Ferienkurs Quantenmechanik - Probeklausur

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1 Seite Ferienkurs Quantenmechanik - Sommersemester 5 Fabian Jerzembeck und Sebastian Steinbeiÿer Fakultät für Physik Technische Universität München Aufgabe FRAGEN ( BE): a) Wie lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung mit Potential in drei Dimensionen? Ô in Orts- und Impulsdar- b) Wie berechnet sich der Erwartungswert eines Operators stellung? c) Wie hängt die Energie im H-Atom von der Hauptquantenzahl ab? d) Nennen Sie die Unschärferelation für die zwei hermiteschen Operatoren  und ˆB. e) Wie wirken die Operatoren L und L z auf den Zustand l, m? f) Wann ist ein hermitescher Operator  eine Erhaltungsgröÿe? g) Nennen Sie die Quantenzahlen eines vollständigen Satzes von Eigenfunktionen für das H-Atom und deren Wertebereiche. h) Normieren Sie die Wellenfunktion ψ(x) d θ(a x ), a >. i) Beschreiben Sie den Weg um Operatoren zu konstruieren, die ein Teilchen mit Spin beschreiben (sie müssen nicht explizit angegeben werden!). 5 j) Es seien Λ i, i,,, drei n n-matrizen, welche den Spin eines Teilchens beschreiben. Handelt es sich jeweils um Bosonen oder um Fermionen (mit Begründung!), wenn I) n gerade ist? II) n ungerade ist?

2 Seite ( ) a) i ψ( x, t) t m V ( x, t) ψ( x, t) b) Ô d xψ ( x, t)ôψ( x, t) d pφ ( p, t)ôφ( p, t) c) E n n d) ( Â) ( ˆB) [Â, ˆB] e) L l, m l(l ) l, m L z l, m m l, m f) Wenn gilt: [Ĥ, Â] g) ˆ Hauptquantenzahl n N ˆ Drehimpulsquantenzahl l {,,..., n } ˆ Magnetquantenzahl m { l,..., l} h) dx ψ(x) d a a dx d a d (a) i) Es gilt s 5, somit ist m s ± 5, ±, ±. Wir benötigen also drei 6 6-Matrizen Λ i, i,,, welche die Spin-/Drehimpulsalgebra [Λ i, Λ j ] ɛ ijk iλ k erfüllen. j) I) n m s muss gerade sein, also muss m s ein Vielfaches von sein. Es handelt sich somit um Fermionen. So liefert z.b.: n Spin (Pauli Matrizen!) oder n 6 Spin 5 (Aufgabe i)) II) n m s muss ungerade sein, also muss m s eine natürliche Zahl einschlieÿlich der Null sein. Es handelt sich somit um Bosonen. So liefert z.b.: n Spin (Vorlesung!) oder n Spin (Vorlesung!). Aufgabe AUF-/ABSTEIGEOPERATOREN (7 BE): Geben Sie den resultierenden Zustand (sofern er existiert) zu folgenden Operationen an: a) L L, b) L, c) L L L 7, 5 d) S S, e) S S, ;, f) S, ;, ;, g) a a aa

3 Seite Es gilt: und wir nden: L l, m l(l ) l, m S s, m s(s ) s, m L ± l, m l(l ) m(m ± ) l, m ± S ± s, m s(s ) m(m ± ) s, m ± a n n n a n n n a) L L, L,, b) L, dieser Zustand existiert nicht, da m > l verboten ist! c) L L L 7, 5 6L L 7, L 7, , 7 d) S S, 4 S, 4, e) S S, ;, ( )S, ;, ( )( 4 5 ), ;, f) S, ;, ;, ( 5 ), ;, ;, 4 4 g) a a aa a aa aa a }{{} 6 Aufgabe SPIN UND DREHIMPULS (6 BE): Konstruieren Sie für j die Matrixdarstellung der Operatoren J, J, J x, J y, J z in der Basis der Eigenzustände j, m der Operatoren J, J z. Hinweis: J ± J x ± ij y J ± j, m j(j ) m(m ± ) j, m ± Da gilt m ±, ±, benötigen wir 4 4-Matrizen. Trivialer weise haben wir: J z Wir nden weiterhin: und,,...,, m j(j ) m(m ) j(j ) m(m )

