die Phasenreserve auf 74.4 verringert und ω c auf 4. erhöht. Der Regler wird nun folgend beschrieben: C(s) = 4.63 s In Abbildung 4.3 ist die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises dargestellt. Die Anstiegszeit beträgt hier.38 Sekunden und das Überschwingen von % ist ebenso gegeben. Step Response (23).8 Amplitude Time (sec) Abbildung 4.3: Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises T(s) ohne Totzeit- Element der Hauptantriebsmotoren 4.4 Reglerentwurf unter Berücksichtigung der Totzeit Betrachtet wird das Steckenmodell des Hauptantriebmotors, welches im Kapitel 3 laut Gleichung gefunden wurde: G(s) = e.7s (s + 4.7) Für das Reglerdesign werden die selben Anforderungen an den Regelkreis gestellt wie in Abschnitt 4.3, es hat sich lediglich die Streckenübertragungsfunktion geändert. Zuerst wird wieder das Bode- Diagramm der Regelstecke analysiert. Diese ist in Abbildung 4.4 in blau dargestellt. Mit Hilfe von Matlab kann der derzeitige Betrag und die Phase Seite 9

26 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren bei der spezifizierten Durchtrittsfrequenz der Regelstrecke ermittelt werden. G(j3.75) =.2856 arg(g(j3.75)) = 29 Der Sollwert der Phase bei ω c muss laut Gleichung 9 arg(g(j3.75)) = ϕ r 8 = betragen. Man könnte nun die Phase um 8 senken. Das kann durch Verwendung eines Lag-Gliedes realisiert werden. Aber auf Grund der Tatsache, dass ein I Regler eingesetzt werden muss, um stationär genau zu sein, und dieser die Phase um 9 senkt, wird hier auf ein Lag-Glied verzichtet. Dadurch kann der erste Regler definiert werden: C (s) = s (24) Es wird wieder das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises untersucht und mittels Matlab der Betrag und die Phase berechnet. Die Phase beträgt hier wie erwartet -9. Dadurch ergibt sich eine Phasenreserve ϕ r von 6. Die mindestens notwendige Phasenreserve beträgt aber 7, also muss die Phase noch um 9 angehoben werden, um das Überschwingen zu verhindern. Das Anheben der Phase kann mittels eines Lead-Gliedes durchgeführt werden, welches wie folgt entworfen wurde: (s ) C 2 (s) =.3877 (s ) Der Betrag hat sich auf L(j3.75) =.887 verändert, weil wie vorhin im Abschnitt 4.3 schon erwähnt, die Betragskennlinie des Integrierers linear abnimmt. Durch die Addition der Betragskennlinien sinkt der Betrag des offenen Regelkreises. Um eine Betragskorrektur vorzunehmen gibt es zwei Möglichkeiten. Das Einsetzen eines Lag-Gliedes oder durch die Multiplikation des inversen aktuellen Betrags bei der Durchtrittsfrequenz. Letzteres kommt hier zum Einsatz. Dadurch ergibt sich der zweite Regler zu: C 3 (s) = (25) L (j3.75) = =.2698 (26).887 Die Regler dürfen multipliziert werden und ergeben den Gesamtregler: (s ) C(s) = C (s) C 2 (s) C 3 (s) = s(s ) (27) In Abbildung 4.4 ist das Bode-Diagramm der Regelstrecke und des offenen Regelkreises dargestellt. Wie bereits erwähnt ist die Streckenübertragungsfunktion mit einem Totzeit- Element behaftet, wodurch die Phase sehr steil nach unten geht. Dadurch, dass der I- Regler eine konstante Phase bei -9 besitzt, sinkt die Phase des offenen Regelkreises um diesen Wert. Durch den Einsatz des Lead-Gliedes wird die Phase um jenen Wert angehoben bis die Phasenreserve von 7 erreicht wird. Die Betragskennlinie wird auch angehoben und hat dadurch den Durchtritt bei der geforderten Frequenz ω c = Zuletzt wird die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises analysiert. Diese ist in Abbildung 4.5 dargestellt. Die Anstiegszeit t r ist nach dieser Designmethode sogar schneller als gefordert (t r =.35 Sek.), was aber daran liegt, dass die Anstiegszeit nur jene Zeit ist bei der die Systemantwort, % bis 9% des Endwertes erreicht hat, ohne Berücksichtigung der Totzeit. Das Überschwingen beträgt wie gefordert %. Seite 2

