Streuung an einer harten Kugel

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Streuung an einer harten Kugel"

Herbert Brauer
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Semina zu Theoie de Kene, Teilchen und kondensieten Mateie

2 Inhaltsvezeichnis 1 Einleitung 1 Klassische 1 3 Steuung an eine Potentialbaiee Wikungsqueschnitte 7 6 Zusammenfassung 8 7 Quellen 9 ii

3 1 Einleitung Im Folgenden soll die eötet weden. Dies dient als Beispiel fü die Patialwellen-Entwicklung zum Lösen von zentalsymetischen Steupoblemen. Da vo allem de Wikungsqueschnitt fü veschiedene Enegien betachtet weden soll, wid zunächst de Wikungsqueschnitt fü die klassische Steuung an eine haten Kugel beechnet. Anschließend wid de Übegang zu quantenmechanischen übe die Steuung an eine Potentialbaiee geschafft. Noch zu ewähnen ist, dass nu adialsymmetische Potentiale mit V ( ) = V (), sowie endliche Reichweite betachtet weden. Außedem wid angenommen, dass alle Stöße vollkommen elastisch ablaufen. Klassische Beim einfachen, klassischen Steupoblem tifft ein Teilchen auf eine Kugel mit dem Radius R und wid elastisch gesteut. De Winkel zwischen Einfallsichtung und dem Lot zum Aufteffpunkt auf de Kugel wid als φ 0 bezeichnet. De Steuwinkel ϑ ist dann gegeben duch ϑ = π φ 0 und kann zwischen 0, bei Beühung ohne Ablenkung und π, bei Rückwätssteuung vaiieen. Mit φ 0 ist de Stoßpaamete b gegeben duch b = R sin φ 0. Fü den diffeenziellen Wikungsqueschnitt ist bekannt, dass dσ dω = j(ϑ, Φ) j 0 gilt, wobei j(ϑ,φ) und j(0) de gesteute, bzw. einlaufende Teilchenstom ist. Aufgund de Rotationssymmetie des Poblems gilt jedoch außedem: dσ = πbdb und dω = π sin ϑdϑ. Duch Einsetzen ehält man: dσ dω = b sin ϑ db dϑ Man sieht, dass die obigen Angaben zu Steuwinkel und Stoßpaamete eweitet weden müssen. Es gilt, dass db = R cos φ 0 dφ 0 und dϑ = dφ 0. Nach einsetzen egibt sich de - 1 -

4 diffeenzielle Wikungsqueschnitt zu dσ dω = b db sin(ϑ) dϑ b R cos(φ 0 ) = sin(π φ 0 ) R sin(φ 0 ) R cos(φ 0 ) = sin(φ 0 ) cos(φ 0 ) = R 4. Um den totalen Wikungsqueschnitt zu ehalten integiet man übe den gesamten Raumwinkel. Damit ehält man zusätzlich den Fakto 4π und als totale Wikungsqueschnitt fü die klassische egibt sich: σ = πr, was de Queschnittsfläche de Kugel entspicht. 3 Steuung an eine Potentialbaiee Um eine Übeleitung zu bieten wid nun die Steuung an eine Potentialbaiee betachtet. Das Potential ist in diesem Fall gegeben duch: V () = V 0 Θ(R ) wobei 1, für > Θ(R ) = 0, für < ist. Die Schödingegleichung fü das Poblem ist gegeben duch: l(l + 1) δ + m E V () χ m l () = 0, - -

5 wobei de adiale Anteil de Wellenfunktion R l = χ l betachtet wid. Fü den einfachsten Fall eine s-welle ist die Schödingegleichung gegeben duch: [ δ m(v 0 E) ] χ o = 0. An diese Stelle kann diekt das Quadat des Wellenvektos ki = m(v 0 E) abgelesen weden. De allgemeine Ansatz fü die Wellenfunktionen innehalb und außehalb des Potentials ist bekannt. Es gilt fü < R : χ() = C ine + ki + Cine k i und fü > R : χ() = C + oute ik + C oute ik. Außedem ist die allgemeine Lösung fü Patialwellen außehalb des Potentials gegeben duch: ψ + (,Θ) 1 (π) 3 k (l + 1)i l+1 P l (cos(θ)) l lπ e i(k ) lπ i(k e η l ). De adiale Anteil diese Funktion ist fü l = 0 gegeben duch: R 0 i (π) 3 k ( e ik e ik ) η l. Betachtet wid nun die Steuphase η, fü die gilt, dass η 0 = 1. Aus diesem Gund lässt sich die Steuphase als η 0 = e iδ 0 paametisieen. Fü die Wellenfunktion außehalb - 3 -

