3. Größenbereiche. Eine Größe muss sowohl von ihren Repräsentanten als auch von den Möglichkeiten der Benennung unterschieden

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1 S. Müller-Philipp Sachrechnen Größenbereiche Im Alltag treten Zahlen außer als Bezeichnungen (z. B. Telefonnummer, Kontonummer, Postleitzahl) besonders häufig als Maßzahlen auf (z. B. 100 g, 60 m 3, 39,90, 100 m, 30 km/h). Dies sind Namen für Größen. Daneben begegnen uns Zahlen als Stückzahlen wie in 6 Personen, 20 Kisten, 10 Eier. Dieser Gebrauch von Zahlen als Anzahlen bzw. Stückzahlen entspricht dabei dem Gebrauch von Zahlen als Maßzahlen. Im Folgenden werden wir sauber unterscheiden zwischen: - Repräsentanten von Größen (z. B. ein Stab) - Größen (z. B. Länge des Stabes) - Namen für Größen (z. B. 40 cm) Repräsentanten sind konkrete Objekte, mit denen man in einer bestimmten Art und Weise handelt. So lassen sich Stäbe miteinander vergleichen, indem man sie nebeneinander legt. Größen sind Abstraktionen. Z. B. ist die Länge eine gemeinsame Eigenschaft aller zueinander kongruenten (deckungsgleichen) Strecken. Namen für Größen setzen sich aus Maßzahl (40) und Maßeinheit (cm) zusammen. Man könnte leicht andere Namen für dieselbe Größe angeben, z. B. 0,4 m oder 400 mm. Eine Größe muss sowohl von ihren Repräsentanten als auch von den Möglichkeiten der Benennung unterschieden werden.

2 S. Müller-Philipp Sachrechnen Größenbereiche mathematisch (s. a. Strehl 1979 im Reader) Relationen Zunächst eine Wiederholung wichtiger Begriffe. Für eine Relation auf einer Menge M sind folgende Eigenschaften definiert: Reflexivität: Für alle a M gilt a a. Symmetrie: Für alle ab, Mgilt: Aus a b folgt b a. Antisymmetrie: Für alle ab, Mgilt: Aus a b und b a folgt a = b. Transitivität: Für alle abc,, Mgilt: Aus a b und b c folgt a c. Asymmetrie: Aus a b folgt: Es gilt nicht b a. Trichotomie: Für alle ab, M gilt: Entweder a b oder b a oder a = b. Ausgangspunkt für eine Größendefinition ist eine Äquivalenzrelation auf der Ebene der konkreten Gegenstände. Zur Erinnerung: Eine Relation auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Jede Äquivalenzrelation bewirkt auf der Menge, auf der sie definiert ist, eine vollständige Klasseneinteilung, d. h. jedes Element der Menge gehört genau einer Äquivalenzklasse an. Die Größe eines konkreten Gegenstandes G bezüglich einer Äquivalenzrelation ~ ist die Äquivalenzklasse aller zu G in Relation stehenden Repräsentanten.

3 S. Müller-Philipp Sachrechnen 43 Oder: Eine Größe eines konkreten Gegenstandes G ist die gemeinsame Eigenschaft aller in dieser Äquivalenzklasse liegenden Repräsentanten. Beispiele Weiterhin können wir Größen mittels der Kleiner-Relation miteinander vergleichen. Diese Kleiner-Relation ist eine strenge Ordnungsrelation mit Trichotomie-Eigenschaft. Zur Erinnerung: Eine Relation auf einer Menge M heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Eine Relation auf einer Menge M heißt strenge Ordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist. Beispiele

