Finanzmathematik. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel. Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Finanzmathematik Literatur Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen, Band 1, 17. Auflage, Sankt Gallen, Verlag Wilhelm Surbir, Seiten 12-18

2 2 In der Finanzmathematik beschäftigt man sich mit Problemen der Berechnung von Zinseszinsen, Renten, der Rückzahlung von Darlehen u.s.w. 1 Zinseszinsformel Beispiel: Angenommen, wir legen 100 Franken auf einem Konto an, das jährlich zu 5 % verzinst wird. Unser Anfangskapital ist K 0 = 100. Am Ende des ersten Jahres kommen dann 5 Franken hinzu und unser Kapital ist auf K 1 = K = 105 Franken angewachsen. Am Ende des zweiten Jahres wächst unser Kapital wieder um 5 % (von 105!), d.h. um 5.25 Franken. Es gilt deshalb K 2 = K = K = Franken. Für das Guthaben nach insgesamt n Jahren gilt somit K n = n. Satz 1.1 (Zinseszinsformel) Ein Anfangsguthaben K 0, das zu einem Zinssatz p angelegt wird, wächst nach n Jahren zu einem Endkapital K n = K 0 (1 + p) n. Begründung/Beweis:

3 3 Aufgabe 1.1 gegeben: Anfangsguthaben K 0 = 10000, Zinssatz 5.5% (p = 0.055), n = 10 gesucht: K 10 Lösung: Aufgabe 1.2 gegeben: Zinssatz 5% (p = 0.05), n = 20 gesucht: Anfangsguthaben K 0, so dass man nach 20 Jahren über , verfügt Lösung:

4 4 2 Kontinuierliche Verzinsung Einige Banken berechnen die Zuwachszinsen nicht nur einmal, sondern k-mal im Jahr. Der Zins wird dann k-mal jährlich (üblich sind 2 mal, 4 mal oder 12 mal) zum Kapital geschlagen und der Zinssatz pro Periode ist p/k. Beispiel: Das Anfangsguthaben sei wieder K 0 = 100 Franken und der Zinssatz von 5% (d.h. p = 0.05) werde halbjährlich (k = 2) berechnet. Das Kapital wird dann nach dem ersten Halbjahr zu einer Rate von 2.5% berechnet; das macht = Franken. Dieses neue Guthaben wird dann nach Ende des zweiten Halbjahres nochmals mit 2.5% verzinst; das macht dann als Endkapital nach einem Jahr K 1 = = = Satz 2.1 (k-malige Verzinsung) Ein Anfangskapital K 0, das zu einem Zinssatz p angelegt und pro Jahr k-mal verzinst wird, wächst nach einem Jahr zu einem Kapital von K 1 = K 0 und nach n Jahren zu einem Endkapital von K n = K 0 ( 1 + p ) k k ( 1 + p k) k n. Begründung/Beweis:

5 5

6 6 Aufgabe 2.1 Angenommen Sie haben verschiedene Konten mit gleichem Zins von 5% und unterschiedlichen Verzinsungszeiträumen zur Auswahl. Auf welchem Konto sollten Sie die 100 Franken anlegen, um nach einem Jahr ein möglichst grosses Guthaben zu erhalten? k p/k K 1 jährlich Franken halbjährlich vierteljährlich Franken monatlich wöchentlich täglich

7 7 Was passiert nun, wenn wir die Verzinsungszeiträume noch kleiner werden lassen? Wir wollen den Grenzfall der sogenannten kontinuierlichen Verzinsung, d.h. k betrachten. Unter Ausnutzung bekannter Grenzwerte erhalten wir dann das folgende Resultat. Satz 2.2 (Kontinuierliche Verzinsung) K 1 = K 0 lim (1 + p ) k = K 0 e p k k K n = K 0 lim (1 + p ) k n = K0 e pn k k Begründung/Beweis:

8 8 Aufgabe 2.2 gegeben: K 0 = 10000, Zinssatz 6% (p = 0.06) gesucht: K 5 bei jährlicher, vierteljährlicher, täglicher und kontinuierlicher Verzinsung Lösung:

9 9 3 Die Rentenformel Es sei ein Anfangskapital K 0 gegeben. In jeder Periode erfolgt eine gleichbleibende Einzahlung E mit E > 0 am Ende der Periode (nachschüssig) am Anfang der Periode (vorschüssig) Das jeweils vorhandene Kapital wird zu einem Zinssatz p mit Zinseszinsen vergütet. Das am Ende der n-ten Periode zur Verfügung stehende Kapital K n soll ermittelt werden. Schematisch können die beiden Situationen wie folgt dargestellt werden. Dabei ergeben sich sofort rekursive Darstellungen der Zahlenfolgen, die die Kapitalentwicklung beschreiben. Nachschüssige Rente K 0 K 1 K 2 p K 0 E p K 1 E K 1 K 2 = K 0 + p K 0 + E = (1 + p)k 0 + E = K 1 + p K 1 + E = (1 + p)k 1 + E Rekursion K n = (1 + p)k n 1 + E

