Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensions- und Lebensversicherung. Loïc Dreher. COR&FJA AG, Stuttgart

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensions- und Lebensversicherung. Loïc Dreher. COR&FJA AG, Stuttgart"

Transkript

1 Die Seprierung von Kopkttrifen in der Pensions- und Lebensversicherung Loïc Dreher COR&FJ G, Stuttgrt

2 Zusenfssung Kopkttrife finden nicht nur in der Pensionsversicherung, sondern uch in der (Einzel-) Lebensversicherung Verwendung. Dbei ist in vielen Fällen eine seprierte Sicht uf diese Trife nötig, d z.b. für Lebensversicherungen entwickelte Bestndsführungssystee uf Trifen it seprten Trifkoponenten bsieren. Die vorliegende usrbeitung präsentiert einen nstz, der eine ekte Seprierung solcher Kopkttrife eröglicht. Nch der Einführung von Kopkttrifen und deren Seprierung werden die Besonderheiten bei der Lebensversicherung und wichtige spekte der Bilnzierung vorgestellt. Den bschluss bildet ein lgorithus zur ufteilung bestehender Verträge in ehrere Trifkoponenten. Schlgwörter: Kopkttrife, Seprierung, Lebensversicherung, Pensionsversicherung, Solvency II bstrct Copct triffs re not only used in pension insurnce, but lso in life insurnce. However, in ny cses it is necessry to hve seprte views on those triffs, since policy ngeent systes developed for life insurnce copnies re bsed on triffs which hve seprte triff coponents, for eple. This pper presents n pproch which llows n ccurte seprtion of such copct triffs. fter n introduction to copct triffs nd how to seprte the, soe prticulrs relevnt for life insurnce nd iportnt spects with regrd to ccounting re eplined. Finlly, n lgorith is presented, which kes it possible to split estblished contrcts up into severl triff coponents. Keywords: copct triffs, seprtion, life insurnce, pension insurnce, Solvency II

3 Die Seprierung von Kopkttrifen in der Pensions- und Lebensversicherung Loïc Dreher EINLEITUNG... 3 SEPRIERUNG EINFCHER KOMPKTTRIFE SEPRIERUNG DER KOMPKTTRIFE IN DER PENSIONSVERSICHERUNG Intuitiver nstz für die Seprierung Modifizierter nstz für die Seprierung Bewertung der nsätze SEPRIERUNG VON KOMPKTTRIFEN IN DER LEBENSVERSICHERUNG. 6 5 BILNZIELLE SPEKTE SEPRIERUNG DER VERTRÄGE SCHLUSSFOLGERUNGEN DNKSGUNG... 3 COR&FJ G, Stuttgrt,

4 3 Einleitung Kopkttrife folgen einer For der Trifgestltung, bei denen lle versicherten Risiken in eine einzigen Trif zusengefsst werden. Kopkttrife finden für gewöhnlich in der Pensionsversicherung Verwendung. In der (Einzel-) Lebensversicherung hingegen wird i Regelfll it seprten Trifkoponenten je versicherte Risiko gerbeitet. Dies ist jedoch nicht zwngsläufig der Fll, wie in dieser rbeit vorgestellt wird. Die nlyse der Seprierung von Kopkttrifen ist zunächst von kdeische Interesse, d es eine unittelbre Gegenüberstellung zwischen der Pensions- und der Lebensversicherungstechnik eröglicht, insbesondere bezüglich des Berufsunfähigkeitsschutzes (BU-Schutz). Des Weiteren ist die Frge der Seprierung uch von prktischer Bedeutung. Hervorzuheben ist die bbildung von Pensionstrifen it versicherungsförigen Grntien in für Lebensversicherungen entwickelte Bestndführungssystee. Solche Bestndführungssystee bsieren nälich uf Trifen it seprten Trifkoponenten. Diese For der Verwltung erlubt, bezogen uf die Trifkoponenten, eigenständige und spezifische Prozesse, z.b. bleibt bei BU-Leistungsfll die Huptversicherung unverändert, sowie getrennte Bewertungen für die Sttistik und die Bilnz. Nützlich ist die Seprierung von Kopkttrifen uch hinsichtlich der Bewertung eines kopkt klkulierten Bestndes geäß Solvency II, d ds GDV-Modell, ds für Lebensversicherungen it seprten Trifkoponenten entwickelt wurde, nicht ohne Weiteres uf Kopkttrife übertrgbr ist. 3 In dieser rbeit wird ein nstz präsentiert, der eine nlytisch ekte Seprierung von Kopkttrifen eröglicht. Zunächst werden in bschnitt die Kopkttrife eingeführt, und den seprten Trifkoponenten gegenübergestellt. nschließend wird nhnd eines einfchen Beispiels erläutert, ws unter einer Seprierung zu verstehen ist und wie diese erfolgt. In bschnitt 3 werden zwei Lösungen für die Seprierung in der Pensionsversicherung ngegeben und diskutiert. In bschnitt 4 werden zusätzlich spezifische spekte der Lebensversicherungstechnik wie die Zillerung und bweichende Duern betrchtet, d uch in der Lebensversicherung vereinzelt Kopkttrife vorkoen und diese Besonderheiten dort zu Vgl. Solvency II Vgl. Neuburger 006

5 4 berücksichtigen sind. uf spekte der Bilnzierung wird in bschnitt 5 eingegngen. bschließend wird in bschnitt 6 in For eines lgorithus ufgezeigt, wie bestehende Verträge in einzelne Vertrgsteile geäß den seprierten Trifkoponenten ufgetrennt werden können. Dieser spekt ist besonders für die Pris, typischerweise bei einer Bestndsigrtion, relevnt. Es wird eine ekte Lösung konstruiert und dit gezeigt, dss es für die Ustellung eines kopkten Bestndes uf seprte Trife keiner Näherung bedrf. Seprierung einfcher Kopkttrife In diese bschnitt werden zunächst Kopkttrife betrchtet, die sich, ufgrund ihrer Struktur, einfch seprieren lssen. Geeint sind Trife, die sich dditiv zusensetzen. Diese Herngehensweise erlubt es ds The und die sich ergebende ufgbe nhnd eines einfchen Beispiels einzuführen. Insbesondere werden Kriterien für eine vollständige Seprierung ngegeben, die in den weiteren bschnitten Verwendung finden, wenn Kopkttrife sepriert werden, deren Struktur von der dditiven Zusensetzung bweicht. Dies sind Trife, die einen BU-Schutz in For einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll beinhlten. Dies ist der Grund, weshlb in den folgenden bschnitten vorrngig uf die BU-Beitrgsbefreiung eingegngen wird. Ein Trif wird i Wesentlichen durch die Beitrgs- und Deckungskpitlforeln beschrieben. Dies begründet sich drin, dss diese Größen die Entstehung und die zeitliche Entwicklung des Vertrges beschreiben. Der Beitrg wird bei der Policierung erittelt, und ds Deckungskpitl entwickelt sich i Zuge der Jhresfortschreibung. Die weiteren Größen sind dvon bgeleitet. Bei der Seprierung eines Trifs werden de fcto neue Trife eingeführt. U diese zu definieren üssen die entsprechenden Beitrgs- und Deckungskpitlforeln bestit werden. Dies erfolgt usgehend von den definierenden Gleichungen des Kopkttrifs. Bei Kopkttrifen werden die Brwerte der versicherten Leistungen ddiert u den Leistungsbrwert zu bilden. Konkret wird hier eine ltersrente it Hinterbliebenenschutz in For einer Witwenbzw. Witwerrente betrchtet, ds Vorgehen ist jedoch uf beliebige Kopkttrife übertrgbr. Der Beitrgsbrwert eines Kopkttrifes ohne BU-Schutz besteht us de gewöhnlichen Rentenbrwert, sodss lle Lebenden Beiträge zhlen. Der Beitrg

