V7 Strömungsmechanik, Kreislaufmodell

Transkript

1 V7 Strömungsmechanik, Kreislaufmodell In der Physiologie des Blutkreislaufs spielen die Funktionen des Gefäßsystems eine sehr wesentliche Rolle. Zu deren Verständnis sind Kenntnisse der physikalischen Gesetzmäßigkeiten für strömende Flüssigkeiten erforderlich. In diesem Versuch soll anhand eines vereinfachten Kreislaufmodells die Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit von der Druckdifferenz und dem Strömungswiderstand sowie der Einfluss der Zähigkeit (Viskosität) einer Flüssigkeit veranschaulicht werden. Weiterhin wird das Zusammenwirken von verschiedenen Strömungswiderständen in verzweigten Rohrsystemen untersucht. 1. Theoretische Grundlagen 1.1. Druck in einer Flüssigkeit; Kolbendruck Ein Gefäß mit einer Flüssigkeit ist mit einem Kolben abgeschlossen. Auf den Kolben wird senkrecht zu seiner Fläche A eine Kraft vom Betrag F ausgeübt, Abb.1.1. Der Quotient aus dem Betrag der Kraft und der Fläche wird als Druck p bezeichnet, genauer als Kolbendruck: F p (1.1) A Da nur der Betrag der Kraft eingeht, ist der Druck eine skalare Größe. Die Einheit des Drucks ist Newton 1 1 Pascal 1 Pa. (1.2) 2 Meter Abb.1.1. Zum Kolben- druck einer Flüssigkeit V 7.1

2 Sieht man von der Wirkung des Gewichts der Flüssigkeit ab, gilt für den Druck in der Flüssigkeit: Er ist überall im Gefäß gleich groß und wirkt nach allen Seiten. Dieses ist eine Folge der freien Beweglichkeit der Flüssigkeitsmoleküle gegeneinander. Der Druck in der Flüssigkeit bewirkt Druckkräfte senkrecht zu den Gefäßwänden. Die Druckeinheit 1 Pascal ist eine ziemlich kleine Einheit. Daher sind daneben dezimale Vielfache des Pascal als Druckeinheit gebräuchlich: 1 Hektopascal = 1 hpa = 100 Pa oder entsprechend der typische Druck der Atmosphäre 1 bar = 1000 mbar = 1000 hpa 1.2. Druck in einer Flüssigkeit; Schweredruck Auch ohne die äußere Kraft auf den Kolben herrscht in einer Flüssigkeit ein Druck: Er rührt vom Gewicht der Flüssigkeit her und wird als Schweredruck oder hydrostatischer Druck bezeichnet. Wir betrachten das linke Gefäß in Abb.1.2. mit einem konstanten Querschnitt A, das bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit der Dichtegefüllt ist. Die Masse m der Flüssigkeit ist m = V, worin V das Gefäßvolumen, V = h A, ist: m = h A. (1.4) Auf den Gefäßboden wirkt die Gewichtskraft G der Flüssigkeitsmasse m: g ist die Schwerebeschleunigung, g = 9,81 m/s 2. G = m g = g h A. (1.5) Abb.1.2. Zum Schweredruck in einer Flüssigkeit. Die beiden rechten Gefäße illustrieren das sog. hydrostatische Paradoxon, d.h. die Unabhängigkeit des Schweredrucks von der Gefäßform: In allen drei Gefäßen beträgt der Schweredruck am Boden p = g h. Der Druck auf die Bodenfläche ist dann nach Gl.(1.1) G p g h (1.6) A V 7.2

3 Gl.(1.6) beschreibt den Schweredruck. Er hängt nur von der Höhe h der Flüssigkeitssäule, nicht aber von ihrem Querschnitt A ab. Außerdem ist er proportional zur Flüssigkeitsdichte. Weitere Überlegungen zeigen, dass der Schweredruck auch in Gefäßen mit nicht konstantem Querschnitt nur von der Höhe der Flüssigkeit abhängt: sog. hydrostatisches Paradoxon, Abb.1.2. In der Tiefe h' unter der Flüssigkeitsoberfläche ist der Schweredruck entsprechend. g. h'. Wie der Kolbendruck ist auch der Schweredruck allseitig. Er wirkt nicht nur auf die Gefäßwände, sondern auch von allen Seiten auf jedes Volumenelement innerhalb der Flüssigkeit. dass der Schweredruck mit zunehmender Tiefe größer wird, führt zum Auftrieb, den ein in die Flüssigkeit eintauchender ausgedehnter Körper erfährt. Es gibt - wenn auch nicht mehr gesetzlich zugelassen - eine auf Quecksilber bezogene Druckeinheit. Quecksilber hat von allen bei Normaltemperaturen flüssigen Stoffen die größte Dichte und wird daher häufig in Manometern verwendet. In Abb ist das Prinzip eines offenen Quecksilbermanometers, wie es z. B. zur Blutdruckmessung verwendet wird, dargestellt. Es besteht aus einem u-förmig gebogenem Glasrohr, das mit Quecksilber gefüllt ist. Durch die zwischen den beiden Rohrenden bestehende Druckdifferenz p stellt sich eine entsprechende Höhendifferenz der Flüssigkeitsmenisken h ein, aus der sich p gemäß Gl.(1.6) ableiten lässt: p ρhg g h (1.7) Abb.1.3. Mit Hg Zusammenhang: Offenes Flüssigkeitsmanometer = 13, kg/m 3 erhält man den 1 mm Quecksilbersäule = 1 mm Hg = 1 Torr = 133,3 Pascal. (1.8) Die Aussage, der Blutdruck eines Menschen sei 150 zu 90, ist eine Abkürzung dafür, dass der systolische Druck 150 mm Hg und der diastolische Druck 90 mm Hg beträgt, entsprechend 200 hpa und 120 hpa. V 7.3

