Physik. Klassische Mechanik Teil 2. Walter Braun. Grundlagenfach Physik. NEUE SCHULE ZÜRICH Physik Mechanik Teil 2. Luft Vakuum

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1 Physik Klassische Mechanik Teil Waler Braun Luf Vakuum = Aluminiumzylinderchen = dünnwandiger Glaskörper, vollsändig verschlossen Grundlagenfach Physik Mechanik Teil Version W. Braun Seie 1 von 34

2 Inhalsverzeichnis 1 Hydrosaik Der Druck Der Kolbendruck Das hydrosaische Paradoxon Das hydrosaische Grundgesez Weierführendes zum hydrosaischen Druck Der hydrosaische Aufrieb... 9 Die Kinemaik der gleichförmigen Bewegung Or und Zei Die Geschwindigkei der gleichförmigen Bewegung Der zurückgelege Weg aus dem v--diagramm Die gleichmässig beschleunige Bewegung Die Beschleunigung Die gleichmässig beschleunige Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkei Die gleichmässig beschleunige Bewegung mi Anfangsgeschwindigkei Die gleichmässig verzögere Bewegung Der freie Fall Krummlinige Bewegungen Der horizonale Wurf Die gleichförmige Kreisbewegung Die Zenripealbeschleunigung... 9 Anhang A: Die Momenangeschwindigkei Anhang B: Die Momenanbeschleunigung Anhang C: Zusammenfassung der Kinemaik... 3 Anhang D: Der schiefe Wurf Anhang E: Deails zur Kreisbewegung Mechanik Teil Version W. Braun Seie von 34

3 1 Hydrosaik 1.1 Der Druck Geh eine Frau in Bleisifabsäzen über einen weichen Kunssoffboden, so sind nachher Abdrücke sichbar. Träg sie hingegen breie Absäze oder flache Sohlen, so hinerläss sie keine Spuren. Ob sie auf dem weichen Belag Spuren hinerläss oder nich, häng also nich bloss von ihrem Gewich ab, sondern auch von.... Das Beispiel zeig, dass es prakisch is, eine weiere physikalische Grösse einzuführen, welche die Kraf und die Grösse der Fläche, auf die die Kraf wirk, berücksichig. Definiion: p = Druck, F = Kraf, A = Fläche Der Druck is eine skalare Grösse. Druckerzeugende Kräfe sind immer Normalkräfe. Die Masseinhei ergib sich auomaisch aus der Definiion. Es is aber auch eine Druckmasseinhei im SI-Masseinheiensysem definier: Das Symbol Pa seh für Pascal. Diese Masseinhei erinner an Blaise Pascal ( ), dem wir schon im Skrip Mechanik Teil 1, Seie 4 begegne sind. Aufgabe Personenwagen auf horizonaler Srasse Ein PW wieg 100 kg. Jeder Reifen berühr den Srassenbelag mi einer Fläche von 0.0 m. Wie gross is der auf dem Srassenbelag ausgeübe Druck? - Wir nehmen an, dass das Gewich des Fahrzeugs gleichmässig auf die vier Räder vereil is. A =... m p = Mechanik Teil Version W. Braun Seie 3 von 34

4 Aufgabe 1.1.: Druck auf den Boden Ein Person ha ein Gewich von F = 700 N. a) Die Person balancier auf einem Bleisifabsaz mi A =.0 cm. Zunächs muss die Fläche in m umgeform werden: (Mi ewas Übung geh es dann auch schneller!) b) Die Person seh auf beiden Füssen mi je 175 cm Fläche: A =... cm =... m p = c) Die Person siz auf einem Suhl. Jedes Suhlbein ha eine Fläche von 5 cm. A = p = Mechanik Teil Version W. Braun Seie 4 von 34

5 1. Der Kolbendruck Is eine Flüssigkei in einem Gefäss vollsändig eingeschlossen, so kann z.b. mi einem Kolben ein Druck erzeug werden. Diesen Druck nenn man Kolbendruck. Messungen zeigen, dass der Kolbendruck am Rande und im Innern des Gefässes überall gleich gross is. Kolbendruckgesez In einem abgeschlossenen Gefäss is der Kolbendruck überall gleich gross. Die hydraulische Presse Die hydraulische Presse is eine prakische Anwendung des Kolbendruckgesezes. F 1 F A 1 A Die Figur zeig das Grundprinzip der hydraulischen Presse: Über den Sempel mi der kleinen Fläche A 1 wird eine Kraf F 1 auf die Flüssigkei ausgeüb. Dies erzeug den Druck p. Auf der andern Seie üb die Flüssigkei auf die grosse Fläche A eine Kraf F aus. Was is nun der Voreil dieses Geräes? Da der Kolbendruck überall gleich gross is, gil: F1 F. Die Gleichung zeig, dass so mi einer... Kraf F 1 eine... Kraf F erzeug werden kann. Dami die Presse 1 brauchbar is, muss zusäzlich ein Reservoir mi Venilen eingebau sein, denn auch wenn der Sempel 1 ganz nach unen gedrück wird, beweg sich der Sempel nur ganz wenig nach oben. A 1 A Eine hydraulische Presse is ein Krafwandler, vergleichbar einem Flaschenzug. Es gib also einen Preis für den Krafgewinn. Welchen? 1 Bild aus: Dorn Bader, Physik in einem Band, Schroedel, 00 Mechanik Teil Version W. Braun Seie 5 von 34

