Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik

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1 Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik Lösung Version Cindy t 3000 geerbt. ) Den Betrg will sie so nlegen, dss sie in 20 Jren doppelt so viel Geld t. Berecne, zu welcem Zinsstz sie ds Geld nlegen muss. Ds Kpitl im Jr x erält mn, indem mn ds Strtkpitl n-ml mit dem Steigungsfktor (+p) multipliziert, wobei p ngibt, wie viel Prozent Zinsen mn bekommt: K x = K 0 p x K 20 =2 3000=3000 p 20 2= p 20 p= 20 2 p= ,035 Cindy muss für ds Geld 3,5% Zinsen erlten. b) Berecne, nc wie viel Jren sic ds Geld bei einem Zinsstz von 3% vervierfct t. Jedes Jr vermert sic ds Geld um ds,03-fce. K x =4 K 0 =K 0,03 x 4=,03 x x=log,03 4= lg 4 lg,03 46, Ds Kpitl t sic nc etw 47 Jren vervierfct. 2 Zur Fußbll-Europ-Meisterscft gibt es wieder einml versciedene Bilder-Smmellben. Firm verkuft ein Smmellbum für 3,90 und nimmt für ein Bild 25 Cent. Bei Firm 2 kostet ds Album nur 3,90, dfür muss mn ber für jedes Bild 27 Cent bezlen. Insgesmt bruct mn für ein vollständig usgefülltes Album jeweils 52 Bilder. Welces Angebot ist günstiger, wenn mn dvon usget, dss mn nur genu 52 Bilder kufen muss? ) Bescreibe, wie mn mit der Tbellenklkultion die Lösung finden knn. Gib n, ws in welce Splte, ws in welce Zeile kommt und gib die Formeln n, die merfc kopiert werden. Splte A: Anzl der Bildcen (b A3 bwärts) Splte B: Preis für Album Splte C: Preis für Album 2 Zeile : Überscriften Zeile 2: in B2: 3,90 in C2: 3,90 Zeile 3: in A3: in B3: =B2+0,25 in C3: =C2+0,27 Zeile 4: in A4: =A3+ Die Zellen A4, B3 und C3 werden nc unten kopiert b) Berecne die Bilderzl, für die beide Angebote gleic viel kosten. Für Album muss mn den Grundpreis 3,90 und 0,25 x für x Bilder bezlen, für Album 2 sind es 3,90 und 0,27 x für x Bilder: A x =0,25 x 3,90 A 2 x =0,27 x 3,90 A x =A 2 x 0,25 x 3,9=0,27 x 3,9 0=0,02 x x= 0 0,02 =500 Für 500 Bilder muss mn bei beiden Angeboten gleic viel bezlen. Ds knn mn uc m entsprecenden Ausscnitt in der Tbelle erkennen Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik - Lösung Seite /5