27 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Bode Diagram Gm = 2 db (at 3.2 rad/sec), Pm = 7 deg (at 3.75 rad/sec) Magnitude (db) G(s) L(s) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 4.4: Bode-Diagramm der Regelstrecke mit Totzeit G(s) und des offenen Regelkreises L(s) des Hauptantriebmotors Step Response.8 Amplitude Time (sec) Abbildung 4.5: Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises T(s) mit Totzeit-Element der Hauptantriebsmotoren Der Grund warum im Abschnitt 4.3 ein gewöhnlicher I-Regler ausreicht ist, dass durch die Totzeit die Phase mit zunehmendem ω sehr hohe Werte annimmt. Die Folge daraus ist, dass mit abnehmender Anstiegszeit, die Durchtrittsfrequenz ω c höher wird und nach rechts geschoben wird. Wodurch die Phase immer mehr angehoben werden muss um die mindestens geforderte Phasenreserve zu erhalten, um das Überschwingen zu verhindern. Seite 2

28 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren 4.5 Vergleich: Reglerentwurf ohne Totzeit mit Totzeitbehafteter Strecke In diesem Abschnitt wird der Regelkreis mit dem Regler der ohne Berücksichtigung der Totzeit entworfen wurde mit der totzeitbehafteten Strecke gebildet, um herauszufinden ob die Spezifikationen mit diesem Regler erfüllt werden können. Es kommt jener Regler zum Einsatz der im Abschnitt 4.3 entworfen wurde. Die Regelstrecke lautet wie folgt: C(s) = 4.63 s G(s) = e.7s (s + 4.7) Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises ist in Abbildung 4.6 dargestellt und zeigt, dass die geforderten Spezifikationen nicht erfüllt werden. Die Anstiegszeit ist zwar noch kürzer mit einer t r =.26 Sekunden, aber das System schwingt um 9% über. Daraus folgt, dass beim Reglerentwurf die Totzeit berücksichtigt werden muss. Step Response Amplitude Time (sec) Abbildung 4.6: Sprungantwort von T(s) mit der totzeitbehafteten Strecke und dem entworfenen Regler ohne Totzeit Seite 22

29 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren 4.6 Reglerentwurf unter Verwendung der Padé Approximation Die Approximation von Padé hat das Ziel ein Totzeit-Element anstatt der e-funktion mit eine gebrochen rationalen Funktion einem Übertragungssystem hinzuzufügen. Die erste Möglichkeit der Approximation resultiert aus der Definitionsgleichung der e-funktion. ( ) n e x = lim n x (28) n Hierbei wird für x der Ausdruck st t eingesetzt. ( ) n e stt = lim n T t s + n ( Tt s + ) n (29) n Daraus ergibt sich eine Reihenschaltung von n P T -Gliedern mit der Zeitkonstante Tt n. Je größer n gewählt wird, desto besser ist die Näherung. Die zweite Möglichkeit die Totzeit zu approximieren ist die Padéentwicklung der e-funktion in gebrochen rationale Funktionen mit Zählergrad q und Nennergrad n. Daraus entstehen Übertragungsglieder n-ter Ordnung. Wie z.b: wenn q = und n = : e stt T t s + (P T Glied) wenn q = und n = : e stt Tt 2 s + T t 2 s + (Allpassglied) wenn q = und n = 2 : e stt T t s 2 + T 2 t 2 s + (P T 2 Glied) Glieder höherer Ordnung können Tabellen entnommen werden oder mittels der Verwendung von Matlab berechnet werden. Die Padé Approximation ist durch folgende Relation allgemein definiert: e Tts = ( st ) k k= k! M b k ( st ) k k= (3) + N a k (st ) k k= Die Koeffizienten werden wie folgt berechnet: b k = (M + N k)!m! k!(m k)!(m + N)! k =,..., M a k = (M + N k)!n! k!(n k)!(m + N)! Um die Ordnung zu bestimmen gilt folgender Ansatz: k =,..., N N = M = ω T 2 (3) Seite 23