6 5 B it einer ltersrente vo Jhresbetrg, it Eintrittslter und Duer n, berechnet sich nhnd dieser Brwerte wie folgt: B n w ( + γ ) ( + γ ) ( + f ) ( - β ) ( - β ) n n wobei f ds Suenverhältnis zwischen der lters- und der Hinterbliebenenrente ist, und typischerweise 60% beträgt, und β der Inksso- und γ der Verwltungskostenstz sind. Dieser Beitrg lässt sich in einen Beitrg für eine lters- und für eine Hinterbliebenenrente ufteilen, weil die Leistungsbrwerte dditiv eingehen und die Beitrgsbrwerte identisch sind, sodss sich die dditivität uf die Beiträge überträgt: B n ( + γ ) ( + γ ) f + ( - β ) ( - β ) n n w B + B n Wi n () Für eine vollständige Seprierung des Kopkttrifes ist ds entsprechende Deckungskpitl V ebenflls ufzuteilen. Ds Deckungskpitl ist i Jhr geäß de Äquivlenzprinzip wie folgt definiert: V,n ( + γ ) - ( - ) B n + n- + β Es entspricht der knonischen For Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert. Es lässt sich nhnd derselben Überlegungen ufteilen, wobei zusätzlich die bereits in Forel () seprierten Beiträge eingesetzt werden: V,n w Wi ( + γ ) ( + + f )- ( - β ) ( B + B ) n n + n- + w Wi ( + γ ) + - ( - β ) B + ( + γ ) f - ( - β ) B n + n- n + n- + V +,n V Wi,n ()

7 6 Es wurde gezeigt, dss es für die Seprierung des betrchteten Trifs genügt die Leistungsbrwerte ufzutrennen. Dies uss sowohl für den Beitrg ls uch für ds Deckungskpitl durchgeführt werden, u eine vollständige Seprierung durchzuführen. Die Foreln () und () wurden getrennt voneinnder hergeleitet, usgehend von der Beitrgsforel einerseits und von der Deckungskpitlforel ndererseits. Ds Ergebnis ist jedoch, dss nch der Seprierung die Foreln ihr konsistentes Verhältnis zueinnder beibehlten, d ds Deckungskpitl weiterhin der knonische Beziehung Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de Beitrg us der Beitrgsforel, genügt. Dies folgt unittelbr us der Linerität der Versicherungstechnik. Nun lssen sich die Berechnungsvorschriften für die bgeleiteten Größen, ebenflls wegen der Linerität der Versicherungstechnik, uf die Vertrgsteile übertrgen. Größen, für die die Linerität durch die Berechnungsvorschrift selber gestört wird, üssen weiterhin uf Vertrgsebene bestit werden. Ein Beispiel für solch eine Größe ist die bilnzielle Deckungsrückstellung, die in bschnitt 5 behndelt wird. 3 Seprierung der Kopkttrife in der Pensionsversicherung In bschnitt wurde gezeigt, dss ohne eingeschlossenen BU-Schutz die Seprierung von Kopkttrifen trivil ist, weil sie dditiv sind. Von besondere Interesse sind Trife, deren Struktur von der einfchen dditiven Zusensetzung bweicht. Dies sind Trife, die einen BU-Schutz in For einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll beinhlten. Dies ist der Grund, weshlb i Folgenden vorrngig uf die BU- Beitrgsbefreiung eingegngen wird. In diese bschnitt werden Kopkttrife it BU-Schutz us der Pensionsversicherung betrchtet. Ziel ist es den BU-Schutz in For von Zustzversicherungen, getrennt nch Beitrgsbefreiung und Rente, zu isolieren, wie es in der Lebensversicherung üblich ist. Dies ist für den Vergleich zwischen der Pensions- und der Lebensversicherung zweckäßig. Dfür werden zunächst die definierenden Gleichungen für den Beitrg B und für ds Deckungskpitl V einer Berufsunfähigkeitszustzversicherung, wie sie üblicherweise in der Lebensversicherung klkuliert werden 4, ngegeben. Dbei werden i 4 Vgl. Stroheier/Seiler 99

8 7 Folgenden eine Berufsunfähigkeitszustzversicherung it einer Rente i Invliditätsfll it BUZ-R und eine Berufsunfähigkeitszustzversicherung it einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll it BUZ-B bezeichnet. Der Beitrg B einer BUZ-R it Invlidenrente R, zhlbr während der Versicherungsduer n, berechnet sich geäß B BUZ-R ( + γ ) i (3) dbei ist γ 4 der Verwltungskostenstz i BU-Leistungsbezug und β der Inkssokostenstz. Die Forel für den Beitrg einer BUZ-B lutet entsprechend: B BUZ-B B ( + γ ) 4 R 4 (- β ) (- β ) i (4) Die BUZ-R und die BUZ-B werden nlog klkuliert, und unterscheiden sich nur in der versicherten Leistung: Bei der BUZ-R ist es die Invlidenrente R und bei der BUZ-B ist es der durch die BUZ-B zu befreiende Beitrg B. Dieser Beitrg setzt sich us den Beiträgen der Teile, die keine BUZ sind zusen, d die BUZ-Teile sich selbst befreien. Die Selbstbefreiung der BUZ-Teile ist durch den Beitrgsbrwert gegeben, der klkultorisch festlegt, dss usschließlich lebende ktive Beiträge zhlen. Dieser Mechnisus der Selbstbefreiung findet sich bei den Kopkttrifen it BU-Schutz wieder, wie die i nschluss betrchtete Forel (7) zeigt. Ds entsprechende Deckungskpitl V der BUZ-B ht vor Eintritt der Invlidität folgende For: V BUZ-B,n i BUZ-B ( + ) - ( - ) B B γ β (5) 4 + n- + n- I BU-Leistungsfll wird ds Deckungskpitl der BUZ-B ufgestockt, während die befreiten Vertrgsteile unverändert bleiben. Nch Eintritt der Invlidität berechnet sich ds Deckungskpitl geäß: I V BUZ-B,n i ( + ) B γ 4 + n- (6)