4 1.3. Die innere Reibung in Flüssigkeiten In Abb.1.4. wird eine dünne ebene Platte mit der Geschwindigkeit v durch eine Flüssigkeit bewegt. Infolge molekularer Kräfte haften die Flüssigkeitsmoleküle an beiden Seiten der Platte. Sie nehmen an der Bewegung der Platte teil und üben nun ihrerseits auf die angrenzenden Flüssigkeitsschichten Kräfte aus, so dass diese ebenfalls mitbewegt werden, wenn auch nicht mehr mit der vollen Geschwindigkeit der Platte. Diese Mitnahme benachbarter Flüssigkeitsschichten mit abnehmender Geschwindigkeit setzt sich fort, bis die Flüssigkeit in einem Abstand D von der Platte ab in Ruhe bleibt. Abb.1.4. Mitbewegung der Flüssigkeit in der Grenzschicht um eine bewegte Platte. Die Pfeile stellen die Vektoren der Geschwindigkeit in den einzelnen Flüssigkeitsschichten dar. Die Größe D heißt Grenzschichtdicke. Außerhalb der Grenzschicht hat Bewegung der Platte keinen Einfluss mehr auf die Flüssigkeit. D hängt von der Geschwindigkeit der Platte ab und von einer Eigenschaft der Flüssigkeit, die durch diese Beobachtung als Zähigkeit definiert wird. In sehr zähen Flüssigkeiten kann D Werte von einigen Zentimetern haben. Man kann das Experiment von Abb.1.4. qualitativ mit einem Löffel in einem Glas Honig durchführen. Der Vorgang in Abb.1.4., bei dem bewegte Flüssigkeitsschichten ihre Geschwindigkeit teilweise auf Nachbarschichten übertragen, so dass die einzelnen Schichten mit leicht verschiedenen Geschwindigkeiten aneinander vorbeigleiten, bezeichnet man als innere Reibung. Typisch für diesen Vorgang ist die Ausbildung eines Geschwindigkeitsgefälles senkrecht zur Fortbewegungsrichtung. Innere Reibung heißt es im Gegensatz zur äußeren Reibung zweier gegeneinander bewegter fester Körper. Um eine Stoffkonstante zu finden, durch die man die innere Reibung in einer Flüssigkeit quantitativ beschreiben kann, führen wir folgendes Experiment durch, dazu Abb.1.5.: Zwischen zwei ebenen Platten Pl 1 und Pl 2, deren Abstand 2 x voneinander kleiner sein soll als die doppelte Grenzschichtdicke 2 D, befindet sich die zu untersuchende Flüssigkeit. Wenn man in der Mitte zwischen Pl 1 und Pl 2 eine dünne Platte mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegen will, muss man eine Kraft F aufwenden. V 7.4

5 Abb.1.5. Zur Definition der Zähigkeit einer Flüssigkeit Messungen der Kraft F in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v, der Plattenoberfläche A (Summe der Flächen von Unter- und Oberseite) und dem Abstand 2 x der Begrenzungsplatten ergeben folgende Zusammenhänge: Die erforderliche Kraft ist Geschwindigkeit v und der Plattenfläche A direkt und dem Abstand x zwischen bewegter und fester Platte umgekehrt proportional, also: v F ~ A (1.9) x Aus der Beziehung (1.9) wird durch Einführung einer Proportionalitätskonstanten eine Gleichung: v F A (1.10) x Die Konstante (kleines griechische Eta) ist eine für die Flüssigkeit charakteristische Stoffkonstante. Sie heißt Koeffizient der inneren Reibung oder (dynamische) Zähigkeit oder (dynamische) Viskosität der Flüssigkeit. Die Einheit von erhält man, indem man Gl.(1.10) nach auflöst: F A x v (1.10a) Der Quotient F/A ist ein Druck, x/v eine Zeit. Demnach ist die Einheit der Zähigkeit : 1 Pascalsekunde = 1 kg / m. s. (1.11) (In älteren Tabellen findet man noch die Einheit Poise: 1 Poise = 1 P = 0,1 Pa s = 0,1 kg / m. s ) Die Zähigkeit ist eine Stoffkonstante, die mit steigender Temperatur abnimmt. Blut ist dagegen wegen seiner Zusammensetzung aus Plasma und Hämatokrit eine heterogene Flüssigkeit. Es weist je nach Zahl der Erythrozyten eine Zähigkeit von bis kg/m s auf. Einige Werte von für Blut und andere Flüssigkeiten sind in der folgenden Tabelle angegeben. V 7.5