30 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren Um einen modifizierten Regler unter der Berücksichtigung von der Totzeit T t zu entwerfen, wird zweckmäßig folgende Näherung gewählt: ω ω c (32) In diesem Fall wird die Ordnung N=M gewählt und ein Allpassglied für die Näherung eingesetzt. Das Allpassglied hat wie vorhin schon erwähnt die Übertragungsfunktion in folgender Form: A(s) = e stt Tt s + 2 T t s + (33) 2 Das ergibt für die Totzeit des Hauptantriebmotors (T t =.7) eine Approximation. Ordnung von: s A t (s) = (34) s Statt dem Totzeit-Element wird nun diese Approximation multipliziert und es ergibt sich die Streckenübertragungsfunktion wie folgt: G(s) = ( s ) (s )(s + 4.7) (35) Betrachtet man nun die Übertragungsfunktion 35 ist ersichtlich, dass sich die Phase von auf -27 dreht, weil jede Polstelle die Phase um 9 senkt. Eine positive Nullstelle würde wie schon erwähnt die Phase um 9 heben. Das ist hier nicht der Fall wegen des negativen Vorzeichens. Es ergibt sich die selbe Phase als wenn die Totzeit über den Verschiebungssatz eingesetzt wird, deshalb kann der Regler der im Abschnitt 4.4 entworfen wurde eingesetzt werden. Der Regelkreis wurde in Simulink getestet. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.7 dargestellt und liefert das selbe Ergebnis wie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit Totzeit. Durch die zusätzliche Nullstelle verläuft die Ausgangskennlinie jedoch anfangs ins Negative. Man bezeichnet das System dann als nicht minimalphasig. Dieser Effekt wird mit zunehmender Ordnung kleiner..8 Amplitude Time (sec) Abbildung 4.7: Simulationsergebnis: Regelung unter Verwendung der Padé Approximation Seite 24

31 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren 4.7 Reglerentwurf unter Verwendung des Smith-Prädiktors Der Smith-Prädiktor wurde speziell für Totzeitregelstrecken entwickelt. Der Ausdruck Prädiktor weist darauf hin, dass innerhalb der Regelung ein Modell verwendet wird, mit dem die Wirkung der Stellgröße auf das Verhalten der Regelstrecke vorhergesagt wird, weshalb die Regelstrecke genau bekannt sein muss. Diese Methode sieht vor, den Regelerentwurf ohne Berücksichtigung der Totzeit in der Streckenübertragungsfunktion durchzuführen. Dazu kann ein beliebiges Verfahren angewendet werden. Hier wird das FKL-Verfahren, wie schon in den vorigen Betrachtungen verwendet. Das Prinzip des Smith-Prädiktors ist in Abbildung 4.8 gezeigt. Als Regler K P r (s) wird der I-Regler, wie im vorigen Abschnitt 4.3 schon entworfen, eingesetzt. G(s) kennzeichnet die Regelstrecke ohne Totzeit-Element. Im Rahmen mit K(s) bezeichnet sind die Elemente, welche zum Smith-Prädiktor gehören, zusammengefasst. K(s) regelt die totzeitbehaftete Strecke wie K P r (s) die totzeitfreie Strecke, genau um die Totzeit verschoben. Abbildung 4.8: Regelkreis mit Smith-Prädiktor Für den Smith-Prädiktor K(s) kann folgende Gesamtreglerübertragungsfunktion aufgestellt werden: K P r (s) K(s) = (36) + K P r (s)g(s)( e stt ) Dieses Regelungskonzept wurde im Matlab/Simulink getestet und weist folgendes Verhalten, wie in Abbildung 4.9 gezeigt, auf. Seite 25

32 4 Drehzahlregelung der Hauptantriebsmotoren.8 Amplitude Time (sec) Abbildung 4.9: Systemantwort unter Verwendung des Smith-Prädiktors 4.8 Erkenntnisse Die Erkenntnis ist, dass die Totzeit einen wesentlichen Einfluss auf das Regelverhalten des Systems hat. Die Versuche zeigten, dass die Totzeit beim Entwurf berücksichtigt werden muss, weil die Spezifikationen sonst nicht erfüllt werden. Über die Padé Approximation ist es möglich die Totzeit über eine Übertragungsfunktion in Form einer Nullstelle und einer Polstelle näherungsweise zu beschreiben. Im Ergebnis zeigt sich jedoch kein Unterschied gegenüber dem Modell in dem die Totzeit in Form der e-funktion multipliziert wird. Wesentliche Unterschiede sind durch die Verwendung des Smith-Prädiktors erkennbar. Das System schwingt trotz erhöhter Schnelligkeit nicht über, was die vorhergesagte Stellgrößenänderung bewirkt..8 Amplitude T(s) mit Totzeit T(s) ohne Totzeit T(s) Padé Approximation T(s) Smith Prädiktor Time (sec) Abbildung 4.: Ergebnisse aus Simulink Seite 26

