MATLAB Anwendung in der Regelungstechnik

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1 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik TU LIBEREC Hálkova Liberec, CZ HOCHSCHULE ZITTAU/GÖRLITZ FH Univerity of Applied Science Theodor-Körner-Alle 6, D-763 Zittau Fakulta mechatroniky a meioborových inženýrkých tudií Fachbereich Elektro und Informationtechnik MATLAB Anwendung in der Regelungtechnik Arbeitverion Doc. Ing. Ovald Modrlák, CSc. Juni, 4 Katedra řídicí techniky 4.6.4

2 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Inhalt Mathematiche Modelle und Modelltranformation.... Anweiungen für Bildung von LTI Modellen..... Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion tf Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion pk Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion Bildung eine LTI Objekt mit der Toteit ModellTranformationen..... Tranformation de LTI- Objekt in da Übertragungfunktionmodell..... Tranformation de LTI- Objekt in die Pol- Nulltelle- Form Tranformation de LTI- Objekt in da Zutandmodell Tranformation eine kontinuierlichen LTI Objekt in da dikrete Tranformation eine dikreten LTI- Modell in da kontinuierliche Modell.5 Zeit-und Frequenverhalten der LTI Objekte Zeitverhalten der LTI Objekte Dartellung der Übergangfunktion Dartellung der Impulfunktion Gemeiname Dartellung der Zeit- und Frequenantworten.... Frequenverhalten der LTI Objekte..... Anweiungen für Frequengangdartellung und -berechnung Anweiung ur Berechnung de Frequengange Anweiung ur Berechnung de Frequengange von komplexe Frequen Berechnung der logarithmichen Amplituden- und Phaengänge Berechnung von Amplituden und - Phaenrand Wurelortverfahren Hinweie um Wurelortverfahren Anwendung de MATLAB Programmpaket mit dem Wurelortverfahren Optimierunganweiungen Minimierung einer Funktion mit mehrer realen Variablen Identifikation - Datenauwertung Vorauetungen, Modelltruktur Arbeitpunkt, Struktur der Optimierung Bechreibung de Identifikation- Programme Optimale Eintellung eine PID- Regler Struktur der Optimierung Da Programm PIDoptZit Fuy Logic Control Die Implementierung der Fuy Logik und die Regelung in SIMULINK Entwurf eine Fuy Regler mit dem Fuy Interface Sytem Der FIS Editor Der Memberhip Function Editor MF Editor Der Rule Editor Regeleditor RE Rule Viewer, Surface Viewer Die FIS Matrix Literatur Dieer Studientext untertütt die Vorleungreihe Einführung in MATLAB und eine Anwendung in der Regelungtechnik im Rahmen der bilateralen Zuammenarbeit der TU Liberec und FH Zittau/Görlit im Programm Eramu

3 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik MATHEMATISCHE MODELLE UND MODELLTRANSFORMATION Ziele der erten Kapitel: Für lineare eitinvariante Modelle, die al LTI Objekte beeichnet ind, möchten wir den Leer einige augewählten Grundfunktionen für Bildung der mathematichen Modelle vortellen. Modelltranformationen Model Converion. 3 Bekanntmachung mit Werkeugen für Zeitverlauf der Augänge von LTI-Objekte für definierte Eingänge.. ANWEISUNGEN FÜR BILDUNG VON LTI MODELLEN Da dynamiche Verhalten von einem Sytem kann allgemein durch differential Gleichungen bechrieben werden. In der Regelungtechnik werden lineare eitinvariante Syteme im Bildbereich durch Übertragungfunktion bechrieben... Eingrößenyteme Da Laplace- oder Z- Bild de Augang au einem SISO Sytem it gleich,, U F Y U F Y, wo it,, U U die Laplace-, Z- Tranformation von t u,, komplexe Variable, exp S T komplexe Variablen, T S die Abtatperiode, F die Übertragungfunktion, F die dikrete Übertragungfunktion mit der Abtatperiode T S,. U Y a a a a b b b b A B F U Y a a a a b b b b A B F n n n n m m m m n n n n m m m m L L L L. Die Übertragungfunktion kann nach dem Fundamentalat der Algebra in folgender Form gechrieben werden: U Y k a b A B F n k k m j jb n n mb B B m L L, U Y k a b A B F n k k m j jb n n mb B B m L L, wobei it, k... ein Faktor, jb jb,...j-te Nulltelle, Eine genaue Bechreibung aller Funktionen finden Sie in help oder in den umfangreichen Handbüchern [,,3,4].

4 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik, k, k...j-te Poltelle. Diee Form wird al Pol-Nulltelle-Form beeichnet... Mehrgrößenyteme. Der Augangvektor eine MIMO- Sytem gleicht y F u, wobei it, u L{ u t}, F die Übertragungmatrix vom Typ p, q in der Form F F L F q Y U F F L F q F Y y, U u. L M M Fp Fp L Fpq Yq U p Da Element F ij der Übertragungmatrix it diejenige Übertragungfunktion, welche die i- te Einganggröße mit der j- ten Auganggrößen verknüpft. Darau folgt Yi Fij Yi Fij U j. U j Für dir LTI- Modellbildung wurden für dieen Text nur die wichtigten Funktionen erklärt...3 Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion tf Funktion tf Bildet au dem Zähler und Nenner die Übertragungfunktion tf-tranfer function a Eingrößenyteme SISO Syteme Syntax der Funktion y tf B, A y tf B, A, variable, p y tf B,A,T.- wo it y ein Lineare Time Invariant LTI Objekt m m B ein Polynom B bm + bm + L + b + b im Zähler, der die Form B [ bm, bm, L, b, b ] hat, wo B ein Vektor it. A ein Polynom im Zähler in der Form A [ an, an, L, a, a ], n n A an + an + L + a + a, T die Abtatperiode der dikreten Übertragungfunktion, variable definiert die Variable, die al String angegeben wird. Der String für Übertragungfunktion it oder p, für dikrete Übertragungfunktion, ^- oder q. Anwendung der Funktion tf it im Beipiel dargetellt

5 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Beipiel.-a Beipiel.-b Beipiel.-c Achten Sie darauf, wenn Sie ein LTI Objekt gebildet haben oder wenn Sie ein LTI Objekt ur Verfügung im Arbeitpeicher haben, da die Vektoren und Matrien, die die Polynome A, B Pol- und Nulltellen, Faktoren, die Zutandmatrien dartellen, allgemein für Sie nicht ugänglich ind. Die Polynome der Übertragungfunktion eine Modell können Sie mit Hilfe der Funktion tfdata ugänglich machen. Funktion tfdata Gibt den Zähler und Nenner der Übertragungfunktion LTI Objekt TF, ZPK, SS urück Syntax der Funktion [B,A] tfdata y, v.- Wo it, y ein LTI Objekt, B der Nenner it, der in der Form B [ bm, bm, L, b, b ], A der Zähler in der Form A a, a, L, a, ]. Siehe Beipiel d [ n n a Die Anwendung von der Funktion tfdata it ehr einfach und wird am folgendenden Beipiel geeigt. Beipiel.-d

