dynamische Mengenbilanzen d dt c D(t) = k 1 c D (t), d dt c NO(t) = k 1 c D (t) k 2 o 2 c NO (t) 2. Anfangsbedingungen c D (0) = c 0, c NO (0) = 0.

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1 Tabelle 3.2: Stickxibilung urch Zerfall einer Dnrsubstanz Mellgrößen Größe Einheit Benennung Kmmentar t s Zeit c D (t) ml/l Knzentratin Dnr gesucht c NO (t) ml/l Knzentratin NO gesucht c ml/l Anfangsknzentratin Dnr bekannt ml/l Knzentratin O 2 bekannt k /s Reaktinsknstante Dnrzerfall gefittet k l 2 /(ml 2 s) Reaktinsknstante NO-Abbau gefittet ynamische Mengenbilanzen t c D(t) = k 1 c D (t), t c NO(t) = k 1 c D (t) k 2 2 c NO (t) 2. Anfangsbeingungen c D (0) = c 0, c NO (0) = 0. x Abbilung 3.4: Simulatin es NO-Experiments k1=3.0000e-003, k2=8.0000e Dnr: --,; NO: -, Simulatin: Dnr strichliert, NO urchgezgen. gegebene Daten: Dnr Sternchen, NO Kreise. t 33

2 3.3 Lösung vn DG, Simulatinen Allgemein ist ein System vn Differentialgleichungen (nach wie vr kurz DG) mit n Kmpnenten vn er Frm (3.16) t x(t) = f(t,x(t)) Rn, wbei er t-abhängige Zustan x zu jeem Zeitpunkt t ein Vektr mit n Kmpnenten ist x 1 (t) x(t) = R n x n (t) un f : R R n R n eine Funktin ist, ie ie Änerungsraten jeer Kmpnente melliert. Z.B. im NO-Mell haben wir n=2, un ( ) ( ) ( ) cd (t) x(t) = R 2 x1 k un f( ) = 1 x 1 c NO (t) x 2 k 1 x 1 k 2 2 x 2 2 mit psitiven Parametern k 1,k 2, 2 R. Ein Räuber-Beute Mell R(t) = αr(t)+βr(t)b(t) t B(t) = γb(t) δr(t)b(t) ǫb(t)2 t ( ) R(t) hat en Zustan x(t) = un ie Mellfunktin B(t) f ( x1 x 2 ) ( ) αx1 +βx = 1 x 2 γx 2 δx 1 x 2 ǫx 2 2 mit nicht-negativen Parametern α,β,γ,δ,ǫ. Dieses entsteht aus em iskreten RB Mell (2.12) nach Divisin urch t urch Grenzübergang t 0. Zusätzlich wure hier er Term ǫb(t) 2 eingeführt, er - wie im lgistischen Ppulatinsmell - eine begrenzte Kapazität es Lebensraums für ie Beute-Ppulatin arstellt. Eine Lösung er DG (3.16) ist eine Funktin x(t) R n, ie ie DG erfüllt, wenigstens auf einem gewissen Zeitintervall t [t 0,T]. Für lineare DG, als f(t,αx+βy) = αf(t,x)+βf(t,y) mit t,α,β R,x,y, R n gibt es systematische Methen, ie Lösungen arzustellen. Insbesnere für lineare DG mit knstanten Keffizienten, as sin DG er Frm x(t) = Ax(t)+g(t) Rn t 34