6 1.3 Das hydrosaische Paradoxon Versuch 1: Kommunizierende (verbundene) Gefässe Man beobache, dass das Wasser in allen Gefässen gleich hoch seh. - Weshalb is das ersaunlich? Versuch : Ein hisorischer Versuch von Pascal Ein mi Wasser gefülles Weinfass kann mi einem Lier Wasser zum Plazen gebrach werden! Ein langes, dünnes Rohr wird senkrech am Deckel eines Fasses nach aussen dich befesig. Das Rohr solle ewa einen Lier Wasser fassen. Zuers is das Fass mi Wasser gefüll, das Rohr is noch leer. Dann wird von oben her das Rohr gefüll. Mann beobache, dass die Fassdauben auseinandergepress werden, so dass aus den Zwischenräumen Wasser ausfliess. Was is der Grund für diese Erscheinung? Zusammenfassung der Beobachungen Befinde sich eine Flüssigkei in einem Gefäss, so erzeug ihr Gewich (zu Beispiel) am Boden des Gefässes einen Druck. Man nenn ihn Gewichsdruck oder Schweredruck. Das is weier nich ersaunlich! Nun zeigen aber die beiden Versuche noch ewas: Der Gewichsdruck is unabhängig von der Form des Gefässes (man sag auch: unabhängig von der Form der Flüssigkeissäule). Dies is ersaunlich oder erschein gar widersprüchlich. Deshalb bezeichne man dieses Naurgesez als hydrosaisches Paradoxon (Paradoxon = scheinbarer Widerspruch). Aufgabe 1.3.1: Sausee Prüfe folgende Aussage: Der Druck auf eine Saumauer is um so grösser, je länger der See is. Wahr oder falsch? Begründung? Mechanik Teil Version W. Braun Seie 6 von 34

7 1.4 Das hydrosaische Grundgesez Messung: Ein Taucher erforsch ein Unerwasserhöhlensysem Der Taucher räg an einem Arm einen Druckmesser, den er sändig beobache. Er sell fes: Gewinn er an Tiefe, so nimm der Druck proporional zu, und umgekehr. Schwimm er horizonal, so bleib der Druck gleich gross. Dreh er den Druckmesser in eine andere Sellung, so bleib der Druck unveränder. Die Auswerung der Messungen ergib: 1. Der Druck is nur von der Tauchiefe abhängig. (Dies is ja auch die Aussage des hydrosaisches Paradoxons).. Der Druck is proporional zur Tiefe. Berechnung des Gewichsdrucks Da der Gewichsdruck unabhängig von der Form der Flüssigkei is, nimm man zur Berechnung eine möglichs einfache Gefässform, z.b. einen Quader (Aquarium) oder einen Zylinder. Ha die Flüssigkei die Höhe h und die Grundfläche A, so is ihr Volumen V = A h. Ihr Gewich is F G = m g = V g = A h g. Um den Druck am Boden des Quaders zu bekommen, müssen wir das Gewich durch die Grundfläche A dividieren: FG p A A hg hg A Diese Formel gil nich nur am Boden, sondern an irgendeiner Selle mi dem Absand h von der Flüssigkeisoberfläche. Das Gesez wird als hydrosaisches Grundgesez bezeichne. Hydrosaisches Grundgesez h A V Aufgabe 1.4.1: Wasserdruck Berechne den Druck in 10 m Wasseriefe. Aufgabe 1.4.: Druck einer Quecksilbersäule Berechne den Druck einer 760 mm hohen Quecksilbersäule. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 7 von 34

8 1.5 Weierführendes zum hydrosaischen Druck Der Lufdruck In der Amosphäre gil ebenfalls das hydrosaische Grundgesez. Da aber Luf im Gegensaz zu Flüssigkeien zusammendrückbar is (= kompressibel), nimm nach oben die Diche der Luf ab. Deshalb veränder sich der Druck mi der Höhe nich linear. Bei kleinen Höhendifferenzen (einige 10 m) kann man aber näherungsweise mi einer konsanen Diche rechnen. Der Lufdruck auf Meereshöhe is ungefähr Wasser: 100'000 Pa = 100 kpa = hpa = mb d.h. ewa gleich gross wie der hydrosaische Druck einer 10 m hohen Wassersäule. Luf: Die Diche nimm nach oben ab. Der Druck nimm nich linear ab, sondern langsamer. Die Diche is konsan. Der Druck nimm linear zu. Beache die unerschiedlichen Masssäbe! p Aufgabe Wie gross is der Gesamdruck, den ein Taucher in 0 m Tiefe spür? Aufgabe 1.5.: Quecksilberbaromeer Ein einseiig geschlossenes gläsernes Rohr wird zunächs mi Quecksilber ( Hg = 13.5 kg/dm 3 ) gefüll. Dann wird es senkrech in eine mi Quecksilber gefülle Schale gesell. Dami kann man den Lufdruck messen! Was brauch man noch? Erkläre, wie dieses Baromeer funkionier. Wie hoch muss das Glasrohr mindesens sein? Versuch h Ein Glaszylinder is am uneren Ende präzise geschliffen, so dass ein passender Messingdeckel wasserdich schliess. Tauch man nun den Zylinder mi dem Mealldeckel nach unen genügend ief in Wasser ein, so kann man den Deckel loslassen. Er fäll rozdem nich auf den Zylinderboden. - Erkläre das Phänomen. (Man kann auch die minimale Einauchiefe h min berechnen, bei der der Deckel gerade noch häl.) Mechanik Teil Version W. Braun Seie 8 von 34