2 3 Ein Souvenirändler bietet Pyrmiden in versciedenen Größen n. Die Pyrmiden ben eine recteckige Grundfläce. Die kleinste Pyrmide t eine Grundfläce mit den Seiten =3cm und b=2cm. Die Höe der Pyrmide beträgt =5cm. Bei llen Pyrmiden, gleic welcer Größe, ist ds Längen-Verältnis entsprecender Seiten konstnt. Bei den verscieden großen Pyrmiden wäcst die Höe zur näcst größeren Pyrmide jeweils um cm n. ) Gib n und begründe, welce Art Wcstum der Grundfläcen bei den immer größer werdenden Pyrmiden vorliegt. Bei der Höe liegt lineres Wcstum vor (bei jedem Vergrößerungsscritt wird eine Konstnte ddiert). Auf Grund der Strlensätze wcsen dnn uc die Seiten der Grundfläce liner. D sic der Fläceninlt der Grundfläce us Breite ml Tiefe berecnet, wäcst die Grundfläce qudrtisc n. b) Berecne, um wieviel Zentimeter die Höe wcsen muss, dmit die Grundfläce 0-ml so groß ist wie die Grundfläce der kleinsten Pyrmide. Wäcst die Höe um ds x-fce n, so wäcst die Grundfläce um ds x 2 -fce. D x 2 =0 gilt lso x= 0 3,6. Die Höe muss lso 0 5cm 5,8 cm betrgen, lso um 5,8cm 5cm=0,8 cm bzw. cm wegen der Scrittweite cm ngewcsen sein. c) Berecne, um wieviel Zentimeter die Höe wcsen muss, dmit ds Volumen 0-ml so groß ist wie ds Volumen der kleinsten Pyrmide. Ds Volumen wäcst kubisc (wegen Breite ml Tiefe ml Höe ) mit der Höe, lso gilt ier x 3 =0 x= 3 0 2,5. Die Höe muss 3 0 5cm 0,8cm betrgen, lso um 0,8cm 5cm=5,8cm bzw. 6 cm wegen der Scrittweite cm ngewcsen sein. 4 Es wr einml ein Königreic, in dem der König m Jresende von llen Untertnen 0% ires Vermögens ls Steuer benspructe. Der Untertn Hägr sprte über viele Jre inweg immer genu 000 Tler pro Jr. Wie t sic wol die Größe seines Vermögens entwickelt? Bescreibe durc Angbe wictiger Formeln, wie mn mit der Tbellenklkultion die Entwicklung des Vermögens ermitteln knn und berecne, wie oc ds Vermögen nc vielen Jren sein wird. Im. Jr sprt Hägr 000 Tler und muss dnn m Jresende 0% dvon bgeben, lso 00 Tler. Zu Beginn des 2. Jres besitzt Hägr lso 900 Tler. Am Jresende werden von diesen 900 Tlern und den neu gesprten 000 Tlern wieder 0% bgezogen. Drus folgt für die Tbelle (nur eine von mereren denkbren Lösungen): Zeile : Überscriften Splte A: Anzl der Jre, beginnend mit Jr 0 (in A2: 0 ; in A3: =A2+ ; usw.) Splte B: Vermögen zu Beginn des Jres (in B2: 0 ; in B3: =(B2+000)*0,9;usw.) Ab Zeile 39 ändert sic der Wert des Vermögens in Splte B nict mer. Nc vielen Jren wird lso ds Vermögen 9000 Tler betrgen. Recnung dzu: Ds neue Vermögen (links) ergibt sic us dem lten Vermögen plus 000 Tler minus 0% Steuer (rects): V neu V lt 000 0, V lt 000 =0,9 V lt 000 Ds Vermögen ändert sic nict mer, wenn zwiscen dem V neu uf der linken Seite und dem V lt uf der recten Seite nict mer unterscieden werden knn. Also setzen wir V neu = V lt = V und recnen: V =0,9 V 000 V =0,9 V 900 0, V =900 V =9000 Auc ier ergeben sic 9000 Tler ls Grenzwert für ds Vermögen Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik - Lösung Seite 2/5

3 5 Zeige, dss folgende Tbelle zu einem qudrtiscen Wcstum geören knn und bestimme ncvollziebr den noc felenden Zlenwert für n=7. n f(n) ?=72. Differenzenfolge: Differenzenfolge: D die 2. Differenzenfolge für die ngegebenen Werte konstnt ist, knn ein qudrtisces Wcstum vorliegen. Die Werte werden nun solnge nc rects in ergänzt (rote Zlen), bis der Wert f(7) berecnet werden knn. Es ergibt sic f(7)=72. 6 In der Stdt gb es ein Optiker-Gescäft, bei dem sic n der Decke des Vorbus eine Kreissceibe mit einem druf ngebrcten Lserpointer mit konstnter Gescwindigkeit drete. Ddurc wurde n die Wnd des Gescäftes ein roter Punkt projiziert, der sic nc unten in immer scneller bewegte. ) Geen wir dvon us, dss zunäcst der Strl genu wgrect verläuft und dbei den Strtpunkt uf der Wnd mrkiert. Berecne, um wie viel sic der rote Punkt vom Strtpunkt us nc unten bewegt t, wenn die Sceibe sic um 0, um 20 und um 30 gedret t. Die Mitte der Sceibe ist von der Wnd,5m entfernt. α Im rectwinkligen Dreieck (siee Abbildung rects) gilt die Bezieung tn =. Mit den gegebenen Werten folgt drus: = tn =,5m tn =0 0 =0,26m ; =20 20 =0,55m ; =30 30 =0,87m b) Überlege und gib n, ob es sic bei der Zunme des Weges um ein lineres, ein qudrtisces oder ein exponentielles Wcstum ndeln knn und begründe die von Dir gegebene Antwort. Anmerkung: Zunme des Weges knn verstnden werden. ls Wegstrecke, die bei der Zunme des Winkels um 0 zurückgelegt wird oder 2. ls Zunme der Gesmtstrecke von der Decke des Vorbus bis zum ktuellen Ort des Lserpunktes. Hier wird entsprecend Aufgbenteil ) mit Interprettion 2 gerecnet. Interprettion ist ber uc gültig und gibt nloge Ergebnisse. Zu den Untersucungen knn mn noc den Messwert =0 0 =0 m inzunemen. Für lineres Wcstum müssten sic die berecneten -Werte der Reie nc um einen konstnten Wert untersceiden. Es ergeben sic die Differenzen 0,26-0 = 0,26 ; 0,55-0,26 = 0,29 ; 0,87-0,55 = 0,32. Die Ergebnisse sind nict gleic. Es liegt lso kein lineres Wcstum vor. Für qudrtisces Wcstum müsste die 2. Differenzenfolge konstnt sein. Die Differenzen der oben berecneten Ergebnisse liefern diese 2. Differenzenfolge: 0,29-0,26 = 0,03 ; 0,32-0,29 = 0,03. Im Rmen der Genuigkeit ergeben sic ttsäclic (llerdings bei nur 2 Werten) gleice Werte. Dss llerdings doc kein qudrtisces Wcstum vorliegen knn, siet mn, wenn mn versuct, den Weg zwiscen 80 und 90 zu berecnen. 90 existiert nict, weil der Lserstrl dnn prllel zur Wnd verläuft und diese nict erreict. Der Weg zwiscen 80 und 90 müsste unendlic lng sein und dmit ergäbe die 2. Differenzenfolge grntiert nict den Wert 0,03. Auc exponentielles Wcstum liegt nict vor, d sonst der Quotient zweier ufeinnder folgender Werte immer konstnt wäre: 0 get nict Divisiondurc 0 20 ; = 0, ,26 2,2 ; 30 = 0, ,55, Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik - Lösung Seite 3/5

