Die Separierung von Kompakttarifen in der Pensions- und Lebensversicherung. Loïc Dreher. COR&FJA AG, Stuttgart

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1 Die Seprierung von Kopkttrifen in der Pensions- und Lebensversicherung Loïc Dreher COR&FJ G, Stuttgrt

2 Zusenfssung Kopkttrife finden nicht nur in der Pensionsversicherung, sondern uch in der (Einzel-) Lebensversicherung Verwendung. Dbei ist in vielen Fällen eine seprierte Sicht uf diese Trife nötig, d z.b. für Lebensversicherungen entwickelte Bestndsführungssystee uf Trifen it seprten Trifkoponenten bsieren. Die vorliegende usrbeitung präsentiert einen nstz, der eine ekte Seprierung solcher Kopkttrife eröglicht. Nch der Einführung von Kopkttrifen und deren Seprierung werden die Besonderheiten bei der Lebensversicherung und wichtige spekte der Bilnzierung vorgestellt. Den bschluss bildet ein lgorithus zur ufteilung bestehender Verträge in ehrere Trifkoponenten. Schlgwörter: Kopkttrife, Seprierung, Lebensversicherung, Pensionsversicherung, Solvency II bstrct Copct triffs re not only used in pension insurnce, but lso in life insurnce. However, in ny cses it is necessry to hve seprte views on those triffs, since policy ngeent systes developed for life insurnce copnies re bsed on triffs which hve seprte triff coponents, for eple. This pper presents n pproch which llows n ccurte seprtion of such copct triffs. fter n introduction to copct triffs nd how to seprte the, soe prticulrs relevnt for life insurnce nd iportnt spects with regrd to ccounting re eplined. Finlly, n lgorith is presented, which kes it possible to split estblished contrcts up into severl triff coponents. Keywords: copct triffs, seprtion, life insurnce, pension insurnce, Solvency II

3 Die Seprierung von Kopkttrifen in der Pensions- und Lebensversicherung Loïc Dreher EINLEITUNG... 3 SEPRIERUNG EINFCHER KOMPKTTRIFE SEPRIERUNG DER KOMPKTTRIFE IN DER PENSIONSVERSICHERUNG Intuitiver nstz für die Seprierung Modifizierter nstz für die Seprierung Bewertung der nsätze SEPRIERUNG VON KOMPKTTRIFEN IN DER LEBENSVERSICHERUNG. 6 5 BILNZIELLE SPEKTE SEPRIERUNG DER VERTRÄGE SCHLUSSFOLGERUNGEN DNKSGUNG... 3 COR&FJ G, Stuttgrt,

4 3 Einleitung Kopkttrife folgen einer For der Trifgestltung, bei denen lle versicherten Risiken in eine einzigen Trif zusengefsst werden. Kopkttrife finden für gewöhnlich in der Pensionsversicherung Verwendung. In der (Einzel-) Lebensversicherung hingegen wird i Regelfll it seprten Trifkoponenten je versicherte Risiko gerbeitet. Dies ist jedoch nicht zwngsläufig der Fll, wie in dieser rbeit vorgestellt wird. Die nlyse der Seprierung von Kopkttrifen ist zunächst von kdeische Interesse, d es eine unittelbre Gegenüberstellung zwischen der Pensions- und der Lebensversicherungstechnik eröglicht, insbesondere bezüglich des Berufsunfähigkeitsschutzes (BU-Schutz). Des Weiteren ist die Frge der Seprierung uch von prktischer Bedeutung. Hervorzuheben ist die bbildung von Pensionstrifen it versicherungsförigen Grntien in für Lebensversicherungen entwickelte Bestndführungssystee. Solche Bestndführungssystee bsieren nälich uf Trifen it seprten Trifkoponenten. Diese For der Verwltung erlubt, bezogen uf die Trifkoponenten, eigenständige und spezifische Prozesse, z.b. bleibt bei BU-Leistungsfll die Huptversicherung unverändert, sowie getrennte Bewertungen für die Sttistik und die Bilnz. Nützlich ist die Seprierung von Kopkttrifen uch hinsichtlich der Bewertung eines kopkt klkulierten Bestndes geäß Solvency II, d ds GDV-Modell, ds für Lebensversicherungen it seprten Trifkoponenten entwickelt wurde, nicht ohne Weiteres uf Kopkttrife übertrgbr ist. 3 In dieser rbeit wird ein nstz präsentiert, der eine nlytisch ekte Seprierung von Kopkttrifen eröglicht. Zunächst werden in bschnitt die Kopkttrife eingeführt, und den seprten Trifkoponenten gegenübergestellt. nschließend wird nhnd eines einfchen Beispiels erläutert, ws unter einer Seprierung zu verstehen ist und wie diese erfolgt. In bschnitt 3 werden zwei Lösungen für die Seprierung in der Pensionsversicherung ngegeben und diskutiert. In bschnitt 4 werden zusätzlich spezifische spekte der Lebensversicherungstechnik wie die Zillerung und bweichende Duern betrchtet, d uch in der Lebensversicherung vereinzelt Kopkttrife vorkoen und diese Besonderheiten dort zu Vgl. Solvency II Vgl. Neuburger 006

