Kombinatorik für Klasse 8

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1 Kombiatorik für Klasse 8 Lisa Sauerma März 013 Kombiatorik ist ei Gebiet, das oft bei Mathematikolympiade vorkommt. Es gibt dabei Aufgabe i beliebige Schwierigkeitsstufe. I utere Klassestufe werde oft Aufgabe vom Typ der Aufgabe 4 gestellt. Solche Aufgabe löst ma wie weiter ute erklärt wird, aber wie euch sicherlich scho bekat ist. Deshalb solle diese Aufgabetype hier icht weiter besproche werde, wer sich dari usicher fühlt, fidet uter de Budesrudeaufgabe Klasse 8 aus de vergagee Jahre zahlreiche Beispiele. Oft sid diese och mit Wahrscheilichkeitsüberleguge bei irgedwelche Spiele mit bute Kugel i verschiedee Töpfe verbude. Dies macht die Aufgabe aber auch icht iteressater. Für eie zweite, bei Budesrude Klasse 8 oft vorkommeder Aufgabetyp ist Aufgabe 1 ei Beispiel. Auch diese Logikrätsel köt ihr bei Bedarf ahad vo alte Aufgabe übe. Hier solle dagege Kombiatorikaufgabe, die icht so stadardmäßig mit diesem Lösugsprizipie durchgehe, besproche werde. De auch solche Aufgabe fidet ma i Budesrude Klasse 8. Es gibt eiige Lösugstricks, die dafür ud auch für Olympiadeaufgabe i de kommede Jahre wichtig ud ützlich sid. Logik-Rätsel Aufgabe 1 (400841) Beim große Preis vo Schöheide wurde uter de Sprigreiter ei Steche erforderlich, a dem ur och Alex, Boris, Chris ud Day teilahme. Bei eiem solche Steche erreicht jeder der vier Reiter geau eie Platzummer (Erster, Zweiter, Dritter, Vierter). Eiige Fas machte Vorhersage, etwas ebulös, wie sie es gewoht ware. Sie sagte: (1) Jede der vier Platzummer wird geau eimal erreicht. () We Alex icht erster wird, da wird Chris Vierter. (3) Ud we Chris Dritter wird, da wird Alex sogar Letzter. (4) Nu, jedefalls wird Alex, vergliche mit Day, eie bessere Platz erreiche. (5) Immerhi: We Boris icht Erster wird, da wird Alex Dritter. (6) We Chris Zweiter wird, da wird Day gewiss icht Vierter. This material belogs to the Public Domai KoSemNet data base. It ca be freely used, distributed ad modified, if properly attributed. Details are regulated by the Creative Commos Attributio Licese, see For the KoSemNet project see 1

2 (7) We Chris sogar Erster wird, da wird Day Zweiter. (8) We aber Day icht Zweiter wird, da wird auch Boris icht Zweiter. Ei weiterer Fa, der das hörte, meite: We alle Vorhersage wahr sid, da gibt es ja höchstes eie Möglichkeit, wie sich die Plätze verteile! Zeige, dass er recht hat! Wie lautet diese Platzverteilug? Weise auch ach, dass i der Tat bei dieser Platzverteilug alle Vorhersage (1) bis (8) wahr sid! Hiweis: Eie Aussage vom Typ We-da, i der die mit We eigeleitete ud ohe dieses We betrachtete Aussage falsch ist, ist wahr. Bei solche Aufgabe empfiehlt es sich, eie Tabelle mit de Zeile Alex, Boris, Chris, Day ud de Spalte Erster, Zweiter, Dritter, Vierter azulege ud die eizele Aussage dort eizutrage. Mit verschiedee Farbe (deshalb immer Butstifte oder Fielier zu Klausure mitehme!) ka ma da die Aussage vom Typ We-da eitrage. So behält ma die Übersicht ud kommt zügig zur Lösug. Permutatioe, Variatioe, Kombiatioe Aufgabe Die 16 Budesläder ehme bei der Budesrude i der (ioffizielle) Läderwertug eie eideutige Ragfolge