Endliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006

Transkript

1 1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung, Model-Checking, Lexiklische Anlyse, XML-Prser, Kontrollbedingungen in regelbsierten Systemen, Spezifiktion von Kommuniktionsbläufen, Beschreibung von Rechnersystemen und deren Systemprogrmmierung,...

2 Komponenten 2 Komponenten Zustände Zum Beispiel: s 0 s 1 s 2 Eingbelphbet (Menge von potenziellen Ereignissen) Zum Beispiel: {, b, c}

3 Komponenten 3 Zustndsüberführungen,b Strtzustnd c Zum Beispiel: s 0 s 1 s 2,b c Zum Beispiel: s 0 s 1 s 2

4 Komponenten 4 Endzustände,b c Zum Beispiel: s 0 s 1 s 2

5 Komponenten 5 Definition Endliche Automten Ein endlicher Automt ist ein System A = (Z, I, d, s 0, F ) mit Z: endliche Menge von Zuständen, I: endliches Eingbelphbet, d: Zustndsüberführung mit d Z I Z s 0 Z: Strtzustnd, F Z: Endzustände.

6 Grphische Drstellung 6 Grphische Drstellung Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) s d(s, x), s F

7 Grphische Drstellung 7 Beispiel 1,b c s 0 s 1 s 2 Akzeptiert u.. ds Wort bc: (s 0, bc) (s 0, bc) (s 1, bc) (s 1, c) (s 2, λ) (s 0, bc) (s 1, bc) (s 1, bc) (s 1, c) (s 2, λ)

8 Grphische Drstellung 8 Beispiel 2 n ußer Betrieb betriebsbereit us 20 kleiner 20 heizen

9 Fortgesetzte Zustndsüberführung 9 Fortgesetzte Zustndsüberführung Die fortgesetzte Zustndsüberführung verrbeitet Wörter sttt Zeichen. Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) Für lle s, s, s Z, x I, w I : d (s, λ) = {s}, d (s, wx) = s d (s,w) d(s, x).

10 Fortgesetzte Zustndsüberführung 10 Beispiel,b c s 0 s 1 s 2 d (s 0, bc) = s d (s 0,b) d(s, c) =????? d (s 0, b) = s d (s 0,) d(s, b) =????? d (s 0, ) = s d (s 0,) d(s, ) =?????

11 Fortgesetzte Zustndsüberführung 11,b c s 0 s 1 s 2 d (s 0, ) = s d (s 0,λ) d(s, ) = s {s 0 } d(s, ) = d(s 0, ) = {s 0, s 1 }

12 Fortgesetzte Zustndsüberführung 12,b c s 0 s 1 s 2 d (s 0, bc) = s d (s 0,b) d(s, c) =????? d (s 0, b) = s d (s 0,) d(s, b) =????? d (s 0, ) = s d (s 0,) d(s, ) = s {s 0,s 1 } d(s, ) = d(s 0, ) d(s 1, ) = {s 0, s 1 } {s 1 } = {s 0, s 1 } d (s 0, ) = {s 0, s 1 }

13 Fortgesetzte Zustndsüberführung 13,b c s 0 s 1 s 2 d (s 0, bc) = s d (s 0,b) d(s, c) =????? d (s 0, b) = s d (s 0,) d(s, b) = s {s 0,s 1 } d(s, b) = d(s 0, b) d(s 1, b) = {s 1 } d (s 0, ) = {s 0, s 1 } d (s 0, ) = {s 0, s 1 }

14 Fortgesetzte Zustndsüberführung 14,b c s 0 s 1 s 2 d (s 0, bc) = s d (s 0,b) d(s, c) = s {s 1 } d(s, c) = d(s 1, c) = {s 2 } d (s 0, b) = {s 1 } d (s 0, ) = {s 0, s 1 } d (s 0, ) = {s 0, s 1 }

15 Erknnte Sprche 15 Erknnte Sprche Die erknnte Sprche besteht us llen Wörtern, die der Automt usgehend vom Strtzustnd einlesen knn, so dss nch dem Einlesen ein Endzustnd erreicht wird. Erknnte Sprche Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) L(A) = {w I d (s 0, w) F }

16 Erknnte Sprche 16 Beispiele (1) A: x s B E 0 b e G 1 g I N i n 1 d D n 2 N e 2 E L(A) = {BEGINuEND u I }

17 Erknnte Sprche 17 Beispiele (2) A:,b c s 0 s 1 s 2 L(A) = { n wc n 1, w {, b} } { n n N}

18 Erknnte Sprche 18 Teilwortsuche Eingbe: u, v A Beispiele (3) Ausgbe: Alle Stellen in v, n denen u vorkommt. Idee: Konstruiere einen endlichen Automten, der lle Anfngswörter (Präfixe) von v erkennt, die mit u enden.

19 Deterministische Endliche Automten 19 Deterministische Endliche Automten Definition Ein deterministischer endlicher Automt (DEA) ist ein System A = (Z, I, d, s 0, F ) mit Z: endliche Menge von Zuständen, I: endliches Eingbelphbet, d: Z I Z: Abbildung s 0 Z: Strtzustnd, F Z: Endzustände.

20 Deterministische Endliche Automten 20 Beispiel b b b s 0 s 1 s 2

21 Deterministische Endliche Automten 21 Gegeben: DEA A = (Z, I, d, s 0, F ) Fortgesetzte Zustndsüberführung Für lle s, s, s Z, x I, w I : d (s, λ) = s; d (s, wx) = d(d (s, w), x). Erknnte Sprche L(A) = {w I d (s 0, w) F }

22 Deterministische Endliche Automten 22 Beispiel b b b s 0 s 1 s 2 Erknnte Sprche: {w {, b} count(, w) mod 3 = 0}

23 Deterministische Endliche Automten 23 Stz Sei A = (Z, I, d, s 0, F ) ein DEA. Dnn gilt für lle u, v I, s Z: d (s, uv) = d (d (s, u), v).

24 Deterministische Endliche Automten 24 Verrbeitung von Wörtern in itertiver Drstellung Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ) w = 1 n A mit i A für i = 1,..., n (n = 0 impl. w = λ) s d (s, w) für s, s Z genu dnn, wenn es eine Folge von Zuständen t 0,..., t n gibt, derrt dss s = t 0, s = t n und t i d(t i 1, i ) für i = 1,..., n.

25 Deterministische Endliche Automten 25 Verrbeitung im Zustndsgrph t 1 0 t 2 n 1 t n

26 Deterministische Endliche Automten 26 Wortproblem Gegeben: eine Sprche L A (z.b. in Form eines endlichen Automten). Eingbe: Ein Wort w A. Ausgbe: J, flls w L Nein, sonst. Stz (schnelle Worterkennung) Für von deterministischen endlichen Automten erknnte Sprchen ist ds Wortproblem in linerer Zeit lösbr.

27 Deterministische Endliche Automten 27 t 1 0 t 2 n 1 t n Leseduer von 1... n : n Schritte, d Folgezustände eindeutig sind.

28 Potenzutomt 28 Potenzutomt Gegeben: A = (Z, I, d, s 0, F ). P(A) = (P(Z), I, D, {s 0 }, F P ) P(Z): Potenzmenge von Z; D : P(Z) I P(Z) mit D(S, x) = d(s, x) s S für lle S P(Z), x I; F P = {S P(Z) S F }.

29 Potenzutomt 29 Ein optimierter Potenzutomt,b c s 0 s 1 s 2, b, c b, c, b, c c s 0 s 0, s 1 s 2 b c s 1, b