5 4 berücksichtigen sind. uf spekte der Bilnzierung wird in bschnitt 5 eingegngen. bschließend wird in bschnitt 6 in For eines lgorithus ufgezeigt, wie bestehende Verträge in einzelne Vertrgsteile geäß den seprierten Trifkoponenten ufgetrennt werden können. Dieser spekt ist besonders für die Pris, typischerweise bei einer Bestndsigrtion, relevnt. Es wird eine ekte Lösung konstruiert und dit gezeigt, dss es für die Ustellung eines kopkten Bestndes uf seprte Trife keiner Näherung bedrf. Seprierung einfcher Kopkttrife In diese bschnitt werden zunächst Kopkttrife betrchtet, die sich, ufgrund ihrer Struktur, einfch seprieren lssen. Geeint sind Trife, die sich dditiv zusensetzen. Diese Herngehensweise erlubt es ds The und die sich ergebende ufgbe nhnd eines einfchen Beispiels einzuführen. Insbesondere werden Kriterien für eine vollständige Seprierung ngegeben, die in den weiteren bschnitten Verwendung finden, wenn Kopkttrife sepriert werden, deren Struktur von der dditiven Zusensetzung bweicht. Dies sind Trife, die einen BU-Schutz in For einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll beinhlten. Dies ist der Grund, weshlb in den folgenden bschnitten vorrngig uf die BU-Beitrgsbefreiung eingegngen wird. Ein Trif wird i Wesentlichen durch die Beitrgs- und Deckungskpitlforeln beschrieben. Dies begründet sich drin, dss diese Größen die Entstehung und die zeitliche Entwicklung des Vertrges beschreiben. Der Beitrg wird bei der Policierung erittelt, und ds Deckungskpitl entwickelt sich i Zuge der Jhresfortschreibung. Die weiteren Größen sind dvon bgeleitet. Bei der Seprierung eines Trifs werden de fcto neue Trife eingeführt. U diese zu definieren üssen die entsprechenden Beitrgs- und Deckungskpitlforeln bestit werden. Dies erfolgt usgehend von den definierenden Gleichungen des Kopkttrifs. Bei Kopkttrifen werden die Brwerte der versicherten Leistungen ddiert u den Leistungsbrwert zu bilden. Konkret wird hier eine ltersrente it Hinterbliebenenschutz in For einer Witwenbzw. Witwerrente betrchtet, ds Vorgehen ist jedoch uf beliebige Kopkttrife übertrgbr. Der Beitrgsbrwert eines Kopkttrifes ohne BU-Schutz besteht us de gewöhnlichen Rentenbrwert, sodss lle Lebenden Beiträge zhlen. Der Beitrg

6 5 B it einer ltersrente vo Jhresbetrg, it Eintrittslter und Duer n, berechnet sich nhnd dieser Brwerte wie folgt: B n w ( + γ ) ( + γ ) ( + f ) ( - β ) ( - β ) n n wobei f ds Suenverhältnis zwischen der lters- und der Hinterbliebenenrente ist, und typischerweise 60% beträgt, und β der Inksso- und γ der Verwltungskostenstz sind. Dieser Beitrg lässt sich in einen Beitrg für eine lters- und für eine Hinterbliebenenrente ufteilen, weil die Leistungsbrwerte dditiv eingehen und die Beitrgsbrwerte identisch sind, sodss sich die dditivität uf die Beiträge überträgt: B n ( + γ ) ( + γ ) f + ( - β ) ( - β ) n n w B + B n Wi n () Für eine vollständige Seprierung des Kopkttrifes ist ds entsprechende Deckungskpitl V ebenflls ufzuteilen. Ds Deckungskpitl ist i Jhr geäß de Äquivlenzprinzip wie folgt definiert: V,n ( + γ ) - ( - ) B n + n- + β Es entspricht der knonischen For Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert. Es lässt sich nhnd derselben Überlegungen ufteilen, wobei zusätzlich die bereits in Forel () seprierten Beiträge eingesetzt werden: V,n w Wi ( + γ ) ( + + f )- ( - β ) ( B + B ) n n + n- + w Wi ( + γ ) + - ( - β ) B + ( + γ ) f - ( - β ) B n + n- n + n- + V +,n V Wi,n ()