4 Seite 4 woraus folgt: J J Umformen des Hinweises liefert J x (J J ) und J y (J i J ) und wir erhalten das Endresultat: J x J y i Aufgabe 4 STÖRUNGSRECHNUNG (7 BE): Betrachten Sie das Morse-Potential: (a) Finden Sie das Minimum. V (x) V [ e a(x xe) ] a, x e > (b) Entwickeln Sie das Morse-Potential in harmonischer Ordnung um das Minimum und schreiben Sie die zugehörige zeitunabhängige Schrödingergleichung auf. (c) Wie lauten die zugehörigen Energieeigenwerte? (d) Betrachten Sie nun eine kubische Störung λx, λ >, die auf das harmonische Potential wirkt. Berechnen Sie die ersten beiden Korrekturen zur Eigenenergie des harmonischen Oszillators. Verwenden Sie dazu: E n () Ψ () n H Ψ () n E n () m n x mω (a a) Betrachten Sie dabei explizit die Zustände und. Ψ () m H Ψ () E n () E m () n (e) Wie lauten die Energieeigenwerte des gestörten harmonischen Oszillators? 4

5 Seite 5 (a) Leiten wir V (x) nach x ab, so erhalten wir: V (x) d ] ] dx V [ e a(x xe) av [ e a(x xe) e a(x xe) av [e a(x xe) e a(x xe) ] }{{} Dies ist erfüllt für x x e. Somit liegt das Minimum bei x e. (b) Um das Potential in harmonischer Näherung zu bekommen, entwickeln wir das Potential in einer Taylor-Reihe um das Minimum x e. Dabei zeigt sich, dass sowohl V (x e ), wie auch V (x e ) verschwindet. Somit betrachten wir nur den quadratischen Term: V (x) a V [ e a(x xe) e a(x xe) ] a V Dabei wurde im letzten Schritt x x e benutzt. Die Taylor-Reihe lautet somit: V (x) a V (x x e ) und die zeitabhängige Schrödingergleichung hat die Form: [ d ] m dx a V (x x e ) Ψ(x) EΨ(x) (c) Die Energie-Eigenwerte sind die des harmonischen Oszillators: ( E n ω n ) (d) Die Energie-Korrektur erster Ordnung verschwindet, da wir es mit einem ungeradem Störterm zu tun haben. Machen wir für die Störungstheorie zweiter Ordnung den Ansatz: x mω (a a) erhalten wir für H λx : λx λ (a a) mω ) ((a ) (a ) a a aa a a a(a ) aa a a a a mω 5

6 Seite 6 Da wir nur Übergänge von den Zuständen und betrachten, benötigen wir nicht alle Terme. Für den Zustand benötigen wir: und für den Zustand : (a ) a aa a(a ) (a ) a aa a(a ) (a ) a aa a a a Betrachten wir zunächst die Übergänge vom Zustand. E () n () Ψ m H Ψ () n 6 m (a λ ) a aa a(a ) m n E n () E m () mω ω mω [ λ (a ) 8m ω ω 7ω a aa a(a ) ] ω ω [ λ n n n 8m ω ω n n n n n n ] ω [ λ ] 8m ω ω ω λ [ 8m ω ω 5 ] λ ω m ω 4 6

7 Seite 7 Dabei wurde n benuzt. Für den Zustand ergeben sich noch ein paar Terme mehr: E () n m n Ψ () m H Ψ () n E n () E m () 6 m (a λ ) a aa a(a ) (a ) a aa a a a mω ω mω [ λ 4 (a ) 8m ω ω 9ω a aa a(a ) (a ) a ω 5ω aa a a a ] [ ω ω λ m ω ω ] ω ω λ 8m ω 4 Und hier ist n. (e) Die Energie-Eigenwerte des gestörten harmonischen Oszillators ergeben sich somit zu: und E ω λ m ω 4 E ω λ 8m ω 4 7