Kryptologie. Projekttage 2005, gefördert durch die Bosch-Stiftung. Arbeitsbericht der Arbeitsgruppe. 1 Erster Tag.

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1 Projekttage 2005, gefördert durch die Bosch-Stiftung Universität Würzburg Mathematische Institute Arbeitsbericht der Arbeitsgruppe Kryptologie 1 Erster Tag Cäsar-Verfahren Am fanden wir uns im Mathematikgebäude der Universität Würzburg zusammen. Wir bekamen sofort einen offensichtlich verschlüsselten Text, den wir ohne Vorkenntnisse verständlich machen sollten. 78:6!:866.*FMKNKOSGMKTZF66?>!FSKRJKZFVXUZUQURRMKSGKYY(F0TZKX F2229:SGZNKSGZOQ:0TO=20KX5H0XM:JK)DMXKOTKX)VZ866.FNGHKFOINFO TFJKXFGZKOFSKYYGMK:Z3ZFKOTKFMKNKOSSKRJ0TMF0KHKXFKOTFHKYYKXKY F1KXYINR0KYYKR0TMY1KXLGNXKTFHKXKOZMKYZKRRZ:FJOKFJGZKOFIGKYGX :THFKTZNGKRZFNORLYSOZZKRF50SFKOTYGZ5F1UTFSGZNKSGZOIG: Wir waren zunächst relativ unsicher, wie wir anfangen sollten. Wir fühlten uns hilflos, doch nach kurzer Überlegung beschlossen wir, die Häufigkeit der einzelnen Zeichen zu ermitteln. Da der Buchstabe K mit deutlichem Abstand am häufigsten auftrat und unsere Recherchen im Internet ergaben, dass der Buchstabe E im Deutschen zu 17,4% vertreten ist, kamen wir zu der Vermutung, dass die Buchstaben des Textes um jeweils 6 Zeichen im Alphabet verschoben sein könnten. Die einzelnen Zeichen wurden überprüft und der Text war verständlich geworden , GEHEIMAGENT 007*6 MELDET PROTOKOLLGEMAESS: UNTER WWW3.MATHEMATIK.UNI-WUERZBURG.DE/~GREINER/PT2005 HABE ICH IN DER DATEI MESSAGE.TXT EINE GEHEIMMELDUNG UEBER EIN BESSERES VERSCHLUESSELUNGSVERFAHREN BEREITGESTELLT. DIE DATEI CAESAR. NB ENTHAELT HILFSMITTEL ZUM EINSATZ VON MATHEMATICA. Diese Methode zur Verschlüsselung geheimer Botschaften wird Cäsar zugeschrieben. Man besaß zwei konzentrische Scheiben, die drehbar gelagert waren. Sowohl auf der inneren, als auch der äußeren war das Alphabet aufgetragen. Durch Verdrehung einer Scheibe konnte man die Buchstaben im Klartext den verschlüsselten zuordnen. Die jeweils übereinander stehenden Zeichen wurden durcheinander ersetzt, sodass man den gewünschten Text ver- bzw. entschlüsseln konnte. Trotz der simplen Verfahrensweise war diese Verschlüsselung lange Zeit die Methode der Wahl, um Informationen sicher von A nach B zu übermitteln, ohne dass die Nachricht in fremde Hände geraten konnte. Dass die Entschlüsselung nach einer guten halben Stunde ohne zusätzliche Informationen unserem Kursleiter zum Text von uns bewältigt werden konnte, ist bezeichnend für den unzureichenden Sicherheitsgrad, den die Cäsar-Verschlüsselung aufweist.