9 1.6 Der hydrosaische Aufrieb Versuch: Ein Meallkloz im Wasser Erklärung und Berechnung der Aufriebskraf F Ersezen wir F 1 und F durch die oben sehenden Ausdrücke und darin p mihilfe des hydrosaischen Grundgesezes, so erhalen wir: G Ein Meallquader mi einem Volumen V = 1 cm 3 ha bei normaler Gewichsmessung mi dem Krafmesser ein Gewich von 178 cn. Führ man die Messung so aus, dass der Quader ganz in Wasser eingeauch is, so zeig der Krafmesser nur noch 157 cn. Da sich das Gewich des Quaders nich geänder ha, müssen wir annehmen, dass das Wasser eine aufwärs gerichee Kraf auf den Kloz ausüb. Diese Kraf nennen wir Aufrieb oder Aufriebskraf F A. Die drei Kräfe, nämlich die Gewichskraf F G, die Halekraf F H (via Krafmesser) und dieaufriebskraf F A sind im Kräfegleichgewich: F F 0 oder F G = F H + F A H A Wir berachen einen Quader mi Grundfläche A und Höhe h, also dem Volumen V = A h. Das Wasser üb auf die Deckfläche des Quaders eine nach unen gerichee Kraf F 1 = p 1 A und auf die Grundfläche eine nach oben gerichee Kraf F = p A. Die resulierende, aufwärs zeigende Kraf FA F1 F is der Aufrieb: F A = F F 1. FA p A p1 A (p p1) A ( Fl g h Fl g h1) A Fl g (h h1) A Die Differenz der beiden Niveaus is aber die Quaderhöhe h und A h is das Volumen. Dies is das Aufriebsgesez oder Gesez von Archimedes (85 1 v. Chr.). Aufriebsgesez h 1 h h Oder in Woren als Erklärung und als Merkregel: Der Aufrieb is gleich dem Gewich der verdrängen Flüssigkei. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 9 von 34

10 Aufgabe 1.6.1: Ein Aluminiumquader is in Wasser eingeauch Ein Aluminiumquader mi einem Volumen von V = 1 cm 3 häng an einem Faden und is ganz in Wasser eingeauch (ohne den Gefässboden zu berühren). Berechne den Aufrieb und vergleiche diesen mi dem Gewich des Quaders. Aufgabe 1.6.: Ein flacher Holzkloz schwimm auf dem Wasser x Ein Holzquader ( Ho = 0.6 kg/dm 3 ) ha eine Grundfläche A = 0 cm und eine Höhe von h = 4.0 cm. Berechne die Einauchiefe x. Aufgabe 1.6.3: Ein Aluminiumquader schwimm im Quecksilberbad Unersuche, weshalb der Quader nich unergeh. - Wieviele Prozen des Aluminiumvolumens ragen aus dem Quecksilberbad heraus? Versuch: Nachweis des Lufaufriebs Luf Vakuum Mi einem einfachen Versuch läss sich der Lufaufrieb demonsrieren. Erkläre den Versuch! Folgerung: = Aluminiumzylinderchen = dünnwandiger Glaskörper, vollsändig verschlossen In der Luf erfahren alle Gegensände einen Aufrieb. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 10 von 34

11 Die Kinemaik der gleichförmigen Bewegung.1 Or und Zei Versuch: Erfassung von Or und Zei mi Soppuhr und Kilomeerzähler Ein Auo fähr während 40 Minuen auf einer schmalen, holperigen, 10 km langen Srasse. Nach einer Pause von 10 Minuen leg es auf einer Schnellsrasse 15 km in 10 Minuen zurück. - Überrage die Angaben inklusive Masseinheien in die Tabelle: Inervall Länge der Srecke Zeibedarf Nebensrasse Pause Schnellsrasse Eine bessere Vorsellung des ganzen Ablaufs erhalen wir durch die Einführung von Koordinaen und einer grafischen Darsellung. Bezeichnungen: Fülle die Tabelle aus! Grösse Koordinae Inervall Or s s Zei seh für Differenz. s wird als ein Symbol berache. Ebenso. n s/km /Min Ors-Zei-Diagramm (s--diagramm) s / km 5 km ˆ 1 cm 5 Min ˆ 1 cm / Min Mechanik Teil Version W. Braun Seie 11 von 34