10 10 Vorschüssige Rente K 0 K 1 K 2 E p ( K 0 + E ) E p ( K 1 + E ) Rekursion K 1 = K 0 + E + p(k 0 + E) = (1 + p)(k 0 + E) K 2 = K 1 + E + p(k 1 + E) = (1 + p)(k 1 + E) K n = (1 + p)(k n 1 + E)

11 11 Satz 3.1 (Nachschüssige Rentenformel) Es gilt K n = K 0 (1 + p) n + E (1 + p)n 1. p Beweis: Zunächst gilt die allgemeine rekursive Gleichung K i = K i 1 + pk i 1 + E = K i 1 (1 + p) + E und somit folgt unter Nutzung der Summenformel für die geometrische Reihe K 1 = K 0 (1 + p) + E K 2 = K 1 (1 + p) + E = (1 + p) (K 0 (1 + p) + E) +E } {{ } K 1 = K 0 (1 + p) 2 + E (1 + p) + E K n = K 0 (1 + p) n + E (1 + p) n E (1 + p) + E n 1 = K 0 (1 + p) n + E = K 0 (1 + p) n + E k=0 (1 + p) k 1 (1 + p)n 1 (1 + p) = K 0 (1 + p) n + E (1 + p)n 1. p Erfolgt am Ende einer jeden Periode ein gleichbleibender Rückzug E, gilt die gleiche Formel. E ist dann ein negativer Wert.

12 12 Aufgabe 3.1 gegeben: Anfangsguthaben K 0 = 0, kontinuierliche Einzahlung E = 200, Zinssatz 4% (p = 0.04), n = 30 gesucht: K 30 Lösung:

13 13 4 Der Barwert Der Barwert oder auch Gegenwartswert ist der gegenwärtige Wert einer in der Zukunft anfallenden Zahlung. Beispiel: A möchte sich in 4 Jahren ein neues Auto kaufen, das dann Franken kosten wird. Er möchte bereits heute wissen, wieviel Geld er anlegen muss, wenn er mit einer Verzinsung von 6% rechnen kann. Lösung: Gesucht ist der Betrag S 0, den man heute zum Zinssatz von 6% anlegen muss, um in 4 Jahren ein Guthaben von S 4 = Franken zu erhalten. Unter Nutzung der Zinseszinsformel muss somit gelten S 0 (1 + }{{} 0.06) 4 = } {{ } p S 4 oder S 0 = ( ) 4 = Wird eine Zahlung oder Schuld S n in n Jahren fällig, so beträgt der Barwert S 0 dieser Schuld bei einem Zinssatz p S 0 = S n (1 + p) n. Aufgabe 4.1 gegeben: S 7 = 20000, Zinssatz 6% (p = 0.06) gesucht: S 0 Lösung:

14 14 5 Projektevaluierung Ein Projekt führt zu folgenden Auslagen und Erträgen: einmalige Auslage nach 1 Jahr: A 1 = einmaliger Ertrag nach 5 Jahren: E 5 = einmaliger Ertrag nach 10 Jahren: E 10 = Es soll überprüft werden, ob sich die Durchführung des Projektes bei einem Bewertungszinssatz von 6% lohnt. Die gegenwärtigen Werte der einzelnen Auslagen und Erträge berechnen sich dann als: A p = = Barwert von A 1 E 5 (1 + p) = = Barwert von E 5 E 10 (1 + p) 10 = = Barwert von E 10 Die einzelnen Barwerte lassen sich nun direkt vergleichen, da sie alle den gegenwärtigen Wert der einzelnen Posten darstellen. Der Barwert des Projektes ist nun B 0 = E 5 (1 + p) 5 + E 10 (1 + p) 10 A p = = Es ist klar, dass sich die Durchführung unseres Projektes lohnt, wenn B 0 grösser als 0 ist, denn in diesem Fall ist die Summe der Barwerte der Erträge grösser als der Barwert der Auslage.