7 6 Es wurde gezeigt, dss es für die Seprierung des betrchteten Trifs genügt die Leistungsbrwerte ufzutrennen. Dies uss sowohl für den Beitrg ls uch für ds Deckungskpitl durchgeführt werden, u eine vollständige Seprierung durchzuführen. Die Foreln () und () wurden getrennt voneinnder hergeleitet, usgehend von der Beitrgsforel einerseits und von der Deckungskpitlforel ndererseits. Ds Ergebnis ist jedoch, dss nch der Seprierung die Foreln ihr konsistentes Verhältnis zueinnder beibehlten, d ds Deckungskpitl weiterhin der knonische Beziehung Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de Beitrg us der Beitrgsforel, genügt. Dies folgt unittelbr us der Linerität der Versicherungstechnik. Nun lssen sich die Berechnungsvorschriften für die bgeleiteten Größen, ebenflls wegen der Linerität der Versicherungstechnik, uf die Vertrgsteile übertrgen. Größen, für die die Linerität durch die Berechnungsvorschrift selber gestört wird, üssen weiterhin uf Vertrgsebene bestit werden. Ein Beispiel für solch eine Größe ist die bilnzielle Deckungsrückstellung, die in bschnitt 5 behndelt wird. 3 Seprierung der Kopkttrife in der Pensionsversicherung In bschnitt wurde gezeigt, dss ohne eingeschlossenen BU-Schutz die Seprierung von Kopkttrifen trivil ist, weil sie dditiv sind. Von besondere Interesse sind Trife, deren Struktur von der einfchen dditiven Zusensetzung bweicht. Dies sind Trife, die einen BU-Schutz in For einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll beinhlten. Dies ist der Grund, weshlb i Folgenden vorrngig uf die BU- Beitrgsbefreiung eingegngen wird. In diese bschnitt werden Kopkttrife it BU-Schutz us der Pensionsversicherung betrchtet. Ziel ist es den BU-Schutz in For von Zustzversicherungen, getrennt nch Beitrgsbefreiung und Rente, zu isolieren, wie es in der Lebensversicherung üblich ist. Dies ist für den Vergleich zwischen der Pensions- und der Lebensversicherung zweckäßig. Dfür werden zunächst die definierenden Gleichungen für den Beitrg B und für ds Deckungskpitl V einer Berufsunfähigkeitszustzversicherung, wie sie üblicherweise in der Lebensversicherung klkuliert werden 4, ngegeben. Dbei werden i 4 Vgl. Stroheier/Seiler 99

8 7 Folgenden eine Berufsunfähigkeitszustzversicherung it einer Rente i Invliditätsfll it BUZ-R und eine Berufsunfähigkeitszustzversicherung it einer Beitrgsbefreiung i Leistungsfll it BUZ-B bezeichnet. Der Beitrg B einer BUZ-R it Invlidenrente R, zhlbr während der Versicherungsduer n, berechnet sich geäß B BUZ-R ( + γ ) i (3) dbei ist γ 4 der Verwltungskostenstz i BU-Leistungsbezug und β der Inkssokostenstz. Die Forel für den Beitrg einer BUZ-B lutet entsprechend: B BUZ-B B ( + γ ) 4 R 4 (- β ) (- β ) i (4) Die BUZ-R und die BUZ-B werden nlog klkuliert, und unterscheiden sich nur in der versicherten Leistung: Bei der BUZ-R ist es die Invlidenrente R und bei der BUZ-B ist es der durch die BUZ-B zu befreiende Beitrg B. Dieser Beitrg setzt sich us den Beiträgen der Teile, die keine BUZ sind zusen, d die BUZ-Teile sich selbst befreien. Die Selbstbefreiung der BUZ-Teile ist durch den Beitrgsbrwert gegeben, der klkultorisch festlegt, dss usschließlich lebende ktive Beiträge zhlen. Dieser Mechnisus der Selbstbefreiung findet sich bei den Kopkttrifen it BU-Schutz wieder, wie die i nschluss betrchtete Forel (7) zeigt. Ds entsprechende Deckungskpitl V der BUZ-B ht vor Eintritt der Invlidität folgende For: V BUZ-B,n i BUZ-B ( + ) - ( - ) B B γ β (5) 4 + n- + n- I BU-Leistungsfll wird ds Deckungskpitl der BUZ-B ufgestockt, während die befreiten Vertrgsteile unverändert bleiben. Nch Eintritt der Invlidität berechnet sich ds Deckungskpitl geäß: I V BUZ-B,n i ( + ) B γ 4 + n- (6)