12 . Die Geschwindigkei der gleichförmigen Bewegung Is bei einer Bewegung die Geschwindigkei konsan, so heiss die Bewegung gleichförmig. Für gleichförmige Bewegungen genüg of die Formel s v Lös man diese Formel nach s auf so gib das s v. s is also eine lineare Funkion von. Im s--diagramm zeig sich eine Gerade: Je seiler die Gerade, deso... die Geschwindigkei. Da die Geschwindigkei auch als Funkion der Zei berache werden kann, verwende man auch Geschwindigkeis- Zei-Diagramme (v--diagramme). Bei einer gleichförmigen Bewegung zeig das v-- Diagramm eine horizonale Gerade. Manchmal beseh ein Bewegungsablauf aus mehreren Phasen mi jeweils konsanen Geschwindigkeien. Dann brauch man eine ewas modifiziere Formel für die Berechnung der Geschwindigkei einer ausgewählen Phase: s 0 s / m v / / s / s v s s s1 1 Seigungsdreieck Aufgabe..1 s / km Auswerung des Versuchs von Kapiel.1: Berechne die Geschwindigkeien für jede der drei Phasen in km/h (Tabelle) und zeichne die beiden Diagramme. / h v / / h Mechanik Teil Version W. Braun Seie 1 von 34

13 Beseh ein Ablauf aus mehreren Phasen oder die Geschwindigkei is überhaup nich konsan, so kann es nüzlich sein, die milere Geschwindigkei (Durchschnisgeschwindigkei) zu berechnen. Milere Geschwindigkei in einem Inervall : (Beache, dass diese Formel gleich aussieh wie die gerade vorher besprochene.) Aufgabe.. Forsezung der Auswerung: Berechne die milere Geschwindigkei über die ganze Zei. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 13 von 34

14 .3 Der zurückgelege Weg aus dem v--diagramm Vergleich: Schnell und langsam Eine Srecke von 100 m wird einmal in 10 s, ein anderes Mal in 0 s zurückgeleg. Wir vergleichen die v--diagramme der beiden Bewegungen. Schraffiere die Flächen uner den v-- Kurven : v / v / / s 10 0 / s m m s v s 100 m s v 5 0 s 100 m s s Die beiden schraffieren Flächen sind gleich gross. Sie sellen den zurückgelegen Weg von 100 m dar. Die Fläche uner der v--kurve gib die Länge des zurückgelegen Weges an. Aufgabe.3.1: Bewegung mi ungleichförmiger und gleichförmiger Phase v / 10 5 Beschrife im Diagramm die beiden Phasen. Schraffiere dann die Teilflächen in zwei verschiedenen Farben und berechne dann ihre Flächen. s 1 = 10 0 / s s = s = s 1 + s = v Diese Regel gil in jedem Fall, nich nur bei konsanen Geschwindigkeien. s Mechanik Teil Version W. Braun Seie 14 von 34

15 3 Die gleichmässig beschleunige Bewegung 3.1 Die Beschleunigung Jez berachen wir Bewegungen, bei denen sich die Geschwindigkei veränder. Solche Bewegungen sind beschleunig oder verzöger (was man of auch mi beschleunig bezeichne). Aufgabe 3.1.1: Ein Auo beschleunig in 0 s von 0 auf 100 km/h. Beschrife den Tachomeer! 0 s 5 s 10 s 15 s 0 s Im einfachsen Fall nimm die Geschwindigkei proporional mi der Zei zu: v v Als Mass für die Beschleunigung nimm man die Zunahme der Geschwindigkei pro Zeieinhei. Diese Grösse nenn man Beschleunigung: a v Aus der Masseinheienrechnung erhäl man: Aufgabe 3.1.: Ein Auo beschleunig in 1 Sekunden aus dem Sand auf 30 m/s (= 108 km/h). Berechne die Beschleunigung. Aufgabe 3.1.3: Ein Moorrad beschleunig aus dem Sand während 3 s mi 6 m/s. Berechne die Endgeschwindigkei. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 15 von 34

16 Bewegung mi mehreren Phasen oder mi Anfangsgeschwindigkei Die Beschleunigung wird über das Seigungsdreieck definier. v Seigungsdreieck Aufgabe 3.1.4: Ein PW fähr mi 0 m/s (= 7 km/h). Nun wird er während 5.0 s auf 30 m/s (= 108 km/h) beschleunig. Zeichne zuers das v--diagramm und berechne dann die Beschleunigung und die Länge des zurückgelegen Weges. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 16 von 34

17 3. Die gleichmässig beschleunige Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkei Wir berachen diese Bewegung über die Zei. Die Anfangsgeschwindigkei v 0 = 0 müssen wir nich weier berachen. Die Endgeschwindigkei wird mi v bezeichne. Daraus läss sich die Beschleunigung ableien: Nun lösen wir diese Gleichung nach v auf: So gesehen, is die Geschwindigkei eine lineare Funkion der Zei, hier sogar eine Proporionaliä. v v s Der zurückgelege Weg is gleich der Fläche uner der Kurve, hier also gleich der Dreiecksfläche: Zusammengefass also: Aufgabe 3..1: Ein Kloz gleie reibungsfrei eine schwach geneige schiefe Ebene hinuner. Die Beschleunigung beräg.0 ms -. (Dies is bei einem Neigungswinkel von ewa 11 der Fall.) Nach dem Loslassen beobache man die Bewegung während 1.4 s. Wie gross is die Endgeschwindigkei (bezogen auf die Beobachungszei) und wie lang is die zurückgelege Wegsrecke? Mechanik Teil Version W. Braun Seie 17 von 34

