Rechnerstrukturen WS 2012/13

Transkript

1 WS 2012/13 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Hazards (Wiederholung/Abschluss) Programmierbare Bausteine Einleitung Einsatz von PLAs Sequenzielle Schaltungen Einleitung Hinweis: Folien teilweise a. d. Basis von Materialien von Thomas Jansen 6. November 2012 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 1

2 Zusammenfassung: Statische/Dynamische Hazards Wir haben korrektes Schaltnetz S für f. Wir betrachten Eingabewechsel von a auf b. 1. Funktionswert bleibt gleich: f(a) = f(b) Am Ausgang von S liegt kurzzeitig ein anderer Wert an. statischer Hazard 2. Funktionswert ändert sich: f(a) f(b) Am Ausgang von S ändert sich der Wert mehrfach. dynamischer Hazard Weitergehende Klassifikation Manche Hazard heißen Funktionshazards. Die übrigen Hazards heißen Schaltungshazards. º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 2

3 Definition Definition Schaltungshazard Schaltnetz S für f hat einen statischen Schaltungshazard, wenn es a,b {0,1} n gibt, so dass f bezüglich a,b keinen statischen Funktionshazard hat, aber beim Eingabewechsel von a nach b am Ausgang von S nicht notwendig stabil f(a) anliegt. Definition Schaltnetz S für f hat einen dynamischen Schaltungshazard, wenn es a,b {0,1} n gibt, so dass f bezüglich a,b keinen dynamischen Funktionshazard hat, aber beim Eingabewechsel von a nach b am Ausgang von S mehr als ein Funktionswertwechsel auftreten kann. Beachte: Auftreten nicht garantiert! º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 3

4 Beispiel statischer Schaltungshazard f(x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f(x 1,x 2,x 3 ) x 1 x 2 x 3 & 1 a = 111, f(a) = 1 b = 101, f(b) = 1 klar kein Funktionshazard Gar kein c zwischen a und b! & 1 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 4

5 Vermeidung von Schaltungshazards Wir konzentrieren uns auf statische Schaltungshazards, Schaltnetze, die direkt Polynome realisieren. Sind in solchen Schaltnetzen Schaltungshazards ganz vermeidbar? gute Nachricht ja schlechte Nachricht nicht kostenlos º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 5

6 Wie vermeidet man statische Schaltungshazards? Satz Sei S ein Schaltnetz, das direkt ein Polynom p einer booleschen Funktion f realisiert. S hat genau dann keinen statischen Schaltungshazard, wenn S für jeden Primimplikanten von f ein Und-Gatter enthält. Beweis durch Widerspruch: statischer Schaltungshazard ein Primimplikant fehlt Beweistrategie 1. Beweise: statischer Schaltungshazard ein Primimplikant fehlt 2. Beweise: Primimplikant fehlt statischer Schaltzungshazard º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 6

7 Hazard Primimplikant fehlt Voraussetzungen Es gibt statischen Hazard bezüglich a und b. Es gibt keinen Funktionshazard bezüglich a und b. a und b unterscheiden sich in genau einem Bit 1. Fall f(a) = f(b) = 0 klar alle Und-Gatter permanent 0 also Wert am Ausgang permanent 0 also kein Hazard 2. Fall f(a) = f(b) = 1 Sei m a Minterm zu a, m b Minterm zu b Beobachtung Monom m,variable x: {m a,m b } = {mx,mx} klar m ist Implikant von f also S enthält Und-Gatter für Verkürzung m von m Beobachtung Dieses Und-Gatter ist permant 1 (da unabh. von x). also Wert am Ausgang permanent 1 also kein Hazard º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 7

8 Voraussetzungen Primimplikant fehlt Hazard S realisiert direkt Polynom p für f Primimplikant m von f : kein Und-Gatter für m in S Definiere Eingaben a und b. x i m a i = b i = 1 x i m a i = b i = 0 sonst a i = 0, b i = 1 Beobachtung m(a) = m(b) = 1 also f(a) = f(b) = 1 Beobachtung kein Hazard ein Und-Gatter permanent 1 klar So ein Und-Gatter realisiert Verkürzung von m. also So ein Und-Gatter gibt es in S nicht. also Hazard º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 8

