Kapitel 12. Lagrange-Funktion. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28. f (x, y) g(x, y) = c. f (x, y) = x y 2

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1 Kapitel 12 Lagrange-Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28 Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne die Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung f (x, y) g(x, y) = c Beispiel: Wir suchen die lokalen Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung f (x, y) = x y 2 g(x, y) = x + y = 3 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 2 / 28 Graphische Lösung Im Falle von zwei Variablen können wir das Problem graphisch lösen. 1. Zeichne die Nebenbedingung g(x, y) = c in die xy-ebene ein. (Kurve in der Ebene) 2. Zeichne geeignete Niveaulinien der zu optimierenden Funktion f (x, y) ein. 3. Untersuche an Hand der Zeichnung welche Niveaulinien den zulässigen Bereich schneiden und bestimme die ungefähre Lage der Extrema. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 3 / 28

2 Beispiel Graphische Lösung g Minimum in (2, 1) 1 f f = λ g 2 x + y = 3 Extrema von f (x, y) = x y 2 gegeben g(x, y) = x + y = 3 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 4 / 28 Lagrange-Ansatz Sei x ein Extremum von f (x, y) gegeben g(x, y) = c. Dann müssen f (x ) und g(x ) proportional sein: f (x ) = λ g(x ) wobei λ eine geeignete Proportionalitätskonstante ist. f x (x ) = λ g x (x ) f y (x ) = λ g y (x ) g(x ) = c Umformen ergibt g f x f x (x ) λ g x (x ) = 0 f y (x ) λ g y (x ) = 0 c g(x ) = 0 Linke Seite ist Gradient von L(x, y; λ) = f (x, y) + λ (c g(x, y)) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 5 / 28 Lagrange-Funktion Wir erzeugen uns aus f, g und einer Hilfsvariablen λ eine neue Funktion, die Lagrange-Funktion: L(x, y; λ) = f (x, y) + λ (c g(x, y)) Die Hilfsvariable λ heißt Lagrange-Multiplikator. Lokale Extrema von f gegeben g(x, y) = c sind kritische Punkte der Lagrangefunktion L: L x = f x λ g x = 0 L y = f y λ g y = 0 L λ = c g(x, y) = 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 6 / 28

3 Beispiel Lagrangefunktion Wir suchen die lokalen Extrema der f (x, y) = x 2 + 2y 2 gegeben g(x, y) = x + y = 3 Lagrangefunktion: L(x, y, λ) = (x 2 + 2y 2 ) + λ(3 (x + y)) Kritische Punkte: L x = 2x λ = 0 L y = 4y λ = 0 L λ = 3 x y = 0 einziger kritischer Punkt: (x 0 ; λ 0 ) = (2, 1; 4) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 7 / 28 Geränderte Hesse-Matrix Die Matrix 0 g x g y H(x; λ) = g x L xx L xy g y L yx L yy heißt geränderte Hesse-Matrix. Hinreichende Bedingung für lokales Extremum: Sei (x 0 ; λ 0 ) ein kritischer Punkt von L. H(x 0 ; λ 0 ) > 0 x 0 ist lokales Maximum H(x 0 ; λ 0 ) < 0 x 0 ist lokales Minimum H(x 0 ; λ 0 ) = 0 keine Aussage möglich Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 8 / 28 Beispiel Geränderte Hesse-Matrix Wir suchen die lokalen Extrema der f (x, y) = x 2 + 2y 2 gegeben g(x, y) = x + y = 3 Lagrangefunktion: L(x, y, λ) = (x 2 + 2y 2 ) + λ(3 x y) Kritischer Punkt: (x 0 ; λ 0 ) = (2, 1; 4) Determinante der geränderten Hesse-Matrix: 0 g x g y H(x 0 ; λ 0 ) = g x L xx L xy = = 6 < 0 g y L yx L yy x 0 = (2, 1) ist ein lokales Minimum. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 9 / 28