9 8 Dies ist eine lufende Invlidenrente der Höhe B. Diese Rente kopensiert genu die Beiträge der zu befreienden Teile, und übernit soit die Beitrgszhlung für den Invliden, solnge dieser lebt und Invlide bleibt, jedoch höchstens bis zu bluf der Versicherungsduer n. Der Vertrg ist, unter Berücksichtigung der Selbstbefreiung der BUZ-Teile, soit in Sue beitrgsfrei. Dies ist die knonische Funktionsweise einer BUZ-B. Kopkttrife zeichnen sich ddurch us, dss der Leistungsbrwert die Sue der Brwerte der versicherten Risiken ist. Betrchtet werden hier eine ltersrente zzgl. BUZ- und Hinterbliebenenrente, wobei ds Suenverhältnis it der ltersrente respektive und f beträgt. ls Beitrgsbrwert dient, nlog der BUZ-B in Forel (4), der ktiven Rentenbrwert, flls wie von nun n betrchtet ein BU-Schutz besteht. Der Beitrg B it einer Rente vo Jhresbetrg R berechnet sich nhnd dieser Brwerte, wobei die Nottion n Neuburger 5 ngelehnt ist, wie folgt: B i i i w ( + γ ) ( + γ ) R ( + f ) (- β ) (- β ) (7) wobei großgeschriebene Brwerte ls inklusive der Rente R zu verstehen sind. Die entsprechenden Deckungskpitlien i Versicherungsjhr luten für einen ktiven V i i i ( + γ ) - ( - ) B + β + (8) und für einen Invliden i i iw ( + γ ) ( + γ ) ( + ) i V + + f + (9) Es ist insbesondere zu bechten, dss durch den ls Beitrgsbrwert verwendeten Brwert einer ktivenrente, wie bei der oben eingeführten BUZ, der Ttsche Rechnung getrgen wird, dss usschließlich Mitglieder der Huptgestheit Beiträge 5 Vgl. Neuburger 997

10 9 zhlen, und der Vertrg bei Übergng der versicherten Person in eine Nebengestheit beitrgsfrei wird. Durch diesen Mechnisus wird iplizit die Beitrgsbefreiung des Kopkttrifs i Invliditätsfll versichert. Mit de BU-Schutz odifiziert sich folglich der Beitrgsbrwert des Kopkttrifes. Die seprierten Teile sollen sich, it usnhe der BUZ-Teile, bei Invlidität nicht selbst befreien. Dies soll, wie in der Lebensversicherung, eine noch zu bestiende BU-Beitrgsbefreiung übernehen. Insofern hben die seprierten Teile verschiedene Beitrgsbrwerte, wobei der Beitrgsbrwert der BUZ-Teile it de des Kopkttrifes übereinstit. Die einfche dditivität der Trife, wie sie in bschnitt ohne BU-Schutz vorlg, ist deswegen nicht ehr gegeben, obwohl die Leistungsbrwerte weiterhin dditiv sind. Es ist interessnt festzustellen, dss sich die Leistungsbrwerte für die lters- und die Hinterbliebenenrente unterscheiden, je nch de ob ein BU-Schutz itversichert ist oder nicht. Dies folgt drus, dss jeweils ndere usscheidungsordnungen für die Berechnung der Brwerte zugrunde gelegt werden. Mit de Vorgriff uf die später erfolgende Seprierung der Trife lässt sich dies folgenderßen usdrücken: Dies bedeutet nichts nderes, ls dss unterschiedliche Huptversicherungen (ltersrenten) in bhängigkeit von den gewünschten Zustzversicherungen (BUZen), uszuwählen sind. Dies ist zuindest us Sicht der Lebensversicherung eine ungewöhnliche Vorstellung. I weiteren Verluf wird die Ursche hierfür nlysiert und drus ein nstz bgeleitet, der diese Schwierigkeit behebt. 3. Intuitiver nstz für die Seprierung Die Leistungsbrwerte lssen sich, wie in bschnitt gezeigt, reltiv einfch eine bestiten versicherten Risiko entsprechend uftrennen. Dit bleibt die Gestlt der eisten seprierten Teile klr, und es bleibt nur die seprierte Beitrgsbefreiung i Invliditätsfll zu bestien. Diese ist i Kopkttrif iplizit über den Beitrgsbrwert gegeben. Ds Ziel besteht nun drin, für die Beitrgsbefreiung eine eplizite Drstellung zu finden. Eine einfche Zerlegung wie in bschnitt ist nicht evident, weil die Beitrgsbrwerte der Zieltrife unterschiedlich sind: Bei der BUZ-B sollen nur die ktiven, bei den i Invliditätsfll durch die BUZ-B beitrgsbefreiten Trifen uch die Invliden, zuindest klkultorisch, die Beiträge zhlen. us diese Grund wird der nstz verfolgt, von de betrchteten Kopkttrif, jedoch ohne BUZ- Rente, die zu befreienden Trife (ohne iplizite Beitrgsbefreiung) bzuziehen. Die

11 0 zwei Trife hben soit identische Leistungsbrwerte und unterscheiden sich usschließlich i Beitrgsbrwert: Bei de ersten Trif zhlen, wie bei der zu bestienden BU-Beitrgsbefreiung, nur die ktiven, bei de zweiten uch die Invliden, die Beiträge. Die Differenzbildung ist sowohl für die Beitrgs- ls uch für die Deckungskpitlgleichung in llen relevnten Zuständen durchzuführen. Die beitrgsfreien Zustände nch Beitrgsfreistellung sind bei dieser Betrchtung Trivilfälle, weil die Leistungsbrwerte identisch sind, und die Beitrgsbefreiung dnn ntürlich entfällt so wie es sein uss. Der Beitrgsfreie Zustnd wegen Invlidität kot jedoch i Vergleich zu de Beispiel us bschnitt hinzu. Der in Foreln usgedrückte nstz ergibt folgende Gleichung: B BU-B B Bf - B B i - B BUZ-R - B (0) wobei ds hochgestellte BU-B gewählt wurde, weil es sich u einen nstz hndelt, und deshlb Ungewissheit drüber herrscht, ob ds Ergebnis einer BUZ-B entspricht. Ds hochgestellte "Bf" signlisiert, dss ls BU-Schutz eine iplizite Beitrgsbefreiung eingeschlossen ist. Die zugrunde gelegte BUZ-R entspricht ekt der in Forel (3) eingeführten, und leistet soit nur bis zu ltersrentenbeginn z (it n : z-) und nicht lebenslänglich. Die Rentenzhlung b Rentenbeginn übernit soit koplett die ltersrente. Drus ergibt sich folgender Leistungsbrwert für die ltersrente, it der Nottion us Wolfsdorf 6 Seite 3: i i i i : ii () Dies ist eine Rente, die b Rentenbeginn eine Leibrente zhlt, unbhängig dvon, ob der Rentenbeginn ls ktiver oder ls Invlider erlebt wird. Die Berechnung des Beitrges der BU-B besteht i Wesentlichen drin, die Tere der gebildeten Differenz uf einen geeinsen Nenner zu bringen: 6 Vgl. Wolfsdorf 997