6 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik b Mehrfachyteme MIMO Sytem y tf num, den, y tf num, den, variable, p,.-3 y tf num, den,t, wobei it, y ein Linear Time Invariant LTI Mehrfachobjekt, num, den Feldmatrien cell array. Die Feldmatrien haben oviel Zeilenvektorren, wie viel Augänge da Modell hat. Sie haben o viel Spalten, wie viel Eingänge da Modell hat. Struktur der Feldmatrien: {[ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; } num eine Feldmatrix de Zähler Zählermatrix cell array, den eine Feldmatrix de Nenner Nennermatrix cell array. Anwendung der Funktion tf für MIMO Syteme werden wir auf dem folgenden Beipiel demontrieren. Die Koeffiienten der Übertragungfunktionen ind direkt in dem Beipiel eingetragen. Beipiel.- Auf dem Bild a,b,c ind Strukturen der drei Mehrfachyteme dargetellt. u F y u F y F y F a ein Eingang p wei Augänge q F u u F F y u F c wei Eingänge p wei Augänge q y b wei Eingänge p ein Augang q Bild a,b,c Strukturen der Mehrfachyteme Aufgabentellung: Bilden Sie für die Strukturen im Bild die entprechenden Übertragungfunktionen der LTI Modelle. a b num{ ;[- ] }; num{ [- ] }; denum{[4 4 ];[ ]}; denum{[ ] [ ]}; Gtfnum, denum Gtfnum, denum F F cnum{ [.5];[ ] }; denum{[4 4 ] [ ];[ ] [ ]}; Gptfnum, denum,'variable','p' F F

7 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik c num{ [.5];[ ] }; denum{[4 4 ] [ ];[ ] [ ]}; Gptfnum, denum,'variable','p' F F F F..4 Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion pk Funktion pk Bildet die Übertragungfunktion in der Null-Pol-Form Syntax der Funktion y pkz,p,k y pkz,p,k,t.-4 wobei it, y ein LTI Objekt it, Z ein Zeile-Vektor Z it, der die vorgechriebenen Nulltellen in der Form Z [ Bm, Bm, L, B ] enthält, P ein Zeile-Vektor P it, der die vorgechriebenen Poltellen in der Form P [ n, n, L, ] enthält, K ein Zeile-Vektor it, der die vorgechriebene Vertärkung enthält. Anwendung der Funktion pk für realen und komplexe Poltellen und Nulltellen it im Beipiel a,b,c demontriert. Die ergebnie ind im Bild dargetellt. Beipiel.-3a Beipiel.-3c Beipiel.-3b Bild Anwendungen der Funktion pk

8 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Funktion pkdata Gibt die Null- und Poltellen und den Faktor einer Übertragungfunktion de LTI Objekt in der Pol-und Null- Form urück Syntax der Funktion [B,A] pkdata y, v.-5 Wo it, y ein LTI Objekt, B der Nenner it, der in der Form B b, b, L, b, ], [ m m b [ an, an, L, a, a A der Zähler in der Form A ]. Siehe Beipiel d Die Anwendung von der Funktion tfdata folgt.. Beipiel.-3d..5 Bildung einer Übertragungfunktion durch die Funktion Allgemeine Form der Zutandgleichung eine LTI kontinuierlichen and dikreten Sytem hat die Form x& t Ax t + Bu t, x k + Mx k + Nu k, y t Cx t + Du t, y k Cx k + Du k, dabei it x der n- gliedrige Zutandvektor, u der q- gliedrige Eingangvektor und y der p- gliedrige Augangvektor. Die Matrien n, n- Sytemmatrix A, n, n- dikrete Sytemmatrix M, n, q- Eingangmatrix B, n, q- dikrete Eingangmatrix N, p, n- Augangmatrix C, p, n- dikrete Augangmatrix C, p, q- Durchgangmatrix D, p, q- dikrete Durchgangmatrix D, betehen au kontanten Elementen

9 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bildet ein LTI Modell in der Zutandform, kontinuierlich oder dikret Syntax der Funktion.-6 Wo A - Sytemmatrix M - dikrete Sytemmatrix B - Eingangmatrix N - dikrete Eingangmatrix C - Augangmatrix T - Abtatperiode D - Durchgangmatrix Eine Anwendung der Funktion werden wir auf dem Beipiel 3 demontrieren. Dynamiche Eingechafften einer Regeltrecke ind durch folgende Übertragungfunktion approximiert. ' '' 3 ''' 3 3 u y y y y F Aufgabe: Bilden Sie ein LTI Objekt in der Form einer Zutandgleichung. Zuert it e nötig, die Matrien der Zutandgleichung u finden. Wenn wir wählen wir die Zutandgröße:, 3 ''' '', '' ', ' u x x x y x y x x y x y x x y x y x + & & & Dann die Zutandgleichung hat folgende Form u u x x x x x x + + B x A x & & & &, und der Augang it gleich:. [ ] 3 Cx + y x x x y wobei it. [ ]; ; ; 3 D C B A Funktion y A,B,C,D y M,N,C,D,T Beipiel.-4

10 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Funktion data Gibt die Zutandmatrien eine LTI Objekt urück Syntax der Funktion [A,B,C,D] data y, v [M,N,C,D,T] data y, v.-7 Wo it, y ein LTI Object A - Sytemmatrix M - dikrete Sytemmatrix B - Eingangmatrix N - dikrete Eingangmatrix C - Augangmatrix T - Abtatperiode D - DurchgangmatrixDie Anwendung von der Funktion tfdata folgt..6 Bildung eine LTI Objekt mit der Toteit Im MATLAB kann die Toteit am Eingang oder Augang de Modell tehen iehe Bild x. u e Tdin y e Tdout y Bild x Struktur der Toteit in MATLAB

11 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Die geamte Toteit it: F exp Tdin. F exp Tdout. F exp Td., wo it, T T + T. d din dout Die Toteitglieder werden in erieller Verbindung am Eingang und Augang de Modell de LTI Objekt mit Hilfe der Funktion y.input und y.output angechloen. Syntax der Funktion y.input Tdin y.output Tdout td totaldelay yf.-8 wo it, y ein LTI Objekt, Tdin die Toteit am Eingang, Tdout die Toteit am Augang, Td die geamte Toteit de Objekt. Ein Anwendungbeipiel folgt.. Beipiel.-5 Ein LTI Sytem it durch Übertragungfunktion B F betimmt. A Aufgabetellung: E ollen wei LTI Objekte in MATLAB gebildet. Ein hat die Toteit Tdin ec am Eingang, der weite hat eine Toteit Tdin ec am Eingang, die weite Tdout 5ec it am Augang. Geamte Toteit td 5ec. Da Programm it im Bild X.Ya, die Einheitprungantworten von beiden LTI Objekte it im Bild X.Yb dargetellt. a %B_Toteit A[ 3 ]; B[]; tottfb,a; tot.inputd; tdtotaldelaytot tottfb,a; tot.inputd; tot.outputd5; tdtotaldelaytot teptot,tot b Amplitude To: Y tot Step Repone From: U tot. MODELLTRANSFORMATIONEN Time ec. Für Bildung der LTI Modelle wurden nur die wichtigten Funktionen bechrieben. Die Modelle können tetig oder dikret ein. Alle Modellformen können gegeneitig überführt werden. Dau dienen Funktionen für die Modell- Tranformation