18 Aufgabe 3..: Die Bewegung der Aufgabe 3..1 soll nun ewas deaillierer unersuch werden: Wir sellen uns vor, dass der Versuch in einer Dunkelkammer ausgeführ wird und dass eine Sroboskoplampe alle 0.0 s einen Lichbliz aussende, naürlich synchronisier mi dem Sar des Klozes. Die ganze Bewegung wird in einem foografischen Bild fesgehalen. - Wir berechnen zuers die Tabellenwere: / s s / m Die s-were werden nun in der Figur eingeragen: Die Bewegung soll nun noch in einem s--diagramm dargesell werden. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 18 von 34

19 Aufgabe 3..3: Bei einer ewas anderen Neigung leg der Kloz 1.80 m zurück. Die Beschleunigung beräg.3 m/s. Berechne die Endgeschwindigkei. Bei dieser Aufgabe ineressier man sich nich für die Zei. Diesen Umsand können wir ausnüzen: Wir lösen die Gleichung nach auf: und sezen diesen Term in der Gleichung für s ein: Diese "zeifreie" Bewegunggleichung sell man meis so dar, dass links v seh: Aufgabe 3..4: Löse die obige Aufgabe nochmals, indem du die neue Formel verwendes. Aufgabe 3..5: Eine Pisolenkugel erreich am Ende des 15 cm langen Laufs eine Geschwindigkei von 300 m/s. Wie gross is die (milere) Beschleunigung? Mechanik Teil Version W. Braun Seie 19 von 34

20 3.3 Die gleichmässig beschleunige Bewegung mi Anfangsgeschwindigkei Wir berachen diese Bewegung über die Zei. Die Anfangsgeschwindigkei v 0 müssen wir jez auch berachen. Die Endgeschwindigkei wird mi v bezeichne. Daraus läss sich die Beschleunigung ableien: Nun lösen wir diese Gleichung nach v auf: Die Geschwindigkei is eine lineare Funkion der Zei. v v v 0 s Die Fläche uner der Geraden is eine Trapezfläche. Nach der Trapezflächenformel gil für s: Diese Gleichung können wir umformen, indem wir v ersezen: Zusammengefass: Aufgabe 3.3.1: Ein Güerzug beschleunig von 10 m/s während 40 s auf 30 m/s. Welchen Weg leg er dabei zurück? Mechanik Teil Version W. Braun Seie 0 von 34

21 Die zeifreie Gleichung laue in diesem Fall: Aufgabe 3.3.: Ein PW durchfähr beim Beschleunigen von von 80 km/h auf 10 km/h eine Srecke von 110 m. Berechne die Beschleunigung. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 1 von 34

22 3.4 Die gleichmässig verzögere Bewegung Bei Bremsvorgängen nimm die Geschwindigkei ab, die Bewegung is verzöger. Rechnerisch arbeie man mi einer negaiven Beschleunigung. v / 0 Ein LKW brems innerhalb von 8 s von 0 m/s zum Sillsand ab. Wir berechnen die Beschleunigung. Hier is die Endgschwindigkei offenbar 0. Wir sezen in die bekanne Formel ein: Offenbar komm das das Vorzeichen auomaisch richig heraus, nämlich negaiv. Bei gleichmässig verzögeren Bewegungen verwenden wir die gleichen Formeln wie bei gleichmässig beschleunigen Bewegungen mi Anfangsgeschwindigkei. Aufgabe 3.4.1: 8 / s Ein PW fähr mi 30 m/s. Der Fahrer erblick plözlich eine Gefahr. Nach einer Schrecksekunde führ er eine Vollbremsung durch. Bis zum Sillsand des Fahrzeugs dauer es weiere 6 s. Berechne die Länge des Anhalewegs. Der Anhaleweg s sez sich zusammen aus dem Reakionsweg s 1 und dem Bremsweg s : 1 = 1 s = 6 s 0 = 0 s 1 = s = s Reakionsweg s 1 gleichförmige Bewegung Bremsweg s gleichmässig verzögere Bewegung v / 30 / s Mechanik Teil Version W. Braun Seie von 34