vo 1 bis 16 ei. Wie viele Möglichkeite gibt es für die Reihefolge der Platzierug vo Sachse, Sachse-Ahalt, Thürige, Bradeburg, Berli ud Meckleburg-Vorpommer? Wie viele Möglichkeite gibt es, we Sachse die Budesrude gewit? Aufgabe 3 Sachse ud NRW sid bei der Budesrude besodere Kokurrete. Wie viele Möglichkeite für die Platzieruge vo Sachse ud NRW ierhalb der 16 Budesläder gibt es isgesamt? Aufgabe 4 (360941, Aufgabetext geädert) Ei Fotoklub möchte eie Serie vo Blätter zum Verteile herstelle. Auf jedem Blatt solle 6 Bilder sei. Für solche Bilder stehe isgesamt 10 verschiedee Motive zur Verfügug. Jede mögliche Zusammestellug vo 6 verschiedee dieser Motive soll i eier beliebige Reihefolge auf geau eiem Blatt vorkomme. Wie viele solche Blätter gibt es da? Wieviele Exemplare (kleistmöglihe Azahl) vo jedem der Motive reiche aus? I Aufgabe geht es um die mögliche Reihefolge der 6 geate Budesläder. Für Sachse gibt es 6 Möglichkeite (Erster dieser 6, Zweiter dieser 6,... ). Für Sachse-Ahalt verbleibe och 5 Möglichkeite (eie hat Sachse ja scho belegt). Für Thürige gibt es also och 4, für Bradeburg 3, für Berli ud für Meckleburg-Vorpommer 1 Möglichkeit. Das macht isgesamt = 70 Möglichkeite. Wisse wir scho, dass Sachse Erster ist, müsse wir die Azahl der mögliche Reihefolge der adere 5 Budesläder festlege. Nach dem gleiche Prizip ergebe sich dafür = 10 Möglichkeite. Diese Aufgabe ka ma atürlich auch für jede beliebige positive gaze Zahl löse. Das Produkt der gaze Zahle vo 1 bis bezeichet ma als! ( Fakultät). Die Azahl der Möglichkeite, Objekte i eie Mögliche Reihefolge zu brige, ist also!. Diese

3 mögliche Reihefolge bezeichet ma auch als Permutatioe. Es gibt also! verschiedee Permutatioe eier Mege aus Objekte. Die Zahl 0! bezeichet das leere Produkt (es gibt ja keie Faktor). Deshalb wird 0! = 1 defiiert. I Aufgabe 3 ka ma die gleiche Lösugsidee awede: Für die Platzierug vo Sachse gibt es 16 Möglichkeite ud für die Platzierug vo NRW da och 15. Also gibt es isgesamt = 40 Möglichkeite. Es wird also der Reihefolge ach erst für Sachse eie der 16 Platzummer ausgewählt ud da für NRW eie davo verschiedee. Uter Beachtug der Reihefolge aus Objekte k verschiedee auszuwähle, gibt es also ( 1)... ( k + 1) =! ( k)! Möglichkeite. Diese heiße Variatioe. I Aufgabe 3 war = 16 ud k =. I Aufgabe 4 geht es um Kombiatioe vo 6 verschiedee Bilder aus 10. Beachte wir ihre Reihefolge auf de Blätter, erhalte wir die 10! 4! verschiedee Variatioe. Jede Kombiatio kommt i 6! verschiedee Reihefolge vor, die Reihefolge ist us aber egal. Also müsse wir die Azahl der Variatioe durch 6! teile ud erhalte 10! 4! 6! = 10 verschiedee Blätter. Nu ist die Azahl der Exemplare vo jedem Bild gefragt. Jedes Bild soll mit jeder Kombiatio aus 5 der übrige 9 Bilder geau eimal auftauche. Für die Azahl dieser Kombiatioe gibt es u 9! 4! 