12 B BU-B ( + γ ) ( + γ ) ( + γ ) (- β ) (- β ) (- β ) () In diese usdruck ist bereits die Struktur einer Beitrgsbefreiung zu erkennen, die sich weiter verdeutlichen lässt: B BU-B (- β ) - [(- β ) B ] (3) Dies ist die knonische For einer BUZ-B, wie sie it Forel (4) eingeführt wurde. Die BU-B unterscheidet sich jedoch drin von der BUZ-B, dss sie den Sprbeitrg; und nicht den kopletten Beitrg, des zugrunde gelegten Kopkttrifes ohne BU- Schutz befreit. Der Rest des usdruckes ist von de usgngstrif unbhängig und dit llgeeingültig. Der erhltene Leistungsbrwert - ist ein nderer ls der gewohnte Brwert einer BUZ us Forel (4). Wie jedoch beknnt ist 7, gilt die Identität i (4) für den Spezilfll übereinstiender Sterblichkeiten q i q q. nloges gilt unter dieser Bedingung und Berücksichtigung der drus folgenden Identität (4) für den Leistungsbrwert der ltersrente us (): + i - i + ( - ( + )) - ( - ) 7 Vgl. Stroheier/Seiler 99

13 Der zusengesetzte Brwert lässt sich soit zu eine Grundbrwert zusenfssen, und entspricht unter dieser Bedingung de einer ltersrente für den geischten Bestnd, vgl. it Forel (). Ds nloge Verfhren wird nun uf die entsprechenden Deckungskpitlforeln für die verschiedenen Zustände ngewndt: V BU-B,n V Bf,n V,n ( B ) Bf ( + γ ) - ( - β ) B ( + γ ) - ( - β ) n n + n- n n + n- - Bf ( - β ) B + ( - β ) B n + n- n + n- [ β )] BU-B ( - )- ( - ) B B (- β n + n- + n- n + n- (5) Der letzte Schritt begründet sich in de nstz für den Beitrg der BU-B, d.h. durch Einsetzen der Forel (0). Der Beitrg und ds Deckungskpitl der befreiten Teile sollen sich, wie in der Lebensversicherung, bei Invlidität nicht ändern. Es ist lso von de Invlidendeckungskpitl ohne die lufende BU-Rente dsselbe Deckungskpitl wie in Forel (5) bzuziehen. Nchfolgend ist die Berechnung des Deckungskpitls nch Eintritt des BU-Flles drgestellt I V BU-B,n V ii,n V,n V i V i n ( + γ ) ( - β ) B ) n n + n- i i ( - β ) B + ( + ) ( ) γ n + n- n n (6) Ds Ergebnis ist erneut, dss nch der Seprierung die Foreln ihr konsistentes Verhältnis zueinnder beibehlten, d ds Deckungskpitl weiterhin der knonischen Beziehung Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de Beitrg us der

14 3 Beitrgsforel bzw. 0 bei Invlidität, genügt. Die hergeleiteten Foreln beschreiben vollständig eine Beitrgsbefreiung, von der Beitrgsbestiung über die zeitliche Entwicklung bis hin zu Leistungsfll. Es tucht jedoch i Invliditätsfll folgender störender Ter in Forel (6) uf i i ( ) ( + γ ) n n n der die Drstellung der leistenden Beitrgsbefreiung ls reine lufende Rente wie in Forel (6) verhindert. Dieser Ter, der sich uf die lters- und Hinterbliebenenrente bzw. die BUZ-R bezieht, verschwindet llerdings konsistenterweise zu Rentenbeginn, weil i Rentenbezug i 0 und q i q q gilt. (7) 3. Modifizierter nstz für die Seprierung Es wurde bereits ngesprochen, dss der in bschnitt 3. diskutierte nstz die unbefriedigende Eigenschft ht, verschiedene Trife zu verlngen, je nch de ob BU-Schutz besteht oder nicht. Dies ist in einer seprierten Welt unüblich. Dieser Schverhlt ist druf zurückzuführen, dss in der Modellierung der Pensionstrife it BU-Schutz streng nch ktiven und Invliden unterschieden wird. Die Invlidenrente wird deshlb lebenslänglich klkuliert. Sie ufsst lso iplizit die ltersrente i nschluss n die Berufsunfähigkeit, flls der Rentenbeginn ls Invlide erlebt wird. Ggf. beinhltet sie zusätzlich die nwrtschft uf Hinterbliebenenrente für einen Invliden. Die ltersrente hingegen berücksichtigt nur ktive nwärter. Der lterntive nstz besteht deshlb drin, die Differenz zwischen de Leistungsbrwert it und ohne Berufsunfähigkeitsschutz der Berufsunfähigkeitsrente zuzuordnen, d.h. es wird eine spezielle seprierte Berufsunfähigkeitsrente eingeführt, die nlog der BU-B ls BU-R, zur Unterscheidung von der üblichen BUZ-R us (3), bezeichnet wird. Der Leistungsbrwert der BU-R i Zustnd ktiv bzw. i Zustnd invlide wird ls folgende Differenz festgelegt: BU-R i - I BU-R i -

15 4 Die eplizite Bestiung der Beitrgsbefreiung erfolgt nlog de ursprünglichen nstz (), it den odifizierten Leistungsbrwerten ls einzige Unterschied BU-B i BU-R i i Bf B B - B - B B - ( B - B ) - B B Bf - B (- β ) - [(- β ) B ] [ B (- β )] n sodss sich für den Beitrg der Beitrgsbefreiung ein, bis uf den zu befreienden Beitrg, nloges Resultt zu de in (3) ergibt. Für die Deckungskpitlien wird, it folgende Ergebnis, nlog vorgegngen: V BU-B,n [ )] β n + n- I V BU-B,n BU-B ( - )- (- B B (- β ) n + n- + n- + n- Durch diesen nstz verschwindet wie gewünscht der störende Ter (7), und die befreiten Teile, wie die lters- oder die Hinterbliebenenrente, beziehen sich nicht ehr getrennt uf die ktiven und die Invliden, sondern uf den geischten Bestnd ller Lebenden. Dit sind bei eingeschlossene BU-Schutz keine speziellen Trife ehr notwendig. Die so definierten Zustzversicherungen koen ddurch der seprierten Trifgestltung in der Lebensversicherung sehr nhe. Es entsteht drüber hinus eine Syetrie zwischen der BU-Beitrgsbefreiung und der BU-Rente, die de Ergebnis eine gewisse Elegnz verleiht, d bei der BU-Beitrgsbefreiung respektive bei der BU- Rente der Leistungsbrwert us der Differenz der Beitrgsbrwerte und der Leistungsbrwerte besteht.