6 des Potentials egibt sich somit: mit de Steuphase δ 0. i ( χ 0 () = R 0 e ik e iδ 0 e ik) (π) 3 k ieiδ 0 ( e i(δ 0 +k) e ) i(δ 0+k) (π) 3 k eiδ 0 (π) 3 k sin(k + δ 0) Da vohe die Annahme R l = χ l fü den Radialteil de Wellenfunktion getoffen wude, muss die Wellenfunktion innehalb des Potentials im Uspung definiet sein. Das ist nu de Fall, wenn C + in = C in gilt. Damit lässt sich fü den Lösungsansatz ein neue Vofakto C in = C in definieen. Setzt man den Vofakto in den Lösungsansatz fü die Wellenfunktion innehalb des Potentials ein, so ehält man: C in ( χ() e k i e ) k i C in sinh(k i ). Aus den Wellenfunktionen innehalb und außehalb des Potentials kann jetzt mit Hilfe de Stetigkeitsbedingungen die Steuphase beechnet weden. Es gilt: woaus nach einsetzten ψ in (R) = ψ out (R) ψ in(r) = ψ out(r) C in sinh(k i R) = eiδ 0 C in cosh(k i R) = eiδ 0 (π) 3 k sin(kr + δ 0) (π) 3 k i cos(kr + δ 0 ) - 4 -

7 folgt. Duch Division und Umfomung de Gleichungen ehält man die Steuphase mit sinh(k i R) cosh(k i R) = k i sin(kr + δ 0 ) k cos(kr + δ 0 ) tanh(k i R) = k i k tan(kr + δ 0) kr + δ 0 = actan( k k i tanh(k i R)) δ 0 = actan( k k i tanh(k i R)) kr. Um die Steuung an eine Potentialbaiee jetzt in eine zu übefühen, weden mehee aufeinande aufbauende Näheungen gemacht. Fü den Fall eine haten Kugel gilt V 0. Übetägt man das auf die Steuung an eine Potentialbaiee, so ehält man fü den Wellenvekto k i = m(v 0 E) ebenfalls k i. Fü die Steuphase ehält man somit k k i 0 und tanh(k i R) 1. Das füht abschließend zu Steuphase fü eine : δ 0 = kr. 4 Nun soll de Fall eine haten Kugel genaue betachtet weden. Um die Phasenveschiebung nicht nu fü s-wellen beechnen zu können, muss ein neue Ansatz gemacht weden. Eine weitee Wellenfunktion, die die Schödingegleichung löst ist: ψ(k,) = j l(k)n l (kr) n l (k)j l (kr) j l (kr) + n l (kr, wobei j l die sphäische Besselfunktion und n l die sphäische Neumannfunktion ist. Fü gilt: ψ(k,) = 1 [sin(k lπn k l(kr) + cos(k lπj l(kr)] j j (kr) + n l (kr)

8 Aufgund de kuzen Reichweite des Potentials, muss die Lösung de Wellenfunktion dem asymptotischen Vehalten de sphäischen Besselfunktion gleichen, ist jedoch um die Steuphase veschoben. Setzt man diese Lösungen nun gleich und odnet jeweils nach Kosinus- und Sinusfunktion, so ehält man als allgemeine Lösung fü die Steuphase: tan(δ l ) = j l(kr) n l (kr). Die Koektheit zeigt sich beim Betachten de s-welle, fü die mit: gilt, dass j 0 (kr) = sin(kr) kr n 0 (kr) = cos(kr) kr tan(δ 0 (k)) = sin(kr) cos(kr) δ 0 (k) = kr ist, womit das Egebnis aus dem voheigen Kapitel bestätigt ist. Da abe nicht nu die s-welle betachtet weden soll, dient fü gößee Enegien das asymptotische Vehalten de Bessel- und Neumannfunktionen. Mit: folgt fü die Steuphase: j l (kr ) sin(kr lπ ) kr n l (kr ) cos(kr lπ ) kr tan(δ l (k)) sin(kr lπ ) cos(kr lπ ) δ l (k) = kr + lπ