3 mit einer knstanten Matrix A R n n gibt es explizite Lösungen mit er Expnentialmatrix e At ; iese kann mit Hilfe er Eigenwerte vn A bestimmt weren (siehe Vektrrechnung für USW un Übung zum Kesselmell). In ieser DG wir g(t) als Inhmgenität bezeichnet un ist ein Beispiel afür, ass ie rechte Seite er DG nicht nur inirekt - als nur über x(t) - vn er Zeit abhängt. Für einige spezielle nicht-lineare DG gibt es spezielle Lösungsmethen (Trennung er Veränerlichen, integrierener Faktr, etc). Dch kann ie Lösung vieler nicht-linearer DG nicht explizit, als Frmel am Papier, angegeben weren, auch wenn bewiesen weren kann, ass es eine Lösung gibt. Beispiele sin as NO-Mell er as Räuber-Beute-Mell. (Trtzem kann man iese Melle mathematisch untersuchen: siehe qualitative Analyse mathematischer Melle.) In iesen Fällen muss man sich auf ie näherungsweise cmputergestützte Berechnung er Lösung eines Beispiels beschränken: man wählt ganz knkrete Werte für ie Mell-Parameter un einen knkreten Anfangszustan x(0) = x 0 R n un berechnet ie zugehörige Lösung näherungsweise zu iskreten Zeitpunkten. Un zwar am Cmputer, mit geeigneter numerischer Sftwre. Eine slche Beispiel-Rechnung nennt man numerische Simulatin. Jee Simulatin zeigt als (nur) ein ganz spezielles Beispiel einer Lösung. Dies steht im Gegensatz zu einer expliziten Lösung am Papier, in ie knkrete Parameter un knkrete Anfangszustäne erst eingesetzt weren können, un im Gegensatz zur qualitativen Analyse, ie Aussagen über Bereiche vn Anfangszustänen un Parametern macht (Beispiele siehe gleich). Die Simulatin liefert aber ganz knkrete Zahlenwerte für ie Kmpnenten es Zustansvektrs x(t k ) zu iskreten Zeitpunkten t k. Insfern ist eine Simulatin eine quantitative Methe. In vielen Fällen sieht man sich ie Zahlenwerte nicht genau an, snern erstellt sfrt eine graphische Darstellung er Lösung in em betrachteten enlichen Zeitintervall. Auch ie genauen Werte er Stützstellen t k interessieren ft nicht, im Gegenteil, wenn ie Schrittweiten t k+1 t k sehr klein sin, ann sieht ie graphische Darstellung er Kurven schön glatt un ifferenzierbar aus. Nur urch zm in ie Graphik hinein kmmt zum Vrschein, ass ie Kurve aus Geraenstücken mit Ecken besteht. Eine numerische Berechnung er Lösung einer Differentialgleichung basiert immer auf einer Diskretisierung. Diese führt (meist) auf eine Differenzengleichung, ie zeit-schrittweise iterativ gelöst wir. Das einfachste Verfahren ist as Euler Verfahren, as ie Ableitung urch Differenzenqutienten ersetzt un s aus er DG eine D-G macht. Startet man ie DG (3.16) beim Anfangswert x(t 0 ) = x 0 un wählt als iskrete Zeitpunkte t k = t 0 +k t,k = 1,...,K := T/ t mit einer festen Schrittweite t > 0, ann ergibt as Euler Verfahren ie Frmel x k+1 = x k + tf(t k,x k ) für ie näherungsweisen Werte er Lösung x(t) zu en Zeitpunkten t k [t 0,t 0 +T]. Gemetrisch beeutet iese Frmel, ass jee Kmpnente er Lösung vn (t k,x k ) aus entlang einer Geraen mit Anstieg f(t k,x k ) bis t k + t frtgesetzt wir (vgl. Abb. 3.5). 35

4 Abbilung 3.5: Schema es Euler Verfahrens Es gibt ausgefeilte Verfahren, ie für einen Zeit-Schritt ie rechte Seite er DG mehrfach auswerten un ie Wahl er Schritte er Dynamik er Näherungslösung un er vm Benutzer gefrerten Genauigkeit anpassen. Ziel ist gleichzeitig hhe Genauigkeit (im Vergleich mit er exakten Lösung) bei gleichzeitiger Effizienz im Rechenaufwan. Damit beschäftigt sich ie Numerische Mathematik. Im Prinzip kann eine numerische Lösung aber auch weit aneben liegen er sgar ttal falsch sein. Vertrauen er Misstrauen gewinnt er Benutzer urch numerische Experimente (Änerung er Mell-Parameter, er Startwerte, er Schrittweite un anerer Verfahrens-Parameter) un urch Plausibilitätsüberlegungen Parameterientifikatin Parameter sin Größen eines mathematischen Mells, ie zunächst nicht festgelegt sin, sass as mm im Prinzip eine Famlie gleichartiger Systeme melliert. Beipiele sin K,τ im lg. Ppulatinsmell, er λ im Kesselmell, er k 1,k 2, 2 im NO-Mell, etc. t 0 in (3.9) ist ein Parameter, er in er Lösung auftaucht. Anfangswerte weren nicht als Parameter interpretiert. Die erwähnten Parameter sin alle einzelne reelle Zahlen, enkbar sin aber auch Vektren er Funktinen, etc. Je weniger Parameter ein Mell enthält, est genauer ist as Mell festgelegt. Das Anpassen an Daten urch Drehen an en Parametern wir mitunter als unzulässiges Hinbiegen es Mells kritisiert. Ausserem sllten ie Mell-Parameter klare Beeutungen haben, wie z.b. ein Querschnitt in einem Strömungsmell er eine Reaktinsknstante in einem chemischen Mell. Aus Verlegenheit er Vrsicht eingeführte Parameter machen as mm weich. Ferner sllten ie Parameter vneinaner unabhängig sein, ie Änerung eines Parameters sll nicht 36