5! = 16 Möglichkeite, also braucht ma vo jedem Bild 16 Exemplare. Aus Objekte k verschiedee ohe Beachtug der Reihefolge auszuwähle, gibt es also! k! ( k)! Möglichkeite. Aufgabe 5 (America High School Mathematics Examiatio 1989) Herr ud Frau Zeta wolle ihrem Baby zwei Vorame gebe, sodass die drei Iitialie paarweise verschiede ud i alphabetischer Reihefolge sid. Wie viele Möglichkeite gibt es für das Moogramm ihres Babys? Aufgabe 6 (America High School Mathematics Examiatio 1988) Am Ede eies Bowlig-Turiers gibt es ei Edspiel der beste 5 Bowler der Vorrude. Zuerst spielt der Füfte gege de Vierte. Der Verlierer bekommt de 5. Preis ud der Gewier spielt ei Spiel gege de Dritte. Dabei bekommt der Verlierer de 4. Preis ud der Gewier spielt gege de Zweite. Dabei bekommt der Verlierer de 3. Preis ud der Gewier spielt gege de Erste. Der Gewier dieses Spiels bekommt de 1. Preis ud der Verlierer de. Preis. Wie viele verschiedee Verteiluge der Preise gibt es auf die 5 Beste der Vorrude? Aufgabe 7 (America Mathematics Cotest 1 001) Eie Spie hat eie Strumpf ud eie Schuh für jedes ihrer 8 Beie. I wie viele verschiedee Reihefolge ka sich die Spie ihre Strümpfe ud Schuhe aziehe, we a jedem Bei der Strumpf vor dem Schuh agezoge werde muss? Aufgabe 8 (America Ivitatioal Mathematics Examiatio 1996) Zwei Felder eies 7 7-Quadrates sid gelb gefärbt, die adere grü. Zwei Färbuge werde als gleich agesehe, we ma sie durch Drehug auseiader erhalte ka. Wie viele verschiedee Färbuge gibt es? 3

4 Biomialkoeffiziete! Die Azahl k! ( k)! der Kombiatioe vo k Objekte aus gegebee bezeichet ma als ) (lies: über k). Wir defiiere also ( k = k! k! ( k)!. Diese Schreibweise ( k) wird als Biomialkoeffiziet bezeichet. Wieviel ist ( ( 0), ( 1), ) ( k, ) (, ( 1) ud )? Diese Schreibweise wolle wir u bei der Beatwortug folgeder Frage beutze: Was ergibt sich beim Ausmultipliziere vo (a + b)? Es ergibt sich sicherlich eie Summe lauter Terme der Form a i b i, de jeder Faktor (a + b) der Potez steuert etweder ei a oder ei b bei. Wie viele Summade a i b i gibt es für eie feste gaze Zahl 0 i? Es muss bei jedem solche Summade geau i Faktore (a + b) der Potez gebe, die ei a beisteuer. Wie viele Möglichkeite gibt es für diese i Faktore? Nu, das ist eie beliebige Kombiatio vo i der isgesamt Faktore. Es gibt also ( ) i Möglichkeite. Damit taucht der Summad a i b i geau ( i) mal i der Summe auf. Es gilt also ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a b + + a b. 0 1 Dies köe wir auch schreibe als (a + b) = a i b i. i Das Summezeiche ist die Abkürzug eier Summe mit viele Summade. Es wird für die Laufvariable, hier i, der Reihe ach 0 (siehe uter dem Summezeiche) bis (über dem Summezeiche) eigesetzt ud jedesmal der Term ( i) a i b i gebildet. All diese Terme werde summiert. Ausgeschriebe heißt das Summezeiche also tatsächlich a i b i = i a 0 b a 1 b Somit habe wir de Biomische Lehrsatz hergeleitet. a b + + Satz 1 Für reelle Zahle a ud b ud eie icht egative gaze Zahl gilt (a + b) = a i b i. i a b. Der Spezialfall = des Biomische Lehrsatzes ist die erste biomische Formel. Wie erhält ma die zweite biomische Formal aus dem Biomische Lehrsatz? Zwische de Biomialkoeffiziete gibt es zahlreiche Idetitäte ud Beziehuge, vo dee hier ur sehr weige behadelt werde. Solche Beziehuge ka ma durch eie kombiatorische Iterpretatio oder durch Herumreche mit de Fakultätsausdrücke achweise. 4