9 8 Dies ist eine lufende Invlidenrente der Höhe B. Diese Rente kopensiert genu die Beiträge der zu befreienden Teile, und übernit soit die Beitrgszhlung für den Invliden, solnge dieser lebt und Invlide bleibt, jedoch höchstens bis zu bluf der Versicherungsduer n. Der Vertrg ist, unter Berücksichtigung der Selbstbefreiung der BUZ-Teile, soit in Sue beitrgsfrei. Dies ist die knonische Funktionsweise einer BUZ-B. Kopkttrife zeichnen sich ddurch us, dss der Leistungsbrwert die Sue der Brwerte der versicherten Risiken ist. Betrchtet werden hier eine ltersrente zzgl. BUZ- und Hinterbliebenenrente, wobei ds Suenverhältnis it der ltersrente respektive und f beträgt. ls Beitrgsbrwert dient, nlog der BUZ-B in Forel (4), der ktiven Rentenbrwert, flls wie von nun n betrchtet ein BU-Schutz besteht. Der Beitrg B it einer Rente vo Jhresbetrg R berechnet sich nhnd dieser Brwerte, wobei die Nottion n Neuburger 5 ngelehnt ist, wie folgt: B i i i w ( + γ ) ( + γ ) R ( + f ) (- β ) (- β ) (7) wobei großgeschriebene Brwerte ls inklusive der Rente R zu verstehen sind. Die entsprechenden Deckungskpitlien i Versicherungsjhr luten für einen ktiven V i i i ( + γ ) - ( - ) B + β + (8) und für einen Invliden i i iw ( + γ ) ( + γ ) ( + ) i V + + f + (9) Es ist insbesondere zu bechten, dss durch den ls Beitrgsbrwert verwendeten Brwert einer ktivenrente, wie bei der oben eingeführten BUZ, der Ttsche Rechnung getrgen wird, dss usschließlich Mitglieder der Huptgestheit Beiträge 5 Vgl. Neuburger 997

10 9 zhlen, und der Vertrg bei Übergng der versicherten Person in eine Nebengestheit beitrgsfrei wird. Durch diesen Mechnisus wird iplizit die Beitrgsbefreiung des Kopkttrifs i Invliditätsfll versichert. Mit de BU-Schutz odifiziert sich folglich der Beitrgsbrwert des Kopkttrifes. Die seprierten Teile sollen sich, it usnhe der BUZ-Teile, bei Invlidität nicht selbst befreien. Dies soll, wie in der Lebensversicherung, eine noch zu bestiende BU-Beitrgsbefreiung übernehen. Insofern hben die seprierten Teile verschiedene Beitrgsbrwerte, wobei der Beitrgsbrwert der BUZ-Teile it de des Kopkttrifes übereinstit. Die einfche dditivität der Trife, wie sie in bschnitt ohne BU-Schutz vorlg, ist deswegen nicht ehr gegeben, obwohl die Leistungsbrwerte weiterhin dditiv sind. Es ist interessnt festzustellen, dss sich die Leistungsbrwerte für die lters- und die Hinterbliebenenrente unterscheiden, je nch de ob ein BU-Schutz itversichert ist oder nicht. Dies folgt drus, dss jeweils ndere usscheidungsordnungen für die Berechnung der Brwerte zugrunde gelegt werden. Mit de Vorgriff uf die später erfolgende Seprierung der Trife lässt sich dies folgenderßen usdrücken: Dies bedeutet nichts nderes, ls dss unterschiedliche Huptversicherungen (ltersrenten) in bhängigkeit von den gewünschten Zustzversicherungen (BUZen), uszuwählen sind. Dies ist zuindest us Sicht der Lebensversicherung eine ungewöhnliche Vorstellung. I weiteren Verluf wird die Ursche hierfür nlysiert und drus ein nstz bgeleitet, der diese Schwierigkeit behebt. 3. Intuitiver nstz für die Seprierung Die Leistungsbrwerte lssen sich, wie in bschnitt gezeigt, reltiv einfch eine bestiten versicherten Risiko entsprechend uftrennen. Dit bleibt die Gestlt der eisten seprierten Teile klr, und es bleibt nur die seprierte Beitrgsbefreiung i Invliditätsfll zu bestien. Diese ist i Kopkttrif iplizit über den Beitrgsbrwert gegeben. Ds Ziel besteht nun drin, für die Beitrgsbefreiung eine eplizite Drstellung zu finden. Eine einfche Zerlegung wie in bschnitt ist nicht evident, weil die Beitrgsbrwerte der Zieltrife unterschiedlich sind: Bei der BUZ-B sollen nur die ktiven, bei den i Invliditätsfll durch die BUZ-B beitrgsbefreiten Trifen uch die Invliden, zuindest klkultorisch, die Beiträge zhlen. us diese Grund wird der nstz verfolgt, von de betrchteten Kopkttrif, jedoch ohne BUZ- Rente, die zu befreienden Trife (ohne iplizite Beitrgsbefreiung) bzuziehen. Die