12 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik.. Tranformation de LTI- Objekt in da Übertragungfunktionmodell Ein LTI Objekt kann in die Form der Übertragungfunktion mit Hilfe der Funktion tf tranformiert werden. Syntax der Funktion y tf yf.- Wo it, y ein LTI Objekt in der Form einer Übertragungfunktion yf ein LTI Objekt in der Form eine Zutandmodell oder Pol- Nulltellen- Modell Beipiel.- In dem Arbeitpeicher it ein LTI Modell in der Pol- Nulltellen Form und LTI Objekt al ein Zutandmodell. Durch einfache Verwendung von der Funktion tf werden diee Modelle in die Übertragungform überführt... Tranformation de LTI- Objekt in die Pol- Nulltelle- Form Ein LTI Objekt kann man in die Pol- Nulltelle -Form direkt mit der Funktion pk überführen. Syntax der Funktion y pk yf.- Wo it, y ein LTI Objekt in der Pol- Nulltelle- Form yf ein LTI Objekt in der Form eine Zutandmodell oder eine Übertragungfunktion Beipiel.- In dem Arbeitpeicher it ein LTI Modell in der Übertragungfunktion Form und LTI Objekt al ein Zutandmodell. Durch einfache Verwendung von der Funktion pk werden diee Modelle in die Pol- Nulltelle- Form überführt

13 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..3 Tranformation de LTI- Objekt in da Zutandmodell Ein LTI Objekt kann man in da Zutandmodell direkt mit der Funktion überführen. Syntax der Funktion y yf.-3 Wo it, y ein LTI Objekt al Zutandmodell yf ein LTI Objekt in der Pol- Nulltelle- Form oder in der Übertragungfunktionform Beipiel.-3 In dem Arbeitpeicher it ein LTI Modell in der Übertragungfunktion Form. Durch einfache Verwendung von der Funktion wird diee Modelle in da Zutandmodell überführt

14 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..4 Tranformation eine kontinuierlichen LTI Objekt in da dikrete Bei der Dikretirrung werden verchiedene Methoden benutt. Allgemeine Struktur der Dikretirrung eine LTI Objekt it im Bild.. dargetellt. Wichtigen Einflu auf die dikrete Übertragungfunktion hat da Halteglied oder die Approximation von der komplexen Variable bilineare- Tutin Approximation uw.. Die in MATLAB benutten Dikretirrungmethoden ind auführlich in [6] bechrieben. u t u t u t yt δ Abtater Halteglied LTI Objekt Bild... Struktur der Dikretirrung y kts δ Abtater In MATLAB wird dau die Funktion cd benutt. Funktion cd Tranformiert ein kontinuierliche LTI Objekt in da dikrete Objekt Syntax der Funktion yd cdy,t yd cdy,t, method.-4 Wo it, y d T method ein kontinuierliche LTI Objekt, ein dikrete LTI Objekt, gewählte Abtatperiode, definiert, welche Dikretiierung- Methode benutt wird. Wenn keine method angegeben wird, wird automatich oh eingeett. Die String method it in der Tab. definiert. method Bedeutung oh Da Abtat-Halteglied von Null- Ordnung Zero-Order Hold foh Da modifiierte Dreieck Approximation von dem Abtat-Halteglied erter Ordnung Triangle Approximation modified firt-order hold tutin Bilineare Tutin- Approximation matched Modifiierte Pol-Nulltellen- Methode nur für SISO- Syteme [] Tab. Eine Anwendung der Tranformationfunktion cd it im Beipiel.-4 geeigt

15 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Beipiel.-4 Dikkretiieren Sie da LTI Modell mit der Abtatperiode ec und mit dem Halteglied erter Ordnung. Anweiungen folgen, der Einheitprung it im Bild.. dargetellt..5 tutin Step Repone From: U LTIreponeLine LTIreponeLine LTIreponeLine LTIreponeLine Amplitude To: Y.5 matched.5 oh Time ec. Bild.. Dikrete Einheitprünge der dikreten LTI Syteme

16 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..5 Tranformation eine dikreten LTI- Modell in da kontinuierliche Modell. In MATLAB kann ein dikrete LTI- Modell in da kontinuierliche Modell einfach tranformiert werden. Dau dient die Funktion dc. Die Tranformationmethoden ind in [] bechrieben. Funktion dc Syntax der Funktion Tranformiert ein kontinuierliche LTI Objekt in da dikrete Objekt yc dcyd yc dcyd, method.-5 Wo it, yc yd method ein kontinuierliche LTI Objekt, ein dikrete LTI Objekt, definiert, welche Methode ur Tranformation benutt wird. Wenn keine method angegeben wird, wird automatich oh einett. Die String method it in der Tab.3 definiert. method Bedeutung oh Da Abtat-Halteglied von nullter Ordnung tutin Bilineare Tutin- Approximation mit Rückicht u der Ableitung [] matched Modifiierte Pol-Nulltellen- Methode nur für SISO- Syteme [] Tab. 3 Eine Anwendung der Tranformationfunktion dc it im Beipie l.-5 demontriert. Beipiel.-5 Die dikrete Übertragungfunktion d wurde im Beipiel.-4 gefunden. Die Aufgabe it e, mit Hilfe der Funktion dc ein kontinuierliche Modell urückubekommen. Alle drei Tranformationmethoden ollen geprüft werden. Die Wirkung der einelnen Methoden an den Zeitverlauf de Einheitprung ind in dem Bild..3 ichtbar. %B_dc B[ ]; A[ ]; tfb,a %kont. Sytem dcd, %dikretr Sytem ddcd %dc tranformationen ddcd,'matched' ddcd,'tutin' tep,d,d,d

17 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik.5 Step Repone From: U.5 Amplitude To: Y Time ec. Bild..3 Zeitverlauf der Einheitprünge

18 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik ZEIT-UND FREQUENZVERHALTEN DER LTI OBJEKTE Al Tetignale wird in der Regelungtechnik der Einheitprung, Dirac-Impul und da harmoniche Signal.B. Sinuignal benutt. Dieen entprechen die Sprungantwort, Impulantwort und die Sinuantwort. In dieem Kapitel werden uert die eitlichen Verläufe der Auganggröße eine LTI Objekt, anchließend dann die Antworten auf ein komplexe harmoniche Eingangignal behandelt. E werden die wichtigte MATALB Funktionen vorgetellt und ihre Anwendung auf Beipielen erklärt.. ZEITVERHALTEN DER LTI OBJEKTE Die Sprungantwort it der eitliche Verlauf de Augangignal auf einer prungförmige Änderung de Einganignal. Wenn da Eingangignal ein Einheitprung it, dann bildet der Augang eine LTI- Objekt eine Übergangfunktion. Die Übergangfunktion ht eine LTI- Objekt it eine Antwort auf den Einheitprung. Graphiche Dartellung kann al Übergangcharakteritik beeichnet werden. Der eitliche Verlauf de Augang eine LTI Objekte auf Dirac- Impul wird mit einer Gewichtfunktion Impulfunktion bechrieben. Die Gewichtfunktion gt eine LTI- Objekt it eine Antwort auf den Dirac Impul δt. Die Gewichtfunktion it die eitliche Ableitung der Übergangfunktion... Dartellung der Übergangfunktion Der Zeitverlauf der Übergangfunktion wird im MATLAB mit Hilfe der Funktion tep berechnet und graphich dargetellt. Funktion tep Berechnet und tellt den Zeitverlauf der Übergangfunktion dar Syntax der Funktion tepy, - -Berechnung und Zeichnung der Übergangfunktion o nakrelí de LTI- Objekte y. Simulationeit wird t automatich betimmt. tepy,t, - - Berechnung und Zeichnung der Übergangfunktion de LTI- Objekte y, Vektor t betimmt die Zeitlänge der Simulation tepy,y,,yn - - Berechnung und Zeichnung der Übergangfunktionen - nakrelí der LTI- Objekte y,y,,yn [y,t]tepy -Berechnung und Zeichnung der Übergangfunktion de LTI- Objekte y. Vektor y enthält die Ordinatenwerte, der Vektor t enthält die Zeit. Anwendung der Funktion tep it im Beipiel.- demontriert