16 5 3.3 Bewertung der nsätze Der nstz einer Differenzbildung zwischen eine kopkten Trif inklusive Beitrgsbefreiung bei Invlidität und de entsprechenden Trif ohne BU-Schutz ist Ziel führend, d sich it der nschließenden Uforung eine nhezu gewöhnliche BUZ-B ergibt. Dbei ht der odifizierte nstz us bschnitt 3. den klren Vorteil, dss sich die befreiten Trife, wie in der Lebensversicherung, uf den geischten Bestnd beziehen und die Unterscheidung zwischen ktiven und Invliden den BU- Zustzversicherungen vorbehlten bleibt. Beerkenswert ist für beide nsätze, dss sich die Seprierung rein lgebrisch, d.h. ohne Nutzung der inneren Struktur der zugrunde gelegten Brwerte, bewerkstelligen lässt. Ddurch ergeben sich die neuen Brwerte ls einfche Zusensetzung beknnter Grundbrwerte. Die hergeleiteten Foreln für den Beitrg und ds Deckungskpitl (für ktive sowie für Invlide), die getrennt voneinnder bestit werden, sind, wie die usgngsforeln uch, konsistent zueinnder, d ds neu bestite Deckungskpitl der knonischen Forel Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert genügt. Ddurch beschreiben sie vollständig und konsistent eine Beitrgsbefreiung, von der Policierung über die druffolgende zeitliche Entwicklung bis hin zu Leistungsfll. I Invliditätsfll wird ds Deckungskpitl, wie üblich, ufgestockt. Dieser Vorgng wird durch die Deckungskpitlforeln beschrieben. Neu ist, dss die BUZ-B bweichend von der BUZ-R klkuliert wird. Sie lssen sich i erweiterten nstz us bschnitt 3. sogr beide ls Differenz von jeweils zwei Grundbrwerten drstellen. Drüber hinus weisen beide einen vo üblichen BUZ- Leistungsbrwert us Forel () bweichenden Leistungsbrwert uf. Die durchgeführte nlyse zeigt, dss dies drn liegt, dss in der Pensionsversicherung ds BU-Risiko nicht unbhängig von den nderen Risiken in die Klkultion eingeht. Des Weiteren ergibt sich für die BUZ-B klkultorisch eine jährliche Rentenzhlweise, deren uszhlung nicht sofort, sondern zu de den BU-Leistungsfll folgenden Versicherungsjhrestg einsetzt pssend zu der klkultorisch jährlichen Beitrgszhlweise. Folglich knn i letzten Jhr der Versicherungsduer klkultorisch keine Leistung ehr fällig werden, weil klkultorisch der letzte Beitrg bereits zu Versicherungsjhresbeginn geflossen ist. Dies erklärt soit den Nulldurchgng des Deckungskpitls zu diese Zeitpunkt, wie in bbildung zu

17 6 sehen ist. Befreit wird bei der hergeleiteten BU-B der nlgebeitrg, sodss vo Kunden ein geringerer Beitrg gezhlt und vo Risikoträger eine entsprechend geringere Deckungsrückstellung gestellt werden uss. Dies gilt nicht nur klkultorisch für die nwrtschft, sondern uch für den Leistungsfll ls direkte Konsequenz der kopkten Klkultion, durch die keine Verrechnung der Inkssokosten zwischen den Teilen erfolgt. Stttdessen wird iplizit berücksichtigt, dss i Zustnd der Invlidität kein Beitrg fließt, und soit keine Inkssokosten fällig werden. Dies wird bei der Durchführung der Seprierung eplizit sichtbr. Beerkenswert ist ebenflls, dss bei Invlidität für die BUZ-B nicht die Invlidensterblichkeit zugrunde gelegt wird, sondern die geischte Sterblichkeit. Dies ist ebenflls uf die kopkte Klkultion zurückzuführen. Deckungskpitl BUZ-B i i ()*(-bet) (- )*(-β) lter bbildung : Deckungskpitlverluf einer BUZ-B it verschiedenen Leistungsbrwerten 4 Seprierung von Kopkttrifen in der Lebensversicherung Nch der Pensionsversicherung wird die Lebensversicherung behndelt, d hier, wenn uch nicht so häufig wie in der Pensionsversicherung, ebenflls Kopkttrife vorkoen. In diese Zusenhng koen zwei wesentliche spekte hinzu, die

18 7 von fchliche Interesse sind: Zu einen die Zillerung, die ls beitrgsbezogen ngenoen wird und soit den Nenner der Beitrgsgleichung odifiziert, zu nderen die bweichenden Duern. So können i llgeeinen die Beitrgsduer t, die BU-Leistungsduer l, sowie die BU-Gefhrtrgungsduer g (bei einer seprten Betrchtungsweise fällt diese it der Versicherungsduer der BUZ zusen) von der Versicherungsduer der Huptversicherung n bweichen. ufgrund der bweichenden Duern ist der Beitrgsbrwert nicht ehr der beknnte Brwert einer ktivenrente, sondern setzt sich folgenderßen zusen: * t g g + + t g g E E + g t-g + g l-g + E l + l t-l,,, für t g für g < t l für l < t n Eine weitere Änderung, die ber weniger grundsätzlich ist, ist die Berücksichtigung von vielfältigeren Kosten. Die definierenden Gleichungen für derrtige Produkte sind folgenderßen usgeprägt: B HVBU n n + γ (- ) * + ( γ γ ) * t - α t t wobei α die gezillerten bschlusskosten, α die ortistionskosten, und γ und γ die Verwltungskostensätze für die beitrgspflichtige bzw. beitrgsfreie Zeit drstellen. ls beitrgsfreie Zeit wird hierbei uch eine eventuelle Phse der Invlidität ngesehen, wie es der zugeordnete Brwert signlisiert. Die zugehörigen Deckungskpitlien luten: Deckungskpitl (beitrgspflichtig gezillert) V,n [ + γ + ( γ γ ) * ] + n- + n- + t-

19 8 n + t- Deckungskpitl nch bluf der Gefhrtrgungsduer V,n [ + γ + ( γ -γ ) ] + n- + n- + t- n + t- Deckungskpitl (Invlide) Beitrgsfrei nch bluf der Leistungsduer I V,n [ + γ ] + n- + n- Beitrgspflichtig nch bluf der Leistungsduer I V,n [ + γ + ( γ γ ) ( )] + n- + n- + t- + l- B + t- - + l- ) wobei die Deckungskpitlien jetzt it eine versehen sind, u zu signlisieren, dss sie gezillert sind. Der Leistungsbrwert ist die Sue von zwei Brwerten und. Der Brwert entspricht de Brwert der Huptversicherung, z.b. einer geischten Versicherung. Der Brwert entspricht de BUZ-R-Brwert (+ γ 4 ) R i. Die verwendete BUZ-R geht dditiv in den Trif ein, und entspricht genu der in (3) eingeführten. Sie lässt sich soit nlog de Beispiel us bschnitt 3. einfch heruslösen. Es wird gezeigt, dss trotz der in der Lebensversicherung hinzukoenden Kopliktionen, die in der Pensionsversicherung verwendeten Methoden für die Seprierung ebenso Ziel führend sind, ttsächlich ergeben sich nloge Resultte. Die nwendung des nstzes us bschnitt 3 uf die hier für die Lebensversicherung eingeführten Trife ohne BUZ-R ergibt folgende Berechnung für die BU-B: BU-B B HVBU-B HV B - B n + γ B (- ) * B (- β - α ) (- ) ( (- ) * + ( γ - γ ) * t - α t t