23 3.5 Der freie Fall Versuch 1: Fallversuche Eine Sahlkugel und eine Vogelfeder sind in einem Glasrohr eingeschlossen. - Beschreibe die Versuche, wie sie nebensehend abgebilde sind Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell. Dies nenn man freien Fall. Versuch : Sroboskop-Aufnahme einer frei fallenden Kugel Freie Fallbewegungen verlaufen so schnell, dass wir dem fallenden Körper kaum mi den Augen folgen können, geschweige denn, die Ar der Bewegung erfassen können. Das Bild links zeig eine fallende Kugel in Zeiinervallen von 1/30 Sekunde. Der Masssab is in cm geeich. Aus den immer werdenden Absänden schliessen wir, dass die Geschwindigkei ses. Eine genauere Analyse zeig, dass die Bewegung gleichmässig beschleunig is. Frei fallende Körper führen eine gleichmmässig beschleunige Bewegung aus. Man bezeichne die Beschleunigung beim freien Fall als Schwerebeschleunigung oder als Fallbeschleunigung und verwende meisens das Symbol g. Die Bezeichnung frei bedeue hier, dass der Lufwidersand vernachlässig werden kann. Bei uns ergib die Messung der Schwerebeschleunigung den Wer 9.81 m/s. Die Schwerebeschleunigung häng ein wenig vom vom Or ab: am Äquaor miss man 9.78 m/s, am Nordpol 9.83 m/s. Auf dem Mond is sie 1.6 m/s, also ca... kleiner als bei uns. Bilder: Sexl e al., Physik 1, Sauerländer 1996; Kurshemen Physik, Dieserweg 1995 Mechanik Teil Version W. Braun Seie 3 von 34

24 Berechnungen des freien Falls Wir verwenden die Formeln der gleichmässig beschleunigen Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkei. Dabei ersezen wir s durch h und a durch g: Aufgabe 3.5.1: Ein runder Sein wird aus einer Höhe h über dem Boden fallen gelassen. Genau 1.0 s späer schläg er auf dem Boden auf. Berechne die Fallhöhe h und die Aufprallgeschwindigkei v. Aufgabe 3.5.: Wie hoch über dem Boden muss eine Sahlkugel fallen gelassen werden, dami sie mi einer Geschwindigkei von 0 m/s aufprall? Hinweis: Wird eine Sahlkugel verikal nach oben geworfen (= senkrecher Wurf), so seig sie gleichmässig verzöger bis zum Umkehrpunk und fäll dann gleichmässig beschleunig bis zum Aufprall. - Bei dieser Aufgabe und ähnlichen finden Bewegungen in beiden Richungen sa. Um Berechnungsaufgaben durchführen zu können führ man am Besen eine verikale, aufwärsgerichee z-koordinaenachse ein. Geschwindigkeien und Beschleunigungen sind dann posiiv oder negaiv. - Das sparen wir uns noch ewas auf! Mechanik Teil Version W. Braun Seie 4 von 34

25 4 Krummlinige Bewegungen 4.1 Der horizonale Wurf Versuch 1: Ein Ball roll über eine Tischplae hinaus Wir lassen einen Ball über eine horizonale Tischplae hinaus rollen und beobachen, was nach der Tischkane passier. Zeichne die Bahn qualiaiv richig. - Was is es für eine Kurve? Diese Bewegung nenn man horizonalen Wurf, weil die Anfangsgeschwindigkei horizonal is. Versuch : Vergleich eines horizonalen Wurfs mi dem freien Fall In einem Laborraum oder Schulzimmer is eine Federkanone (F) nahe bei der Decke befesig. Dami läss sich eine Sahlkugel wegschiessen. Man kann verschiedene Anfangsgeschwindigkeien erzeugen. Bei der Mündung is ein Auslöser (A) angebrach. Wenn die Kugel das Rohr verläss, beäig der Auslöser einen Schaler. Über ein elekrisches Kabel (K) wird dami die Sromzufuhr für den Halemagneen (M) unerbrochen. Dabei beginn die Zielscheibe (Z) ihren freien Fall. Vor Versuchsbeginn muss die Einrichung gu jusier werden, so dass die Zielgerade (G) wirklich horizonal is. - Beschrife alle Objeke in der Figur. Bei jedem Versuch riff die Sahlkugel die frei fallende Zielscheibe, und zwar unabhängig von der Anfangsgeschwindigkei der Kugel. Die Beobachung bring uns auf die folgende Idee: Der horizonale Wurf läss sich aus zwei unabhängigen Einzelbewegungen zusammensezen, nämlich: eine horizonale gleichförmige Bewegung und eine verikale gleichmässig beschleunige Bewegung (freier Fall) Mi dieser Erkennnis kann die Flugbahn berechne werden. Für die horizonale bzw. verikale Richung gelen die Gleichungen: Mechanik Teil Version W. Braun Seie 5 von 34

26 Beache, dass hier die y-koordinaenachse abwärs geriche is. - Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssysem, aus dem die Zei eliminier werden kann. So enseh die Gleichung also "y = eine Zahl mal x im Quadra". Dies is aber die Gleichung einer Parabel. - Dabei is naürlich vorausgesez, dass der Lufwidersand vernachlässigbar is Was sagen die auf der Flugbahn gezeichneen Kreislein aus? - Wir kommen zur Einsich: Der Geschwindigkeisvekor lieg ses angenial zur Bahn. Dies gil übrigens für alle krummlinigen Bahnen. Beim horizonalen Wurf läss sich dieser Vekor leich besimmen! Horizonale Komponene: Verikale Komponene: Berag der Bahngeschwindigkei nach Pyhagoras: Hinweis: Die Bahngeschwindigkei kann man auch mi dem Energieerhalungssaz berechnen. Siehe Skrip "Klassische Mechanik Teil 3". Mechanik Teil Version W. Braun Seie 6 von 34