5 urch ie Änerung eines aneren kmpensierbar sein. Wenn nun Daten (=Messwerte) vrliegen (vgl. z.b. Abb. 3.3, 3.4), versucht man ie Mell-Parameter s innerhalb eines zulässigen Bereichs zu wählen, ass ie Mell-Vrhersagen möglichst gut zu en Daten passen. Man sllte nicht alle vrhanenen Daten zur Parameter-Anpassung verwenen, snern sich einen (möglichst) unabhängigen Teil avn zur Kntrlle aufheben, um en Vrwurf, as Mell hinzubiegen, zu entkräften. Bei er Suche nach geeigneten Parametern ist es vn unschätzbaren Wert, a priri etwas über ie Größenrnungen er Parameter zu wissen. Wer würe hne Vrkenntnisse auf ie Iee kmmen, ie Reaktins-Paramter k 1 bei 10 3 un k 2 bei 10 7 zu suchen? Un bei, sagen wir, k 1 = k 2 = 1 ist ie Simulatin en Daten nicht einmal ähnlich. Bei er Wahl schlechter Startwerte für ie autmatisierte Minimum-Suche (siehe b)) wir er Sucher mit grsser Wahrscheinlichkeit in einem lkalen Minimum stehenbleiben, bwhl er schlechte Fit zu en Daten graphisch ffensichtlich ist. Ausgehen vn einer Vrstellung über ie Größenrnungen, kann eine systematische Suche beginnen. Es gibt zwei gängige Vrgangsweisen: a) hänische Suche: eruiere ie Auswirkung vn Parameter-Änerungen (Kurveniskussin er urch graphisches Prbieren) un führe nach jeer Änerung er Parameter einen graphischen Vergleich er Lösung es Mells mit en Daten urch, wie in Abbilung 3.3 (Dem in er VO SW1 mit USA-Daten un lg. Ppulatinsmell). b) quantifiziere ie Abweichungen er Simulatinsergebnisse vn en Daten etwa als Summe er Fehlerquarate un führe eine autmatisierte Minimum-Suche urch (vgl. Abbilung 3.6) mit einem geeigneten Algrithmus (z.b. em Neler-Mea Simplex Verfahren) un zugehöriger Sftware. Dabei kann ie DG tausene Male simuliert weren müssen, um mit en aktuellen Parametern jeweils ie aktuelle Abweichung zu berechnen (Dem in er VO SW2 mit NO-Mell, ein erflgreiches Ergebnis ist in Abbilung 3.4 zu sehen). Natürlich kmmt es vr, ass keine gute Anpassung es Mells an gegebene Daten erzielt weren kann: ann muss as Mell verwrfen er zuminest überacht un mifiziert weren. Es ist für ie Mellierer ft verlcken, aber im Prinzip unzulässig, ie Daten in Zweifel zu ziehen. 3.4 Trajektrien im Zustansraum Wir können ie zeitliche Entwicklung in einem Mell graphisch arstellen, inem wir jee Zustansgröße als Funktin er Zeit zeichnen. Im Dnr-Prblem hat man z. B. ie beien Knzentratinen c D (t) un c NO (t),t 0, als zwei Kurven, wie in Abbilung 3.4. Aus iesen beien Kurven können wir eine einzige machen, wenn wir auf er waagrechten Achse nicht ie Zeit snern ie erste Zustanskmpnente c D (t) auftragen un auf er senkrechten ie zweite, c NO (t). Wir zeichnen als ie Kurve {(c D (t),c NO (t)), t 0}. Das 37