4 S. Müller-Philipp Sachrechnen 44 Für die grundschulrelevanten Größen gibt die folgende Tabelle einen Überblick über die Relationen: Größen Repräsentanten Äquivalenzrelation Ordnungsrelation Geldwerte Münzen, Scheine... hat dieselbe Kaufkraft wie...,... ist... ist weniger wert als... gleichwertig zu... Längen Stäbe, Strecken,... ist deckungsgleich... ist kürzer als... Schnüre... zu...,... ist so lang wie... Zeitspannen Vorgänge, Abläu-... dauert so lange wie... dauert kürzer als... Gewichte fe Körper, Gegenstände Flächeninhalte Flächenstücke, Platten, ist so schwer wie...,... hält Gleichgewicht mit ist zerlegungsgleich zu... (so groß wie) Rauminhalte Körper, Gefäße... fasst so viel wie...,... verdrängt so viel wie... (so groß wie) Stückzahlen endliche, nicht leere Mengen... ist gleichmächtig zu...,... hat so viele Elemente wie... ( geht schneller )... ist leichter als hat weniger Fläche als... (ist kleiner als)... fasst weniger als...,... verdrängt weniger als... (ist kleiner )... hat weniger Elemente als...

5 S. Müller-Philipp Sachrechnen 45 Die Addition ist die grundlegende Rechenoperation zwischen Größen. Um die Addition definieren zu können, greifen wir wieder auf die Repräsentanten aus den Äquivalenzklassen zurück. Allgemein gilt: Zwei Größen werden addiert, indem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt. Wie diese Vereinigung auf der Ebene der Repräsentanten aussehen kann zeigt die folgende Tabelle: Größen Summe a + b Differenz a b (für b < a) Geldwerte Zusammenlegen von Mengen von Münzen/Scheinen Wegnehmen einer Menge von Münzen/Scheinen von einer größeren Menge Längen Aneinanderlegen von Stäben Abtrennen eines Stabes von einem längeren Stab Zeitspannen Nacheinanderausführen zweier Vorgänge Abtrennen eines Vorgangs von einem längeren Vorgang Gewichte Zusammenlegen von Körpern Abtrennen eines Körpers von einem anderen Körper Flächeninhalte Aneinanderfügen zweier Abtrennen einer Fläche von Rauminhalte Stückzahlen Flächen Zusammenschieben von Körpern, Zusammenkippen zweier Wassermengen Zusammenfügen zweier disjunkter Mengen einer größeren Fläche Abtrennen eines Körpers, Ausschütten eines Teils der Wassermenge Wegnehmen einer Teilmenge von einer größeren Menge

6 S. Müller-Philipp Sachrechnen Definition Größenbereiche Definition: Eine nichtleere Menge G mit einer inneren Verknüpfung + und einer strengen Ordnungsrelation < heißt Größenbereich genau dann, wenn gilt: 1. Für alle abc,, Ggilt a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c. [Assoziativgesetz] 2. Für alle ab, Ggilt a+ b= b+ a. [Kommutativgesetz] 3. Für alle ab, Ggilt stets genau einer der 3 Fälle a< b, b< a, a= b. [Trichotomiegesetz] 4. a+ x= b ist lösbar mit x G genau dann, wenn a< b. [Lösbarkeitsbedingung] Für einen Größenbereich schreibt man ( G, +, < ) Beispiele: Alle 7 Größenbereiche der Grundschule sind wirklich Größenbereiche im Sinne der Definition. Gegenbeispiel: Temperaturen. [Begründung?] Mit Hilfe der Addition können wir können wir das Vervielfachen von Größen einführen. Wenn g eine Größe ist, dann definieren wir: n g = g+ K+ g [Das Ergebnis ist wieder eine Größe.] n Summanden Also: Größen lassen sich uneingeschränkt vervielfachen... Auf der Ebene der Repräsentanten bedeutet das, dass man den Repräsentanten einer Größe mehrfach zu sich selbst addiert, z. B. dieselbe Strecke mehrfach abträgt bzw. mehrfach Stäbe derselben Länge aneinanderlegt.