6 Stoff Temperatur [ o Celsius ] [Pa s] = [kg/m s] Glyzerin 0 12,1 20 1,49 Wasser 0 1, , Blut Äthanol 20 1, Äther 20 0, Laminare Strömung; Gesetz von HAGEN-POISEUILLE Eine Strömung, in der die Geschwindigkeitsverhältnisse benachbarter Flüssigkeitsschichten überwiegend durch innere Reibung bestimmt sind, heißt glatt oder schlicht oder laminar (lamina = dünne Platte). Um eine solche Strömung mit zeitlich konstanter mittlerer Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten, muss man gegen die innere Reibung Kraft aufwenden. Ein wichtiges Beispiel für eine laminare Strömung ist die Bewegung einer Flüssigkeit durch ein Rohr. Die Strömung wird aufrechterhalten durch einen Druckunterschied p = p 1 - p 2 zwischen den beiden Enden des Rohres. Wir betrachten ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt, Radius r, von der Länge l. Als Stromstärke j der Strömung definieren wir durch einen Rohrquerschnitt in der Zeit t durchfließendes Volumen V j Durchflußzeit t gemessen in m 3 /s oder cm 3 /s. V j, (1.12) t Es besteht folgender Zusammenhang zwischen der Volumenstromstärke j und der mittleren Geschwindigkeit v der Flüssigkeit, dazu Abb.1.6.: In der Zeit t = t 1 t 2 bewegt sich ein Flüssigkeitsteilchen aus der Fläche A q im Mittel um die Strecke s v t in Strömungsrichtung vorwärts. Das bedeutet: In der Zeit t fließt die gesamte Flüssigkeitsmenge, die sich in 2 2 dem Volumen V s r v t r vor dem Querschnitt A q des Rohrs befindet, durch diese Querschnittsfläche. Man erhält so als Stromstärke: V 2 j v r, (1.13) t also: Stromstärke = Querschnittsfläche mittlere Geschwindigkeit. V 7.6

7 Abb.1.6. Zur Stromstärke durch ein Rohr Wir fragen jetzt nach der Volumenstromstärke j einer laminaren Strömung durch ein zylindrisches Rohr vom Radius r und der Länge l, wenn ein Druckunterschied p = p 1 p 2 zwischen den Rohrenden eine Kraft auf die Flüssigkeitssäule ausübt. Abb.1.7. Vergröberte Zerlegung der laminaren zylindrischen Strömung in einzelne koaxiale Schichten mit zunehmender Geschwindigkeit nach innen. Der Hauptteil des transportierten Flüssigkeitsvolumens erfolgt durch die schnelleren inneren Schichten. V 7.7

8 Im Gegensatz zu Abb.1.5. und der daraus folgenden Gl.(1.10), bei der sich eine Platte durch eine ruhende Flüssigkeit bewegte, soll jetzt eine Flüssigkeit an einer ruhenden Fläche vorbeiströmen, wobei die ruhende Fläche die Innenwand des zylindrischen Rohrs ist. Die Flüssigkeitsschicht unmittelbar an der Innenwand wird in Ruhe bleiben, während sich zur Achse hin die Flüssigkeitsschichten mit zunehmender Geschwindigkeit bewegen werden. Die Flüssigkeitsschichten sind in Abb.1.7. angedeutet. Der Druckgradient p/l längs eines Rohres der Länge l bewirkt die Geschwindigkeitsverteilung in der Flüssigkeitsströmung, wie sie in Abb.1.8 skizziert ist. Abb.1.8. Geschwindigkeitsverteilung der HAGEN-POISEUILLE-Strömung durch ein zylindrisches Rohr (parabolisches Geschwindigkeitsprofil) Dabei wird im Zentrum des Rohres die Geschwindigkeit v max erreicht: v max 2 r p, 4η l und als Mittelwert über die parabelförmige Verteilung: 2 r p 1 v vmax. (1.14) 8 l 2 Hiermit erhält man für die Volumenstromstärke nach Gl.(1.13): j V t 4 r 8 l p (1.15) Diese Gleichung wird als das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE bezeichnet. Der Name verweist auch auf den alten Namen für die Einheit der Zähigkeit 'Poise'. V 7.8