11 0 zwei Trife hben soit identische Leistungsbrwerte und unterscheiden sich usschließlich i Beitrgsbrwert: Bei de ersten Trif zhlen, wie bei der zu bestienden BU-Beitrgsbefreiung, nur die ktiven, bei de zweiten uch die Invliden, die Beiträge. Die Differenzbildung ist sowohl für die Beitrgs- ls uch für die Deckungskpitlgleichung in llen relevnten Zuständen durchzuführen. Die beitrgsfreien Zustände nch Beitrgsfreistellung sind bei dieser Betrchtung Trivilfälle, weil die Leistungsbrwerte identisch sind, und die Beitrgsbefreiung dnn ntürlich entfällt so wie es sein uss. Der Beitrgsfreie Zustnd wegen Invlidität kot jedoch i Vergleich zu de Beispiel us bschnitt hinzu. Der in Foreln usgedrückte nstz ergibt folgende Gleichung: B BU-B B Bf - B B i - B BUZ-R - B (0) wobei ds hochgestellte BU-B gewählt wurde, weil es sich u einen nstz hndelt, und deshlb Ungewissheit drüber herrscht, ob ds Ergebnis einer BUZ-B entspricht. Ds hochgestellte "Bf" signlisiert, dss ls BU-Schutz eine iplizite Beitrgsbefreiung eingeschlossen ist. Die zugrunde gelegte BUZ-R entspricht ekt der in Forel (3) eingeführten, und leistet soit nur bis zu ltersrentenbeginn z (it n : z-) und nicht lebenslänglich. Die Rentenzhlung b Rentenbeginn übernit soit koplett die ltersrente. Drus ergibt sich folgender Leistungsbrwert für die ltersrente, it der Nottion us Wolfsdorf 6 Seite 3: i i i i : ii () Dies ist eine Rente, die b Rentenbeginn eine Leibrente zhlt, unbhängig dvon, ob der Rentenbeginn ls ktiver oder ls Invlider erlebt wird. Die Berechnung des Beitrges der BU-B besteht i Wesentlichen drin, die Tere der gebildeten Differenz uf einen geeinsen Nenner zu bringen: 6 Vgl. Wolfsdorf 997

12 B BU-B ( + γ ) ( + γ ) ( + γ ) (- β ) (- β ) (- β ) () In diese usdruck ist bereits die Struktur einer Beitrgsbefreiung zu erkennen, die sich weiter verdeutlichen lässt: B BU-B (- β ) - [(- β ) B ] (3) Dies ist die knonische For einer BUZ-B, wie sie it Forel (4) eingeführt wurde. Die BU-B unterscheidet sich jedoch drin von der BUZ-B, dss sie den Sprbeitrg; und nicht den kopletten Beitrg, des zugrunde gelegten Kopkttrifes ohne BU- Schutz befreit. Der Rest des usdruckes ist von de usgngstrif unbhängig und dit llgeeingültig. Der erhltene Leistungsbrwert - ist ein nderer ls der gewohnte Brwert einer BUZ us Forel (4). Wie jedoch beknnt ist 7, gilt die Identität i (4) für den Spezilfll übereinstiender Sterblichkeiten q i q q. nloges gilt unter dieser Bedingung und Berücksichtigung der drus folgenden Identität (4) für den Leistungsbrwert der ltersrente us (): + i - i + ( - ( + )) - ( - ) 7 Vgl. Stroheier/Seiler 99

13 Der zusengesetzte Brwert lässt sich soit zu eine Grundbrwert zusenfssen, und entspricht unter dieser Bedingung de einer ltersrente für den geischten Bestnd, vgl. it Forel (). Ds nloge Verfhren wird nun uf die entsprechenden Deckungskpitlforeln für die verschiedenen Zustände ngewndt: V BU-B,n V Bf,n V,n ( B ) Bf ( + γ ) - ( - β ) B ( + γ ) - ( - β ) n n + n- n n + n- - Bf ( - β ) B + ( - β ) B n + n- n + n- [ β )] BU-B ( - )- ( - ) B B (- β n + n- + n- n + n- (5) Der letzte Schritt begründet sich in de nstz für den Beitrg der BU-B, d.h. durch Einsetzen der Forel (0). Der Beitrg und ds Deckungskpitl der befreiten Teile sollen sich, wie in der Lebensversicherung, bei Invlidität nicht ändern. Es ist lso von de Invlidendeckungskpitl ohne die lufende BU-Rente dsselbe Deckungskpitl wie in Forel (5) bzuziehen. Nchfolgend ist die Berechnung des Deckungskpitls nch Eintritt des BU-Flles drgestellt I V BU-B,n V ii,n V,n V i V i n ( + γ ) ( - β ) B ) n n + n- i i ( - β ) B + ( + ) ( ) γ n + n- n n (6) Ds Ergebnis ist erneut, dss nch der Seprierung die Foreln ihr konsistentes Verhältnis zueinnder beibehlten, d ds Deckungskpitl weiterhin der knonischen Beziehung Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de Beitrg us der