27 4. Die gleichförmige Kreisbewegung Bei vielen Pw's is neben dem Tachomeer (für die Messung der Momenangeschwindigkei) auch ein Drehzahmesser eingebau. Als Masseinhei is RPM angegeben. Was bedeue es, wenn der Zeiger bei 3000 RPM seh?... In der Physik wird "Anzahl" grundsäzlich nich in die Masseinhei genommen, also auch nich "Anzahl Umdrehungen pro Minue", sondern man schreib einfach Allerdings sind Minuen keine SI-Masseinhei. Deshalb geh man meis zu den Sekunden über: Diese Angabe sell die Drehzahl oder Frequenz dar. Dafür nimm man meis das Symbol f. Für die Masseinhei verwende man of auch das "Herz", abgekürz Hz. Dies is naürlich auch keine SI-Masseinhei, aber doch wei verbreie. Im Beispiel also Dami is die Umlaufzei oder bei Schwingungen die Periodendauer direk verknüpf: Aufgabe 4..1: Berechne die Umlaufzei für das obige Beispiel. Gib das Resula sowohl in s als auch in ms an. Anselle der Drehzahl oder Frequenz verwende man of auch die Winkelgeschwindigkei. Aber Achung: Hier is vorausgesez, dass man den Winkel im Bogenmass miss. Der volle Winkel im Bogenmass is bekannlich. Der volle Winkel dividier durch die Umlaufzei ergib die Winkelgeschwindigkei: Aufgabe 4..: Berechne die Winkelgeschwindigkei für das obige Beispiel. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 7 von 34

28 Bei der Winkelgeschwindigkei is nich berücksichig, ob das berachee Teilchen nahe am Roaionszenrum is oder wei weg. Aus Erfahrung wissen wir, dass die "Geschwindigkei" um so grösser is, je weier aussen der roiere Gegensand is. Das wird durch die Bahngeschwindigkei berücksichig. r v v 1 Der Vekor der Bahngeschwindigkei is, wie wir schon wissen, ses angenial zur Bahn. Bei einer Kreisbewegung seh der Geschwindigkeisvekor senkrech zum Berührungsradius. Der Geschwindigkeisvekor v änder in jedem Momen seine Richung. Wir unerscheiden zum Beispiel v 1 und v. Der Berag v is bei einer gleichförmigen Kreisbewegung aber immer gleich gross: v 1 = v = v Die Umlaufzei T is die Zei, die ein Teilchen für eine Umrundung des ganzen Kreises benöig. Mi der einfachen Geschwindigkeisdefiniion "Weg durch Zei" erhäl man Zusammen gefass is der Zusammenhang zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkei: Eine ewas andere Herleiung is im Anhang E. Aufgabe 4..3: Ein Sein wird an einer 0.60 m langen Schnur auf einer horizonalen Kreisbahn herumgschleuder. Pro Sekunde mach der Sein genau drei ganze Umdrehungen. a) Berechne zuers die Winkelgeschwindigkei und daraus die Bahngeschwindigkei. b) Konrolliere das Resula, indem du den gesamen zurückgelegen Weg durch die gesame Zei dividiers. Mechanik Teil Version W. Braun Seie 8 von 34

29 4.3 Die Zenripealbeschleunigung Beschleunigungen reen nich nur dann auf, wenn der Berag der Geschwindigkei änder, sondern auch bei Änderungen der Richung, weil sich der Geschwindigkeisvekor ja in jedem Momen änder. Dies gil naürlich ganz besonder für die Kreisbewegung. a z Beache: Bei masssäblicher Darsellung benöigen die beiden Vekorgrössen unerschiedliche Masssäbe! v Da der Geschwindigkeisvekor dem Kreis enlang gezwungen werden muss, kann man sich gu vorsellen, dass der Beschleunigungsvekor zum Zenrum zeig. Der Beweis is im Anhang E zu finden. Bei einer Kreisbewegung ri eine zum Zenrum gerichee Beschleunigung auf. Man nenn sie Zenripealbeschleunigung a z. Für ihren Berag gil: Aufgabe 4.3.1: Ein Auo befähr eine Kurve mi einem Radius von 0 m mi einer Geschwindigkei von 15 m/s. Berechne die Zenripealbeschleunigung. Aufgabe 4.3.: Eine Schraube einer schnell roierenden Maschine umkreis das Zenrum in nur 10 ms. Die Schraube is 3.5 cm vom Zenrum enfern. Wie gross is die Zenripealbeschleunigung? Mechanik Teil Version W. Braun Seie 9 von 34