15 15 6 Linearen Differenzengleichung 1. Ordnung 6.1 Einleitung In der Praxis kommt es oft vor, dass man einem (Wachstums)Prozess relativ leicht durch eine rekursiv definierte Zahlenfolge (oder eine Differenzengleichung) beschreiben kann (vergleiche die Kapitel zur Zinseszinsrechnung und zur Rentenformel). Allerdings lassen sich viele Fragen sehr schwer oder garnicht aus dieser Darstellung beantworten. Zentrale Frage: Wie kann man für eine gegebene Differenzengleichung (rekursive Zahlenfolge) eine Lösung (direkte Zahlenfolge, die die Rekursion löst) finden? Aufgabe 6.1 Gegeben sei die folgende Rentenentwicklung, einerseits als rekursiv dargestellte Zahlenfolge und andererseits in direkter Darstellung: K n = (1.01)K n und K 0 = 2000 K n = 2000 (1.01) n (1.01)n Nutzen Sie beide Darstellungen, um das Kapital nach 10 Jahren zu bestimmen.

16 Differenzengleichung und Lösung Eine linearen Differenzengleichung 1. Ordnung ist eine rekursiv beschriebene Zahlenfolge der Gestalt y k+1 = A y k + B mit reellen Zahlen A, B mit A 0. Wir wollen einen allgemeinen Weg aufzeigen, wie man zu einer gegebenen Differenzengleichung dieser Gestalt die direkte Zahlenfolge findet. Eine solche direkte Zahlenfolge wird dann auch als Lösung der Differenzengleichung bezeichnet. Die allgemeine Lösung der obigen Differenzengleichung ist gegeben durch: y k = A k y 0 + B 1 Ak A 1 1 A y 0 + Bk A = 1 Beweis durch Probe:

17 17 Beweis durch Herleitung: Für ein beliebiges y 0 gilt y 1 = A y 0 + B y 2 = A y 1 + B = A 2 y 0 + AB + B y 3.. y k = A y 2 + B = A 3 y 0 + A 2 B + AB + B.. = A y k 1 + B = A k y 0 + A k 1 B + A k 2 B + + AB + B = A k y 0 + B (1 + A + A A k 1 ) = A k y 0 + B = A k y 0 + B k 1 i=0 A i 1 A k A 1 1 A k A = 1

18 18 Meist schreibt man die allgemeine Lösung der obigen Differenzengleichung für A 1 auch in der Form: y k = A k y 0 + B 1 Ak 1 A = A k y 0 + B (1 A k ) } 1 {{ A } = y = A k y 0 + y y A k = A k (y 0 y ) + y also y k = A k (y 0 y ) + y mit y = B 1 A, A 1

19 19 Aufgabe 6.2 Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Differenzengleichungen und diskutieren Sie das Verhalten der Lösungen (für k ). y k+1 2 y k = 10 mit y 0 = 1/2 2 y k+1 y k = 2 mit y 0 = 4 2 y k+1 + y k = 2 mit y 0 = 4 2 y k+1 4 y k = 2 mit y 0 = 2

20 20

21 Untersuchung des Lösungsverhaltens In der vorhergehenden Aufgabe hatten wir gesehen, dass das Lösungsverhalten einer linearen Differenzengleichung nur von der Zahl A abhängt. Das lässt sich nun wie folgt zusammenfassen: Fall 1: A 1 und y k y = A k (y 0 y ) Fall y k y y k A > 0 y k y y k monoton monoton A < 0 y k y y k alternierend oszillierend A > 1 y k y = A k y 0 y y k lim A k = + explosiv A < 1 y k y = A k y 0 y y k lim A k = 0 gedämpft und lim y k = y A explosiv monoton 1 0 gedämpft oszillierend 1 explosiv

22 22 Fall 2: A = 1 lim y k = lim (y 0 + Bk) k k = y 0 + B lim k k = { + B > 0 B < 0

23 23 Aufgabe 6.3 (Entwicklung eines Realvermögens) Es seien V t Realvermögen (am Ende des Jahres t) i Nominalzinssatz π Inflationsrate C realer Konsum (erfolgt zu Jahresbeginn) 1. Beschreiben Sie die Entwicklung des Realvermögens durch eine Differenzengleichung und lösen Sie diese. 2. Es gelte i = 4% und π = 2%. Wieviele Jahre lässt sich mit einem Vermögen von V 0 = , ein jährlicher Konsum von C = , garantieren?

24 Inhaltsverzeichnis 1 Zinseszinsformel 2 2 Kontinuierliche Verzinsung 4 3 Die Rentenformel 9 4 Der Barwert 13 5 Projektevaluierung 14 6 Linearen Differenzengleichung 1. Ordnung Einleitung Differenzengleichung und Lösung Untersuchung des Lösungsverhaltens

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Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: Zinsrechnung 4.2 Grundbegriffe der Finanzmathematik Im weiteren werden die folgenden Bezeichnungen benutzt: K 0 Anfangskapital p Zinsfuß pro Zeiteinheit (in %) d = p Zinssatz pro Zeiteinheit 100 q = 1+d Aufzinsungsfaktor

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