7 S. Müller-Philipp Sachrechnen Divisible Größenbereiche Problem 1: Lassen sich Größen eines Größenbereichs auch uneingeschränkt teilen? Mit anderen Worten: Gibt es zu einer Größe g G auch immer ihren n -ten Teil 1 g n? Wieder anders gefragt: Gibt es zu einer Größe g G immer eine Größe x G, deren n -faches genau g ist (so dass also n x= g ist)? Beispiele (Grundschule, Klasse 4): 5 Freundinnen bezahlen für eine Fahrt zusammen 1318,50. Wie viel muss jede bezahlen? Ein Weißstorch hat in 7 Tagen 2191 km zurückgelegt. Wie viel km flog er im Durchschnitt pro Tag? Ein kg Reis soll in 8 Portionen verteilt werden. Wie viel wiegt jede Portion? Alles Beispiele, bei denen die Division aufgeht! Definition Größenbereich mit Teilbarkeitseigenschaft : Ein Größenbereich ( G, +<, ) besitzt die Teilbarkeitseigenschaft (heißt divisibel), falls es zu jedem g G und jedem n ein x G gibt mit n x= g. Hinweis: In einem divisiblen Größenbereich ist das Problem 1 gelöst! Grund: 1 Gibt es x G mit n x= g, folgt x= g. n Fazit: In einem divisiblen Größenbereich lässt sich eine gegebene Größe immer beliebig teilen.

8 S. Müller-Philipp Sachrechnen 48 Welche Größenbereiche besitzen die Teilbarkeitseigenschaft? Größenbereich Mathematisch Praktischer Umgang in der Grundschule / im S I -Bereich (,+,<) NEIN Division mit Rest ( Geldmengen, +, < ) JA NEIN: Man kann 5 nicht gerecht an 7 Kinder verteilen! Also: Aufgaben, deren Lösung zu glatten Euro- bzw. Cent- Beträgen führt! ( Zeitspannen, +<, ) JA Allgemeine Aufgaben sind erst ( Längen, +<, ) ab Klasse 6 lösbar (Bruchrechnung)! ( Gewichte, +<, ) In der Grundschule: ( Flächeninhalte, +<, ) Aufgaben mit einfachsten ( Volumina, +<, ) Stammbrüchen bzw. mit zwei Nachkommastellen! ( + 0,+,<) JA Beliebige Aufgaben Größenbereiche der S I JA Beliebige Aufgaben Verteilen (oder auch Teilen) in divisiblen GB s: Mathematische Ebene (Arithmetik in der Grundschule): Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise disjunkte Mengen. Gegeben: Elementanzahl von M und Anzahl der Teilmengen; gesucht: Elementanzahl je Teilmenge. Sachebene: Gegeben ist ein Gegenstand (also ein Repräsentant einer Größe) und eine Anzahl n. Man möchte den Gegenstand in n Teile zerlegen. Frage: Wie groß werden die Teile? Das Ergebnis ist ein Teil des ursprünglichen Gegenstands (also ein Repräsentant einer neuen Größe).

9 S. Müller-Philipp Sachrechnen 49 Weiteres Beispiel für die Grundschule: Gegeben ist ein Tetrapack Saft mit dem Volumen 1 l, der in 5 gleichgroße Portionen gerecht verteilt werden soll. Das Ergebnis ist eine neue kleinere Saftmenge mit dem Volumen 200ml. Auf der Ebene der Größen lautet die zugehörige Rechnung: 1 l : 5 = 1000 ml : 5 =200 ml Kommensurable Größenbereiche Problem 2: Lässt sich in einem Größenbereichs G eine gegebene Größe g auch uneingeschränkt mittels einer anderen Größe h messen? Das heißt: Lässt sich g als ein rationales Vielfaches von h darstellen? Mit anderen Worten: Kann man zu zwei gegebenen Größen g G und h G immer eine Beziehung g = r h mit r + 0 finden? Beispiele (Grundschule, Klasse 4): Zur Herstellung von Milchprodukten, die jede Person in Deutschland jährlich im Durchschnitt verzehrt, werden ungefähr 350 l Rohmilch von der Kuh benötigt. Eine Kuh gibt im Jahr durchschnittlich 5500 l Milch. Wie viele Menschen können von einer Kuh versorgt werden? [Lösung: 5 r = A Also 16 Menschen.] 7 Grundschüler werden hier zur Lösung der Aufgabe 5500:350 den schriftlichen Divisionsalgorithmus benutzen, wenn sie ihn trotz der neuen Richtlinien für dreistellige Divisoren beherrschen; da nach einer Anzahl von Menschen gefragt ist, können sie diese Rechnung dann aber beim Wert 15,7 abbrechen und als Lösung sofort 16 Menschen angeben.]