6 Abbilung 3.6: Autmatisierter Ablauf er Suche nach Parametern! "#$#%& '! (), ) - + #$#,. / ) 0 Ergebnis ist in Abbilung 3.7 zu sehen. Diese Abbilung ist wie flgt zu interpretieren: jeer Punkt er Kurve ist ein Zustan es Mells, er im Laufe er Simulatin angenmmen wure. Un zwar ist er Anfangszustan er Punkt (10 5,0) rechts unten. Vn rt bewegt sich er Zustan (c D (t),c NO (t)) mit frtschreitener Zeit t zunächst nach links ben, in Richtung höherer NO-Knzentratin un abnehmener Dnr-Knzentratin. Wenn er Maximalwert er NO-Knzentratin überschritten ist, bewegt sich as System nach links unten, beie Knzentratinen nehmen ab. Die Punkte auf er Kurve könnten wir mit er Han zeichnen, in em wir zu jeem Simulatins-Zeitpunkt t ie Größe vn c D (t) aus Abbilung 3.4 entnehmen un als waagrechte Krinate auftragen un als senkrechte Krinate ie Größe vn c NO (t) für ieselbe Zeit t. Die Kurve in Abbilung 3.7 heisst eine Trajektrie es Dnr-Mells. Sie besteht aus allen Punkten (c D (t),c NO (t)), ie as Mell, ausgehen vn einem speziellen Anfangswert, im Lauf er Zeit urchläuft. Obwhl c D auf er waagrechten un c NO auf er senkrechten Achse aufgetragen wir, ist ie Trajektrie nicht s zu interpretieren, ass c NO eine Funktin vn c D wäre. Die Trajektrie ist eine Teilmenge es Zustansraums, as ist er Vektrraum aller möglichen Zustäne; für as Dnrprblem ist er Raum zweiimensinal, eine Ebene. Definitin Die Werte er n Zustansgrößen eines Mells fassen wir zu einem Zustansvektr mit n Kmpnenten zusammen, kurz Zustan genannt. Der Raum aller Zustansvektren heisst er Zustansraum (er Phasenraum), as ist ein Vektrraum mit er Dimensin n. Die zeitliche Entwicklung eines kntinuierlichen mathematischen Mells erzeugt eine Trajektrie {(x 1 (t),...,x n (t)) : t t 0 } R n im Zustansraum, as ist eine Kurve, ie aus en Punkten besteht, ie er Zustan - ausgehen vn einem Anfangszustan zum Zeitpunkt t 0 - urchläuft. (In er englischsprachigen Literatur wir statt trajectry auch as Wrt rbit verwenet.) 38

7 Abbilung 3.7: Trajektrie es NO-Mells 3.5 x Knzentratin vn NO Knzentratin es Dnrs x 10 5 Beachten Sie, ass ie zwei Kurven in Abbilung 3.4 mehr Infrmatin beinhalten als ie Kurve in Abbilung 3.7 allein. Man kann nämlich, wie geschilert, vn er Abbilung 3.4 eineutig zur Trajektrie gelangen aber nicht umgekehrt: ie Zeit ist in Abbilung 3.7 nicht explizit enthalten. Daher sieht man einer Trajektrie hne Zusatzinfrmatin nicht an, w sie beginnt un enet. Auch über ie Geschwinigkeit mit er sich er Zustan änert ist in Abbilung 3.7 nichts enthalten. Aus Abbilung 3.4 wissen wir jech, ass er Zustan sich mit abnehmener Geschwinigkeit em Nullpunkt nähert. Wir könnten in Abbilung 3.7 Zusatzinfrmatin einzeichnen inem wir en Anfangszustan markieren, er ie Geschwinigkeit, mit er ie Trajektrie urchlaufen wir, aurch aneuten, ass wir in regelmäßigen zeitlichen Abstänen ein Symbl auf ie Trajektrie setzen. Dann würe er Abstan er Symble in Richtung links unten immer kleiner weren. Oft eutet man wenigstens ie Richtung, in er ie Trajektrie urchlaufen wir, mit Pfeilen an. 3.5 Qualitative Analyse Betrachten wir nun Simulatinsergebnisse es Räuber-Beute-Mells. Abbilung 3.9 a) zeigt ie Zeitplts R(t) un B(t) für R(0) = B(0) = 0.5,α,β,γ.δ = 1 un ǫ = 0. Unter b) ist ie zugehörige Trajektrie im (R,B)-Raum zu sehen (er Zustans raum ist hier 2-imensinal, eine Ebene). Die Trajektrie sieht fast wie eine geschlssene Kurve aus, was er Periizität er Lösung entspricht. Tatsächlich ist ie Abschwächung fast periisch nur auf ie Näherungsfehler er numerischen Simulatin zurückzuführen. Man kann nämlich mathematisch beweisen, ass ie exakten Lösungen es RB-Mells für ǫ = 0 un α,β,γ.δ > 0 periisch sin. Das ist ein Beispiel einer qualitativen Aussage über as 39