9 Zusammenfassung: Hazards Fazit Hazards Hazards sind ärgerlich. Wann liegt der richtige Funktionswert vor? Funktionshazards sind so nicht vermeidbar. Statische Schaltungshazards können mit zusätzlichem Aufwand vermieden werden. Eine grundsätzliche Lösung ist wünschenswert. mögliche grundsätzliche Lösung: Taktung der Schaltung später º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 9

10 Realisierung von Schaltnetzen Gedanken zur Anwendung 1. Problem 2. boolesche Funktion 3. Schaltnetz-Entwurf 4. Schaltnetz-Realisierung Realisierungen hoch-integrierte Schaltung teuer Lohnt sich nur bei großen Stückzahlen. direkte Umsetzung mit Gattern umständlich º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 10

11 Realisierung mit Gattern Datenblatt von Texas Instruments ( º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 11

12 Alternative Realisierung massenhaft produzierte darum preisgünstige nach der Fertigstellung in ihrer Funktion noch beeinflussbare funktional vollständige also universelle Standardbausteine Programmable Logic Array (PLA) Varianten PAL, PROM, FPGA,... (zum Teil eingeschränkte Funktionalität) º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 12

13 Programmable Logic Array (PLA) Datenblatt von Lattice ( º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 13

14 PLA Grundbausteine x y t f 1 (x,y) f 2 (x,y) Name Typ f 1 (x,y) f 2 (x,y) Identer 0 y x Addierer 1 x y x Multiplizierer 2 y x y Negat-Multiplizierer 3 y x y klar funktional vollständig º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 14

15 PLA t 0,0 t 0,1 t 0,2 t 0,3 t 0,4 t 0,5 t 0,6 t 1,0 t 1,1 t 1,2 t 1,3 t 1,4 t 1,5 t 1,6 t 2,0 t 2,1 t 2,2 t 2,3 t 2,4 t 2,5 t 2,6 t 3,0 t 3,1 t 3,2 t 3,3 t 3,4 t 3,5 t 3,6 t 4,0 t 4,1 t 4,2 t 4,3 t 4,4 t 4,5 t 4,6 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 15

16 PLA für f : {0,1} 3 {0,1} x 1 t 0,0 t 0,1 t 0,2 t 0,3 t 0,4 t 0,5 x 2 t 1,0 t 1,1 t 1,2 t 1,3 t 1,4 t 1,5 x 3 t 2,0 t 2,1 t 2,2 t 2,3 t 2,4 t 2,5 0 t 3,0 t 3,1 t 3,2 t 3,3 t 3,4 t 3,5 f(x 1,x 2,x 3 ) Wie wählt man die Bausteintypen? º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 16

17 PLA: Bausteinwahl klar jede Funktion als Polynom darstellbar Erinnerung Polynom = Disjunktion einiger Monome erster Schritt Wie realisieren wir Monome? exemplarisch am Beispiel x 1 x 2 x 4 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 17

18 PLA: Monomrealisierung Beispiel Monom x 1 x 2 x 4 Erinnerung 1 x Name Typ f r (o,l) f u (o,l) 1 2 x 1 1 x Identer 0 l o 1 = x 1 x 2 3 x 2 Addierer 1 o l o x 1 x 2 Multiplizierer 2 l o l x 3 0 x 3 Negat-Multiplizierer 3 l o l x 1 x 2 x 4 2 x 4 x 1 x 2 x 4 also jedes Monom leicht realisierbar falls Variable fehlt Typ 0 falls x i vorkommt Typ 2 falls x i vorkommt Typ 3 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 18