19 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Beipiel.- In dem Arbeitpeicher ind wei LTI- Objekte, gepeichert. Den Zeitverlauf der Übergangfunktionen wird durch tep Funktion dargetellt iehe Bild... Bild.. Dartellung der Überganfunktionen,

20 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik.. Dartellung der Impulfunktion Berechnung und Dartellung der Impulfunktion i im MATLAB durch die Funktion impul geichert. Funktion impule Berechnet und tellt den Zeitverlauf der Impulfunktion dar. Syntax der Funktion impule - y -Berechnung und Zeichnung der Impulfunktion o de LTI Objekte y. Simulationeit wird t automatich betimmt. impule - y,t -Berechnung und Zeichnung der Impulfunktion de LTI Objekte y. Simulationeit wird durch den impule y,,yn Vektor t betimmt. -Berechnung und Zeichnung der Impulfunktionen der LTI Objekte y,,yn. [y,t] impule y -Berechnung und Zeichnung der Impulfunktion de LTI Objekte y, der Vektor y enthält die Ordinatenwerte, der Vektor t die Zeit. Anwendung der Funktion tep it im Beipiel.- demontriert. In dem Arbeitpeicher ind drei LTI- Objekte, tot und gepeichert. Zeichnen Sie die Impulfunktionen und ichern Sie, da die Im- Beipiel.. pulfunktion von jedem LTI- Objekt ich durch Farbe und Linetyp untercheiden, iehe da Bild... Impule Repone From: U.5 Amplitude To: Y Bild.. Dartellung der Impulfunktionen Time ec

21 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..3 Gemeiname Dartellung der Zeit- und Frequenantworten Bei Analye und Synthee der Regelkreie kann e nütlich ein, wie die Zeitantworten o die Frequenantworten in einem Bild darutellen. Dau dient in MATLAB die Funktion ltiview. Funktion ltiview Berechnet und tellt den Zeit- oder Frequenverlauf eine LTI Objekt dar Syntax der Funktion ltiview ltiview plottype,y ltiview plottype,y,extra ltiview plottype,y,y,,yn wobei extra plottype tep impule bode nyquit lim und andere kann.b. die Geamteit dr Simulation ein Tim ein String it, Zeitverlauf de Einheitprunge, Zeitverlauf de Impulantwort, Dartellung der logarithmichen, Amplituden- und Phaengänge, Frequengangdartellung beeichnen Antwort auf beliebige Signal mit lim. Anwendung der Funktion ltiview it im Beipiel..3 und..4 dargetellt Beipiel

22 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Beipiel..4 Für da LTI- Objekt oll die Übergangfunktion und Frequengang dargetellt werden. Anwendung der Funktion ltiview wird demontriert. Step Repone From: U Amplitude To: Y.5.5 Phae deg; Magnitude db To: Y Time ec. Bode Diagram From: U -4 - Frequency rad/ec 4.6.4

23 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik. FREQUENZVERHALTEN DER LTI OBJEKTE Nehmen wir an, da ein LTI Objekt durch ein harmoniche Signal u t in ω t erregt wird. LTI u t in ω t Objekt y t Y in ω t + ϕ Bild.. Erregung eine LTI Objekt durch harmoniche Signal Der Augang it wieder ein harmoniche Signal wo it, Y Y ω die Amplitude, ϕ ϕω die Phae. y t Y in ω t + ϕ, Da dynamiche Verhalten eine LTI- Objekt, da in der Form einer Übertragungfunktion bechrieb it, wird allgemein durch die Frequenganggleichung bechrieben F iω b iω + L+ b iω + b m m F iω expiϕ iω a iω a iω a ω n n + n + L+ +, wo it, F iω ω Re{ F iω} + Im{ F i } die Amplitude, Im{ F iω} ϕ ω arctg die Phae R e{ F iω} Die Frequenganggleichung tellt eigentlich eine komplexe Zahl, die von dem Parameter ω abhängig it. Eine komplexe Zahl in der - Ebene kann durch den Real- und Komplexenteil oder durch den aboluten Wert F iω und die Phae ϕω dargetellt werden. Wenn der Parameter ω den Bereich von bi + durchläuft, dann bekommen wir in der -Ebene eine Ortkurve d.h. eine graphiche Dartellung de Frequengange. Graphiche Dartellung de Frequengange wird al Frequen- Kennlinien genannt. Frequen- Kennlinien werden entweder in der komplex Ebene oder al logarithmicher Amplituden- und Phaengang dargetellt. Für Analye und Synthee in den Frequenbereich kann man in MATLAB folgende Anweiungen benuten: nyquit, bode, evalfr, freqrep, margin

24 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik.. Anweiungen für Frequengangdartellung und -berechnung Funktion nyquit Frequengangdartellung und -berechnung Syntax der Funktion nyquit - y - Frequengangberechnung- und Dartellung de LTI Objekte y nyquit - y,,yn - Frequengangberechnung und Dartellung der LTI Objekte y,,yn nyquit y,w - Frequengangberechnung und Dartellung de LTI Objekte y für Frequenbereich w. [re,im,w] - nyquit y - Berechnung de Real- und Imaginärteile de LTI - Objekt und Speicherung in die Vektore re,im,w wo y ein LTI Objekt it, y,y,,yn LTI Objekte ind, w Parameter w einugeben it: w {w min w max }, re,im Vektoren ind, wo Real- und Imaginärteile gepeichert ind. Anwendung der Funktion nyquit it im Beipiel.. demontriert. Beipiel

25 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik.. Anweiung ur Berechnung de Frequengange Funktion freqrep Berechnung de Frequengange eine LTI Sytem Beipiel....3 Anweiung ur Berechnung de Frequengange von komplexe Frequen Funktion evalfr Berechnung de Frequengange für a komplex Zahl Syntax der Funktion frpevalfry,f wo it, y ein LTI Objekt f eine komplexe Zahl. Ein einfache Beipiel folgt. Beipiel

26 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..4 Berechnung der logarithmichen Amplituden- und Phaengänge Funktion bode Syntax der Funktion Berechnung der logarithmichen Amplituden- und Phaengänge bode y o - Dartellung und Berechnung der Amplituden- und o Phaengänge de LTI Objekte y bode -y,,yn - Dartellung und Berechnung der Amplituden der LTI Objekte y,,yn bode y,w - Dartellung und Berechnung der Amplituden- und Phaengänge de LTI Objekte y für den Frequenbereich w. [mag,phae,w] - Berechnung der Amplituden und Phaen de LTI Objekte bode y y und Speicherung in die Vektoren mag,phae,w wo y ein LTI Objekt it, y, y,, yn LTI Objekte ind, w Parameter w einugeben it: w {w min w max }, mag, phae, w Vektore ind, wo Amplituden, Phaen und Frequenen gepeichert werden. Die Anwendung der Anweiung wird auf folgendem Beipiel geeigt. Beipiel..4 Berechnen Sie logarithmiche Amplituden und Phaengänge für LTI- Objekte,. Bode Diagram From: U Phae deg; Magnitude db To: Y Frequency rad/ec