4 Viele Variablen und Gleichungen Berechne die Extrema der Funktion f (x 1,..., x n ) unter den Nebenbedingungen g 1 (x 1,..., x n ) = c 1. (k < n) g k (x 1,..., x k ) = c k Optimierungsproblem: min / max f (x) gegeben g(x) = c. Lagrange-Funktion L(x; λ 1,..., λ k ) = f (x) + k i=1 λ i (c i g i (x)) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 10 / 28 Vorgangsweise Kritische Punkte 1. Stelle Lagrange-Funktion L auf: L(x 1,..., x n ; λ 1,..., λ k ) = f (x 1,..., x n ) + k i=1 λ i (c i g i (x 1,..., x n )) 2. Berechne die ersten partiellen Ableitungen von L. 3. Setze alle ersten partiellen Ableitungen gleich Null und lösen das so entstandene Gleichungssystem mit n + k Unbekannten in n + k Gleichungen. 4. Die ersten n Komponenten (x 1,..., x n ) sind die Koordinaten der gesuchten kritischen Punkte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 11 / 28 Beispiel Kritische Punkte Wir suchen die kritischen Punkte von f (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 1) 2 + (x 2 2) x 2 3 unter den Nebenbedingungen x x 2 = 2 und x 2 x 3 = 3 Lagrange-Funktion: L(x 1, x 2, x 3 ; λ 1, λ 2 ) = ((x 1 1) 2 + (x 2 2) x 2 3 ) + λ 1 (2 x 1 2 x 2 ) + λ 2 (3 x 2 + x 3 ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 12 / 28

5 Beispiel Kritische Punkte Partielle Ableitungen (Gradient): L x1 = 2 (x 1 1) λ 1 = 0 L x2 = 2 (x 2 2) 2 λ 1 λ 2 = 0 L x3 = 4 x 3 + λ 2 = 0 L λ1 = 2 x 1 2 x 2 = 0 L λ2 = 3 x 2 + x 3 = 0 Die kritischen Punkte von L erhalten wir durch Nullsetzen der ersten partiellen Ableitungen: (lineares Gleichungssystem) x 1 = 6 7, x 2 = 10 7, x 3 = 11 7 ; λ 1 = 26 7, λ 2 = Der einzige kritische Punkt von f unter dieser Nebenbedingungen ist somit x 0 = ( 6 7, 10 7, 11 7 ). Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 13 / 28 Geränderte Hesse-Matrix g g x x n g H(x; λ) = k g x 1... k x n g 1 g x 1... k x 1 L x1 x 1... L x1 x n g 1 g x n... k x n L xn x 1... L xn x n Sei B r (x; λ) der (k + r)-te führende Hauptminor von H(x; λ). Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 14 / 28 Hinreichende Bedingung Sei (x 0 ; λ 0 ) ein kritischer Punkt von L. ( 1) k B r (x 0 ; λ 0 ) > 0 für alle r = k + 1,..., n x 0 ist lokales Minimum ( 1) r B r (x 0 ; λ 0 ) > 0 für alle r = k + 1,..., n x 0 ist lokales Maximum (n ist die Anzahl der Variablen x i und k ist die Anzahl der Nebenbedingungen.) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 15 / 28

6 Beispiel Hinreichende Bedingung Suchen Extrema von f (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 1) 2 + (x 2 2) x 2 3 unter den Nebenbedingungen x x 2 = 2 und x 2 x 3 = 3 Lagrange-Funktion: L(x 1, x 2, x 3 ; λ 1, λ 2 ) = ((x 1 1) 2 + (x 2 2) x 2 3 ) + λ 1 (2 x 1 2 x 2 ) + λ 2 (3 x 2 + x 3 ) Kritischer Punkt von L: x 1 = 6 7, x 2 = 10 7, x 3 = 11 7 ; λ 1 = 26 7, λ 2 = Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 16 / 28 Beispiel Hinreichende Bedingung Geränderte Hesse-Matrix: H(x; λ) = Variablen, 2 Nebenbedingungen: n = 3, k = 2 r = 3 B 3 = H(x; λ) = 14 ( 1) k B r = ( 1) 2 B 3 = 14 > 0 Bedingung erfüllt ( 1) r B r = ( 1) 3 B 3 = 14 < 0 nicht erfüllt Der kritische Punkt x 0 = ( 6 7, 10 7, 11 7 ) ist ein lokales Minimum. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 17 / 28 Globale Extrema Sei (x, λ ) ein kritischer Punkt der Lagrange-Funktion L des Optimierungsproblems min / max f (x) gegeben g(x) = c Falls L(x, λ ) konkav (konvex) in x ist, dann ist x ein globales Maximum (globales Minimum) von f (x) gegeben g(x) = c. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 18 / 28