2 Vigenére-Verfahren Von diesem Erfolg beflügelt, sahen wir uns mit der nächsten Aufgabe konfrontiert, auf die im entschlüsselten Text hingewiesen worden ZLLQI5HKQN!G4!7D?DYE4KI5 8YS5O3VPXGXTEQS.)D7E,6M OH!LDMBSZSRO,0DMUYGHMSSWV0T7RSXL~GHM?UFQF?NXQSSLR5SVOP6E.ZI XNSKY3C0GHUES3MQDXYL0L?UKLV7UD1H,HWQNSLVXE1JL5E,0D8I,K-LBXOE XTXGZQR.JLXUXZWQL?UK7E,METRXUD6NWGEXP0HFQT0GFQI~GZQR-LRPESHF QRS1R4E,GR0TYHPXSVOP6E.ZIXW7YX(.VPXTXUD8I,GYZSSUMOH!GQQH,GK QDTUOQNS1INE,GWUC0LVTE10DNE1GHQRS1INE,TM5T41RS?UWQRXYDSE0LM YNTJL3IVOXQNSTEOHXU:LIVODTAULDPASLMZIZLDUDXLR> WPILU60I3 WLV 1UDPE6GHMTXPIZ 5LW4A0M-5X!GY ZDS2MSE6LVQ.6I}LBXYIUT.0ITE6/ Mittels einer computergestützten Häufigkeitsanalyse konnten wir feststellen, dass der vorgelegten Text nicht mit einer Cäsar-Verschlüsselung chiffriert war: Es war kein Buchstabe mit einer außergewöhnlichen Auftrittswahrscheinlichkeit vorzufinden, wie es für das E in der deutschen Sprache üblich ist und im ersten Text der Fall war. Eine andere Methode musste her: Nach längerem Studium des Textes fiel uns auf, dass einige Buchstabenkombinationen häufiger in einem bestimmten Abstand zueinander zu finden waren. Alle diese Abstände waren durch fünf teilbar, was uns zu der Vermutung brachte, dass für jeden Buchstaben eine andere Cäsar-Verschiebung existieren könnte, die sich nach fünf Zeichen wiederholen würde. Um das zu bestätigen, erstellten wir mit dem Computer Buchstabenstatistiken für die fünf Teilsequenzen. Deren Ergebnisse wiesen wieder die bekannten Verteilungsmuster auf: Ein Buchstabe trat jeweils überdurchschnittlich oft auf. Deshalb und weil wir ein aus dem ersten Text bekanntes Wort wieder gefunden hatten konnten wir recht einfach auf die Einzelverschiebungen schließen und den gesamten Text entschlüsseln, wobei uns das Computerprogramm Mathematica, auf welches im ersten Text verwiesen worden war, wertvolle Dienste leiste , GEHEIMAGENT 007*6 MELDET PROTOKOLLGEMAESS: VERZI CHTE AB SOFORT AUF DAS PROTOKOLL, DA UNBEFUGTES ENTSCHLUESSE LN DURCH DIE WIEDERHOLUNG VON PHRASEN ERLEICHTERT WIRD. BEHA LTE VERSCHLUESSELUNGVERFAHREN UND ALPHABETH BEI, VERWENDE AB ER UNSER NOTFALLSCHLUESSELWORT. SOLLTEN WIR UNS NICHT MEHR G EDANKEN UEBER SICHERHEIT BEI DER UEBERMITTLUNG UNSERER GEHEI MNACHRICHTEN MACHEN? ICH HABE DA EINIGE IDEEN, DIE UNTER DER BEKANNTEN WEB-ADRESSE (DIESMAL IN DEN DATEIEN MESSAHF.TXT U ND VIGENERE.NB) BEREITSTEHEN. Das verwendete Verfahren ist nach dem französischen Mathematiker Vigenére benannt, der die Cäsar- Verschlüsselung beträchtlich weiter entwickelte. Er definierte ein Schlüsselwort, dessen einzelne Buchstaben die Verschiebung der As im Originaltext repräsentierten. Das Schlüsselwort wird bei Bedarf mehrmals hintereinander wiederholt, bis der gesamte Text abgedeckt wird. Die Sicherheit der Verschlüsselung wird größer, je näher die Schlüssellänge an die Textlänge kommt. 2 Zweiter Tag Vigenére-Verfahren, die Zweite Am nächsten Morgen holten wir uns den dritten transkribierte Text von der angegebenen Webadresse ab.