33 5 Positionsregelung der Flippermotoren 5 Positionsregelung der Flippermotoren Der Roboter verfügt über zwei Ausleger, die unabhängig voneinander um 36 schwenkbar sind. Für die Bewegung dieser sogenannten Flipper ist eine Positionsregelung notwendig. Dabei ist es wichtig, dass vor allem bei dieser Regelung, ein Überschwingen von % eingehalten wird. Dafür wird als erstes ein P-Regler entworfen. Zum Vergleich wurde auch noch ein Regler mittels dem FKL-Verfahren entworfen. Beide Regler können die Anforderungen erfüllen. 5. Positionsregelung unter Verwendung eines P-Reglers In Kapitel 3 wurde die Regelstrecke der Flippermotoren identifiziert. Basierend auf die gefundene Regelstrecke nach Gleichung 7 wird die Positionsregelung durchgeführt. Die Regelstrecke ist wie folgt beschrieben: G(s) = e.52s 2.5 s(s ) (37) Die Anforderungen an den Regelkreis sind die selben, wie bei der Drehzahlregelung des Hauptantriebes. - e r(t)=σ(t) = - t r.4sec. - ü % Weil es sich um eine integrierende Strecke handelt, geht man davon aus, dass diese im geschlossenem Regelkreis schon stationär genau ist. Jedoch beträgt die Anstiegszeit ohne Regler über 2 Sekunden (siehe Abbildung 5.). Step Response Amplitude Time (sec) Abbildung 5.: Sprungantwort der ungeregelten Flippermotoren Um die Anstiegszeit eines bereits integrierten Systems zu verkürzen, reicht meist ein einfaches Proportional-Glied K p. Es muss nun ein P-Regler gefunden werden, der das System ausreichend schnell ansteigen lässt, aber nicht zum Überschwingen bringt. Durch das Experimentieren mit verschiedenen K p -Werten kam man zum Entschluss einen P- Regler mit K p = 5 zu verwenden. Dadurch kann die geforderte Anstiegszeit erreicht werden (t r =.39) und es ist auch kein Überschwingen gegeben. Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreise ist in der nachstehenden Abbildung 5.2 gezeigt. Seite 27

34 5 Positionsregelung der Flippermotoren Step Response Amplitude Time (sec) Abbildung 5.2: Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises 5.2 Positionsregelung mittels FKL-Verfahren Der Reglerentwurf wird, wie im Kapitel 4 bereits beschrieben, durchgeführt. Zuerst wird das Bode-Diagramm der Strecke untersucht. Basierend auf den aktuellen Werten der Phase und des Betrages wird der Reglerentwurf durchgeführt. Anders als beim Hauptantriebsmotor besitzt die Strecke der Flipperpositionsmotoren eine Durchtrittsfrequenz bei.77 und dort eine positive Phasenreserve von Trotz des bereits vorhandenen integrierenden Anteils wird ein I-Regler eingesetzt. Deshalb kann der erste Regler definiert werden. C (s) = s Analysiert man nun das Bode-Diagramm des offenen Regelkreises ist erkennbar, dass die Phase nun eine negative Phasenreserve von bei der Durchtrittsfrequenz ω c =.846 besitzt, also instabil ist. Dies kann nun wieder mit Hilfe eines Lead-Gliedes korrigiert werden, welches wie folgt entworfen wurde: (s ) C 2 (s) = (s ) Die Phase hat nun den geforderten Wert von, aber der Betrag bei der geforderten Durchtrittsfrequenz ω c = 3.75 beträgt 4.26 und muss noch durch C 3 (s) korrigiert werden. C 3 (s) = 4.26 =.234 Die Regler können wieder multipliziert werden und ergeben den Gesamtregler: (s ) C(s) = 67.4 s(s ) In Abbildung 5.3 ist das Bode-Diagramm der Regelstrecke und des offenen Regelkreise dargestellt. Sowie in Abbildung 5.4 ist die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises abgebildet. Daraus ist ersichtlich, dass die Spezifikationen erfüllt werden. Die Anstiegszeit beträgt.34 Sekunden und das System schwingt auch nicht über. Seite 28