4 7 Bei der nebensteend bgebildeten Dreiecksblume sind lle Dreiecke gleicseitig und ds Dreieck in der Mitte t die Seitenlänge. Wie us der Zeicnung zu erkennen ist, wird beim Übergng zum näcst kleineren Dreieck die Seitenlänge lbiert. ) Berecne, wie groß der Fläceninlt sämtlicer Dreiecke zusmmen ist. Dret mn die äußeren Dreiecks-Sclngen jeweils um 60 um die Ecken des großen zentrlen Dreiecks, so füllen sie den Innenrum des großen Dreiecks vollständig und überlppungsfrei us. Für die gesmte Fläce ergibt sic lso ds Doppelte der Fläce des großen Dreiecks. Fläceninlt eines gleicseitigen Dreiecks: Nc Pytgors gilt = = 2 3 Drus folgt: /2 Es sollte j ber berecnet werden... : D beim Übergng zu einem kleineren Dreieck die Seitenlänge lbiert wird, wird die Dreiecksfläce jeweils nur noc 4 der größeren Fläce betrgen. A = 2 = 2 2 3= Mit = beträgt der gesmte Fläceninlt A gesmt =2 A =2 3 3= 4 2 0,87 Die zweitgrößten Dreiecke ben wegen = 2 den Fläceninlt A= 3 6 A Sclnge = Eine ngeängte Dreiecks-Sclnge t dmit den Fläceninlt = = 3 6 = = 4 0,44. Die Gesmtfläce setzt sic us dem großen Dreieck und 3 Dreiecks-Sclngen zusmmen: 4 3 A gesmt =A groß 3 A Sclnge = = = 3 2 0,87 Benutzt wurde die Formel für die geometrisce Reie s= q (Formelsmmlung Seite 32) b) (nur für Zustzpunkte): Berecne den Umfng der gesmten Figur (lso nur die Längen der ußen liegenden Streckenbscnitte berücksictigen!). Bei llen Dreiecken liegen 3 lbe Seitenlängen n der Außenseite. Ds bedeutet für ds zentrle Dreieck eine Strecke der Länge 3 2 = 3 2, für ds näcst kleinere Dreieck die Länge 3 4 = 3 4 usw Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik - Lösung Seite 4/5

5 Für eine Dreiecks-Sclnge ergibt sic lso die Gesmtlänge = = 3 4 = 3 4 2= Der Gesmtumfng setzt sic zusmmen us U gesmt =U groß 3 U Sclnge = = = 2 2 =6 Der Gesmtumfng ist lso doppelt so groß wie der Umfng des zentrlen Dreiecks. viel erfolg bei der letzten rbeit in der sek.i ] Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik - Lösung Seite 5/5