3 SGYBRHPJE90VKJO2JHRW,BSU7JWOW9CX0SERSX,GSS8SLOR~BOY6YJXWCBNH 6EGSWYG1G9JW6I4FO0SE0SKVPOYS<0OVWCRYSSESW,BQH5ESSGYVJZ2EXML2 GMO7*E6I4PJKSWE9YQXOY6HMVYVU2LZSIOD,G70NXTJZZGVLN4JSGYGXG,NJ JHRUJZQMQ4I9UOS,TW3DYC3G8SIJ0VPXGRFXJWTJV1SXXOP?Q10N4ZPEVNVP UELO0RGRS7E1SVU!JZ2EN2XQFOYNYJ7XQQRUSEPOR4VXP6EIOWQUMOZZJ2WV N6V5YXJRZER0N4ZJO4CMRSS*J3?GS0SSX{DZERGVFGODVKXG9JWPEYTOUNLJ PY4FOU)ERSXQFOTN1N1DZPJHZQJ1D5GPMSSYVMTJULWYENE9B2JVQZOW9GV3 2WYJE.U3H8XHRI4BUVSSSOR{BYO1JENE9UJQSRFXHQC4Z6JWJY4UJISNIORQ FKZNLJRIZO6V5YEWM,DOR2RR3-QFKZN0J1JRJ1L1E<JHZGJZ2LJXE4P3LNIN PJZG[OSQQWE4:2JVQZOW9GV2SWJSRSC111LE[DWWXR7NTXMVT3GTTQQI4FOY 0FX2I4^J3WWE6EVJVL1EJSRVBZYWR4KL2BZG8SIJIZPOG1FY4I8NSJVJE9EY NJN[EISI9GJ6OMQORQO4L6XJXD4KMO7ELOLVKWG6JNX-QHOY1JWJ0RGRSSEN MLQGSUSE4KL2BWG8SIJH.BOP1JE9EYNJU)EISIQYSYNGJSHVBQLVJNWDYCV0 SS*JMTJJISWJML4GJKSSE1I9VJKSWEW^,GXG3TYOR*B5V1ELJRRERGRN0SWZ NBREWSUBZ )EI4DSKVKSXYJFGI~UNRTND6?JKWJX ODSGSKSSE9EYNOUNFE4RUBLG7FZ2GYGXG,NWJE.UJ11IETIUG1GRFWPD9KOG 6JMOR}BKU6HMVMVU2L1IELI8GMO1JX3DUWJHBSEWSUBZG8SIJMTJJIWQIODS =WG0TIJT}B6P5E1OVUGXGPJNNIQFSL6JQLIQ1KOZEPJI8JKS7JSJ{UGXRSEJ 30RUJUOHM<D?C110EIOQQUYGWXYJ^QQNL5EK1EXBPS2WNKRJ?JKWJXOD*CRS NPESW,B4U6JWJWTJV1SXXOP?Q10[ENMLQU3LZQJJT{BQG8SIJQVKXGOEZXXV TJKSWELI1CXU7JSJ0VD[HRWJ2WVBSUNIM=X+VJ68WE5I8H4LUZSQ-QF4G6JS NI9VJTWWENIZPJINFSJK8GSUSWDWE,JOTOYNU-.PS>,ZJ13SW1N[IJJY4FJP QME2I4FOGRNWJE4UMOZNJ2WVPNGRNJJQZVJRN0NQI4G1L~0J1WTJV1SXXOP, GJUOHM1MTJ3GOSEQE9V+F0FYRI3C3PY*ZXMAY4L54G4VX?NL[EFMLQLK:N1N 1D3WOZ6JSJE.ERG1THRDVKXG1JZOWQCVWVFGOXQXOYOGWOHVP<GRFXJFVU2L 5E44D*CRSSSEZE9U3/NIFJ0ZTJLWSE2MTJOYSXE5I8HKO5JSJKVH4URJSJLR DOU)EPKR4BSJVEISVQFSL6JESRWQ1TOYNYRVPJVTKJXDZPJKV*Y7XQ14YN0J 1J.GQ11LE2XVNVL1*E2MTJOYNKWKIXU3GRZENMTJJQSY43+QYSLNXHR0VTJL 6EK4I8BOP1JSJE4I1LWKJ1DZU3:NFZ2D6!JN)EFJY4FJINIJXD9ERS8JX2I2 BUG?ZELI8GMO1JS=DZERG6FLODUK1)NIF2DZU3G1NHRXQNOPQMYJ^QUMOZFL OD.P3L5EIOQQU3PQM1YV,BNP6PWOXVU[S2LF1M,JW16<U1SSNOTNSFML} Aus dem zweiten Text hatten wir den Hinweis, dass der Text mit der gleichen Methode und dem gleichen von uns bereits erschlossenen zyklischen Alphabet verschlüsselt worden war. Erneut lieferten uns wiederholt auftretende markante Buchstabenkombinationen auf die Länge des Schlüsselwortes. Danach folgte erneut eine Analyse der häufigsten Zeichen. Mit dem gewohnten Verfahren konnten wir das Schlüsselwort Kerckhoff in Erfahrung bringen. ICH HABE ZWEI HOECHST INTERESSANTE MITTEILUNGEN! ERSTENS: DA S BISHER VERWENDETE VIGENERE-VERFAHREN IST GAR NICHT SO SCHL ECHT. WENN DER ZU VERSCHLUESSELNDE TEXT SO VIELE ZEICHEN WIE DAS SCHLUESSELWORT HAT UND WENN DAS SCHLUESSELWORT ZUFAELLI G GEWAEHLT WIRD, SO IST DER TEXT OHNE KENNTNIS DES SCHLUESSE LWORTS NICHT ZU KNACKEN. ZWEITENS: ICH HABE EIN VERFAHREN GE FUNDEN, MIT DEM WIR IN ALLER OEFFENTLICHKEIT DAS SCHLUESSELW ORT AUSTAUSCHEN KOENNEN, OHNE DASS JEMAND AUSSER UNS BEIDEN DAS GEHEIMWORT MITBEKOMMT. DAS VERFAHREN - DIE SOGENANNTE DI FFIE-HELLMAN-SCHLUESSELVEREINBARUNG - FUNKTIONIERT FOLGENDER MASSEN: WIR WAEHLEN EINE PRIMZAHL P UND EINE NATUERLICHE ZAH L G. DIESE ZAHLEN MUESSEN NICHT GEHEIM SEIN. FERNER WAEHLE I CH EINE ZAHL M UND DU EINE ZAHL N, DIE WIR BEIDE GEHEIM HALT EN. ICH BERECHNE DEN REST DER M-TEN POTENZ VON G NACH DIVISI ON DURCH P (KURZ: A=G^M MOD P), DU BILDEST B=G^N MOD P. DIES E BEIDEN ZAHLEN A UND B TAUSCHEN WIR AUS UND JEDER DARF SIE