10 S. Müller-Philipp Sachrechnen 50 Deutschland hat ungefähr 80 Millionen Einwohner. Wie viele Milchkühe muss es geben, damit die Versorgung aller dieser Menschen gewährleistet ist? Die deutschen Schulkinder trinken im Jahr etwa 132 Millionen l Schulmilchgetränke. Wie viele Kühe geben diese Menge Milch? Definition Größenbereich mit Kommensurabilitätseigenschaft : Ein Größenbereich ( G, +<, ) besitzt die Kommensurabilitätseigenschaft (heißt kommensurabel), falls es zu zwei beliebigen Größen g G und h G immer eine Größe e G gibt, so dass g und h ganzzahlige Vielfache von e sind, das heißt: g = m e, h = n e mit m,n 1. Hinweis: In einem kommensurabelen Größenbereich ist das Problem 2 gelöst! Grund: Gilt g = m e, h = n e mit m,n 1, folgt aus der zweiten h Gleichung e = und mittels der ersten Gleichung hat man: n h m g = m h n = n mit m +. n 0 Fazit: In einem kommensurablen Größenbereich lässt sich eine gegebene Größe immer mittels einer anderen Größe messen. Beispiele für kommensurable GB s: ( + 0,+,<), alle Größenbereiche der S I Gegenbeispiel: ( + 0,+,<)

11 S. Müller-Philipp Sachrechnen 51 Aufteilen (oder auch Messen) in kommensurablen GB s: Mathematische Ebene (Arithmetik in der Grundschule): Zerlegung einer Menge M in gleichmächtige, paarweise disjunkte Mengen. Gegeben: Elementanzahl von M und Elementanzahl je Teilmenge; gesucht: Anzahl der Teilmengen. Sachebene: Gegeben sind zwei Repräsentanten: der Repräsentant einer Größe und der Repräsentant eines Teils dieser Größe. Frage: Wie oft passt der kleinere Repräsentant in den größeren Repräsentanten? Das Ergebnis ist eine Zahl r + 0. [In der Grundschule sollte möglichst r sein oder (nach der Berechnung einer Nachkommastelle) ein gerundeter ganzzahliger Wert angegeben werden (wie etwa in der obigen Beispielaufgabe). Beispiel für die Grundschule: Gegeben sind ein Tetrapack Saft mit dem Volumen 1 l und ein Glas mit dem Volumen 200 ml.frage: Wie oft lässt sich das Glas mit dem Saft füllen? Das Ergebnis lautet: 5 Mal. Auf der Ebene der Größen lautet die zugehörige Rechnung: 1000 ml : 200 ml = Zusammenfassung: Wir haben es bei den Größenbereichen mit zwei Ebenen zu tun: Mit der Ebene der Repräsentanten und der Ebene der Größen. In der erstgenannten Ebene wird gehandelt, auf der zweiten gerechnet (gegebenenfalls Umwandeln in eine einheitliche Maßeinheit und dann Rechnen mit den Maßzahlen). Den Handlungen entsprechen Rechnungen und umgekehrt.