27 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik..5 Berechnung von Amplituden und - Phaenrand Funktion margin Berechnung von Amplituden und - Phaenrand Syntax der Funktion [Gm,Pm,Wcg,Wcp] margin y wobei y ein LTI Objekt it, Pm Phaenrand Gm Amplitudenrand Wcg Durchtrittfrequen de Amplitudenrande Wcp Durchtrittfrequen de Phaenrande Die Anwendung der Anweiung wird auf folgendem Beipiel geeigt. Beipiel..5 Berechnen Sie den Amplituden und Phaenrand für F %B_marg A[ 3 ]; B[]; figure tfb,a [Bm,Pm,Wcg,Wcp]margin bode Bode Diagram From: U Phae deg; Magnitude db To: Y Frequency rad/ec

28 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik 3 WURZELORTSVERFAHREN Da Verfahren ur Betimmung der Bewegung der Pole in der -Ebene de gechloenen Regelkreie in Abhängigkeit von einem veränderlichen Parameter.B. dem Vertärkungfaktor, it al Wurelortverfahren bekannt. E it die weite klaiche Methode für Analye und Synthee der linearen Regelkreie. 3. HINWEISE ZUM WURZELORTSVERFAHREN Bei dieer Methode werden von den bekannten Eigenchaften de offenen Regelkreie die noch unbekannten Eigenchaften de gechloenen Regelkreie hergeleitet. Die Übertragungfunktion eine linearen offenen Regelkreie hat allgemein folgende Form: F b + b m m m m n n + a n b + b a + a 3.- In folgende Form kann ie umgewandelt werden: b b... bm F k k... a a an Z N S, k > 3.- dabei ind bi die Nulltellen Wureln und aj die Poltellen de offenen Kreie, welche komplexe Werte ein können und k ein Parameter it. Der offene Regelkrei wird durch folgende Übertragungfunktion F bechrieben iehe Bild 3..a: Z F R F Gain R F Gain, 3.-3 N dabei ind : F... die Übertragungfunktion de offenen Regelkreie, F... die Übertragungfunktion der erweiterten Regeltrecke, R...die Übertragungfunktion de Regler, R... die Übertragungfunktion der Grundtruktur de Regler mit n RP Poltellen und m RN Nulltellen Gain... Geamtvertärkung de Regler beeinflut alle Anteile de Regler, entpricht dem Parameter k. N... Polynom im Nenner der Übertragungfunktion F, Z... Polynom im Zähler der Übertragungfunktion F. Die Pol- und Nulltellen der Übertragungfunktion de offenen Regelkreie werden gebildet von den np Pol und m N Nulltellen der erweiterten Strecke und den nrp Pol und mrn Nulltellen de Regler. w u F F y y Bild 3..a Offene Regeltrecke Bild 3..b Gechloene Regeltrecke

29 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Die Übertragungfunktion de gechloenen Regelkreie für da Führungübertragungverhalten iehe Bild 3..b lautet F GE F Gain R F Gain Z F + Gain R F N + Gain Z Die Poltellen dieer Funktion ind omit die Löungen folgender Gleichung : N + Gain * Z Die Nulltellen werden durch den Zähler von betimmt Gain. R F Gain Z Der geometriche Ort in der komplexen Ebene aller Löungen Wureln der Gleichung 3. 5 in Abhängigkeit von einem reellen Parameter Gain ; wird al Wurelortkurve WOK beeichnet. Die Anahl der Löungen it omit gleich der Anahl der einelnen Bahnen Zweige in der WOK- Dartellung. Auf jeder Bahn exitiert für ein betimmte Gain k i ein Funktionwert. Weitere Auagen über die Bahnen und Kontruktion der WOK ind in der Literatur [5,7,8 ] enthalten. In dieem Veruch teht für die Dartellung und da Arbeiten mit WOK ein MATLAB / SI- MULINK Programmpaket ur Verfügung [5]. Diee tellt u.a. die komplexe Ebene mit den Polen, den Nulltellen und den Bahnen der WOK der Führungübertragungfunktion graphich dar. Dabei werden die Null- und Poltellen de Regler rot und die der Strecke blau gekenneichnet. Auf jeder Bahn der WOK it der aktuelle Wert de Parameter Gain k a gekenneichnet. Für dieen k a Gain wird die Führungübergangfunktion vom Programmpaket graphich dargetellt. Die Bedeutung der WOK bei der Aulegung von Regelkreien: Da Verhalten eine Regelkreie wird von der Lage einer Pol- und Nulltellen der Übertragungfunktion 3. 4 in der komplexen Ebene betimmt. Al Beipiel da Stabilitätkriterium Hurwit: alle Nulltellen de Nennerpolynom müen link der imaginären Ache liegen. Diee und weitere Auagen laen ich über da Verhalten de gechloenen Kreie an Hand der WOK in Abhängigkeit de Vertärkungfaktor Gain machen. Für einen Regelkrei, betehend au einer gegebenen Strecke Übertragungfunktion und der Art de Regler P,PID uw., die durch die Anahl der Null und Poltellen der Reglerübertragungfunktion fetgelegt wird, kann die Lage der Null und Poltellen de Regler und die WOK dargetellt werden, wobei die WOK die Lage der Nulltellen und Pole der Strecke und de Regler in der Führungübertragungfunktion de Regelkreie in Abhängigkeit de Parameter Gain k dartellt. Für ein güntige Regelverhalten laen ich betimmte anutrebende Poitionen der Pol und Nulltellen u einander herleiten. Zum Beipiel bei einer chwingenden Strecke ollten die Nulltellen möglicht nahe an den Poltellen liegen und link von ihnen bleiben

30 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Im MATLAB / SIMULINK Programmpaket können die k-werte Gain owohl mittel Tatatur al auch durch Verchieben de aktuellen k-werte Gain entlang einer Bahn mittel der Mau eingegeben werden. Nach jeder Änderung von Gain oder eine Parameter de Regelkreie kann ofort die Ü- bergangfunktion de gechloenen Regelkreie für Führungverhalten dargetellt werden. Weitere Dartellungarten, wie.b. da Bodediagramm ind möglich. Bei der Synthee wird durch die Pol und Nulltellen der Übertragungfunktion R de Regler die Struktur de Regler definiert. Durch die Veränderung der Geamtvertärkung de Regler Gain wird die gewünchte Dynamik de gechloenen Regelkreie geucht. Durch ein überlegte, ukeive Vorgehen laen ich güntige Werte für die Pole und Nulltellen de Regler finden. Dabei it die Lage der Pole und Nulltellen de Regler überlegt u ändern. Au den gefundenen Werten der Pol- und Nulltellen de Regler und dem k-wert Gain für da geuchte Regelverhalten Führungübergangfunktion werden die Reglereintellwerte berechnet. Zur Betimmung der Reglereintellwerte muß der k-wert Gain in jede Komponente de Regler multipliiert werden. Eine Bechreibung diee Verfahren mit einer Anwendung von MATLAB findet man in [5]. In MATLAB tehen ur Verfügung drei Funktionen Tab.3, die da Wurelortverfahren untertüten. rlocu C rltool Tabelle 3 Stellt die Wurelortkurve von einem LTI Objekt dar Berechnet von dem gegebenen Punkt der Wurelortkurve die entprechende Vertärkung- Gain. Ermöglicht Entwurf eine Regelkreie mit Hilfe de Wurelortverfahren Anwendung der erten wei Funktionen rlocu, rlocu it einfach, wir werden un auf die Funktion rltool konentrieren 3. ANWENDUNG DES MATLAB PROGRAMMPAKETS MIT DEM WUR- ZELORTSVERFAHREN Für die Synthee de Regelkreie wird in dieem Veruch die Funktion rltool benutt. Die Übertragungfunktion der erweiterten Regeltrecke und die Struktur de Regler.B.: PI, PID, PD werden dau benötigt. Die Struktur de Regler wird durch Eingabe der Pol- und Nulltellen der Übertragungfunktion de Regler R fetgelegt. Programm rltool Start de Programm: in da Fenter MATLAB rltool eintragen und mit Enter tarten. Dadurch öffnet ich da Fenter Root Locu Deign Bild 3... Den offene Regelkrei bilden: der Regler K, die Strecke P und die Meeinrichtung H. Der Vorfilter F wird für dieen Veruch auf geett

