Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung

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1 INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum: Uhrzeit: 3:30 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel: Formelsammlung wird gestellt), Taschenrechner nicht programmiert) eine DIN A-Seite mit beliebigem Text oder Formeln beidseitig) Name: Matrikelnummer: Aufgabe 3 Summe Punkte Bewertung: Es können nur Ergebnisse und Aufgabenteile berücksichtigt werden, die nachvollziehbar bzw. begründet sind. Jedes abzugebende Blatt ist mit Namen und Matrikelnummer zu kennzeichnen. Bitte nicht mit Bleistift oder Rotstift schreiben!

2 Aufgabe : Punkte) Gegeben is die Implementierung eines linearen zeitinvarianten Systems mit der Übertragungsfunktion Hz) in Direkter Form II: xn) yn) 8 z z a) Geben Sie die Differenzengleichung des Systems an. 3) b) Geben Sie die Übertragungsfunktion Hz) an. 3) c) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm von Hz). ) d) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich von Hz). ) e) Prüfen Sie die Kausalität, Stabilität und Minimalphasigkeit des Systems. 3) f) Berechnen Sie die Impulsantwort hn) des Systems. 5) g) Hz) soll mit einem FIR-System H z) nährungsweise nachgebildet werden. { hn) 0 n h n) = 0 sonst Berechnen Sie das Ausgangsfolge yn) dieses Systems, wenn die Folge xn) = δn) + δn ) am Eingang angelegt wird. )

3 Aufgabe : 6 Punkte) I. Gegeben is eine endliche Folge xn) = δn) + δn ) + δn 3) a) Geben Sie die -Punkte-DFT Xk) für k = 0,,, 3 an. 3) b) Berechnen Sie die inverse -Punkte-DFT von Y k) = Xk), um die Folge yn) zu erhalten. Geben Sie yn) für n = 0,,, 3 an. 5) c) Wie groß muß die DFT-Länge N mindestens gewählt werden, damit sich yn) = xn) xn) ergibt? ) II. Die lineare Faltung einer Folge xn) der Länge 500 mit einer Impulsantwort hn) der Länge 6 soll implementiert werden. Dabei wird die DFT und inverse DFT der Länge 6 verwendet. a) Welche minimale Anzahl von 6-Punkte-DFTs und welche minimale Anzahl von inversen 6-Punkte-DFTs sind für die Implementierung dieser linearen Faltung benötigt, wenn das Select-Saving-Verfahren angewendet wird? 5) b) Welche minimale Anzahl von 6-Punkte-DFTs und welche minimale Anzahl von inversen 6-Punkte-DFTs sind für die Implementierung dieser linearen Faltung benötigt, wenn das Overlap-Add-Verfahren angewendet wird? 5) c) Es is bekannt, dass für eine N-Punkte-DFT oder eine inverse DFT N/ log N Multiplikationen und N/ log N Additionen erforderlich sind, wenn N eine Potenz von ist. Vergleichen Sie die Anzahl der Multiplikationen und Additionen, die bei dem Select-Saving-Verfahren, dem Overlap-Add-Verfahren und der direkten Faltung erforderlich sind. 6) 3

4 Aufgabe 3: 6 Punkte) I. Ein zeitdiskretes Eingangssignal ist durch eine sinusformige Grundschwingung und ihre ersten beiden Oberwellen gegeben: xn) = a 0 cos ω 0 n) + a cos ω 0 n) + a cos 3ω 0 n) wobei die normierte Kreisfrequenz der Grundschwingung ω 0 = π ist. Das Eingangssignal soll durch ein kausales nicht-rekursives Filter verarbeitet werden, so dass als Ausgangssignal yn) dieses Filters nur die erste Oberwelle erscheint. Die Amplitude und die Phasenlage der ersten Oberwelle brauchen dabei nicht originalgetreu erhalten zu bleiben. a) Wieviel Nullstellen muß die Übertragungsfunktion Hz) des Filters mindestens besitzen? Skizzieren Sie die Anordnung dieser Nullstellen in der z-ebene. 7) b) Geben Sie Hz) als Polynom in z an. 3) c) Geben Sie das Ausgangssignal yn) als Funktion der diskreten Zeit an. ) II. Gegeben ist das Blockdiagramm eines Systems mit der Übertragungsfunktion Hz): xn) z z yn) a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion Hz). 7) b) Geben Sie die Impulsantwort hn) an. 5)