5 Eie direkt aus der Defiitio der Biomialkoeffiziete folgede Idetität ist diese: Für ichtegativ, gaz ud 0 k gaz gilt ( ) ( ) = k k Setze wir im Biomische Lehrsatz a = b = 1, erhalte wir folgede sehr hübsche Idetität für alle ichtegative gaze Zahle Für 1 gaz ud 0 k 1 gaz gilt + 1 = k + 1 ( k ) + =. k + 1 =. i Dies Formel lässt sich am eifachste durch eie kombiatorische Iterpretatio zeige. Tipp: Stelle dir Schüler beim Ladessemiar vor, vo dee eier zu spät zum Vortrag kommt. Aufgabe 9 (Rumäische Mathematikzeitschrift) Sei eie ugerade Zahl größer 1. Zeige, dass die Folge ( ) ( ) ( ),,..., 1 1 eie ugerade Azahl ugerader Zahle ethält. Biomialkoeffiziete komme auch vor, wo ma sie gar icht vermutet: Aufgabe 10 Fide eie Ausdruck als Biomialkoeffiziete für die Azahl der Möglichkeite, 009 als Summe vo 48 positive gazzahlige Summade darzustelle (zwei Darstelluge gelte hier auch als verschiede, we sie sich ur i der Reihefolge der Summade uterscheide)! Aufgabe 11 (America Ivitatioal Mathematics Examiatio 1998) Fide die Azahl geordeter Quadrupel (x 1, x, x 3, x 4 ) positiver ugerader Zahle mit x 1 +x +x 3 +x 4 = 98. Aufgabe 1 (America High School Mathematics Examiatio 1994) Neu Stühle i eier Reihe solle vo 6 Schüler ud de drei Lehrer Herr Alpha, Herr Beta ud Herr Gamma belegt werde. Die drei Lehrer betrete de Raum zuerst ud wolle sich so hisetze, dass jeder ebe zwei Schüler sitze wird. Wie viele Möglichkeite habe die drei Lehrer, sich hizusetze? Aufgabe 13 Fide die Azahl der Möglichkeite, aus de gaze Zahle vo 1 bis 18 füf Zahle auszuwähle, so dass sich je zwei davo um midestes uterscheide. 5

6 Doppeltes Abzähle ud Permutatioe Eie sehr wichtige Beweismethode bei Kombiatorikaufgabe ist doppeltes Abzähle. Die Idee ist eifach: Wir zähle die Azahl bestimmter Dige auf zwei verschiedee Weise. Da müsse beide Azahle gleich sei. Dies ka ma beispielsweise beutze um Idetitäte zu zeige, die ma dazu kombiatorisch iterpretiert. Oder aber ma ka zeige, dass beispielsweise irgedwelche Azahle gerade sei müsse, weil sie sich auf eie adere Art ud Weise abzähle lasse, bei der offesichtlich eie gerade Azahl herauskommt. Ma beutzt doppeltes Abzähle oft scho ituitiv ohe es zu merke, z. B. we ma eie Haufe Bobos i Füferhäufche zerlegt, um leichter achzähle zu köe. Um das Prizip also gut zu verdeutliche, behadel wir eie schwere Beispielaufgabe, die ma ohe bewusstes Awede dieser Tehik vermutlich ur sehr umstädlich löse ka. Beschäftige wir us aber zuächst och eimal etwas äher mit Permutatioe, die ja ei wichtiges Thema i der Kombiatorik sid. Betrachte wir eie Permutatio P der Mege {1,, 3,..., }. Diese köe wir u folgedermaße iterpretiere: Die Zahle vo 1 bis, die afags geordet sid, vertausche sich u ud stelle sich i der vo P vorgegebee Reihefolge auf. Dabei laufe sie wild durcheiader. Aber betrachte wir u die Art ud Weise ihrer Vertauschug ahad eies Beispiels: Es sei = 7 ud P = Die 1 geht zum Platz der 5. Die 5 hat diese Platz verlasse ud ist u auf dem Platz der. Die ist auf dem Platz der 3 ud die 3 ist auf dem Platz der 1. So habe die Zahle 1,5,,3 zyklisch getauscht (also eie Rigtausch gemacht). Auch 6,7 bilde eie Zyklus (i Form eier eifache Vertauschug dieser zwei Zahle). 