31 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik K,P,H ind LTI Objekte Linear Time Invariant diee müen ich in dem Workpace Arbeitpeicher befinden. Bild.3.. Fenter Root Locu Deign Import der LTI Modelle in Programm rltool: - Öffnen von File in Fenter Root Locu Deign Bild 3.. Menu File Bild 3..4a - Öffnen von Import Modell.. Fenter Import LTI Deign Model Bild3..3 Weentliche Betandteile de Fenter Import LTI Deign Model Bild3..3: a In dem Teil Feedback Structure wird durch die Tate Other die Rückführungtruktur gewählt.. b In dem Teil Import From wird angewählt, woher da Modell tranportiert werden oll. c In dem Teil Workpace Content it eine Lite von LTI -Objekten, die durch anklicken benutt werden. d In dem Teil Deign model wird der Name de gechloenen Regelkreiee eingegeben. Durch Klick auf den entprechenden Pfeil bei der Beeichnung P,H,F wird dieem Block da markierte LTI Model au Workpace Content ugeordnet

32 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bild.3..3 Fenter Import LTI Deign Model Mit OK wird die Aktion durchgeführt, und da Fenter Import LTI Deign Model wird gechloen. a b Bild 3..4a Menu File Bild 3..4b Menu Tool Da Interaktive Wurelortverfahren: Nach dem Import öffnet ich da Fenter Root Locu Deign UOB, in dem die Wurelortkurve dargetellt it Bild Durch Anklicken von Tool öffnet ich da in Bild 3..4b dargetellte Rollmenü. Durch da Klicken auf Edit Compenator it e möglich, einen Kompenator Regler u editieren Bild Bild 3..5 Fenter Edit Compenator

33 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik In dem Fenter Edit Compenator it e möglich den Namen de Kompenator Regler und die Pole und Nulltellen einugeben iehe Bild Im Rollmenü Tool it e möglich, die Lit Model Pole/Zero u öffnen. Auf dem Bild 3..6a it eine olche Lite der Bild 3..6a Fenter Root Locu Plant Bild 3..6 Root Locu deign Bild 3..6b Fenter Lit Cloed loop Pole Nulltellen und Pole der Strecke y, der Meeinrichtung H und de Filter F dargetellt. Im Rollmenü Tool kann man u.a. folgende Fenter öffnen : - " Lit Cloed-loop Polle ", Bild 3..6b - " Add Grid / Boundry" Bild 3..6c dient ur Eingabe der relativen Dämpfung ξ Damping Ratio, Einchwingeit Settlig Time, Überchwingweite Peak Overhoot. Die relative Dämpfung ξ, die al eine Gerade in der komplexen Ebene dargetellt it, geht vom Anfangpunkt der Koordinaten au Bild Grid and Contrain Option Bild 3..6c - Set Axe Preference Bild 3..6d

34 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bild 3..6c Fenter Grid and Contrain Option Bild 3..6d Fenter Set Axe Preference 3 Durchführung de Wurelortverfahren Nach dem Import de Streckenmodell Übertragungfunktion werden die Reglereintellwerte nach folgender Verfahrenweie für einen PID - Regler betimmt Die I- und D-Anteile de Regler werden Null geett, indem die Nulltelle und Poltelle nicht hinugefügt werden Bild Die Vertärkung Gain wird o eingetellt, damit der gechloene Regelkrei die geforderte Schnelligkeit die Einchwingeit T R beitt. 3 Der D-Anteil wird eingetellt durch da Einfügen einer Nulltelle in die Übertragungfunktion de Regler Bild Die Lage der Nulltelle wird variiert bi die gewünchte Dämpfung de gechloenen Regelkreie erreicht wird PD - Regler. 4 Die bleibende Regelabweichung e lim e t wird durch Zufügung w von dem Pol R beeitigt PI-Regler. 5 Um einen PID Regler u ertellen, it e noch nötig, eine weite Nulltelle hinuufügen. 6 Wenn eine chwingungfähige Strecke u regeln it, werden die beiden Nulltellen de Regler in die Nähe der komplexen Pole der Übertragungfunktion der Strecke gelegt. Vor der Beendigung de Programm rltool ind die Ergebnie in die Workpace mit Hilfe der Anweiung Export in dem Rollmenü File u tranportieren. Auwertung : t w

35 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Da dynamiche Verhalten de Regelkreie kann mit Hilfe der Sprungantwort Step, der Impulfunktion Impule oder durch die Ortkurve de Frequengang Nyquit bw. der Frequenkennliniendartellung - Bodediagramm Bode, Nichol dargetellt werden. Diee dynamiche Charakteritiken werden einfach durch Öffnen der entprechenden Fenter in Root Locu Deign iehe Bild 3..6 dargetellt. Die Überchwingweite %P in % Peak Overhoot, die Einchwingeit T Settlig Time und die relative Dämpfung ξ können mit Hilfe de Fenter Fenter Grid and Contrain Option Bild 3..6c betimmt werden. Diee Synthee wird an Beipiel geeigt. Beipiel 3. Die Übertragungfunktion der Strecke F U it: F U. + + Geucht wird die Reglereintellung für: a I Regler, %P <%, b PI-Regler %P <% und T < 6 ec. Löung: a Für die gewünchte Überchwingweite %P wird gewählt ξ,6. Die Übertragungfunktion R, da heißt, der Pol de Regler liegt bei R. Wo die Wurelortkurve die Gerade der Dämpfung chneidet, dieer Gain-Wert ereugt die gewünchte Überchwingweite ξ,6. Die geuchte Geamtvertärkung de Regler iehe Bild 3..6e,f: Gain,33 Bild 3..6e Wurelortkurve für I Reg Bild 3..6f Sprugantwort wt Löung b Für PI Regler it die Einchwingeit T <6ec. r r Gain Der PI- Regler: R + RB. Die Nulltelle BR der Übertragungfunktion R wurde auf, 73 eingetellt. Die geuchte Geamtvertärkung de Regler Gain liegt in RB dem Punkt, in dem ich die Gerade für ξ,6 und die Gerade für T6ec

36 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik mit der Wurelortkurve chneiden, iehe Bild 3..6a,b. Die Vertärkung it : Gain,7 Bild 3..6a Wurelortkurve für PI Reg. Bild 3..6b Sprugantwort wt BR +,73, 85 Der PI Regler wurde folgend eingetellt: R Gain,7,7 +. Bemerkung: Bei der Veruchdurchführung werden die dimenionloe eingegeben. Aber alle Berechnungen erfolgen in Sekunden