20 9 (- ) (- ) - ( + γ ) n + ( γ - γ ) α t - * t - α t (- ) * t n + γ + ( γ - γ ) t - α t (- ) t t t - α t (- ) (- ) n + γ - * t - ( γ - γ ) (- ) * + ( γ - γ ) t - α t t t t - α t - * t t β α ) γ γ ) (6) HV [(- - B - ( - ] (- ) * - α t t Dies ist die knonische For einer BUZ-B, d.h. der zu befreiende Beitrg ultipliziert it de Leistungsbrwert, zzgl. den Verwltungskosten ultipliziert it de Verwltungskostenbrwert, dividiert durch den üblichen Nenner: Beitrgsbrwert zzgl. Zillerung. Es ist lso trotz der höheren Kopleität, insbesondere durch die Zillerung, dennoch gelungen die Beitrgsbefreiung heruszulösen. Ds Ergebnis ist de für die Pensionsversicherung ähnlich. Die so erhltene BU-Beitrgsbefreiung befreit ebenflls den nlgebeitrg, dieser ist jetzt der Trifbeitrg bzüglich Inkssound ortistionskosten. Die spezielle Gestlt des Leistungsbrwertes ls Differenz der Beitrgsbrwerte bleibt ebenflls erhlten. Hinzugekoen sind ntürlich die Beitrgszillerung sowie die Verwltungskosten (i Invlidenzustnd), deren Bezugsgröße die Sue der Huptversicherung und nicht der zu befreiende Beitrg wie bei der BUZ-B in Forel (4) ist. Nun sind die Deckungskpitlien zu seprieren. Hier wird nlog den Foreln (5) und (6) vorgegngen: Deckungskpitl (beitrgspflichtig gezillert) V + γ + ( - ) * B ( - - ),n γ γ + n- + n- β α + t- n * + t- [ + n- + γ + n- + ( γ - γ ) + t- B HV n ( - ) ] + t-

21 HV ( B - B * ) ( γ - ) ( - ) ( - γ ) * + t- + t- + t- + t- ( - * ) + t- + t- 0 B BU-B + t- Dies entspricht der knonischen For des gezillerten Deckungskpitls des Trifs, Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de korrespondierenden gezillerten Trifjhresbeitrg. Insgest ergibt sich dit, dss it der derrt definierten BU-B, in Kobintion it der Huptversicherung, ein Vertrg entsteht, bei de der Beitrg sowie der Deckungskpitlverluf it de zugrunde gelegten Kopkttrif vollkoen übereinstien. Deckungskpitl (beitrgsfrei) Ds beitrgsfreie Deckungskpitl des Kopkttrifs entspricht in llen Konstelltionen de der entsprechenden Huptversicherung llein. Dies psst zu der Ttsche, dss eine BUZ-B bei Beitrgsfreistellung usgeschlossen wird, bzw. nch bluf der Beitrgszhlungsduer bläuft, und soit deren Deckungskpitl 0 ist. Ds bei bluf der Gefhrtrgungsduer vorhndene Deckungskpitl geht n die Huptversicherung über, wie i Folgenden gezeigt wird: Deckungskpitl nch bluf der Gefhrtrgungsduer V,n [ + γ + ( γ -γ ) ] + n- + n- + t- n + t- [ + γ + ( γ - γ ) ] + n- HV [ B (- ) - ( γ - γ )] (- ) * B (- β - α ) HV + B (- β - α ) + n- + t- + t-

Article Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensionsund Lebensversicherung

Article Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensionsund Lebensversicherung econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publiktionsserver der ZBW Leibniz-Infortionszentru Wirtschft The Open Access Publiction Server of the ZBW Leibniz Infortion Centre for Econoics Dreher, Loïc Article

Mehr

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten

Verbrauchswerte. 1. Umgang mit Verbrauchswerten Verbruchswerte Dieses Unterkpitel ist speziell dem Them Energienlyse eines bestehenden Gebäudes nhnd von Verbruchswerten (Brennstoffverbräuche, Wrmwsserverbruch) gewidmet. BEISPIEL MFH: Ds Beispiel des

Mehr

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:

Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.

Mehr

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen

FernUniversität Gesamthochschule in Hagen FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember

Mehr

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator

1 Räumliche Darstellung in Adobe Illustrator Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor 1 1 Räumliche Drstellung in Adobe Illustrtor Dieses Tutoril gibt Tips und Hinweise zur räumlichen Drstellung von einfchen Objekten, insbesondere Bewegungspfeilen.

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

ist ein Quotient ganzer Zahlen m,n Z und n = 0. Dabei heißt m Zähler und n Nenner. Wegen m 1 = m ist Z eine Teilmenge von Q. Zwei Brüche sind gleich:

ist ein Quotient ganzer Zahlen m,n Z und n = 0. Dabei heißt m Zähler und n Nenner. Wegen m 1 = m ist Z eine Teilmenge von Q. Zwei Brüche sind gleich: Vorlesung 4 Zhlenbereiche 4.1 Rtionle Zhlen Wir hben gesehen, dss nicht jedes Eleent us Z ein ultipliktives Inverses besitzt. Dies führt zur Einführung der rtionlen Zhlen Q, obei der Buchstbe Q für Quotient

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen

Nutzung der Abwärme aus Erneuerbare-Energie-Anlagen 5 2014 Sonderdruck us BWK 5-2014 Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die dezentrle Wärmewende Nutzung der Abwärme us Erneuerbre-Energie-Anlgen Wichtige Kennzhlen und effiziente Plnung für die

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium Schützen Sie diejenigen, die Ihnen m Herzen liegen Risikopremium Verntwortung heißt, weiter zu denken Die richtige Berufswhl, die Gründung einer eigenen Fmilie, die eigenen vier Wände, der Schritt in die

Mehr

Finanzbuchhaltung nach SWISS GAAP FER

Finanzbuchhaltung nach SWISS GAAP FER Finnzbuchhltung nch SWISS GAAP FER Frnz Crlen, Anton Riniker, Nicole Widmer Anpssungen der 2. Auflge 2013 Liebe Leserinnen und Leser In der Fchempfehlung zu Rechnungslegung 2014/15 wurden einige wesentliche

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Ausbildung zum Passagement-Consultant

Ausbildung zum Passagement-Consultant M & MAICONSULTING Mngementbertung Akdemie M MAICONSULTING Mngementbertung & Akdemie MAICONSULTING GmbH & Co. KG Hndschuhsheimer Lndstrße 60 D-69121 Heidelberg Telefon +49 (0) 6221 65024-70 Telefx +49 (0)

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. In acht Leveln zum Meister! Exponentialgleichungen lösen. Kerstin Langer, Kiel VORANSICHT

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. In acht Leveln zum Meister! Exponentialgleichungen lösen. Kerstin Langer, Kiel VORANSICHT Eponentilgleichungen lösen Reihe 0 S Verluf Mteril LEK Glossr Lösungen In cht Leveln zum Meister! Eponentilgleichungen lösen Kerstin Lnger, Kiel Klsse: Duer: Inhlt: Ihr Plus: 0 (G8) 5 Stunden Eponentilgleichungen

Mehr

Karlsruhe - Mannheim - Aachen

Karlsruhe - Mannheim - Aachen Deutsche Finnzdtenbnk - DFDB Krlsruhe - Mnnheim - Achen - Krlsruhe - Die Bereinigung von Aktienkursen - Ein kurzer Uberblick uber Konzept und prktische Umsetzung - Andres Suer Version 10, August 1991 Projektleitung:

Mehr

Wo liegen die Unterschiede?

Wo liegen die Unterschiede? 0 VERGLEICH VON MSA UND VDA BAND 5 Wo liegen die Unterschiede? MSA steht für Mesurement System Anlysis. Dieses Dokument wurde erstmls 1990 von der Automotive Industry Action Group (AIAG) veröffentlicht.

