2 2 Reguläre Sprachen. 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode. Übersicht

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1 Formle Systeme, Automten, Prozesse Übersicht Reguläre Ausdrücke 2.2 Endliche Automten 2.3 Nichtdeterministische endliche Automten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.7 Berechnung des minimlen DFA 2.8 Umwndlung eines Automten in einen regulären Ausdruck II 2.9 Ds Pumping-Lemm 2.10 Entscheidungsprobleme für reguläre Sprchen

2 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 76 Die Myhill Nerode Reltion L Definition Es sei L Σ. Definiere L Σ Σ ls u L v (u w L v w L für lle w Σ ). Der Index einer Äquivlenzreltion ist die Anzhl ihrer Äquivlenzklssen. Interessnter Fll: L ht endlichen Index.

3 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 77 Beispiel 1 Es sei L = L L 0111, denn 010 / L, 0111 L. 00 L 00001, denn 000 L, / L. Wieviele Äquivlenzklssen ht L? Drei: (0 + 1) 1 0 (0 + 1)

4 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 78 Beispiel 2 Ws ist der Index von L für diese Sprchen? 1 L = {0, 1} 2 L = { p p ist eine Primzhl } 3 L = 4 L = { w {, b, c} w ist Vielfches von 7 } 5 L = {3, 3., 3.1, 3.14, 3.141, , ,...} 6 L = { n b n n 0 }

5 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 79 Lemm L Σ regulär = L ht endlichen Index. Beweis. 1 L regulär. Dher L = L(M) für einen DFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F ). 2 Definiere u v ˆδ(q 0, u) = ˆδ(q 0, v). 3 u v u L v, denn u w L v w L flls ˆδ(q 0, u) = ˆδ(q 0, v). 4 Also ht mindestens so viele Äquivlenzklssen wie L. 5 ht ber endlichen Index.

6 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 80 Lemm L Σ regulär = L ht endlichen Index. Beweis. 1 L Σ und Index von L sei endlich. 2 Konstruiere M = (Q, Σ, δ, [ɛ] L, F ) mit Q = { [w] L w Σ } δ : Q Σ Q mit δ([w] L, ) = [w ] L F = { [w] L w L } 3 Q endlich, d Index von L endlich. 4 δ wohldefiniert, d [u] L = [v] L [u ] L = [v ] L 5 L(M) = L, d ˆδ([ɛ] L, w) = [w] L.

7 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 81 Beispiel Es sei L = 0 1. L ht die Äquivlenzklssen 1 [ɛ] L = 0, 2 [1] L = und 3 [10] L = (0 + 1) 1 0 (0 + 1). Der Myhill Nerode Automt us Lemm 2.6.3: 0 1 0, 1 [ɛ] L 1 [1] L 0 [10] L

8 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 82 Der Stz von Myhill Nerode Stz L Σ ist genu dnn regulär, wenn L endlichen Index ht. 2 M ein DFA = M ist eine Verfeinerung von L(M). 3 Es gibt zu jeder regulären Sprche L Σ einen bis uf Isomorphie eindeutigen minimlen DFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit L = L(M). Beweis. 1 Folgt us Lemm und Lemm Beweis von Lemm 2.6.2: u v u L v. 3 Beweisskizze: D eine Verfeinerung von L ist, muss = L gelten, wenn ihre Indexe gleich sind.

9 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 83 Beispiel B b A b b b D C Ws sind die Äquivlenzklssen von? Ntürlich [ɛ], [], [b] und [b]. Ws sind die Äquivlenzklssen von L(M)? Es sind [ɛ], [] [b] und [b].

10 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 84 A b B C b b b D [ɛ] [b] [] [b] [ɛ] L b, b A BC D, b ist Verfeinerung von L. [b] L [] L = [b] L

11 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 85 Eindeutigkeit des minimlen DFA [ɛ] [] [ɛ] L [] L = [b] L [b] [b] [b] L Jede Äquivlenzklsse von L ist Vereinigung von Äquivlenzklssen von. Jede Äquivlenzklsse von ist eindeutig einem erreichbren Zustnd zugeordnet. Hben und L den gleichen Index, dnn sind sie gleich.

12 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 86 Definition Es seien DFAs gegeben: M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Eine Abbildung h : Q Q mit 1 h(q) F q F 2 h(q 0 ) = q 0 3 h(δ(q, )) = δ (h(q), ) heißt Homomorphismus von M nch M. Ist h bijektiv, dnn ist es ein Isomorphismus.

13 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 87 Beweis von Stz (3) Es M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein DFA mit L(M) = L. definiert ls: u v ˆδ(q 0, u) = ˆδ(q 0, v). Sei M = (Q, Σ, δ, [ɛ], F ) mit Q = Σ / (Äquivlenzklssen von ) δ ([w], ) = [w ] F = { [w] w L(M) } M und M sind isomorph. h(q) = { w Σ ˆδ(q 0, w) = q } ist ein Isomorphismus. M hängt nur von L und b. = L, flls M miniml. Also hängt M nur von L b (der Myhill Nerode DFA). Folgerung: Alle minimlen Automten sind isomorph.

14 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 88 Frge: Sind uch kleinste NFAs isomorph? 1 0, 1 q 0 0 q 1 0, 1 1 q 0 0 q 1 Gegenbeispiel! Beide kzeptieren (0 + 1) 0(0 + 1). Die Eindeutigkeit des minimlen DFAs ist etws besonderes!

15 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 89 Andere Konsequenz des Stzes von Myhill Nerode: Die Anzhl der Zustände des minimlen Automten für L ist der Index von L. Zwei wichtige Anwendungen: 1 Untere Schrnke für die Anzhl der Zustände eines DFA, der L kzeptiert. 2 Beweis, dss eine Sprche nicht regulär ist.

16 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 90 (1) Untere Schrnke für Zustände eines DFA Es sei L = ( + b) ( + b) n mit n N. NFA für L:, b Es sind n + 2 Zustände. q 0, b q 1 q n 1, b q n Wähle K = ( + b) n. Behuptung: Flls u, v K mit u v, dnn u L v. Beweis: o.b.d.a. u = w u, v = w b v. Dnn u n u L, v n u / L. Also ht L mindestens K = 2 n viele Äquivlenzklssen. Jeder DFA der L kzeptiert, ht mindestens 2 n Zustände.

17 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 91 (2) Beweis, dss Sprche nicht regulär ist Es sei L = { n b n n 0 }. Wähle K =. Wieder gilt: u, v K, u v, dnn u L v. Denn: i b i L, j b i / L, flls i j. Index von L ist mindestens K =. Wäre L regulär, dnn hätte der minimle DFA mindestens K Zustände. Ds beweist, dss L nicht regulär ist.

18 Formle Systeme, Automten, Prozesse Folie 92 (2) Beweis, dss Sprche nicht regulär ist Es sei L = { p p ist Primzhl }. Vorüberlegung: Es seien p 1 < p 2 zwei Primzhlen und d = p 2 p 1, d.h. d 1. Betrchte p 1 + n d mit 1 n p 1. Behuptung: Es gibt ein n mit 1 n p 1 p 1 + n d ist prim p 1 + (n + 1) d = p 2 + n d ist nicht prim Wähle K = L. Es seien p 1, p 2 K mit p 1 < p 2. Dnn ist p 1 n d L und p 2 n d / L. Also ht L unendlichen Index, d.h. L ist nicht regulär.