9 1.5. Diskussion des HAGEN-POISEUILLEschen Gesetzes Wir schreiben das Gesetz von HAGEN-POISOILLE in abgekürzter Form: 1 j p G p, (1.16) R 1 8 l mit R 4. (1.17) G r Wir nennen R den Strömungswiderstand und G den Leitwert des Rohres mit der Länge l und dem Radius r für eine Flüssigkeit mit der Viskosität. Wir fassen die Druckdifferenz p als Ursache der Strömung auf. Die Stromstärke j ist proportional zu p und G sowie umgekehrt proportional zum Strömungswiderstand R aus Gl.(1.17). Analogie zur Elektrizitätslehre: Mit Gln.(1.16) und (1.17) liegt das Gesetz von HAGEN- POISEUILLE in einer Form vor, die völlig dem Zusammenhang zwischen elektrischer Stromstärke I und elektrischer Spannung U in einem Stromkreis mit dem elektrischen Widerstand R gleicht. Dort gilt nämlich Q 1 I U, (1.18) t R wobei Q die elektrische Ladung ist, die in der Zeit t durch einen Querschnitt des elektrischen Leiters des Widerstands R fließt. Wenn der Leiter einen kreisförmigen Querschnitt r 2 und eine Länge l hat, so ist sein Widerstand R gegeben durch R ρ l π 2 r, (1.19) worin der spezifische Widerstand oder die Resistivität, die Stoffkonstante für elektrische Leiter, ist. Vergleich von Gl.(1.16) mit Gl.(1.18): Der elektrischen Spannung U als Ursache für das Fließen eines elektrischen Stroms entspricht beim HAGEN-POISEUILLE-Gesetz die Druckdifferenz p. Dem Transport einer Ladung Q entspricht das durch die Strömung transportierte Flüssigkeitsvolumen V. Vergleich von Gl.(1.17) mit Gl.(1.19): Der elektrische Widerstand ist ebenso proportional zur Leiterlänge l wie der Strömungswiderstand zur Rohrlänge l. Jedoch ist der elektrische Widerstand umgekehrt proportional zu 1/r 2, während der Strömungswiderstand mit 1/r 4 abnimmt. Dies resultiert aus der unterschiedlichen Verteilung der Strömungsgeschwindigkeit. In einem elektrischen Leiter erhält man eine über den Leiterquerschnitt konstante Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger, während sich in einer Flüssigkeit die in Abb dargestellte parabelförmige Verteilung einstellt. Das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE ist für die Beschreibung des Blutkreislaufs von Bedeutung: Da die Stromstärke bei konstantem Druck p mit der vierten Potenz des Radius zunimmt, genügt eine Erweiterung des Durchmessers der Arterien um 20% - also um den Faktor 1,2 - um bei gleichem Blutdruck die doppelte Blutmenge zu transportieren ((1,2) 4 2). Nimmt andererseits der Arteriendurchmesser, etwa durch Ablagerungen, um 10% ab, so muss der Blutdruck um ca. 50%, also um den Faktor 1,5, zunehmen, damit in der gleichen Zeit die gleiche Blutmenge transportiert werden kann. Man muss allerdings bei solchen Überlegungen bedenken, dass das HAGEN-POISEUILLE-Gesetz für starre Röhren gilt, während die Arterien elastische Schläuche sind Reihen- und Parallelschaltung von Strömungswiderständen V 7.9

10 Im Blutkreislauf sind Gefäße mit verschiedenen Durchmessern und Längen, also auch mit unterschiedlichen Strömungswiderständen, hintereinander geschaltet. Zudem verzweigen sich die Gefäße von der Aorta in die verschiedenen Körperregionen bis hin zu den Kapillargefäßen, wodurch es zur Parallelschaltung entsprechender Strömungswiderstände kommt. Bei der Berechnung des Gesamtströmungswiderstandes dieses komplexen Netzwerks kann man auf Überlegungen zurückgreifen, die wiederum in Analogie zum elektrischen Strom zu betrachten sind. (Vergl. Abschnitte 1.8. und 1.9. von Versuch 3). Dazu betrachtet man zweckmäßigerweise Rohrsysteme, die aus Rohren zusammengesetzt sind, deren Strömungswiderstände einzeln berechnet werden können. In Abb ist diese Situation für zwei hintereinander geschaltete Rohre mit verschiedener Länge und verschiedenem Querschnitt dargestellt, d.h. die damit verknüpften Strömungswiderstände R 1 und R 2 sind in Reihe geschaltet. Die Druckdifferenz an den Enden des gesamten Rohrsystem sei p, die Druckdifferenzen an den Teilrohren p 1 bzw. p 2. Dabei ist: p = p 1 + p 2 (1.20a) Reihen- von Strö- Abb schaltung mungswiderständen Da durch beide Rohre derselbe Strom j fließt, gilt nach Gl. 1.16: j. R = j. R 1 + j. R 2 (1.20b) wobei R den Gesamtwiderstand kennzeichnen soll. Daraus folgt, dass sich die Strömungswiderstände bei der Reihenschaltung zum Gesamtwiderstand addieren: R = R 1 + R 2 (1.20c) Bei einer Rohrverzweigung gemäß Abb kommt es zu einer Aufteilung des Gesamtstroms j in die Teilströme j 1 und j 2 : j = j 1 + j 2. (1.21a) Die Strömungswiderstände der Zweigleitungen seien wieder mit R 1 und R 2, der Gesamtwiderstand mit R bezeichnet. Da über beiden Widerständen dieselbe Druckdifferenz p besteht, kann man unter Anwendung von Gl auch schreiben: p R p R 1 R2 p. (1.21b) V 7.10