19 PLA: Polynomrealisierung gesehen für f : {0,1} n {0,1} k verschiedene Monome m 1, m 2,..., m k in n Zeilen und k Spalten realisierbar Wie können wir f realisieren, z.b. f = m 1 m 2 m 4? m 1 m 2 m 3 m m 1 1 m1 m2 0 m1 m2 1 m 1 m 2 m 4 Erinnerung Name Typ f r (o,l) f u (o,l) Ist das sinnvoll? Identer 0 l o klar für f : {0,1} n {0,1} Addierer 1 o l o nicht Multiplizierer 2 l o l aber für f : {0,1} n {0,1} m Negat-Multiplizierer 3 l o l schon º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 19

20 PLA: Ein konkretes Beispiel Beispiel f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x x Und-Teil x x Oder-Teil f(x 1,...,x 4 ) º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 20

21 Fazit zur PLA-Nutzung also Wir können jede Funktion f : {0,1} n {0,1} m, für deren Polynom insgesamt k Implikanten ausreichen, mit einem PLA mit n+m Zeilen und k Spalten realisieren. klar Wir wünschen uns k klein. dafür Minimalpolynome Wie findet man Minimalpolynome für Funktionen f : {0,1} n {0,1} m? º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 21

22 Minimalpolynome für f : {0,1} n {0,1} m Notation statt f : {0,1} n {0,1} m (f 1,f 2,...,f m ) mit f i : {0,1} n {0,1} für i {1,2,...,m} Definition Ein Minimalpolynom für f : {0,1} n {0,1} m ist (p 1,p 2,...,p m ) mit minimalen Kosten, dabei ist p i Polynom für f i. Bei den Kosten zählen mehrfach vorkommende Monome nur einmal. Also suchen wir Minimalpolynome p i für f i? Nein! Beispiel p 1 (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 3 x 2 x 3 ist Minimalpolynom p 2 (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 2 x 3 ist Minimalpolynom p 1 (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 stellt auch p 1 dar p 2 (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 stellt auch p 2 dar Gesamtkosten (p 1,p 2 ) = (n+m) k = (3+2) 4 Gesamtkosten (p 1,p 2 ) = (n+m) k = (3+2) 3 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 22

23 Monome für Minimalpolynome für f : {0,1} n {0,1} k Welche Monome übernehmen die Rolle der Primimplikanten? Definition Ein Monom m ist ein multipler Primimplikant von f = (f 1,f 2,...,f k ) mit f i : {0,1} n {0,1}, wenn m Primimplikant von f i ist für eine i I nicht-leere Menge I {1,2,...,k}. Theorem Minimalpolynome für f : {0,1} n {0,1} k enthalten nur multiple Primimplikanten von f. Beweis und Algorithmus zur Berechnung Skript º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 23

24 Multiple Primimplikanten berechnen Wie finden wir alle ( multiplen ) Primimplikanten? Theorem m PI f i i I: m i PI(f i ): m = i I Beweis ( ) klar m PI f i ist für alle i I Implikant von f i i I Sei m i PI(f i ) Verkürzung von m (i I) klar m i ist Verkürzung von m i I ( ) weil m PI f i, kann m i keine echte Verkürzung i I i I von m sein also m i = m i I m i i I º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 24

25 Berechnung aller multipler Primimplikanten Algorithmus berechnet für I {1,2,...,k} die Menge M I der multiplen Primimplikanten m = m i i I 1. Für i {1,2,...,k} berechne M {i} := PI(f i ). 2. M := k { } {i} ; M := k M {i}. i=1 3. Wiederhole i=1 4. Für I,J M mit I J = 5. M I J := {m 0 m = m m mit m M I, m M J, keine echte Verkürzung von m in M I J }. 6. M := M {I J}; M := M M I J. 7. So lange, bis M eine Iteration unverändert bleibt. º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 25

26 Minimalpolynomberechnung für f : {0,1} n {0,1} m Algorithmus 1. Für alle f i berechne alle Primimplikanten. 2. Berechne alle multiplen Primimplikanten. (ergeben sich potentiell als paarweise Verknüpfung normaler Primimplikanten) 3. Berechne eine möglichst günstige Überdeckung. also günstigste Darstellung für PLA-Realisierungen mit uns bekannten Mitteln berechenbar allerdings sehr aufwendig º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 26