35 5 Positionsregelung der Flippermotoren Bode Diagram Gm = 5. db (at 8.2 rad/sec), Pm = 7 deg (at 3.75 rad/sec) Magnitude (db) x 4 G(s) L(s) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Abbildung 5.3: Bode-Diagramm der Regelstrecke des Flippermotors und des offenen Regelkreises Step Response.8 Amplitude Time (sec) Abbildung 5.4: Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises des Flippermotors Seite 29

36 6 Digitale Regelung 6 Digitale Regelung Die Regelung, welche im Laplacebereich entworfen wurde, sollen als diskrete Regler implementiert werden. Es können Regler direkt im Diskreten entworfen werden, wofür es eigene Entwurfsverfahren gibt. Es besteht aber auch die Möglichkeit, einen Regler der im Laplacebereich entworfen wurde, über einfache Schritte, einen diskreten Regler zu erhalten, der zu einem ähnlichen Regelverhalten führt. Bei der digitalen Regelung wird der Regler in einem Mikrocontroller, PC oder dergleichen implementiert. Hier wird die Regelung über einen Algorithmus auf einem Rechner, in diesem Falle auf dem am Roboter angebrachtem Mini PC, realisiert. 6. Idee der Diskretisierung In Abbildung 6. ist der digitale Regelkreis abgebildet. Die Führungsgröße r k und die Regelabweichung e k liegen hier als diskrete Zahlenfolge vor. Der Regler, ist als Regler- Algorithmus ausgeführt. Das Ergebnis des Regler-Algorithmus T S ist die digitale T S Stellgröße u k, welche durch den D/A Wandler in ein analoges Signal für die Regelstrecke umgewandelt k ( r ) ( e wird. Im D/A k ) ( u Wandler befindet k ) sich auch ein u Halteglied -tery ( y Ordnung. Dies hat k ) Cz () D/A Plant A/D den Zweck das analoge Signal u so lange konstant zu halten bis der nächste digitale Wert u(k + ) vorliegt, weil die Stellgröße u zu jedem Zeitpunkt vorhanden sein muss. Die Ausgangsgröße y wird dann über einen A/D Wandler mit einer Abtastzeit T A abgetastet und in ein digitales Signal übergeführt und liegt somit zur Berechnung von e k als Zahlenfolge vor [5]. ( r k ) ( e k ) Regler T A T A ( u k ) u y D/A Strecke A/D ( y k ) Abbildung 6.: Digitaler Regelkreis 6.. Die Abtastzeit Durch die Abtastung liegen im Digitalen weniger Informationen vor als im Kontinuierlichem, weil von einem Abtastzeitpunkt zum nächsten keine Signalinformation vorliegt. Dieser Effekt ist von der Abtastzeit T A abhängig. Dadurch ist die Wahl der Abtastzeit entscheidend. Als guten Erfahrungswert kann die Abtastzeit durch folgende Beziehung gewählt werden [6]: t 63 T A t 63 (38) 6 Mit t 63 ist jener Zeitpunkt benannt, nachdem 63% des stationären Endwertes, des geregelten Systems, erreicht wurden. Seite 3

() 2. K I Aufgabe 5: x(t) W(s) - X(s) G 1 (s) Z 1 (s) Z 2 (s) G 3 (s) G 2 (s) G 4 (s) X(s)

() 2. K I Aufgabe 5: x(t) W(s) - X(s) G 1 (s) Z 1 (s) Z 2 (s) G 3 (s) G 2 (s) G 4 (s) X(s) Seite 1 von 2 Name: Matr. Nr.: Note: Punkte: Aufgabe 1: Ermitteln Sie durch grafische Umwandlung des dargestellten Systems die Übertragungsfunktion X () G s =. Z s 2 () W(s) G 1 (s) G 2 (s) Z 1 (s) G 3

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