7 Beispiel Globale Extrema (x, y ; λ ) = (2, 1; 4) ist ein kritischer Punkt der Lagrange-Funktion des Optimierungsproblems min / max f (x, y) = x 2 + 2y 2 gegeben g(x, y) = x + y = 3 Lagrangefunktion: L(x, y, λ ) = (x 2 + 2y 2 ) + 4 (3 (x + y)) Hesse-Matrix: ( ) 2 0 H L (x, y) = 0 4 L ist konvex in (x, y). (x, y ) = (2, 1) ist ein globales Minimum. H 1 = 2 > 0 H 2 = 8 > 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 19 / 28 Beispiel Globale Extrema (x ; λ ) = ( 6 7, 10 7, 11 7 ; 26 7, 44 7 ) ist ein kritischer Punkt der Lagrange-Funktion des Optimierungsproblems min / max f (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 1) 2 + (x 2 2) x3 2 gegeben g 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 = 2 Lagrangefunktion: g 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 x 3 = 3 L(x; λ ) = ((x 1 1) 2 + (x 2 2) x 2 3 ) 26 7 (2 x 1 2 x 2 ) (3 x 2 + x 3 ) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 20 / 28 Beispiel Globale Extrema Hesse-Matrix: H L (x, y) = H 1 = 2 > 0 H 2 = 4 > 0 H 3 = 16 > 0 L ist konvex in x. x = ( 6 7, 10 7, 11 7 ) ist ein globales Minimum. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 21 / 28

8 Interpretation des Lagrange-Multiplikators Die Lage des Extremums x des Optimierungsproblems min / max f (x) gegeben g(x) = c hängt von c ab, x = x (c), und somit auch der Extremalwert von f : Wie ändert sich f (c) mit c? f (c) = f (x (c)) f (c) = λ j (c) Der Lagrange-Multiplikator λ j gibt also an, wie sich der Extremalwert ändert, wenn die Konstante c j der Nebenbedingung g j (x) = c j verändert wird. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 22 / 28 Herleitung Im Optimum stimmen L und f überein. Daher ist f (c) = L(x (c), λ(c)) [ Kettenregel ] = = n i=1 L xi (x (c), λ(c)) } {{ } = 0 da kritischer Punkt L(x, c) = ( = λ j (c) f (x) + (x (c),λ (c)) k i=1 x i (c) + ) λ i (c i g i (x)) L(x, c) (x (c),λ (c)) (x (c),λ (c)) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 23 / 28 Beispiel Lagrange-Multiplikator (x, y ) = (2, 1) ist ein Minimum des Optimierungsproblems min / max f (x, y) = x 2 + 2y 2 gegeben g(x, y) = x + y = c = 3 mit λ = 4. Wie ändert sich der Minimalwert f von f, wenn sich c ändert? d f dc = λ = 4 Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 24 / 28

9 Umhüllungssatz (Envelope-Theorem) Wie ändert sich das Extremum f des Optimierungsproblems min / max f (x, p) gegeben g(x, p) = c wenn sich der Parameter (die exogene Variable) p ändert? f (p) p j = L(x, p) p j (x (p),λ (p)) Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 25 / 28 Beispiel Roys Identität Maximiere Nutzenfunktion max U(x) gegeben p t x = m Maximaler Nutzen hängt von Preisen p und Einkommen m ab: U = U (p, m) [ indirekte Nutzenfunktion ] Lagrange-Funktion L(x, λ) = U(x) + λ (m p t x) und somit U p j = L p j = λ x j und x j = U / p j U / m U m = L m = λ [ Marshallsche Nachfragefunktion ] Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 26 / 28 Beispiel Shephards Lemma Minimiere Ausgaben min p t x = m gegeben U(x) = ū (Minimale) Ausgabenfunktion hängt von p und ū ab: e = e(p, ū) Lagrange-Funktion L(x, λ) = p t x + λ (ū U(x)) e = L = x j [ Hicks sche Nachfragefunktion ] p j p j Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 27 / 28

10 Zusammenfassung Optimierung unter Nebenbedingungen Graphische Lösung Lagrange-Funktion und Lagrange-Multiplikator Extremum und kritischer Punkt Geränderte Hesse-Matrix Globale Extrema Interpretation des Lagrange-Multiplikators Umhüllungssatz Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 28 / 28