5 Aufgabe : 7 Punkte) Für die Einseitenbandmodulation wird der Hilbert-Transformator verwendet. Die Impulsantwort des idealen Hilbert-Transformators ist gegeben durch: h H n) = { πn für n ungerade 0 für n gerade a) Die Impulsantwort wird für eine praktische Anwendung verkürzt: { hh n) für n 3 h T,H n) = 0 sonst Bestimmen Sie den Frequenzgang H T,H e jω ). 5) b) Die verkürzte Impulsantwort h T,H n) des Hilbert-Transformators ist nicht kausal. Geben Sie die kausale Impulsantwort hn) mit minimaler Verzögerung in Abhängigkeit von h T,H n) an. Geben Sie den hn) entsprechenden Frequenzgang He jω ) in Abhängigkeit von H T,H e jω ) an. Ist das Filter He jω ) linearphasig? Geben Sie die Phase φw) für ω π an. 6) Der Hilbert-Transformator H H e jω ) kann vom einen Tiefpassfilter H T P e jω ) abgeleitet werden: H H e jω ) = jh T P e jω+ π ) ) ) c) Geben Sie die Beziehung zwischen Im{H H e jω )} und Re{H T P e jω )} an. ) d) Die Toleranzschemata für Im{H H e jω )} und Re{H T P e jω )} mit einer maximalen Abweichung von σ H = 0. sind gegeben. Re{H T P e jω )} Im{H H e jω )} σ T P σh π ω,t Pω,T P π σ T P ω π π 6 π 6 π ω Geben Sie die Eckfrequenzen des Durchlassbereichs ω,t P, des Sperrbereichs ω,t P und die Abweichung σ T P des Tiefpassfilters H T P e jω ) an. 6) e) Um das digitale Tiefpassfilter zu entwerfen wird zuerst ein analoges Tiefpassfilter entworfen. Danach wird das digitale Tiefpassfilter aus dem analogen Tiefpassfilter mit Hilfe der Bilinear-Transformation gewonnen. Die Abtastfrequenz ist 8kHz. Geben Sie die Eckfrequenzen des Durchlassbereichs Ω,T P und des Sperrbereichs Ω,T P des entsprechenden analogen Tiefpassfilters H T P jω) an. ) 5

6 f) Ein Butterworth-Filter ist mathematisch beschrieben: HjΩ) = + ) n Ω Ω C Ω C : Grenzfrequenz n: Filterordnung Geben Sie die Filterordnung für eine Realisierung des analogen Tiefpassfilters durch ein Butterworth-Filter an. 6) 6

7 Aufgabe : Lösung Frühjahr 007 a) b) Hz) = yn) yn ) yn ) = xn) + xn ) 8 + z z = z + z 8 z z z 8 = zz + ) z )z + ) Im{z} j / / Re{z} c) j d) Konvergenzbereich von Hz): z > e) Hz) ist kausal, da Nennergrad = Zählergrad. Hz) ist stabil, da Pole im Einheitkreis liegen. Die Nullstelle z o, = liegt auf den Einheitkreis. Deshalb ist Hz) grenzstabil). Daraus folgt, dass Hz) nicht minimalphasig ist. nicht stabil f) g) Hz) = z + z z )z + ) = z z hn) = z z + = ) n un) n un) ) h n) = {, 5, 7 6 } z + z yn) = {, 5, 3 6, 5, 7 6 }

8 Aufgabe : Lösung Frühjahr 007 I. a) Xk) = 3 n=0 xn)w kn W = e j π = + W k + W6 3k Xk) = {5, j,, + j} b) c) N + = 7 Y k) = Xk) = {5, 3 j,, 3 + j} yn) = 3 Y k)w kn n=0 = j)w n + W n j)w 3n ) yn) = {8, 8, 5, } II. a) Select-Saving: L DF T = 6 wählen 6 Nullen am Anfang der Folge einfügen die Folge in Blöcke der Länge 6 mit Überlappung der Länge 6 aufteilen Effektive Werte für einen Block: 6-6+ Für Eingangsfolge: N SS,DF T,input N SS,DF T,input = 9 Für Impulsantwort: N SS,DF T,impuls = N SS,DF T = N SS,DF T,input + N SS,DF T,impuls = 0 N SS,IDF T = N SS,DF T,input = 9 b) Overlapp-Add: L DF T = 6 wählen die Folge in Blöcke der Länge = 59 aufteilen Für Eingangsfolge: N OA,DF T,input N OA,DF T,input = 9 Für Impulsantwort: N OA,DF T,impuls = N OA,DF T = N OA,DF T,input + N OA,DF T,impuls = 0 N OA,IDF T = N OA,DF T,input = 9 c) Direkte Faltung: Multiplikation: ) = 3000 Addition: ) = 500 Select-Saving:

9 Multiplikation: 0 + 9)3.ld6) = 368 Addition: 0 + 9).3.ld6) = 368 Overlapp-Add: Multiplikation: 0 + 9)3.ld6) = 368 Addition: 0 + 9).3.ld6) =

10 Aufgabe 3: Lösung Frühjahr 007 I. a) Um die Komponente cos ω 0 n) = ejω 0n + e jω 0n ) zu unterdrücken, muß He jω ) bei ω = ±ω 0 verschwinden, d.h. es sind zwei Nullstellen nötig: z 0, = e ±jω 0. Die Underdrückung der zweiten Oberwelle ergibt analog: z,3 = e ±j3ω 0. Insgesamt muß Hz) vier Nullstellen aufweisen. z Im{z} j z 0 Re{z} z3 j z b) Hz) ist ein kausales nicht-rekursives Filter. Hz) = z ej π )z e j π )z e j 3π )z e j 3π ) z = + z c) yn) = a [He jω 0 ).e jω 0n + He jω 0 ).e jω 0n ] yn) = a [ + e j8ω 0 ).e jω 0n + + e j8ω 0 ).e jω 0n ] = a cos ω 0 n) xn) un) z z wn) yn) II. a) Uz) = W z) + Xz) ) W z) = Uz)z + W z)z ) Y z) = Uz) + W z) 3) ) Uz) = z z)w z) ) ) in 3) Y z) = z z)w z) + W z) = W z)z z + ) ) in ) Xz) = z z)w z) W z) = W z)z z ) Hz) = Y z) Xz) = z z + z z

11 b) z z = z )z + ) Hz) = z z + z z = 3 z + z 3 z + = 3 z z + 3 z + z hn) = 3 un ) + ) n un) n un ) 3 ) 5

12 Aufgabe : Lösung Frühjahr 007 a) H T,H e jω ) = 3 n= 3 h T,H n)e jωn = π e jωn e jωn ) + 3π e j3ωn e j3ωn ) H T,H e jω ) = j π sin ω + sin 3ω) 3 b) hn) = h T,H n 3) He jω ) = e j3ω H T,H e jω ) = π e j3ω e π sin ω + sin 3ω) 3 Impulsantwort hn) ist ungerade symmetrisch zum Punkt n = 3 lineare Phase { 3ω π sin ω + sin 3ω) 0 φω) = 3 3ω + π sin ω + sin 3ω) < 0 3 c) Im{H H e jω )} = Re{H T P e jω+ π ) )} ) Re{H T P e jω+ π ) )} = Im{H He jω )} + d) ω,t P = π π 6 = π 3 ω,t P = π + π 6 = π 3 σ T P = σ H = 0.05 e) Ω,T P = T tan ω,t P ) = 6000 tan π 6 ) = 937.6Hz Ω,T P = T tan ω,t P ) = 6000 tan π 3 ) = 77.8Hz f) Butterworth-Filter: HjΩ) = + ) n Ω Ω C Ω C : Grenzfrequenz, n : Ordnung) Abweichung im Durchlassbereich: σ T P ) HjΩ,T P ) = + Ω,T P Ω C ) n Ω,T P Ω C ) n ) σ T P ) Abweichung im Sperrbereich HjΩ,T P ) = + Ω,T P Ω C ) n σ T P Ω,T P Ω C ) n σ T P ) 6

13 ) n ) ) Ω,T P σt P Ω,T P σ T P ) σt P log σ T P ) σ T P σ T P σt P n log ω =,T P ω,t P Ω,T P Ω,T P ) n log log σ T P σ T P ) σ T P σ T P σ T P = 3.73 n = =