11 Abb Parallelschaltung von Strömungswiderständen Daraus folgt die Regel: Bei der Parallelschaltung von Strömungswiderständen addieren sich deren Kehrwerte zum Kehrwert des Gesamtwiderstands: 1 R 1 1. (1.21c) R 1 R Gültigkeitsgrenzen des Gesetzes von HAGEN-POISEUILLE; die REYNOLDSsche Zahl Mit zunehmendem Druckp nimmt die mittlere Geschwindigkeit v der laminaren Strömung zu. Überschreitet v eine kritische Größe, schlägt die laminare Strömung um in eine turbulente Strömung. Eine turbulente Strömung ist gekennzeichnet durch das Auftreten von Wirbeln und einer damit verbundenen Vermischung benachbarter Flüssigkeitsschichten. Dann gilt das HAGEN-POISEUILLE-Gesetz nicht mehr. Der Strömungswiderstand, der bei gegebenem Druck die Stromstärke bestimmt, steigt bei Turbulenz gegenüber dem für laminare Strömungen gültigen Wert von Gl.(1.17) stark an. Das Umschlagen einer laminaren in eine turbulente Strömung kann aber auch auftreten, wenn bei konstantem Druck p der Rohrradius vergrößert wird. Während die Blutströmung im arteriellen und venösen Gefäßsystem weitgehend laminar ist, kann es in der Aorta in unmittelbarer Nähe der linken Herzkammer zu Turbulenzen kommen. Wann es in einem starren Rohr zum Umschlagen von laminarer in turbulente Strömung kommt, kann ziemlich genau angegeben werden. Solange die dimensionslose Zahl Re r v ρ, (1.22) η die sog. REYNOLDSsche Zahl, den Wert 1200 nicht übersteigt, ist die Strömung laminar. Bei Werten über 1200 kann Turbulenz auftreten. Dabei bedeuten in Gl.(1.22): r = Rohrradius in m, v = mittlere Strömungsgeschwindigkeit in m/s, = Dichte der Flüssigkeit in kg/m 3 und = ihre Zähigkeit in kg/m s. V 7.11

12 1.8. Medizinischer Bezug Im Blutkreislauf übernimmt das Blut als strömendes Medium Transportfunktionen für Sauerstoff, Kohlendioxid und andere Stoffe. Beim Menschen besteht das Kreislaufsystem aus dem kleinen Lungen- und dem großen Körperkreislauf, die ab der Geburt hintereinander geschaltet sind. In Abb ist der Verlauf des Blutstroms schematisch dargestellt. Im Lungenkreislauf wird von der rechten Herzkammer sauerstoffarmes Blut durch die Lunge gepumpt. Hier wird Kohlendioxid abgegeben und Sauerstoff aufgenommen. Das sauerstoffreiche Blut gelangt dann in den linken Vorhof, bevor es im Körperkreislauf von der linken Herzkammer durch den Körper gepumpt wird. Dort versorgt es die Organe mit Sauerstoff und übernimmt den Abtransport von Kohlendioxid zurück über den rechten Vorhof in den Lungenkreislauf. Darstellung des mensch- Abb Schematische lichen Blutkreislaufs V 7.12 Im Gefäßsystem des Körperkreislaufs liegen Arterien, Arteriolen, Kapillaren, Venolen und Venen hintereinander (Reihenschaltung). Zur Versorgung der einzelnen Organe dient eine sehr verzweigte Parallelschaltung von Blutgefäßen. Das dehnbare venöse System und der rechte Vorhof bilden ein Blutreservoir, aus dem das Blut zum Herzen zurückströmt. Ventilklappen am Herzen sorgen dafür, dass sich eine gerichtete Strömung ausbildet. Wie bei jeder periodisch arbeitenden Pumpe erfolgt der Bluttransport dabei nicht kontinuierlich sondern stoßweise. Um einen gleichmäßigeren Blutstrom zu gewährleisten, haben die großen Arterien mit ihren elastischen Gefäßwänden die Fähigkeit sich bei jeder Systole um das Herzschlagvolumen auszudehnen, um das gespeicherte Blut dann während der Diastolen unter geringem Druckabfall weiter in die nachgeschalteten Gefäße abzugeben. Für dieses Prinzip zur Verringerung von Druckstößen hat man den in der Technik geprägten Begriff der Windkesselfunktion übernommen. Im engeren Sinne beschreibt man damit ein mit der Druckseite einer Kolbenpumpe verbundenes größeres Gasvolumen, das durch sein kompressibles Verhalten in gleicher Weise druckausgleichend wirken kann: Während der Ausstoßphase der Pumpe wird ein Teil der Flüssigkeit in den Windkessel gedrückt. Durch Kompres-

13 sion des Gasvolumens wird der Druckanstieg erheblich reduziert. In der nachfolgenden Ansaugphase der Pumpe würde der Druck ohne Windkessel auf Null absinken und damit der Volumenstrom unterbrochen sein. Stattdessen hält nun das komprimierte Gas die Strömung weiter aufrecht, indem es die Flüssigkeit aus dem Windkessel herausdrückt. V 7.13