27 PLA als ROM Aufgabe Speichere 2 n Wörter der Länge m. w 0 = w 0,0 w 0,1 w 0,2 w 0,m 1 {0,1} m w 1 = w 1,0 w 1,1 w 1,2 w 1,m 1 {0,1} m w 2 = w 2,0 w 2,1 w 2,2 w 2,m 1 {0,1} m.. w 2 n 1 = w 2 n 1,0w 2 n 1,1w 2 n 1,2 w 2 n 1,m 1 {0,1} m Benutze PLA mit n+m Zeilen, 2 n Spalten Beobachtung m 2 n Zellen für m 2 n zu speichernde Bits mindestens erforderlich Adressierung mit jeweils n Bits in n zusätzlichen Zeilen º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 27

28 x 2 x Beispiel n = 3, m = = 8 Wörter jeweils 6 Bits x Beobachtung Und-Teil fest 0 w 0,0 w 1,0 w 2,0 w 3,0 w 4,0 w 5,0 w 6,0 w 7,0 nur von Größe abhängig 0 w 0,1 w 1,1 w 2,1 w 3,1 w 4,1 w 5,1 w 6,1 w 7,1 Anmerkung 0 w 0,2 w 1,2 w 2,2 w 3,2 w 4,2 w 5,2 w 6,2 w 7,2 PLAs mit festem Und-Teil werden 0 w 0,3 w 1,3 w 2,3 w 3,3 w 4,3 w 5,3 w 6,3 w 7,3 als PROM verkauft. 0 w 0,4 w 1,4 w 2,4 w 3,4 w 4,4 w 5,4 w 6,4 w 7,4 0 w 0,5 w 1,5 w 2,5 w 3,5 w 4,5 w 5,5 w 6,5 w 7,5 º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 28

29 Zwischen-Fazit PLAs PLAs sind preiswerte, universelle Bausteine, die beliebige boolesche Funktionen leicht realisierbar machen, Minimalpolynomdarstellungen motivieren, Speicherung von 2 n Wörtern der Länge m in einem (n+m) 2 n -PLA erlauben. Nachteil nur einmal programmierbar Wie kann man PLAs beliebig neu programmierbar machen? º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 29

30 Software -PLAs x Typ s t f 1 (x,y) f 2 (x,y) y Typ f 1 (x,y) y x x y x y x y f 2 (x,y) y x y klar vier verschiedene Typen, mit zwei Bits codierbar Idee erweitere PLA-Baustein um zwei zusätzliche Eingaben, die den Baustein-Typ codieren jetzt f 1 und f 2 als Funktionen von (s,t,x,y) darstellen f 1 (s,t,x,y) = y stx f 2 (s,t,x,y) = sx sx(t y) º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 30

31 Bemerkung zum Einsatz klar für ein n m-pla werden zur Programmierung 2nm Bits gebraucht. Beobachtung Man kann diese 2nm Bits gut in einem PROM speichern. Fazit einfache und günstige Realisierung von booleschen Funktionen besonders geeignet für kleine Stückzahlen besonders geeignet bei nur temporärem Gebrauch º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 31

32 Sequenzielle Schaltungen x 1 1 klar Das ist kein Schaltnetz. allerdings Es ist eine baubare Schaltung. Was passiert in dieser Schaltung? º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 32

33 x y 1 Eine konkrete sequenzielle Schaltung 1 Was passiert in dieser Schaltung? x y x y klar und immer so weiter... natürlich in der Realität viel schneller darum heißt die Schaltung Flimmerschaltung º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 33

34 Bewertung des Effekts klar Unkontrolliertes Flimmern ist sehr unschön. Also Kreise konsequent verbieten? Wozu können Kreise gut sein? Beobachtung Ausgänge werden zu Eingaben... etwas anders Man kann schon Berechnetes noch einmal sehen. Einsicht Das realisiert so etwas wie Speicher. º» Boole. Fkt. Hazards (Wiederholung/Abschluss) PLAs Sequenz 34