37 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik 4 OPTIMIERUNGSANWEISUNGEN Unter Optimierung verteht man die Ermittelung de Minimum oder Maximum einer Funktion endlich vieler Variablen mit oder ohne Nebenbedienungen. Für eine Optimierungaufgabe kann der Anat gechrieben werden min f x x, g x,, wo it, f x eine Funktiongleichung von n- Variablen, x n- dimenionaler Vektor der Variablen x i, g x die Nebenbedienungen. Dau tehen in MATLAB folgende Funktionen ur Verfügung, iehe Tab.4 und noch andere. Anweiung Funktion fmin fminearch Minimierung ohne Nebenbedienungen min f x x fminbnd Minimierung mit den Nebenbedienungen x L < x < x H fmincon Minimierung mit nichtlinearen Nebenbedienungen fminimax Minimax- Optimierung Tab.4 4. MINIMIERUNG EINER FUNKTION MIT MEHRER REALEN VARIABLEN Um einfache Optimierung durchführen u können, wird au dem Optimiation Toolbox für Minimierung die Funktion fmin erklärt und bechrieben. Funktion fmin Syntax der Funktion Minimierung einer Funktion mit mehrerer realen Variablen. fmin'fun',x fmin'fun',x,option wobei 'fun' x x option der Name der Funktion Datei.m it, die minimiert werden oll, der Parametervektor it, damit die Minimierung getartet wird, der Parametervektor it, wo die Ergebnie der Minimierung gepeichert ind Steuerparametervektor it: option definiert die kontrollierbare Genauigkeit funx a x option4 definiert die maximale Zahl der Minimierungchritten

38 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Al Beipiel einer Programmerarbeitung ollte ein Programm für parametriche Identifikation dienen. 4. IDENTIFIKATION - DATENAUSWERTUNG In unerem Studientext vertehen wir unter Identifikation die Betimmung der Parameter und Struktur einer Übertragungfunktion auf Grund der Meung an einer Realen Strecke. 4.. Vorauetungen, Modelltruktur E wird voraugeett, da da gemeene Signal mit einem Merauchignal überlagert it y y +ν, wo y gemeene Signal mit Merauchignal, y Nutignal, v Merauchignal, da den mittleren Wert { v} E hat. Die Struktur der Übertragungfunktion wird gewählt. Die meit gebrauchten ind: T Ke D a F, τ + K Vertärkung, T D Toteit, τ Zeitkontante, K b F, τ + τ + K Vertärkung, τ, τ Zeitkontanten K c F τ + n, K Vertärkung, τ Zeitkontante, n gewählte Streckeordnung K d F3, τ + [ τ + ξτ + ] K, τ, τ, ξ eine chwingungfähige Strecke K e F4, τ + τ + τ + K, τ, τ, τ 3 3 b a F a + a + a + a, 3 b + b g F6 4 3, + a + a + a + a 3 P [b, a, a, a, a 3 ] Parameter Anfangvektor oll Stabilität ichern! P [b, b, a, a, a, a 3 ] Parameter Anfangvektor oll Stabilität ichern! Auf Grund der Meung und uneren Erfahrungen wird die Struktur der Übertragungfunktion gewählt. Zum Beipiel K x B F 4- n n T + [ x + ] A T Zeitkontante, K Vertärkungfaktor, x, x die u uchende Parameter de Modell MATLAB Anwendung :33

39 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik 4.. Arbeitpunkt, Struktur der Optimierung Weil bei der Übertragungfunktion nach der Definition die Anfangbedingungen Null ein mu, it in dem erten Schritt ein Arbeitpunkt u finden. Für dieen Arbeitpunkt müen die Medaten nach folgenden Formeln umgerechnet werden: y k y k y yp k y k Py, u k u k u up k u k Pu, yk, uk gemeene Regel und Stellgröße, y, u Arbeitpunkte der Regel und Stellgröße ypk, upk Programmvariable für gemeene Regel und Stellgröße Py, Pu Programmvariable für Arbeitpunkte der Regel und Stellgröße Zwei Parameter werden Identifiierte yt geucht Strecke x K, x T. ut y y - y M Der Hauptgedanke beteht darin, da bei gleichen Eingangignalen ut die Augangignale au y M Modell t der identifiierten Strecke-Block F eine Meungdatei und de Modell miteinander verglichen werden, iehe Bild 4.5.Für Optimier- Parameterveränderung von F J x Kriterium die enttehende Abweichung ung- Jx y wichen gemeenen y t Strategie 3 und berechneten y M t dynamichen Verlauf der Regeltrecke Bild 4.5 Struktur der Identifikation 4 oll der für da quadratiche Kriterium 3 gelten: J X y k ym k yp k yi k y k Min k k k Diee Minimierung wird durch Parametereintellung de Modell, o genannte Optimierung- Strategie 4, erielt. Für diee Minimierung wird die Funktion fmin benutt Bechreibung de Identifikation- Programme Eine Meung wurde auf einer realen Strecke durchgeführt. Die gemeenen Daten werden für Arbeitpunkt umgerechnet und ind dann unter den Dateiname tyu.m ugänglich. Die Datei hat die Daten in der Matrix-Variable dat gepeichert. In der erten Zeile it die Abtateit, in der weiten Zeile it da gemeene Augangignal und in der dritten Zeile it da Eingangignal. 3 Die Struktur de mathematichen Model it die Übertragungfunktion K F n T +, K Vertärkung, T Zeitkontant, n gewählte Streckeordnung 4 Al Kriterium wurde da quadratiche Kriterium genommen: J N i y ym Minimum i i. L i y Streckeaugang ym LModellaugang i MATLAB Anwendung :33

40 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik 5 Diee Summe wird in der Funktion function critx berechnet. 6 Für die Minimierung it die MATLAB Funktion fmin benutt. Vektor x enthält die u optimierenden Parameter. Da Unterprogramm, da da Kriterium berechnet, it function critx. Für von un gewählte Beipiel kann ein Programmablauf geeichnet werden. Beg cloe all clear all Einleen durch Load DATEINAME. Zuordnen u Variablen tg, yg, ug Anfangwert x x fmin crit, x, OPTIONS DRUCK STOP function fcrittx global tg yg ug N Kx; Tx; xt[t ]; AxT; for i:n; AconvA,xT; end ytfk,a; limy,ug,tg; [yi,ti]limy,ug,tg; fumyg-yi.*yg-yi; critt.m - táhni oubor %idt.m, ohne Suchen von %Arbeitpunkt cloe all clear all global tg ug yg N load tyu tgdat,:'; ugdat3,:'; ygdat,:'; N T.5 K x[t ]; Ax; for i:n; AconvA,x; end tfk,a roota x[k T] crittx dip'running...' OPTIONSe-; OPTIONS45; xfmin'critt',x,options; dip'optimierter Vektor x' x dip'kriteriumwert J' crittx Ax[x ]; AAx; for i:n; AconvA,Ax; end Kx; roota tfx,a ytfx,a; [yi,ti]limy,ug,tg; plottg,yg,ti,yi idt.m - táhni oubor MATLAB Anwendung :33