14 2. Der Versuch 2.1. Aufgabenstellung An dem im Abschnitt 2.2. näher beschriebenen Kreislaufmodell sind folgende Messungen durchzuführen: 1.) Durch Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Druckdifferenz und Volumenstromstärke sollen die Strömungswiderstände von drei Rohren bestimmt werden, die sich in ihrer Länge bzw. ihrem Radius unterscheiden. 2.) In gleicher Weise ist der Strömungswiderstand zweier parallel geschalteter Rohre zu bestimmen und mit dem nach Gl zu erwartendem Resultat zu vergleichen. 3.) Durch Messung der Stromstärke als Funktion der Druckdifferenz soll der Einfluss von Turbulenzen auf das Strömungsverhalten untersucht werden. 4.) Durch Beobachtungen des Druckverlaufs am Kreislaufmodell im periodischen Pumpbetrieb ist der Einfluss eines sog. Windkessels zu untersuchen Versuchsaufbau Abb zeigt den Aufbau des Kreislaufmodells mit den für die Versuchsdurchführung erforderlichen Komponenten. Die Konstruktion ist als Modell für den Körperkreislauf zu betrachten. Als Flüssigkeit dient Paraffinöl mit einer für die Versuchsbedingungen geeigneten Viskosität*. Mit einer Pumpe (9), bestehend aus einem im Zylinder beweglichen Kolben und zwei Ventilklappen (8), lässt sich zwischen dem rechten und linken Teil des Rohrsystems (im folgenden als Hoch- bzw. Niederdruckbereich bezeichnet) eine Druckdifferenz erzeugen. Dabei wird der Kolben entweder mit verschiedenen Massestücken belastet oder für den periodischen Betrieb mit einem Kurbelaufsatz (11) bewegt. Die Position des Kolbens lässt sich an einer auf der Kolbenstange angebrachten Millimeterskala ablesen. Bei Aufwärtsbewegung des Kolbens wird die Flüssigkeit aus dem Vorratsgefäß (7) angesaugt. Dabei öffnet sich die linke Ventilklappe, während die rechte Ventilklappe geschlossen bleibt. Umgekehrt schließt sich die linke Ventilklappe, wenn der Kolben nach unten bewegt wird, während nun die Flüssigkeit durch die rechte Ventilklappe in den Hochdruckbereich des Rohrsystems ausströmen kann. Vier verschiedene Strömungsrohre (1-4), die sich einzeln durch Ventile (10) verschließen lassen, stellen von hier aus die Verbindung mit dem Niederdruckbereich des Kreislaufmodells her. Hier kann die Flüssigkeit in das Vorratsgefäß zurückströmen, bevor sie wieder von der Pumpe angesaugt wird. Der Differenzdruck über den Strömungsrohren wird durch einen elektrischen Drucksensor registriert und über ein Zeigerinstrument (5) angezeigt. Die Skala zeigt den Druck in hpa an (Vollausschlag 100hPa). Für die Untersuchungen mit periodischem Betrieb der Pumpe kann man im Hochdruckbereich des Kreislaufmodells ein Luftpolster (6) dazuschalten, um die Funktion eines Windkessels zu beobachten. Für alle anderen Messungen bleibt das Ventil zum Windkessel geschlossen. *Paraffinöldaten (bei 20 C): Dichte: 0, , kg/m 3 Dyn. Viskosität: Pa s V 7.14

15 Abb.2.1. Skizze des Kreislaufmodells mit Kurbelaufsatz 2.3. Durchführung der Messungen Durch Messung der Volumenstrom- stärke in Abhängigkeit von der Druckdifferenz soll zunächst die Abhängigkeit des Strömungswiderstandes von der Rohrlänge und dem Rohrradius untersucht werden. Anschließend ist in gleicher Weise der Strömungswiderstand zweier parallel geschalteter Rohre zu bestimmen und mit dem aus den gemessenen Einzelwiderständen berechnetem Wert zu vergleichen. Der Einfluss von Turbulenzen auf das Strömungsverhalten wird in einem weiteren Versuchsteil untersucht. Die Strömungsrohre sind mit den Ziffern 1 bis 4 gekennzeichnet und lassen sich einzeln durch Ventile verschließen. Rohr 1 und Rohr 2 haben gleiche Längen, jedoch verschiedene Radien. Angestrebt wurde ein Verhältnis der Radien von 1 : 2, was jedoch durch unvermeidliche Fertigungstoleranzen nur näherungsweise gelungen ist. Hingegen ist Rohr 3 gegenüber Rohr 2 bei gleichem Radius etwa doppelt so lang. Im Rohr 4, dem sog. Turbulenzrohr, ist in der Mitte eine Folie eingesetzt, die nur ein kleines Loch besitzt. Die gleichmäßige Strömung des Paraffinöl reißt hinter dem Loch plötzlich ab, wodurch sich Turbulenzen ausbilden können. Durch Belastung des Pumpenkolben mit verschiedenen Massestücken lassen sich zwischen dem Hoch- und Niederdruckbereich entsprechende Druckdifferenzen p erzeugen. Der dadurch hervorgerufene Volumenstrom j wird bestimmt, indem man den Kolben um eine vorgegebene Strecke x absinken lässt und mit einer Stoppuhr die dafür benötigte Zeit t misst. Die Stromstärke j berechnet sich dann gemäß Gl als: V 7.15