4 SEHEN. ANSCHLIESSEND BERECHNEST DU A^N MOD P UND ICH BILDE B ^M MOD P. WIR WERDEN BEIDE DIESELBE ZAHL K ERHALTEN (DENKE E TWAS NACH, WARUM DEM SO IST - ODER FRAG FLORIAN). DIESE ZAHL K IST UNSER SCHLUESSELWORT. ICH STELLE P, G UND MEIN A UNTE R DER BEKANNTEN WEB-ADRESSE IN DH.TXT ZUR VERFUEGUNG. DU SEN DEST MIR DEIN B AN GREINER@MATHEMATIK.UNI-WUERZBURG.DE UND I CH SENDE DIR ANSCHLIESSEND DIE MIT K VIGENERE-VERSCHLUESSELT E NACHRICHT AN GAST4@MATHEMATIK.UNI-WUERZBURG.DE. ACH JA, WI R MUESSEN AUCH NOCH EIN NEUES ALPHABET VERABREDEN, DAS BESSE R ZU ZAHLEN PASST. DA WIR EIN SICHERES VERFAHREN GEFUNDEN HA BEN, KANN ICH DIR DIESE INFORMATIONEN OFFEN IN DH.TXT ZUR VE RFUEGUNG STELLEN. SICHER FRAEGST DU DICH JETZT, WIE SCHWER E S FUER EINEN ANGREIFER IST, AUS P, G, A UND B DEN SCHLUESSEL K ZU BERECHNEN. ICH SAGE DIR: DAS IST NICHT LEICHT - SCHLAG E UNTER DEM STICHWORT DISKRETES-LOGARITHMUS-PROBLEM NACH. Das Kerckhoff Postulat besagt, dass ein Verschlüsselungsverfahren nicht auf Grund seiner Geheimhaltung sicher ist, sondern wegen des bei der Verschlüsselung verwendeten Prinzips. Das ist ein enormer Gewinn für die Verschlüsselnden, da das Verfahren zum einen öffentlich werden kann, ohne seine Wirkung zu gefährden, zum anderen weil weitere Experten Lücken im System ausmachen können. Für die praktische Anwendung die Partner wollen sich ja nicht jedesmal zum Schlüsselvereinbaren treffen leitet sich die Notwendigkeit ab, den verwendeten Schlüssel in einer unsicheren Umgebung sicher übertragen. Im obigen Text erfuhren wir von einem Verfahren, das dieses scheinbar unlösbare Problem löst. Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung Problemstellung: Alice und Bob wollen über ein unsicheres Medium verschlüsselt kommunizieren. Dazu muss aber sowohl Alice als auch Bob die benutzte Verschlüsselungsmethode und der zugehörige Schlüssel bekannt sein. Da beide ausschließlich über einen unsicheren Kanal miteinander in Verbindung treten, suchen sie eine Möglichkeit, diese beiden Informationen vor potentiellen Mithörern sicher zu übertragen. Implementierung: Alice und Bob gehen nun wie folgt vor. 1. Alice und Bob einigen sich auf eine (hinreichend große) Primzahl p und eine sogenannte Primitivwurzel g mit 0 g p 1. Diese beiden Zahlen müssen nicht geheimgehalten werden. 2. Alice wählt nun eine Zufallszahl a, Bob eine Zufallszahl b. Diese beiden Zahlen sind geheim; Bob kennt a nicht, Alice kennt b nicht. 3. Alice berechnet nun A := g a mod p, Bob berechnet B := g b mod p. Bob sendet B an Alice, Alice sendet A an Bob. 4. Nun berechnet Alice B a mod p, Bob berechnet A b mod p. Es gilt B a (g b ) a = g ba = g ab = (g a ) b A b mod p. Daher können Alice und Bob nun die Zahl K := A b geheimen Schlüssel verwenden. mod p, die nur diesen beiden bekannt ist, als Sicherheit: Die Sicherheit dieses Verfahrens liegt darin begründet, daß hier mathematische Einwegfunktionen verwendet werden; es ist sehr leicht in Restklassenringen zu potenzieren, jedoch existieren keine effizienten Verfahren, um die Gleichung K A b mod p bei bekanntem K, A, p nach b aufzulösen.