30 Anhang A: Die Momenangeschwindigkei Bei einer ungleichförmigen Bewegung änder die Geschwindigkei in jedem Momen. Deshalb ha man noch den Begriff Momenangeschwindigkei eingeführ. Sie wird beispielsweise mi dem Tachomeer gemessen. Ihre mahemaische Definiion kann auf dieser Sufe nur der Spur nach erklär werden. Sie läss sich aber im s--diagramm leich veranschaulichen. Anschauliche Definiion der Momenangeschwindigkei Die Momenangeschwindigkei is gleich der Tangenenseigung im s--diagramm. s Tangene Rechnerisch kann das mi dem Grenzwer oder Limes durchgeführ werden: s v lim 0 Die milere Geschwindigkei während der Zei in diesem Fall gleich der Seigung einer Sehne (oder Sekane) im s--diagramm: s Rechnerisch is das v s s s 1 1 Mechanik Teil Version W. Braun Seie 30 von 34

31 Anhang B: Die Momenanbeschleunigung Is die Beschleunigung a nich konsan, sondern eine Funkion der Zei, so kann sie aus dem zeilichen Verlauf der Geschwindigkei besimm werden. Anschauliche Definiion der Momenanbeschleunigung Die Momenanbeschleunigung is gleich der Tangenenseigung im v--diagramm. v Tangene Rechnerisch kann das mi dem Grenzwer oder Limes durchgeführ werden: v a lim 0 Die milere Beschleunigung während der Zei in diesem Fall gleich der Seigung einer Sehne (oder Sekane) im v--diagramm: v Rechnerisch is das a v v v 1 1 Mechanik Teil Version W. Braun Seie 31 von 34

32 Anhang C: Zusammenfassung der Kinemaik Die gleichförmige Bewegung Die gleichmässig beschleunige Bewegung Das Geschwindigkeis-Zei-Diagramm v s Die Seigung der Tangene an die v()-kurve is gleich der Momenanbeschleunigung zu diesem Zeipunk. Die Fläche uner einem v()-kurvensück is gleich der in dieser Zei zurückgelegen Wegsrecke. Ungleichmässig beschleunige Bewegungen Viele Bewegungen dieser Ar unerliegen keinem besimmen Gesez. Es gib aber auch bekanne Bewegungen, bei denen die Beschleunigung sich ses veränder. Ein Beispiel is die harmonische Schwingungsbewegung eines Federpendels: Mechanik Teil Version W. Braun Seie 3 von 34

33 y [m] NEUE SCHULE ZÜRICH Physik Mechanik Teil Anhang D: Der schiefe Wurf y v 0 0 Die Zeigleichungen sind: Anfangsgeschwindigkei mi Elevaionswinkel 0 : v 0x v 0 cos v 0 v 0y v 0 sin Wie beim horizonalen Wurf sez sich die Bewegung aus einer horizonalen gleichförmigen und einer verikalen gleichmässig beschleunigen Bewegung zusammen. Die Verikalbewegung beseh aus einer Seig- und einer Fallphase. Richung Beschleunigung Geschwindigkei Or horizonal a x 0 v x v 0 cos 0 x v 0 cos 0 m verikal a y g 10 v v sin g y 0 0 s g Bahngleichung y x an 0 x v cos x y v 0 sin 0 g Wurfweie x W x W v 0 sin g 0 v 0 sin g 0 cos 0 Wurfdauer W W v 0 sin g 0 Maximale Seighöhe y max y max v 0 sin g 0 Grösse Wurfweie: für = 45 : x W v 0 g x [m] Mechanik Teil Version W. Braun Seie 33 von 34

34 Anhang E: Deails zur Kreisbewegung r v b v 1 Leg ein Teilchen die Bogenlänge b zurück, so übersreich der Radius den Winkel. Hier sind die Winkel jeweils im Bogenmass angegeben. Der Zusammenhang zwischen Bogenlänge und Winkel laue dann. Wird die Bogenlänge in der Zei zurückgeleg so kann man diese Gleichung durch eilen: Der Quoien is aber gleich dem Berag der Bahngeschwindigkei, is gleich der Winkelgeschwindigkei. Dami haben wir eine ander Herleing für die Formel Die Formel für die Zenripealbeschleunigung soll im Folgenden hergeleie werden: Man wähl ein kleines Zeiinervall, dami auch der übersrichene Winkel klein is. (In der Zeichnung is aus Gründen der Lesbarkei rozdem rech gross gezeichne.) Dami läss sich im Bahndiagramm (Figur links) der Bogen b durch die beinahe gleich lange Sehne (gesrichel) ersezen. Nun verschieb man die beiden Geschwindigkeisvekoren sam Berührungsradien in eine Hilfsfigur (Geschwindigkeisdiagramm, rechs). Da das Vekordreieck in der Hilfsfigur gleichschenklig is, is a z parallel zur Winkelhalbierenden (punkier) und zeig deshalb in der Richung des Zenrums. Die Dreiecke in den beiden Diagrammen sind b v ähnlich. Deshalb is. Indem man die Gleichung durch dividier, umordne und r v Grössen ersez nach b v und v a z, erhäl man die obige Formel. v a z v 1 milerer Radius während v v v 1 Bahndiagramm Geschwindigkeisdiagramm Mechanik Teil Version W. Braun Seie 34 von 34