Mehr

Article Negative Einlagezinsen im Euroraum? Lehren aus Dänemark

Article Negative Einlagezinsen im Euroraum? Lehren aus Dänemark econstor www.econstor.eu Der Open-Access-Publiktionsserver der ZBW Leibniz-Informtionszentrum Wirtschft The Open Access Publiction Server of the ZBW Leibniz Informtion Centre for Economics Klose, Jens

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

4 Deckungsrückstellung

4 Deckungsrückstellung eckugsrückstellug 33 4 eckugsrückstellug iel: erfhre zur Erittlug des Wertes eies ersicherugsvertrgs ud der zur eckug der Risike ötige Rückstelluge des ersicherugsuterehes. Proble: Präie werde kostt gezhlt,

Mehr

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen

Mehr

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN

JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN JUSTUS-LIEBIG-UNIVERSITÄT GIESSEN Professur für VWL II Wolfgng Scherf Die Exmensklusur us der Volkswirtschftslehre Erschienen in: WISU 8-9/2000, S. 1163 1166. Fchbereich Wirtschftswissenschften Prof. Dr.

Mehr

Teil 1: Warum Direktversicherung kein Versorgungsbezug, keine Betriebsrente sein kann /Antwort ab Seite 8 Seite 1

Teil 1: Warum Direktversicherung kein Versorgungsbezug, keine Betriebsrente sein kann /Antwort ab Seite 8 Seite 1 Teil 1: Wrum Direktversicherung kein Versorgungsbezug, keine Betriebsrente sein knn /Antwort b Seite 8 Seite 1 Verein Direktversicherungsgeschädigte e.v. TEIL 1 Ws ist eine Direktversicherung? Ws sind

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium

Schützen Sie diejenigen, die Ihnen am Herzen liegen. Risikopremium Schützen Sie diejenigen, die Ihnen m Herzen liegen Risikopremium 521310620_1001.indd 1 03.12.09 14:50 Verntwortung heißt, weiter zu denken Die richtige Berufswhl, die Gründung einer eigenen Fmilie, die

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre

Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre Russell C. Hibbeler echnische Mechnik Festigkeitslehre ehr- und Übungsbuch 8., ktulisierte uflge Übersetzung us dem meriknischen: Nicolet Rdu-Jürgens, Frnk Jürgens, Frnk ngenu Fchliche Betreuung und Erweiterungen:

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist

1KOhm + - y = x LED leuchtet wenn Schalter x gedrückt ist . Ohm = LED leuchtet wenn chlter gedrückt ist 2. Ohm = NICH ( = NO ) LED leuchtet wenn chlter nicht gedrückt ist = ist die Negtion von? Gibt es so einen kleinen chlter (Mikrotster)? 2. Ohm = UND LED leuchtet

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Grundwissen Abitur Analysis

Grundwissen Abitur Analysis GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen

Mehr

Gedanken stoppen und entschleunigen

Gedanken stoppen und entschleunigen 32 AGOGIK 2/10 Bertie Frei, Luigi Chiodo Gednken stoppen und entschleunigen Individuelles Coching Burn-out-Prävention Probleme knn mn nie mit derselben Denkweise lösen, durch die sie entstnden sind. Albert

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Unterrichts- und Prüfungsplanung M306 Modulverantwortlicher: Beat Kündig Modulpartner: R. Rubin

Unterrichts- und Prüfungsplanung M306 Modulverantwortlicher: Beat Kündig Modulpartner: R. Rubin Dokument Dtum (Version) Gültig für 200 / 0 Seite von 7 Unterrichts- und Prüfungsplnung M306 Modulverntwortlicher: Bet Kündig Modulprtner: R. Rubin Lernschritt-Nr. Hndlungsziele Zielsetzung unter Berücksichtigung

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre

Vorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt

Mehr

Krankheitskostenversicherung

Krankheitskostenversicherung Brmeni Krnkenversicherung. G. Huptverwltung Brmeni-Allee 1 42119 Wuppertl Krnkheitskostenversicherung Trif B-Smrt Ergänzungstrif für Personen, die in der deutschen gesetzlichen Krnkenversicherung versichert

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Die Begrenzung der Beschleunigung und ihre Folgen Die Herleitung der relativistischen Kraftgesetze

Die Begrenzung der Beschleunigung und ihre Folgen Die Herleitung der relativistischen Kraftgesetze Rolnd Meissner Bodestrße 7, D-06122 Hlle, E-Mil: rolndmeissner@gmx.de Die Begrenzung der Beschleunigung und ihre Folgen Die Herleitung der reltivistischen Krftgesetze Abstrct The reltivistic term of Force

Mehr

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn bochdt.tthis@t-online.de Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind

Mehr

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999

Abitur - Leistungskurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 1999 Abitur - Leistungskurs Mthemtik Schsen-Anhlt 999 Gebiet L - Anlysis Augbe.. y, D, R,. Die Funktionenschr sei gegeben durch Die Grphen der Funktionen der Schr werden mit G bezeichnet. ) Ermitteln Sieden

Mehr

-25/1- DIE RÖHRENDIODE

-25/1- DIE RÖHRENDIODE -25/1- DIE RÖHRENDIODE ufgben: Messverfhren: Vorkenntnisse: Lehrinhlt: Litertur: ufnhme der Kennlinie einer Röhrendiode und einiger rbeitskennlinien. Bestimmung des Exponenten der Schottky-Lngmuirschen

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Elektrischer Widerstand und Strom-Spannungs-Kennlinien

Elektrischer Widerstand und Strom-Spannungs-Kennlinien Versuch 6 Elektrischer Widerstnd und Strom-Spnnungs-Kennlinien Versuchsziel: Durch biochemische ektionen ufgebute Potentildifferenzen (Spnnungen) bewirken elektrische Ströme im Orgnismus, die n einer Vielzhl

Mehr

Sponsored Search Markets

Sponsored Search Markets Sponsored Serch Mrkets ngelehnt n [EK1], Kpitel 15 Seminr Mschinelles Lernen, WS 21/211 Preise Slots b c Interessenten y z 19. Jnur 211 Jn Philip Mtuschek Sponsored Serch Mrkets Folie 1 Them dieses Vortrgs

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

1 Einleitung 3. 3 Die Methode der Pfadregeln Drei Pfadregeln Anwendungen von drei Pfadregeln... 6

1 Einleitung 3. 3 Die Methode der Pfadregeln Drei Pfadregeln Anwendungen von drei Pfadregeln... 6 Mrkow-Ketten JUAN LU AUSARBEITUNG ZUM VORTRAG IM Blockseminr Stochstik (WINTERSEMESTER 28/9, LEITUNG PD DR. GUDRUN THÄTER) Zusmmenfssung: Eine Mrkow-Kette ist eine spezielle Klsse von stochstischen Prozessen.

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht

Großübung zu Kräften, Momenten, Äquivalenz und Gleichgewicht Großübung u Kräften, omenten, Äuivlen und Gleichgewicht Der Körper Ein mterielles Teilgebiet des Universums beeichnet mn ls Körper. Im llgemeinen sind Körper deformierbr. Sonderfll strrer Körper (odellvorstellung)

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung

von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

Hierzu wird eine Anschubfinanzierung benötigt, damit das Projekt mit seinen Alleinstellungsmerkmalen die Standortfaktoren in Idstein stärken kann.