5 In einem praktischen Beispiel überprüften wir die zuverlässige Generierung eines für beide Seiten gleichen Schlüssels: Wir erstellten die Zahlen und tauschten sie mit unserem Gruppenleiter per aus, worauf hin wir die mit dem entstandenen K verschlüsselte Nachricht lesen konnten. Mit dem zuvor vereinbarten p und g, sowie einem Alphabet, das Buchstaben in Zahlen umwandelt, verschickten wir die folgende Nachricht. Date: Wed, 13 Jul :35: (CEST) From: Institutsgast 4 <gast4@mathematik.uni-wuerzburg.de> To: Richard Greiner <greiner@mathematik.uni-wuerzburg.de> Subject: Unser B Unser B: Die Geheimagenten Nach kurzer Zeit erhielten wir die Antwort. Date: Wed, 13 Jul :41: (CEST) From: Richard Greiner <greiner@mathematik.uni-wuerzburg.de> To: Institutsgast 4 <gast4@mathematik.uni-wuerzburg.de> Subject: Re: Unser B Nach dem Entschlüsseln und Umwandeln von Zahlen in Buchstaben erhielten wir als Zugangsdaten zum nächsten Text. D/d.html pt2005krypto xlzvwry Von dieser Webadresse konnten wir einen Text herunterladen, der uns die mathematischen Grundlagen eines aktuellen Verschlüsselungsverfahrens, des RSA-Verfahrens, näher brachte. Am Nachmittag beschäftigten wir uns mit diesem Verfahren. RSA-Verfahren Problemstellung: Nachdem Alice und Bob nun erfolgreich Schlüsselvereinbarungen über unsichere Kanäle zustande gebracht haben, möchte Alice noch einen Schritt weitergehen: sie möchte einen öffentlichen Schlüssel e a publizieren, mit dem Bob seine an Alice gerichtete Nachricht m verschlüsselt. Der Verschlüsselungsalgorithmus soll nun aber so gewählt sein, daß Bob seine eigene verschlüsselte Nachricht nicht wieder mit e a entschlüsseln kann; stattdessen soll die verschlüsselte Nachricht ausschließlich von Alice mittels ihres privaten Schlüssels d a entschlüsselt werden können. Verschlüsselungen, die dies leisten, nennt man public-key-verschlüsselungen; RSA ist der prominenteste Vertreter dieser Art von Verschlüsselungsalgorithmen. Es beruht auf folgender Verallgemeinerung des Satzes von Fermat. Satz. Seien p, q prim mit p q; sei n := pq. Dann gilt für alle a Z und k N a kϕ(n)+1 a mod n. Beweis. Seien p und q prim. Daher sind genau die (q 1) + (p 1) + 1 Zahlen 1 p, 2 p,..., (q 1) p, 1 q, 2 q,..., (p 1) q, p q