4 bildet alllei eie Zyklus, diese Zahl ist stehe gebliebe. Das et ma auch Fixpukt. Auf diese Art ud Weise lässt sich jede Permutaio i Zykle zerlege. Wie sieht eie Permutatio vo {1,, 3,..., } aus, bei der jede Zahl allei i eiem solche Zyklus liegt? Fide ei Beispiel eier Permutatio, die isgesamt ei Zyklus ist (sich also icht i och kleiere zerlege lässt)! Vo besoderem Iteresse sid die Fixpukte, d. h. die Zahle k, die bei der Permutatio a der k-te Stelle stehe (also ihre Platz icht äder). Dazu folgede Aufgabe, die ma mit doppeltem Abzähle löse ka. Aufgabe 14 (1. Aufgabe IMO 1987) Sei S die Mege {1,, 3,..., }. Wir bezeiche die Azahl der Permutatioe vo S, die geau k Fixpukte habe, mit p (k). Zeige, dass k p (k) =! gilt. Tipp: Iterpretiere die Summade als Azahle. Graphe Graphe sid ei gutes Mittel zur Veraschaulichug vo Freudschafts- oder Feischaftsbeziehuge zwische Persoe. Grob gesagt besteht ei Graph aus eier edliche Azahl vo Ecke (auch Kote get) ud Kate als Liie zwische zwei Ecke. Beispielsweise köte wir eie Graphe mit de gerade awesede Persoe als Ecke zeiche, bei dem je zwei Ecke geau da verbude sid, we sich die etsprechede Persoe scho vor dem Ladessemiar kate. 6

7 Folgede Aufgabe lässt sich leicht mithilfe vo Graphe ud doppeltem Abzähle löse Aufgabe 15 I eiem Raum befide sich gewisse Persoe, vo dee sich eiige per Hadschlag begrüßt habe ud eiige icht. Zeige, dass die Azahl der Persoe, die ugerade viele adere die Had gegebe hat, gerade ist. Aufgabe 16 Auf eier Party sid Persoe ud jede Perso hat eie gerade Azahl a Freude. (We A mit B befreudet ist, da ist auch B mit A befreudet; keier ist mit sich selbst befreudet). Zeige, dass es zwei Persoe mit eier gerade Azahl gemeisamer Freude auf der Party gibt. I eiem Graphe ka ma auch Kate färbe, wie i dieser Aufgabe: Aufgabe 17 6 Pukte i der Ebee sid paarweise durch Strecke verbude. Jede dieser 15 Strecke ist rot oder blau gefärbt. Zeige, dass es ei eifarbiges Dreieck gibt. Aufgabe Mathematiker korrespodiere paarweise miteiader über jeweils geau eies der folgede drei Medie: Post, Fax, . Zeige, dass es drei dieser 17 Mathematiker gibt, die paarweise mit dem gleiche Medium korrespodiere. Ivariazprizip Das Ivariazprizip als wichtige Methode soll hier icht fehle. Das Fide vo Ivariate (Größe, die währed eies Prozesses gleich bleibe) oder Halbivariate (Größe, die sich bei eiem Prozess stets verkleier oder stets vergrößer) ist bei mache Aufgabe zur Lösug uumgäglich. Aufgabe 19 I eiem 4 4-Quadrat steht auf 15 Felder 1 ud auf eiem Feld 1. I eiem Schritt darf ma i eier Zeile, eier Spalte oder eiem -Quadrat alle Vorzeiche äder. Ka ma dadurch erreiche, dass überall Eise stehe? Aufgabe 0 (Klausur beim Ladessemiar 004 Klasse 8) Auf eier abgelegee Isel lebe 50 braue, 57 grüe, 6 gelbe ud 68 rote Frösche. Immer, we sich drei Frösche uterschiedlicher Farbe begege, verwadel sie sich i zwei Exemplare der vierte Farbe. Irgedwa hat ma festgestellt, dass alle verbleibede Frösche die gleiche Farbe habe. Welche Farbe ist das? Kombiatorische Geometrie I de letzte Jahre kame i de Budesrude Klasse 8 erstaulich viele Aufgabe aus dem Bereich der kombiatorische Geometrie vor, deshalb wolle wir us auch damit och ei weig beschäftige. Aufgabe 1 I der Ebee seie Gerade i allgemeier Lage (d. h. keie zwei parallel ud keie drei scheide sich i eiem Pukt). Wie viele Schittpukte gibt es? I wie viele Teilstücke wird die Ebee zerlegt? 7