Hierzu wird eine Anschubfinanzierung benötigt, damit das Projekt mit seinen Alleinstellungsmerkmalen die Standortfaktoren in Idstein stärken kann. Kulturbhnhof Idstein - Bericht zur Stdtrendite Im vorliegenden Bericht wird der derzeitige Stnd des Projekts Kulturbhnhof drgestellt, um nhnd dieser Grundlge ds Vorhben weiter konkretisieren zu können.

Mehr

REGSAM-Handbuch. für neue Facharbeitskreissprecherinnen und -sprecher

REGSAM-Handbuch. für neue Facharbeitskreissprecherinnen und -sprecher REGSAM-Hndbuch für neue Fchrbeitskreissprecherinnen und -sprecher Inhlte Vorwort. 2 Über REGSAM. o Wozu REGSAM? o REGSAM holt lle Hndelnden n einen Tisch o Wie wird gerbeitet? Oder: Die Gremien o Zentrler

Mehr

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH

Leitfaden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Leitfden für die Berechnung des Netzentgeltes bei der Rhein-Ruhr Verteilnetz GmbH Stnd: 20.01.2012 Gültig b: 01.01.2012 Inhltsverzeichnis 1 Benötigte Dten... 3 2 Netzentgelte... 4 2.1 Entgelt für Entnhme

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

Integrationsmethoden

Integrationsmethoden Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()

Mehr

Quadrate 1. Michael Schmitz

Quadrate 1. Michael Schmitz www.mthegmi.de Dezember 2009 Qudrte Michel Schmitz Zusmmenfssung Beim Flten von Ppier wird häufig qudrtisches Ppier ls Ausgngsmteril benutzt. Zu diesem Zweck gibt es eine Vielzhl qudrtischer Fltblätter

Mehr

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen.

Über die sog. «Ein-Franken-pro-Todesfall» -Kassen. Über die sog. «Ein-Frnken-pro-Todesfll» -Kssen. Eine versicherungstechnische Studie von HEINRICH JECKLIN (Zürich). (AIs Mnuskript eingegngen m 25. Jnur 1940.) In der versicherungstechnischen Litertur finden

Mehr

Netzentgelte der WESTNETZ GmbH (Strom)

Netzentgelte der WESTNETZ GmbH (Strom) Netzentgelte der WESTNETZ GmbH (Strom) gültig b: 01.01.2016 Stnd: 28.01.2016 -2- Inhltsverzeichnis 1 Bestndteile des Netzentgelts... 4 2 Preisblätter... 4 3 Leitfden für die Ermittlung des Netzentgeltes...

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

2 Blatt - Festkörperphysik 2-2D Gitter

2 Blatt - Festkörperphysik 2-2D Gitter Heiko Dumlich April 9, Bltt - Festkörperphysik - D Gitter. (Oberflächen kubisch rumzentrierter Kristlle) ) In Abbildung () befinden sich die drei Drufsichten der (), () und () Ebenen des kubisch-rumzentrierten

Mehr

Werben mit Knauf Insulation Supafil. Einfach gestalten, professionell auftreten, erfolgreich kommunizieren.

Werben mit Knauf Insulation Supafil. Einfach gestalten, professionell auftreten, erfolgreich kommunizieren. Schüttdämmstoffe 07/2014 Werben mit Knuf Insultion Supfil. Einfch gestlten, professionell uftreten, erfolgreich kommunizieren. Inhltsverzeichnis Einleitung Erfolgreiche Kommuniktion beginnt bei der richtigen

Mehr

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b

In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale b Kpitel Numerische Integrtion In diesem Kpitel stellen wir einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle f(x)dx vor. Integrtionsufgbe: Zu gegebenem integrierbrem f : [, b]

Mehr

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master)

Internationale Ökonomie I Vorlesung 3: Das Riccardo-Modell: Komparative Vorteile und Produktivität (Master) Interntionle Ökonomie I Vorlesung 3: Ds Riccrdo-Modell: Komprtive Vorteile und Produktivität (Mster) Dr. Dominik Mltritz Vorlesungsgliederung 1. Einführung 2. Der Welthndel: Ein Überblick 3. Ds Riccrdo-Modell:

Mehr

Herleitung der Strasse für quadratische Räder

Herleitung der Strasse für quadratische Räder Herleitung der Strsse für qudrtische Räder P = P( P / y P ) sei der Berührungspunkt des Rdes mit der Strsse bzw mit der gesuchten Kurve P = P ( / y ) sei der Mittelpunkt der entsprechenden Qudrtseite des

Mehr

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit

TE- und TM-Moden im Wellenleiter. Bachelorarbeit TE- und TM-Moden im Wellenleiter Sebstin Rubitzek 30. September 2014 in Grz Bchelorrbeit betreut von Ao.Univ.-Prof. Mg. Dr.rer.nt. Ulrich Hohenester 1 Inhltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Ws ist ein Wellenleiter?......................

Mehr

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis

4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis 4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt?

Wie muss x gewählt werden, so dass K 1 anschließend einen geraden Stoß mit K 3 ausführt? ZÜ 2.1 Aufgbe 2.1 Drei Kugeln K 1, K 2 und K 3 Mssen, m 2 und m 3 befinden sich in einer Rille und berühren sich nicht. Die erste Kugel gleitet mit der Geschwindigkeit v1 und stößt vollkommen elstisch

Mehr

Der beste Umzug, den wir je hatten. Privatumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttransporte Lagerung ERWIN WEDMANN

Der beste Umzug, den wir je hatten. Privatumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttransporte Lagerung ERWIN WEDMANN Der beste Umzug, den wir je htten. Privtumzüge Überseeumzüge Senioenumzüge Kunsttrnsporte Lgerung ERWIN WEDMANN Erwin Wedmnn Euromovers erfolgreiche Koopertion seit über 20 Jhren Heute zählt die EUROMOVERS

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.

Domäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge. Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr

Exportmodul Artikel-Nr.: 20208

Exportmodul Artikel-Nr.: 20208 Seite 1 / 5 V5.32 Exportmodul Artikel-Nr.: 20208 Erweiterungsmodul für ds ELV-TimeMster Komplettsystem Hndbuch und Beschreibungen Ab der Version 5 befinden sich die Kurznleitung und ds gesmte Hndbuch ls

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Trotz Rückgang arbeitsmarktpolitischer Maßnahmen Stabilisierung der Beschäftigungslage in Ostdeutschland

Trotz Rückgang arbeitsmarktpolitischer Maßnahmen Stabilisierung der Beschäftigungslage in Ostdeutschland Trotz Rückgng rbeitsmrktpolitischer Mßnhmen Stbilisierung der Beschäftigungslge in Ostdeutschlnd Nch der Währungs-, Wirtschfts- und Sozilunion setzte in Ostdeutschlnd ein Beschäftigungsbbu ein, der sowohl

Mehr

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN 120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Bestellformular - Adresslisten

Bestellformular - Adresslisten Industrie- und Hndelskmmer Heilbronn-Frnken Bestellformulr - Adresslisten Sehr geehrte Dmen und Herren, wie besprochen, erhlten Sie unser Bestellformulr für Adresslisten von Unternehmen in unserem Kmmerbezirk

Mehr