12 S. Müller-Philipp Sachrechnen 52 Abstrahieren Formalisieren Mathematisieren Handeln mit Repräsentanten Rechnen mit Größen Interpretieren Veranschaulichen Konkretisieren Die Größenbereiche der Grundschule und der S I sind - divisibel [bis auf (,+,<) ] - kommensurabel [bis auf ( + 0,+,<)] Aufteilen oder Verteilen? Aus dem Leben: Für den Abend haben Sie Freunde zum Doppelkopf eingeladen. Sie wollen Essen anbieten, haben aber nicht mehr viel Zeit für Vorbereitungen. Sie entscheiden sich für überbackene Mettbrötchen : Eine Brötchenhälfte mit etwa 50 g Mett bestreichen, Salzen, Pfeffern, darüber eine Chester-Scheiblette, Minuten im Backofen (Umluft, ca. 180 ) überbacken. Im Supermarkt ergattern Sie das letzte abgepackte Mett, 750 g. Wie viele Brötchen müssen Sie kaufen, wie viele Pakete Scheibletten? Wenn Sie wie geplant zu fünft sind, wie viele Brötchenhälften isst dann jeder im Mittel? Wenn Jens aber nicht kommt?

13 S. Müller-Philipp Sachrechnen 53 Zum Aufteilen: 750 g lassen sich problemlos in 50 g portionieren. Das letzte Mettpaket hätte aber auch 784 g enthalten können. Dann landen Sie bei der Gleichung 784 g = g + 34 g Wir haben es hier mit der Division mit Rest zu tun, wobei der Rest (34 g) kleiner ist als der Divisor (50 g), ansonsten hätten Sie eine weitere Brötchenhälfte belegen können (was dann das Verteilen vereinfacht, falls Jens mal wieder nicht kommt). In dieser Sachsituation ist das völlig unproblematisch (und irrelevant), da Sie 1. die 50 g schon schätzen und 2. den Rest auf die 15 Brötchenhälften verteilen können oder etwas sparsamer wirtschaften und gleich auf 16 Hälften aus sind. Anders sieht es aus, wenn Sie z. B. Regalbretter einer bestimmten (exakten!) Länge aus einem großen Brett schneiden müssen. Dann ist der Rest wirklich nur noch Anmachholz. Ein anderes Beispiel aus dem Leben: An das Amt für kommunale Abgaben der Stadt Münster habe ich im Jahr 2006 für Grundsteuer, Müllabfuhr, Entwässerung, Straßenreinigung,... einen Betrag von 923,77 zu entrichten. Kassiert wurde vierteljährlich, das Amt bemüht sich um glatte, möglichst gleich große -Beträge. Das geht natürlich nie auf. Also zahle ich am 15.2., 15.5., je 230 und im November sind 233,77 fällig. Man muss sich nur zu helfen wissen!

14 S. Müller-Philipp Sachrechnen Größenbereiche alltäglich Bisher haben wir zu einer vorgegebenen Größe einen bestimmten Repräsentanten betrachtet, z. B. einen Stab bei Längen. Nun sind aber Gegenstände des Alltags stets Repräsentanten für viele verschiedene Größen. Die Bewältigung des Alltags setzt die Kenntnis voraus, welche Größeneigenschaften die betreffenden Gegenstände haben. Beispiele: Ein normales Blatt der Größe DIN A 4 ist Repräsentant - für die Größe 5 g im Größenbereich Gewichte - für die Größe 29,7 cm im Größenbereich Längen - für die Größe 21 cm im Größenbereich Längen - für die Größe 623,7 cm 2 im Größenbereich Flächeninhalte -... Ein bestimmtes Pendel ist Repräsentant - für die Größe 1 m im Größenbereich Längen - für die Größe 2 sec im Größenbereich Zeitspannen - für die Größe 20 g im Größenbereich Gewichte -... Eine bestimmte Tafel Schokolade ist Repräsentant - für die Größe 100 g im Größenbereich Gewichte - für die Größe 49 Cent im Größenbereich Geldwerte -... Ein normaler Wassereimer ist Repräsentant - für die Größe 10 l im Größenbereich Rauminhalte - für die Größe 10 kg im Größenbereich Gewichte - für die Größe 28 cm im Größenbereich Längen -...