9 5 Wikungsqueschnitte Anhand de eechneten Steuphase lässt sich nun de Wikungsqueschnitt fü die emitteln. Fü den totalen Wikungsqueschnitt gilt: σ tot = 4π k (l + 1) sin δ l. l=0 Im einfachen Fall eine s-welle und kleinen Enegien, das bedeutet kr 1, egibt sich ein Wikungsqueschnitt von: σ o (k) = 4π k sin (kr) 4πR, welche genau dem Viefachen des Wikungsqueschnitts im klassischen Fall entspicht. Fü goße Enegien, also kr 1, muss jedoch eine Abbuchbedingung fü die Summe im totalen Wikungsqueschnitt gefunden weden. Zu diesem Zweck vewendet man das Vehalten de Besselfunktion. Diese hat ihe este Wendestelle bei l(l + 1). Aufgund de kuzen Reichweite des Potentials tagen nu Patialwellen zum Wikungsqueschnitt bei, die auch einen nennensweten Übelapp mit dem Potential haben. Diese Übelapp ist nu gegeben, wenn kr l(l + 1) l gilt. Die Summe übe alle Patialwellen kann also ohne gößee Fehle bei l = kr abgebochen weden. Fü den Wikungsqueschnitt gilt dann : σ tot 4π k kr l=0 (l + 1)sin (kr lπ ). An diese Stelle lässt sich noch weite küzen. Geht man von goßen Wete fü l aus, so gilt näheungsweise (l+1) (l+). Fü zwei benachbate Teme in de Patialwellensumme gilt damit : ( sin kr lπ ) ( + sin kr lπ π ) ( sin kr lπ ) ( + cos kr lπ ) =

10 Fü den Wikungsqueschnitt de bei hohen Enegien bedeutet das letztendlich : σ tot 4π k kr l=0 4π 1 k (kr) πr. 1 (l + 1) Das entspicht dem doppelten des klassischen Wikungsqueschnitts, jedoch nu de Hälfte des Wikungsqueschnitts fü kleine Enegien. 6 Zusammenfassung Um das Beispiel de im Patialwellenfomalismus besse zu vestehen wude zunächst de klassische Fall betachtet. Intuitiv egab sich ein Wikungsqueschnitt fü die Steuung, de de Queschnittsfläche de Kugel entspicht. Fü die Übeleitung zu quantenmechanischen Steuung wude dann de Umweg übe die Steuung an eine Potentialbaiee genommen, anhand dee gezeigt wude, wie sich die Steuphase beechnen lässt. Inteessant waen ebenfalls die Wikungsqueschnitte fü die Steuung bei kleinen und goßen Enegien. Diese unteschieden sich nicht nu vom klassischen Fall, sonden auch unteeinande

11 7 Quellen 1. Michael Klasen: Scipt zu Quantenmechanik, Kapitel. Alexande Atland: Advanced Quantum Mechanics 3. P.H. Richte, Univesität Bemen: Skipt zu Klassischen Mechanik Sommesemeste 008 ( KlassischeMechanik_SoSe008.pdf) vom

Ähnliche Dokumente

Wir nehmen an, dass die Streuung elastisch ist; d.h., dass die Energie des Teilchens erhalten bleibt. Die Streuung ändert die Wellenfunktion bei r =

Wir nehmen an, dass die Streuung elastisch ist; d.h., dass die Energie des Teilchens erhalten bleibt. Die Streuung ändert die Wellenfunktion bei r = Volesung 9 Die elastische Steuung, optisches Theoem, Steumatix Steuexpeimente sind ein wichtiges Instument, das uns elaubt die Eigenschaften de Mateie bei kleinsten Skalen zu studieen. Ein typisches Setup