8 Aufgabe (40845) Im Ier eies Quadrats seie geau 187 Pukte markiert. Es solle Dreiecke gezeichet werde, die eiader icht überdecke ud folgede Forderuge erfülle: (1) Eckpukte eies Dreiecks sid etweder markierte Pukte oder Eckpukte des Quadrats. () Midestes ei Eckpukt eies Dreiecks muss eier der markierte Pukte sei. Wie viele Dreiecke lasse sich uter diese Voraussetzuge höchstes bilde? Aufgabe 3 (430845) I eiem Lad seie die gegeseitige Etferuge aller Städte verschiede groß. Eies Tages startet i jeder Stadt ei Flugzeug ud fliegt ach der ächstgelegee Stadt. Nach der Ladug aller Flugzeuge stellt sich heraus, dass i keier Stadt mehr als füf Flugzeuge geladet sid. Zeige, dass das kei Zufall ist. Hiweis: Es ist zu beweise, dass uter de geate Voraussetzuge höchstes füf Flugzeuge i dersellbe Stadt lade köe. Aufgabe 4 (44084) Wir betrachte i eier Ebee rote ud blaue Pukte, vo dee iemals mehr als zwei Pukte auf eier Gerade liege. a) Zeiche 4 rote ud blaue Pukte so, dass jedes aus 3 rote Pukte gebildete Dreieck, wir werde es rotes Dreieck ee, geau eie der blaue Pukte i seiem Ier ethält. b) Zeiche 4 rote ud 4 blaue Pukte so, dass jedes rote Dreieck geau eie blaue Pukt ud jedes blaue Dreieck geau eie rote Pukt i seiem Ier ethält. c) Welche Bedigug müsse die 4 rote Pukte erfülle, damit die i Teil a) ud Teil b) geate Forderuge erfüllbar sid? Aufgabe 5 (470845) Der Mathematiker Dr. Eieck verastaltet eie Dekerparty. Dazu treib er i jede Ecke seies dreieckige Gartes eie Pflock ud schlägt zusätzlich isgesamt weitere Pflöcke am Rad oder im Ier der Rasefläche ei. Ierhalb des Rases seie geau k Pflöcke (0 k ) eigesetzt, ud vo ihe liege keie drei auf eier gemeisame Gerade. Nu befestigt er möglichst viele, icht ubedigt gleich lage Hägematte a de Pflöcke, die eiader icht überscheide dürfe. Auf diese Weise wird das Rasedreieck i Teildreiecke zerlegt, i die er jeweils eie Stehtisch mit Papier, Schreibzeug ud Geträke stellt. a) Ermittle die Azahl s der Stehtische ud die Azahl h der Hägematte für folgede kokrete Fälle: = 3 ud k =0, 1, oder 3 = 4 ud k = 0 Hiweis: Dabei reicht es, jeweils eie solche Fall zu betrachte, obwohl es verschiedee Möglichkeite für die Platzierug der Pflöcke gibt. 8

9 b) Gib jeweils eie Formel für die Azahl s(, k) vo Stehtische ud die Azahl h(, k) vo Hägematte i Abhägigkeit vo ud k a ud bereche s(33, ) ud h(33, ). c) Beweise die Richtigkeit dieser beide Formel. Weiteres Traiig Die beste Vorbereitug auf die Budesrude oder kommede Olympiade ist meier Meiug ach das Traiig ahad vo alte Aufgabe. Auf der Iteretseite des Mathematikolympiadevereis fidet sich das Aufgabearchiv mit de Aufgabe der vergagee zeh Jahre ( Ei Klassiker zum Olympiadetraiig ist Problem Solvig Strategies vo Arthur Egel, Spriger-Verlag. Vor dem Eglisch sollte ma keie Agst habe, da der Autor ei Deutscher ist, ist es sehr verstädlich geschriebe. Als gutes Buch voller Kombiatorikaufgabe ka ich 10 Combiatorial Problems vo Titu Adreescu, Zumig Feg (Birkhäuser) empfehle, viele Aufgabe dieses Vortrags etstamme diesem Buch (frei übersetzt). Attributio Sectio sauerma (Mrz 013): Für KoSemNet freigegebe. graebe ( ): Nach de KoSemNet Regel aufbereitet. 9