8 Abbilung 3.8: Simulatin mit em RB Mell: Trajektrie für ǫ = ε = Beute Raeuber RB-Mell, ie für einen grßen Bereich vn Parametern zutrifft. Ihr Beweis kann nicht urch viele Beispiele, sprich viele Simulatinen, ersetzt weren. Bemerkung. Abbilung 3.9 wure mit er Numerik-Sftware Matlab erstellt un es wure nicht versucht, en prinzipiellen Näherungscharakter zu verstecken. Das könnte man leicht machen, inem man vm DG-Löser in Matlab höhere Genauigkeit verlangt: ann würen Kurven entstehen, enen man ie Abweichung vn er Periizität nicht mehr mit freiem Auge ansieht. Eine weitere qualitative Aussage über as RB-Mell ist ie Existenz einer invarianten Teilmenge P es Zustansraums, nämlich P = {(R,B) R 2 : R > 0,B > 0}. Das beeutet: wenn ie Trajektrie zur Zeit t 0 innerhalb vn P startet, ann verlässt ie Kurve (R(t),B(t)) ie Menge P nie mehr, h. (R(t),B(t)) P für alle t t 0. Das Mell erfüllt aher ie wichtige un für ieses System natürliche Frerung, ass ie Teilppulatinen R(t) un B(t) nie negativ weren. Ebens ist es Gegenstan er mathematischen qualitativen Analyse eines ynamischen Mells, Gleichgewichtslagen (GG) aufzuspüren (er auszuschließen), un eren Stabilität zu untersuchen. Wie bei D-G (siehe SW1) geschieht Letzteres mit Hilfe er Ableitung vn f, er rechten Seite in (3.16). Die Ableitung ist eine n n Matrix. Das Kriterium für Differentialgleichungen ist ie Psitivität er Negativität er Realteile er Eigenwerte er Ableitung er rechten Seite er DG an er Gleichgewichtsstelle. Sin nämlich alle iese Realteile negativ, ann ist as GG lkal asympttisch stabil, ist einer ieser Realteile psitiv, ann ist as GG instabil. 40

9 Abbilung 3.9: Simulatin mit em RB Mell: a) Zeitplts, b) Trajektrie 2.2 ε = 0, a) R(t) urchgezgen, B(t) strichliert Zeit t 2.2 ε = 0, b) Beute Raeuber Die Stabilitätsbegriffe (lkal, glbal, asympttisch etc. ) sin für alle ynamischen Melle ieselben (wieerhle als iese Begriffe aus em Abschnitt Zeit-iskrete ynamische Melle, SW1). S ist er Mittelpunkt innerhalb er periischen Lösung in Abbilung 3.9 b) stabil aber nicht asympttisch stabil, enn alle Lösungen sin periisch un knvergieren aher nicht gegen as Gleichgewicht. Aners ist ie Situatin für ǫ > 0, wfür in Abbilung 3.8 ein Beispiel zu sehen ist. Beachten Sie auch rt wieer ie Ecken in er Trajektrie, ie numerische Artefakte sin. 41