16 j V A x, (2.1) t t worin A = 5027 mm 2 die Fläche des Pumpenkolbens darstellt. Da im Verlaufe des Absinkens des Kolbens die Höhe der Flüssigkeitssäule im Pumpenzylinder abnimmt, verringert sich entsprechend der Schweredruck, der sich unvermeidlich zum Kolbendruck addiert. Infolgedessen ist die Druckdifferenz während der Messungen nicht konstant, sondern nimmt stetig ab. Dieser Einfluss des Schweredrucks auf die Druckmessung lässt sich jedoch in guter Näherung kompensieren, indem man die Sinkstrecke symmetrisch um die rote Ablesemarke bei 100 mm wählt und die Druckdifferenz immer dann am Zeigerinstrument abliest, wenn sich der Kolben in der entsprechenden Position befindet. Der Messvorgang läuft also nach folgendem Schema ab: 1. Alle bis auf die beiden mit dem Druckmessgerät verbundenen Ventile schließen. 2. Die Kolbenstange etwas weiter als bis zum vorgegebenen Startpunkt x 1 nach oben ziehen. 3. Massestück(e) auflegen, anschließend Ventil des zu untersuchenden Strömungsrohrs öffnen. 4. Stoppuhr beim Erreichen des Startpunkts x 1 starten. 5. Druckdifferenz p ablesen, wenn der Kolben die rote Ablesemarke passiert (diese Aufgabe übernimmt zweckmäßigerweise der Versuchspartner). 6. Stoppuhr beim Erreichen des Endpunkts x 2 anhalten. 7. Ventil schließen, Kolben entlasten, nach oben ziehen und bis zur nächsten Messung mit der Klammer arretieren Messungen zur Bestimmung der Strömungswiderstände Für die Protokollierung der Messwerte sind fünf Tabellen nach vorgegebenem Muster vorzubereiten. Diese Tabellen enthalten die Vorgabewerte für die Belastung des Kolbens sowie die zugehörigen Start- und Endpositionen für die Sinkstrecke x. Achtung: Der Kolben darf niemals gewaltsam von Hand heruntergedrückt und nicht gewaltsam nach oben gezogen werden, da die Apparatur sonst undicht wird. Aus gleichem Grund sollten die Massestücke nur während der Messung auf dem Kolben liegen und während der Messpausen abgenommen werden. Einzutragen sind die Messergebnisse für die Druckdifferenz p und die gestoppte Zeit t (zwei Nachkommastellen!). Die letzte Zeile der Tabellen nimmt die gemäß Gl.2.1. zu berechnenden Volumenstromstärken j auf (Rundung auf ganzzahlige Werte). Beginnen Sie mit den Messungen an Rohr 2. Die den Strömungswiderstand nach Gl bestimmenden Abmessungen betragen hier: r 2 = 6,2 mm ; l 2 = 388 mm. V 7.16

17 Messungen an Rohr 2 m [kg] 2,0 1,5 1,0 0,5 x 1 [mm] x 2 [mm] x [mm] p [hpa] t [s] j [mm 3 s 1 ] Die folgenden Messungen an Rohr 3 sollen die Abhängigkeit des Strömungswiderstandes von der Rohrlänge zeigen. Bei gleichem Radius r 3 = 6,2 mm ist dieses Rohr mit l 3 = 831 mm etwa doppelt so lang wie Rohr 2. Messungen an Rohr 3 m [kg] 2,0 1,5 1,0 0,5 x 1 [mm] x 2 [mm] x [mm] p [hpa] t [s] j [mm 3 s 1 ] Es folgen die Messungen an Rohr 1, um die Abhängigkeit des Strömungswiderstands vom Rohrradius zu untersuchen. Verglichen mit Rohr 2 weist dieses Rohr bei gleicher Länge nur etwa den halben Radius auf (r 1 = 3,2 mm ; l 1 = 388 mm) Messungen an Rohr 1 m [kg] 3,5 3,0 2,5 2,0 x 1 [mm] x 2 [mm] x [mm] p [hpa] t [s] j [mm 3 s 1 ] V 7.17

18 Parallelschaltung von Strömungswiderständen Bei den folgenden Messungen sind die Ventile von Rohr 1 und Rohr 3 gleichzeitig zu öffnen. Messungen an der Parallelschaltung von Rohr 1 und Rohr 3 m [kg] 2,0 1,5 1,0 0,5 x 1 [mm] x 2 [mm] x [mm] p [hpa] t [s] j [mm 3 s 1 ] Turbulente Strömung In der folgenden Messreihe soll der Einfluss von Turbulenzen auf das Strömungsverhalten beobachtet werden. Dazu kommt Rohr 4, das sog. Turbulenzrohr, zum Einsatz. Messungen am Turbulenzrohr m [kg] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 x 1 [mm] x 2 [mm] x [mm] p [hpa] t [s] j [mm 3 s 1 ] Auswertung Die grafische Auswertung erfolgt am PC. 1.) Tragen Sie darin die Volumenstromstärke gegen die Druckdifferenz auf und verbinden Sie die Messpunkte mit einer bestangepassten Geraden. 2.) Bestimmen Sie dann wie üblich die Steigung G der Geraden mithilfe eines möglichst großen Steigungsdreiecks und runden Sie das Ergebnis auf drei signifikante Stellen. Achten Sie dabei auf die Einheiten (die in der Einheit hpa gemessenen Druckwerte in Pa umrechnen). Der vollständige Rechengang gehört ins Protokollheft! V 7.18

19 3.) Wie man am Gesetz von HAGEN-POISEUILLE in Form von Gl erkennt, sind die so gewonnenen Steigungswerte G gerade die Kehrwerte der zu bestimmenden Strömungswiderstände. Berechnen Sie also: 1 Pa s R 3, (2.2) G mm und runden Sie die Zahlenwerte wieder auf drei signifikante Stellen. Rechnen Sie schließlich Pa s die Strömungswiderstände in die gebräuchlichere Einheit 3 um. m 4.) Rohr 2: abgelesene Steigung: G mm hpa 3 / s R 2 = Pa s m 3 Rohr 3: abgelesene Steigung: G mm hpa 3 / s R 3 = Pa s m 3 Rohr 1: abgelesene Steigung: G mm hpa 3 / s R 1 = Pa s m 3 Rohre 1 3:abgelesene Steigung: G mm hpa 3 / s R 1 3 = Pa s m 3 V 7.19