14 3 Beitrgsforel bzw. 0 bei Invlidität, genügt. Die hergeleiteten Foreln beschreiben vollständig eine Beitrgsbefreiung, von der Beitrgsbestiung über die zeitliche Entwicklung bis hin zu Leistungsfll. Es tucht jedoch i Invliditätsfll folgender störender Ter in Forel (6) uf i i ( ) ( + γ ) n n n der die Drstellung der leistenden Beitrgsbefreiung ls reine lufende Rente wie in Forel (6) verhindert. Dieser Ter, der sich uf die lters- und Hinterbliebenenrente bzw. die BUZ-R bezieht, verschwindet llerdings konsistenterweise zu Rentenbeginn, weil i Rentenbezug i 0 und q i q q gilt. (7) 3. Modifizierter nstz für die Seprierung Es wurde bereits ngesprochen, dss der in bschnitt 3. diskutierte nstz die unbefriedigende Eigenschft ht, verschiedene Trife zu verlngen, je nch de ob BU-Schutz besteht oder nicht. Dies ist in einer seprierten Welt unüblich. Dieser Schverhlt ist druf zurückzuführen, dss in der Modellierung der Pensionstrife it BU-Schutz streng nch ktiven und Invliden unterschieden wird. Die Invlidenrente wird deshlb lebenslänglich klkuliert. Sie ufsst lso iplizit die ltersrente i nschluss n die Berufsunfähigkeit, flls der Rentenbeginn ls Invlide erlebt wird. Ggf. beinhltet sie zusätzlich die nwrtschft uf Hinterbliebenenrente für einen Invliden. Die ltersrente hingegen berücksichtigt nur ktive nwärter. Der lterntive nstz besteht deshlb drin, die Differenz zwischen de Leistungsbrwert it und ohne Berufsunfähigkeitsschutz der Berufsunfähigkeitsrente zuzuordnen, d.h. es wird eine spezielle seprierte Berufsunfähigkeitsrente eingeführt, die nlog der BU-B ls BU-R, zur Unterscheidung von der üblichen BUZ-R us (3), bezeichnet wird. Der Leistungsbrwert der BU-R i Zustnd ktiv bzw. i Zustnd invlide wird ls folgende Differenz festgelegt: BU-R i - I BU-R i -

15 4 Die eplizite Bestiung der Beitrgsbefreiung erfolgt nlog de ursprünglichen nstz (), it den odifizierten Leistungsbrwerten ls einzige Unterschied BU-B i BU-R i i Bf B B - B - B B - ( B - B ) - B B Bf - B (- β ) - [(- β ) B ] [ B (- β )] n sodss sich für den Beitrg der Beitrgsbefreiung ein, bis uf den zu befreienden Beitrg, nloges Resultt zu de in (3) ergibt. Für die Deckungskpitlien wird, it folgende Ergebnis, nlog vorgegngen: V BU-B,n [ )] β n + n- I V BU-B,n BU-B ( - )- (- B B (- β ) n + n- + n- + n- Durch diesen nstz verschwindet wie gewünscht der störende Ter (7), und die befreiten Teile, wie die lters- oder die Hinterbliebenenrente, beziehen sich nicht ehr getrennt uf die ktiven und die Invliden, sondern uf den geischten Bestnd ller Lebenden. Dit sind bei eingeschlossene BU-Schutz keine speziellen Trife ehr notwendig. Die so definierten Zustzversicherungen koen ddurch der seprierten Trifgestltung in der Lebensversicherung sehr nhe. Es entsteht drüber hinus eine Syetrie zwischen der BU-Beitrgsbefreiung und der BU-Rente, die de Ergebnis eine gewisse Elegnz verleiht, d bei der BU-Beitrgsbefreiung respektive bei der BU- Rente der Leistungsbrwert us der Differenz der Beitrgsbrwerte und der Leistungsbrwerte besteht.