6 nicht teilerfremd zu n. Daher ist Es gilt nun: ϕ(n) = pq (q 1) (p 1) 1 = (p 1)(q 1). a kϕ(n)+1 a mod p. Dies ist klar, falls p a. Ansonsten ist (a, p) = 1 und der Satz von Fermat liefert: a kϕ(n)+1 = a a k(p 1)(q 1) a (a p ) kq (a p ) k a kq a k Fermat a a kq a k a kq a k a mod p Analog folgt auch a kϕ(n)+1 a mod q. Somit teilen p und q den Term a kϕ(n)+1 a. Da (p, q) = 1, folgt n = pq a kϕ(n)+1 a. Nach Definition heißt dies a kϕ(n)+1 a mod n. Umsetzung: Alice geht nun wie folgt vor. 1. Sie wählt sich zwei (möglichst große) Primzahlen p, q mit p q. 2. Sie bildet n := pq. 3. Sie sucht eine Zahl e mit (e, ϕ(n)) = e ist invertierbar; Alice setzt d := e Alice veröffentlicht ihren öffentlichen Schlüssel e a := (e, n) und speichert ihren privaten Schlüssel d a := (d, n) an einer sicheren Stelle. Hat Bob nun eine Nachricht m mit m < n für Alice verfasst, so bildet er v := m e mod n und versendet v. Alice hingegen entschlüsselt v, indem sie m := v d Es gilt dann m = m. mod n berechnet. Beweis. Nach Voraussetzung gilt ed 1 mod ϕ(n). Daher muß ed = kϕ(n) + 1 sein mit k N. Obiger Satz liefert: m v d (m e ) d m kϕ(n)+1 m mod n. Da nach Voraussetzung m < n folgt also m = m. Die Sicherheit von RSA beruht auf der Tatsache, daß man aus der Kenntnis von e und n nur unter großen Mühen d berechnen kann. Hierzu wäre die Primfaktorzerlegung von n erforderlich, die bei großen Primzahlen extrem lange dauert. Implementierung des RSA-Verfahrens Generieren der Schlüssel 1. Wähle p, q prim, p q. 2. Setze n := p q. 3. Wähle e Z ϕ(n) mit (e, ϕ(n)) = Finde d Z ϕ(n) mit e d 1 mod ϕ(n). 5. Halte den privaten Schlüssel (d, n) geheim.

7 6. Veröffentliche den öffentlichen Schlüssel (e, n). Verschlüsseln 1. Zerlege die zu verschlüsselnde Nachricht m geeignet in Teilnachrichten m i mit 1 i N, so daß m i < n. 2. Berechne v i := (m i ) e mod n für 1 i N. 3. Versende die verschlüsselte Nachricht (v 1,..., v N ). Entschlüsseln 1. Berechne m i := (v i) d mod n für 1 i N. 2. Durch Aneinanderreihung der m i erhält man die entschlüsselte Nachricht (m 1,..., m N ). 3 Dritter Tag Sicherheit von RSA und Diffie-Hellman Faktorisierungsproblem: Am Donnerstag Morgen versuchten wir uns zunächst an Attacken auf das RSA- Verfahren. Nur bei sehr kleinen Primzahlen p und q war dies von Hand mit vertretbarem Aufwand möglich, bei nur unwesentlich größeren Zahlen stieß selbst der Computer an die Grenzen seiner Leistungsfähigkeit. Es ist relativ einfach, aus zwei großen Primzahlen p und q das Produkt n zu bilden. Aber es dauert sehr sehr lange, aus n die beiden Faktoren p und q zurückzugewinnen. Für diejenigen großen Primzahlen, die heutzutage leicht mit dem Computer generiert werden können, brauchen selbst die besten zur Zeit bekannten Algorithmen unverhältnismäßig viel Zeit zur Faktorisierung. Ein Faktorisierungsversuch für ein Produkt aus zwei jeweils 100-stelligen Primzahlen, den wir am Donnerstag vormittag starteten, war selbst am Freitag Mittag noch nicht beendet. Diskrete-Logarithmus-Problem: Die Stärke der Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung beruht auf folgendem Effekt: Aus zwei Zahlen g und a kann die Potenz A := g a modulo einer Primzahl p leicht gebildet werden. Aber aus der Kenntnis von g, p und A sind nur sehr schwer Rückschlüsse auf a möglich, wenn die Primzahl p groß und die Zahl g geschickt gewählt sind. Zusammenfassung: Das Faktorisierungsproblem für große Zahlen und das Diskrete-Logarithmus-Problem gewährleisten die Sicherheit von RSA-Verfahren bzw. Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung. Symmetrische und asymmetrische Verfahren Während Cäsar und Vigenére Verfahren sind, bei denen jeder, der den Schlüssel kennt, Nachrichten verund entschlüsseln kann, kann beim RSA-Verfahren nur der Empfänger die Nachricht entschlüsseln und nur der Sender selbige verschlüsseln. Solche Verfahren werden darum asymmetrisch genannt, während die ersteren symmetrisch heißen. Bei asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren kann die Identität von Sender und Empfänger nachgeprüft werden, bei symmetrischen nicht. Wenn Alice an Bob eine Nachricht sendet, so muss sie selbige mit ihrem geheimen und Bobs öffentlichen Schlüssel verschlüsseln. Nur Bob kann die Nachricht entschlüsseln, da nur er den zu seinem öffentlichen Schlüssel passenden geheimen Schlüssel besitzt. Nur Alice kann die Nachricht gesendet haben, da nur ihr öffentlicher Schlüssel zu dem beim Verschlüsseln verwendeten geheimen Schlüssel passt.

8 RSA und Diffie-Hellman in der Praxis Login im Netzwerk: Nachmittags zeigten uns die Gruppenleiter Beispiele für die Alltagstauglichkeit der Verfahren. Zuerst bekamen wir einen Mitschnitt eines unsicheren und eines mit RSA abgesicherten Login- Versuchs auf einem Netzwerkrechner. Beim unsicheren Login war das Password mitlesbar, beim sicheren Login konnten wir die Diffie-Hellman-Schlüsselvereinbarung und die nachfolgende, mit RSA verschlüsselte Kommunikation mitansehen, aber nichts verstehen. Verschlüsselte s: Anschließend erstellten wir uns ein RSA-Schlüsselpaar und konfigurierten unser -Programm für die automatische Verschlüsselung von s. Wir schickten eine RSA-verschlüsselte ab und konnten sehen, wie selbige nur vom berechtigten Empfänger gelesen werden konnte. 4 Vierter Tag Vom Freitag Vormittag gibt es nicht viel zu berichten. Wir arbeiteten unsere Präsentation für den Nachmittag und diesen Projektbericht aus. Fazit Offensichtlich stehen sichere Verfahren zur abgesicherten Datenübertragung jeglicher Art im Internet zur Verfügung (z.b. für , Login, Online-Banking, sichere HTTP-Seiten). Es liegt in der Verantwortung der Benutzer, von diesen Möglichkeiten Gebrauch zu machen. Es war sicher sinnvoll, sich mit den Hintergründen zu beschäftigen, um sich eine eigene Meinung von der Sicherheit der Verfahren und möglichen Angriffspunkten bilden zu können. Teilnehmer Tanja Schmitt Alexander Friedel Maximilian Schüßler Evgeni Evtouchenko Johannes Mitlmeier Simon Brodnicki Eva Stock Eduard Schmidt Florian Möller Richard Greiner Maria-Ward-Schule, Aschaffenburg Friedrich-Liszt-Gymnasium, Gemünden Baltasar-Neumann-Gymnasium, Marktheidenfeld Johann-Schöner-Gymnasium, Karlstadt Riemenschneider-Gymnasium, Würzburg Bayern-Kolleg, Schweinfurt Martin-Pollich-Gymnasium, Mellrichstadt Armin-Knab-Gymnasium, Kitzingen Wissenschaftliche Hilfskraft Projektleitung