20 V 7.20

21 5. Zeigen Sie, dass sich die Strömungswiderstände zweier Rohre wie 1 : 2 verhalten, wenn sich ihre Längen wie 1 : 2 verhalten. Vergleichen Sie das aus den angegebenen Abmessungen der Rohre 2 und 3 berechnete Widerstandsverhältnis mit dem Verhältnis der tatsächlich gemessenen Widerstände. 6. Zeigen Sie, dass sich die Strömungswiderstände zweier Rohre wie 1 : 16 verhalten, wenn sich ihre Radien wie 2 : 1 verhalten. Vergleichen Sie das aus den angegebenen Abmessungen der Rohre 2 und 1 berechnete Widerstandsverhältnis mit dem Verhältnis der tatsächlich gemessenen Widerstände. 7. Berechnen Sie aus den angegebenen Abmessungen des Rohres 2 und der mittleren dynamischen Viskosität des verwendeten Paraffinöls den zu erwartenden Widerstand und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem experimentellen Wert. 8. Berechnen Sie gemäß Gl aus den für Rohr 1 und Rohr 3 gemessenen Strömungswiderständen den zu erwartenden Gesamtwiderstand und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung von dem gemessenen Wert nach Gl R 13 = R 1 R 3 R 1 +R 3 = 10 9 Pa s m 3 (2.3) R 1 3 R % (2.4) R Turbulente Strömung Tragen Sie wie bisher die Volumenstromstärke gegen die Druckdifferenz in das Diagramm ein und verbinden Sie die Messpunkte mithilfe eines Kurvenlineals. Fragen: Wie unterscheidet sich der Kurvenverlauf von den bisherigen Messungen? In welchem Druckbereich macht sich der Einfluss der Turbulenzen am stärksten bemerkbar? Warum ist das so? (kurze Erklärung ins Protokoll) V 7.21

22 V 7.22

23 2.4. Beobachtungen bei periodischem Betrieb Der für diesen Ver- suchsteil benötigte Kurbelaufsatz wird vom Assistenten montiert. Öffnen Sie die Ventile aller vier Strömungsrohre. Der Windkessel bleibt zunächst geschlossen. Betrieb ohne Windkessel: Betätigen Sie nun langsam und gleichmäßig die Kurbel (etwa ein bis zwei Umdrehungen pro Sekunde). Beobachten Sie dabei die Druckanzeige, die Funktion der Ventilklappen sowie den Flüssigkeitsstand im Vorratsgefäß. a) Protokollieren Sie Ihre Beobachtungen b) Notieren Sie die maximale und minimale Anzeige des Druckinstruments: Ohne Windkessel: p max =... hpa p min =... hpa. Betrieb mit Windkessel: Öffnen Sie nun das Ventil zum Windkessel und drehen Sie wieder die Kurbel in gleicher Weise wie vorher. Achten Sie nun auch auf das Verhalten des Flüssigkeitsstands im Windkessel. Am Manometer auf dem Windkessel kann dabei auch der Luftdruck über der Flüssigkeit abgelesen werden. Messen Sie erneut die maximale und minimale Druckdifferenz, wobei darauf zu achten ist, dass man die Kurbel möglichst im gleichen Rhythmus betätigt wie bei der Messung ohne Windkessel: Mit Windkessel: a) Protokollieren Sie Ihre Beobachtungen b) Notieren Sie die maximale und minimale Anzeige des Druckinstruments: p max =... hpa p min =... hpa. Frage: Wie beeinflusst der Windkessel die auftretenden Druckschwankungen? V 7.23

24 3. Übungsfragen 1. Wie ist die Größe Druck definiert; in welchen Einheiten wird sie gemessen? 2. Wie berechnet man den Schweredruck in einer Flüssigkeit? 3. Eine dünne Platte der Fläche A wird mitten durch einen Flüssigkeitskanal gezogen, der von zwei großen ebenen Platten im Abstand 2 x begrenzt ist. Dieser Abstand sei kleiner als die Grenzschichtdicke D (siehe Abb.1.5.). Welche Kraft F muss man aufwenden, um die Platte mit konstanter Geschwindigkeit v durch den Flüssigkeitskanal zu ziehen? 4. Wie heißt die stoffabhängige Größe der inneren Reibung, und welches ist die zugehörige Maßeinheit? 5. Wie nennt man Flüssigkeitsströmungen, bei denen die Geschwindigkeitsverhältnisse vorwiegend durch die innere Reibung benachbarter Schichten bestimmt wird? 6. Welche Form hat die Geschwindigkeitsverteilung einer laminar durch ein zylindrisches Rohr strömenden Flüssigkeit? 7. Man betrachte eine durch ein zylindrisches Rohr laminar strömende Flüssigkeit. Das HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz liefert hierfür den Zusammenhang zwischen der Stromstärke I und der Druckdifferenz p an den Rohrenden. Welche Abhängigkeiten ergeben sich daraus vom Rohrradius r, der Rohrlänge l und der Viskosität der Flüssigkeit? 8. Auf welche Weise kann man eine Analogie zu den Gesetzmäßigkeiten in elektrischen Stromkreisen herstellen? V 7.24