16 5 3.3 Bewertung der nsätze Der nstz einer Differenzbildung zwischen eine kopkten Trif inklusive Beitrgsbefreiung bei Invlidität und de entsprechenden Trif ohne BU-Schutz ist Ziel führend, d sich it der nschließenden Uforung eine nhezu gewöhnliche BUZ-B ergibt. Dbei ht der odifizierte nstz us bschnitt 3. den klren Vorteil, dss sich die befreiten Trife, wie in der Lebensversicherung, uf den geischten Bestnd beziehen und die Unterscheidung zwischen ktiven und Invliden den BU- Zustzversicherungen vorbehlten bleibt. Beerkenswert ist für beide nsätze, dss sich die Seprierung rein lgebrisch, d.h. ohne Nutzung der inneren Struktur der zugrunde gelegten Brwerte, bewerkstelligen lässt. Ddurch ergeben sich die neuen Brwerte ls einfche Zusensetzung beknnter Grundbrwerte. Die hergeleiteten Foreln für den Beitrg und ds Deckungskpitl (für ktive sowie für Invlide), die getrennt voneinnder bestit werden, sind, wie die usgngsforeln uch, konsistent zueinnder, d ds neu bestite Deckungskpitl der knonischen Forel Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert genügt. Ddurch beschreiben sie vollständig und konsistent eine Beitrgsbefreiung, von der Policierung über die druffolgende zeitliche Entwicklung bis hin zu Leistungsfll. I Invliditätsfll wird ds Deckungskpitl, wie üblich, ufgestockt. Dieser Vorgng wird durch die Deckungskpitlforeln beschrieben. Neu ist, dss die BUZ-B bweichend von der BUZ-R klkuliert wird. Sie lssen sich i erweiterten nstz us bschnitt 3. sogr beide ls Differenz von jeweils zwei Grundbrwerten drstellen. Drüber hinus weisen beide einen vo üblichen BUZ- Leistungsbrwert us Forel () bweichenden Leistungsbrwert uf. Die durchgeführte nlyse zeigt, dss dies drn liegt, dss in der Pensionsversicherung ds BU-Risiko nicht unbhängig von den nderen Risiken in die Klkultion eingeht. Des Weiteren ergibt sich für die BUZ-B klkultorisch eine jährliche Rentenzhlweise, deren uszhlung nicht sofort, sondern zu de den BU-Leistungsfll folgenden Versicherungsjhrestg einsetzt pssend zu der klkultorisch jährlichen Beitrgszhlweise. Folglich knn i letzten Jhr der Versicherungsduer klkultorisch keine Leistung ehr fällig werden, weil klkultorisch der letzte Beitrg bereits zu Versicherungsjhresbeginn geflossen ist. Dies erklärt soit den Nulldurchgng des Deckungskpitls zu diese Zeitpunkt, wie in bbildung zu

17 6 sehen ist. Befreit wird bei der hergeleiteten BU-B der nlgebeitrg, sodss vo Kunden ein geringerer Beitrg gezhlt und vo Risikoträger eine entsprechend geringere Deckungsrückstellung gestellt werden uss. Dies gilt nicht nur klkultorisch für die nwrtschft, sondern uch für den Leistungsfll ls direkte Konsequenz der kopkten Klkultion, durch die keine Verrechnung der Inkssokosten zwischen den Teilen erfolgt. Stttdessen wird iplizit berücksichtigt, dss i Zustnd der Invlidität kein Beitrg fließt, und soit keine Inkssokosten fällig werden. Dies wird bei der Durchführung der Seprierung eplizit sichtbr. Beerkenswert ist ebenflls, dss bei Invlidität für die BUZ-B nicht die Invlidensterblichkeit zugrunde gelegt wird, sondern die geischte Sterblichkeit. Dies ist ebenflls uf die kopkte Klkultion zurückzuführen. Deckungskpitl BUZ-B i i ()*(-bet) (- )*(-β) lter bbildung : Deckungskpitlverluf einer BUZ-B it verschiedenen Leistungsbrwerten 4 Seprierung von Kopkttrifen in der Lebensversicherung Nch der Pensionsversicherung wird die Lebensversicherung behndelt, d hier, wenn uch nicht so häufig wie in der Pensionsversicherung, ebenflls Kopkttrife vorkoen. In diese Zusenhng koen zwei wesentliche spekte hinzu, die

18 7 von fchliche Interesse sind: Zu einen die Zillerung, die ls beitrgsbezogen ngenoen wird und soit den Nenner der Beitrgsgleichung odifiziert, zu nderen die bweichenden Duern. So können i llgeeinen die Beitrgsduer t, die BU-Leistungsduer l, sowie die BU-Gefhrtrgungsduer g (bei einer seprten Betrchtungsweise fällt diese it der Versicherungsduer der BUZ zusen) von der Versicherungsduer der Huptversicherung n bweichen. ufgrund der bweichenden Duern ist der Beitrgsbrwert nicht ehr der beknnte Brwert einer ktivenrente, sondern setzt sich folgenderßen zusen: * t g g + + t g g E E + g t-g + g l-g + E l + l t-l,,, für t g für g < t l für l < t n Eine weitere Änderung, die ber weniger grundsätzlich ist, ist die Berücksichtigung von vielfältigeren Kosten. Die definierenden Gleichungen für derrtige Produkte sind folgenderßen usgeprägt: B HVBU n n + γ (- ) * + ( γ γ ) * t - α t t wobei α die gezillerten bschlusskosten, α die ortistionskosten, und γ und γ die Verwltungskostensätze für die beitrgspflichtige bzw. beitrgsfreie Zeit drstellen. ls beitrgsfreie Zeit wird hierbei uch eine eventuelle Phse der Invlidität ngesehen, wie es der zugeordnete Brwert signlisiert. Die zugehörigen Deckungskpitlien luten: Deckungskpitl (beitrgspflichtig gezillert) V,n [ + γ + ( γ γ ) * ] + n- + n- + t-