15 S. Müller-Philipp Sachrechnen 55 Umgekehrt sollte man zu jeder relevanten Größe möglichst viele verschiedene Repräsentanten kennen. Beispiele: Für die Größe 1 cm im Größenbereich Längen sind mögliche Repräsentanten - der Nagels eines kleinen Fingers - zwei Kästchen im Rechenheft - ein Stapel von 80 normalen Blättern - eine CD-Hülle - ein Stapel aus sechs 5-Cent-Münzen -... Für die Größe 1 kg im Größenbereich Gewichte sind mögliche Repräsentanten - ein Paket Zucker - eine Litertüte Milch - acht bis zehn mittlere Kartoffeln - zwei volle Gläser Senf (250 ml) -... Beispiele für weitere Alltagsgegenstände als Repräsentanten: Trinkpäckchen, Video-Kassette, Euro-Münze, Postkarte, Kaffeebecher, Sprungseil, Cola-Dose, Teelicht, Toilettenpapierrolle, Schülertisch im Klassenzimmer, Sportplatz,... Die Kenntnis der Größeneigenschaften einschlägiger Alltagsgegenstände bzw. die Kenntnis verschiedener Repräsentanten für einschlägige Größen (Stützpunktwissen) allein reicht nicht aus. Hinzukommen muss eine möglichst vielfältige, flexible Verbindung dieser (und weiterer) Wissensbestandteile und ihres Gebrauchs. Das folgende Poster soll das verdeutlichen:

16 S. Müller-Philipp Sachrechnen 56 Ein großes Problem mit dem Schätztest war sicher, dass manches Stützpunktwissen fehlte, oder, sofern es vorhanden war, nicht eingesetzt wurde. Auswertung des Schätztestes

17 S. Müller-Philipp Sachrechnen 57 Bei der Bearbeitung der Aufgaben des Testes sind sicher unterschiedliche Herangehensweisen vorgekommen: - Raten (z. B. Entfernung Erde Mond) - Wissen (z. B. Entfernung Erde Mond) - Schätzen (z. B. Breite des Tisches) - Überschlagen (z. B. Klinkersteine im Kubikmeter) - Rechnen (z. B. Flächeninhalt des DIN A 4 Blattes) - Messen (das war beim Test kaum möglich) - sowie Mischformen aus diesen Aktivitäten (z. B. Schätzen, wie hoch ein Stapel mit 500 Blatt Papier ist, dann überschlagsmäßiges Dividieren) Messen: Zum Messen gehören drei Teilaktivitäten: 1. Festlegen einer Einheit 2. Reale oder gedankliche Herstellung eines zweiten Repräsentanten durch Abtragen/Auslegen/Anfügen/... dieser Einheit so lange, bis dieser zweite Repräsentant äquivalent ist zu dem zu messenden Repräsentanten 3. Feststellen der Anzahl (= Maßzahl) der unter 2. benötigten Einheiten Schätzen: Schätzen ist vorgestelltes (d. h. verinnerlichtes) Handeln. Schätzen im Sinne von Vergleichen: Man stellt sich gedanklich die beiden Repräsentanten direkt nebeneinander vor oder neben einem Repräsentanten, der einem sehr vertraut ist.

18 S. Müller-Philipp Sachrechnen 58 Schätzen im Sinne von Messen: Man sucht einen Repräsentanten bekannter Größe und trägt diesen (als Maßeinheit) gedanklich ab. Wie breit ist der Tisch? Legen Sie sich gedanklich darauf. Wie weit hängen Sie über? (Schätzen i. S. v. Vergleichen) Stellen Sie sich vor, wie viele A 4 Blätter Sie nebeneinander legen könnten. (Schätzen i. S. v. Messen) Detaillierte Auswertung des Schätztestes