41 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik 4.3 OPTIMALE EINSTELLUNG EINES PID- REGLERS In der Kapitel 4. haben wir ein Identifikationverfahren al Optimierungaufgabe vorgetellt. Ähnlich kann die optimale Parametereintellung eine PID- Regler geucht werden Struktur der Optimierung Dau kann die allgemeine Optimierungtruktur auf dem Bild 4.6 benutt werden. Da Modell de gechloenen Regelkreie mit Störungen dt,d U t und der Sollwert wt anchließlicht der Kriteriumberechnung bildet ein SIMULINK Programm. Die Optimierunktrategie wird mit Hilfe der Funktion fminearch da MATLAB- Programm durchgeführt. Auf dem Bild 4.7a,b it der vereinfachte Programmablaufplan dargetellt. dt StorungD Übertragungfunktion F d b t y d Modell der Regeltrecke mit Störung Unterprogramm fpidkrd b StorungDu d Übertragung- U t funktion F U a t y U yt Unterprogramm SIMULINK PIDkrZit ut PID - Regler R e w - y SollwertW wt Start cloe all clear all a Optimierung- Strategie 4 J x Kriterium Jx 3 Bild 4.6 Struktur der optimalen PID- Reglereintellung Da SIMULINK Programm PIDkrZit, wo da Kriterium berechnet wird, it auf dem Bild 4.8 dargetellt. Da SI- MULINK Programm PIDimZit und die Auflitung de MATLAB - Programm PIDoptZit ind auf den Bildern 4.9, 4. dargetellt. Die Simulationparameter Tim, T, dt, kappa und StörungDu, StörungD, SollwertW, Stellgroe und der Anfangvektor x werden im Programm PIDoptZit eingegeben. Eingabe Tim, T, dt, kappa Eingabe StörungDu, StörungD, SollwertW, Stellgroe Anfangwert x x fminearch'fpidkrd',x,options Augabe: P, I, D, J Stop Bild 4.7 Programmtruktur MATLAB Anwendung :33

42 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bild 4.9 SIMULINK Programm PIDimZit 4.3. Da Programm PIDoptZit Da Kriterium bei der Optimierung hat die Form MATLAB Anwendung :33

43 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Tim J x J P, I, D { e t + κ [ u t u ] } dt MIN. Wo it, et die Regelabweichung, ut die Stellgröße, u der Beharrungutand der Stellgröße, κ ein wählbarer Koeffiient, damit die Dämpfung der Stellgröße geichert wird, P, I, D eintellbare Parameter de PID Regler. %PIDoptZit: integral{e^ + kappa * [u-uunendlich^]} clear all; cloe all; global P I D Tim A[4 8 5 ]; B[ ]; C[ ]; T.5; Tim5; %Simulationeit dt.; %Schritt der Simulation Kappa P; I.5;D.5; N; StorungDu; %USBn/An*StorungDu; StorungD; %USCn/Bn*StorungDu; SollwertW; Stellgroe; nlengtha; US-An/Bn*SollwertW; %Anfangeintellung de PID Regler %Umrechnung StorungDu %Umrechnung StorungD %function ffpidkrdx function ffpidkrdx global P I D Tim Px; Ix; Dx3; im'pidkrzit',tim; fkrit; %Umrechnung SollwertW PP; II; DD; im'pidkrzit',tim; dip'wert de quadratichen Kriterium für x'; krit paue x[p I D] OPTIONSoptimet'TolFun',e-,'MaxFunEval',5; x fminearch'fpidkrd',x,options im'pidkrzit',tim; dip'wert de quadratichen Kriterium für den optimalen PID Regler:'; krit StorungDu; SollwertW; StorungDu; im'pidimzit',tim; PIDimZit; Bild 4. Auflitung de MATLAB Programm PIDoptZit 5 FUZZY LOGIC CONTROL MATLAB Anwendung :33

44 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Die Entwicklung de Fuy-Regler wird in der Software von MATLAB durchgeführt. Dau dient die Fuy Logic Toolbox [4]. In MATLAB werden Simulationen und Real-Time Meungen an phyikalichen Sytemen mit Hilfe der Simulationoftware SIMULINK realiiert. Die nachfolgende Bechreibung erhebt keinefall den Anpruch die Toolbox Fuy Logic, SIMULINK auführlich u bechreiben. Für auführliche Informationen wird auf die Literatur [,,3, 4] verwieen. Eine Hilfefunktion in dem MATLAB Command Window in der Menüleite Help teht Ihnen bei jeder Arbeit ur Verfügung. Help it in englicher Sprache und wird durch Klicken geöffnet. 5. DIE IMPLEMENTIERUNG DER FUZZY LOGIK UND DIE REGELUNG IN SIMULINK Da Simulationprogramm SIMULINK hat in dem Rollmenü Simulink Library Brower ein Fuy Logic Toolbox, da bei der Aktivierung wei Fuy Zentraleinheiten al Fuy-Programmblöcke enthält: Fuy Logic Controller Fuy Logic Controller with Ruleviewer wird nicht erklärt Der Block Fuy Logic Controller iehe Bild 5. wird im SIMULNK al normaler Block verwendet. Dadurch können verchiedene Typen von Fuy Regler PD, PI, PI+PD, PI+D realiiert werden. In dem Block Fuy Logic Controller ind Fuyfiierung, Defuyfikation und Inferen enthalten. Da Auftellen der Fuy-Mengen für die Ein- und Augänge, die Zugehörigkeitfunktionen und die Fuy- Regelmengen wird für den konkreten Fuy Bild 5. Logic Controller mit Hilfe de Graphical Uer Interface GUI durchgeführt. Eine Struktur de gechloenen Regelkreie in SIMULINK mit einer Strecke weiter Ordnung und mit einem einfachen Fuy PD-Regler, der einen dikretiierten Eingang hat, it im Bild 5. dargetellt. Der Fuy PD-Regler hat wei Eingänge: die Regelabweichung et und die Änderung der Regelabweichung pro Abtatperiode det. Der Augang de Regler it ut. Die Abtatperiode beträgt T.5. Im Regelkrei ind Sollwert- und Störgrößenänderungen möglich Sollwert wird über Block Contant und Störgröße über Block Stepp eingegeben. Am Regler können an den Eingängen de Fuy Logic Controller die Koeffiienten K e Ke und K de Kde und am Augang die Reglervertärkung K u Ku eingetellt werden. Durch diee drei Koeffiienten wird der Fuy PD-Regler eingetellt. MATLAB Anwendung :33

45 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bild 5.. Gechloener Regelkrei im SIMULINK mit einem Fuy PD-Regler Folgende it u beachten: Bild 5.. Gechloener Regelkrei im SIMULINK mit einem Fuy PD-Regler Folgende it u beachten: Der Typ de Fuy Regler wird durch die Kopplungen mit dem Fuy Logic Controller und die ugeführten Eingänge betimmt. Die Eigenchaften de konkreten Fuy Logic Controller werden mit Hilfe de Graphical Uer Interface GUI in SIMULINK eingegeben. Siehe Abchnitt ENTWURF EINES FUZZY REGLERS MIT DEM FUZZY INTERFACE SYS- TEM Bei dem Entwurf eine Fuy Logic Controller it e nötig folgende u definieren: die Einund Augänge und deren Fuy-Mengen, die Zugehörigkeitfunktionen, die Fuy-Regelmenge, die Inferen- und Defuifikationmethode. Diee Forderungen werden mit Hilfe der interaktiven Umgebung Fuy Inference Sytem FIS erfüllt. Al Blockbild it da FIS in Bild 5.3 dargetellt. MATLAB Anwendung :33

46 MATLAB Anwendungen in derregelungtechnik Bild 5.3 Fuy Inference Sytem FIS Bild 5.4 FIS Edi- Da Fuy Inference Sytem FIS hat folgende 3 Editoren: FIS Editor Bild 5.4, Memberhip Function Editor Bild 5.5 und Rule Editor Bild 5.6. Außerdem beitt e den Rule und den Surface Viewer Bilder 5.8, 5.8. Da Fuy Inference Sytem FIS wird bei einem neuen Entwurf durch die Anweiung fuy aktiviert. Eine Aktivierung von chon exitierenden FIS Sytemen wird durch die Anweiung fuy Name.fi bewirkt. MATLAB Anwendung :33