19 8 n + t- Deckungskpitl nch bluf der Gefhrtrgungsduer V,n [ + γ + ( γ -γ ) ] + n- + n- + t- n + t- Deckungskpitl (Invlide) Beitrgsfrei nch bluf der Leistungsduer I V,n [ + γ ] + n- + n- Beitrgspflichtig nch bluf der Leistungsduer I V,n [ + γ + ( γ γ ) ( )] + n- + n- + t- + l- B + t- - + l- ) wobei die Deckungskpitlien jetzt it eine versehen sind, u zu signlisieren, dss sie gezillert sind. Der Leistungsbrwert ist die Sue von zwei Brwerten und. Der Brwert entspricht de Brwert der Huptversicherung, z.b. einer geischten Versicherung. Der Brwert entspricht de BUZ-R-Brwert (+ γ 4 ) R i. Die verwendete BUZ-R geht dditiv in den Trif ein, und entspricht genu der in (3) eingeführten. Sie lässt sich soit nlog de Beispiel us bschnitt 3. einfch heruslösen. Es wird gezeigt, dss trotz der in der Lebensversicherung hinzukoenden Kopliktionen, die in der Pensionsversicherung verwendeten Methoden für die Seprierung ebenso Ziel führend sind, ttsächlich ergeben sich nloge Resultte. Die nwendung des nstzes us bschnitt 3 uf die hier für die Lebensversicherung eingeführten Trife ohne BUZ-R ergibt folgende Berechnung für die BU-B: BU-B B HVBU-B HV B - B n + γ B (- ) * B (- β - α ) (- ) ( (- ) * + ( γ - γ ) * t - α t t

20 9 (- ) (- ) - ( + γ ) n + ( γ - γ ) α t - * t - α t (- ) * t n + γ + ( γ - γ ) t - α t (- ) t t t - α t (- ) (- ) n + γ - * t - ( γ - γ ) (- ) * + ( γ - γ ) t - α t t t t - α t - * t t β α ) γ γ ) (6) HV [(- - B - ( - ] (- ) * - α t t Dies ist die knonische For einer BUZ-B, d.h. der zu befreiende Beitrg ultipliziert it de Leistungsbrwert, zzgl. den Verwltungskosten ultipliziert it de Verwltungskostenbrwert, dividiert durch den üblichen Nenner: Beitrgsbrwert zzgl. Zillerung. Es ist lso trotz der höheren Kopleität, insbesondere durch die Zillerung, dennoch gelungen die Beitrgsbefreiung heruszulösen. Ds Ergebnis ist de für die Pensionsversicherung ähnlich. Die so erhltene BU-Beitrgsbefreiung befreit ebenflls den nlgebeitrg, dieser ist jetzt der Trifbeitrg bzüglich Inkssound ortistionskosten. Die spezielle Gestlt des Leistungsbrwertes ls Differenz der Beitrgsbrwerte bleibt ebenflls erhlten. Hinzugekoen sind ntürlich die Beitrgszillerung sowie die Verwltungskosten (i Invlidenzustnd), deren Bezugsgröße die Sue der Huptversicherung und nicht der zu befreiende Beitrg wie bei der BUZ-B in Forel (4) ist. Nun sind die Deckungskpitlien zu seprieren. Hier wird nlog den Foreln (5) und (6) vorgegngen: Deckungskpitl (beitrgspflichtig gezillert) V + γ + ( - ) * B ( - - ),n γ γ + n- + n- β α + t- n * + t- [ + n- + γ + n- + ( γ - γ ) + t- B HV n ( - ) ] + t-

21 HV ( B - B * ) ( γ - ) ( - ) ( - γ ) * + t- + t- + t- + t- ( - * ) + t- + t- 0 B BU-B + t- Dies entspricht der knonischen For des gezillerten Deckungskpitls des Trifs, Leistungsbrwert bzüglich Beitrgsbrwert, it de korrespondierenden gezillerten Trifjhresbeitrg. Insgest ergibt sich dit, dss it der derrt definierten BU-B, in Kobintion it der Huptversicherung, ein Vertrg entsteht, bei de der Beitrg sowie der Deckungskpitlverluf it de zugrunde gelegten Kopkttrif vollkoen übereinstien. Deckungskpitl (beitrgsfrei) Ds beitrgsfreie Deckungskpitl des Kopkttrifs entspricht in llen Konstelltionen de der entsprechenden Huptversicherung llein. Dies psst zu der Ttsche, dss eine BUZ-B bei Beitrgsfreistellung usgeschlossen wird, bzw. nch bluf der Beitrgszhlungsduer bläuft, und soit deren Deckungskpitl 0 ist. Ds bei bluf der Gefhrtrgungsduer vorhndene Deckungskpitl geht n die Huptversicherung über, wie i Folgenden gezeigt wird: Deckungskpitl nch bluf der Gefhrtrgungsduer V,n [ + γ + ( γ -γ ) ] + n- + n- + t- n + t- [ + γ + ( γ - γ ) ] + n- HV [ B (- ) - ( γ - γ )] (- ) * B (- β - α ) HV + B (- β - α ) + n- + t- + t-

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