36. Linsen und optische Instrumente

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1 36. Linsen und optische Instrumente 36.. Brechung an Kugellächen Linsen besitzen aus ertigungstechnischen Gründen meist Kugellächen (Ausnahmen sind Spitzenobjektive, z. B. ür Projektionslithographie). Eine Linse kann man als eine Anordnung von Prismen betrachten, wobei der Winkel γ sehr klein ist. Außerdem betrachten wir kleine Ablenkwinkel δ. Damit gelten die bekannten Vereinachungen ür kleine Winkel, z.b. ür Gl. (35-6) γ sin γ γ δ γ n (35-6 ) δ ( n ) γ () Beispiel: Sammellinse Der Lichtstrahl von A schneidet die optische Achse wieder bei B.

2 Aus der Skizze liest man olgende Beziehungen ab: Optik Linsen und optische Instrumente δ ϕ h g ϕ h b () γ χ χ h r h r (3) Setzt man Gl. () und (3) in Gl. () ein, so olgt b g (n ) r r (4) Für g, ϕ rückt B in den Brennpunkt F, also ist b. (n ) r r (5) Kommentar: Dies ist die sogenannte Linsenmacher-Formel. Sie gibt - als Funktion von r, r und n an. Die reziproke Brennweite - wird als Brechkrat bezeichnet. Die Brechkrat hat die Dimension (Länge) -. Maßeinheit: m Dioptrie SI Aus Gl. (4) und (5) gewinnt man durch Gleichsetzen die Linsen- Abbildungsormel. b g g... Gegenstandsweite b... Bildweite (6) Kommentar: Jede Linse hat eine Brennweite ( nach links und rechts ), auch bei r r. Dies resultiert aus der Umkehrbarkeit der Lichtwege Die Brechkrat der Linse ist umso größer, je stärker gekrümmt die Linsenoberlächen sind (Krümmung ~ r - ). Gl. (5) und (6) gelten allgemein (konvex - konkav, reelles - virtuelles Bild) Es ist alles nur eine Vorzeichenrage. Der Brennpunkt ist so deiniert.

3 36.. Linsen Brechkrat In Gl. (5) sind die Radien positiv deiniert, wenn die Oberläche konvex ist. Beispiele: ür n n - a) r r m m m ( Dioptrien),5 m b) r m r m ( Dioptrie), m c) m,5 m (,5 Dioptrien), m Kommentar: Linse c) ist immer noch eine Sammellinse, da sie weiterhin innen dicker als außen ist. Linse c) besitzt eine ähnliche Form wie Brillengläser (generelle Krümmung, der die Linseneigenschat überlagert ist). Die nacholgenden Ausührungen gelten ür das Beispiel einer Sammellinse. 3

4 36... Bildkonstruktion Wir bedienen uns einiger (geschickt) ausgewählter Strahlen : a) Parallelstrahl (der im Brennpunkt landet) b) Mittelpunktsstrahl (der, abgesehen von leichtem Parallelversatz, der bei der dünnen Linse vernachlässigt wird, gerade durchgeht) c) Brennpunktstrahl (der zum Parallelstrahl wird) Jetzt stellen wir den Gegenstand zwischen F und die Linse: Mit Gl. (6) wird ür g < die Bildweite b <. Es entsteht ein virtuelles Bild Zerstreuungslinsen... besitzen negative Brechkrat, d.h. in Gl. (5) ist r < r Wir untersuchen wieder eine Sammellinse Diese Strahlen sind natürlich nicht die einzigen, die das Bild entstehen lassen. Unter Umständen tragen sie überhaupt nicht bei (vgl. <36.5.>) (7) 4

5 Am sichersten ist diese Bedingung erüllt, wenn r < und r < sind. Man spricht von einer bikonkaven Linse. (Die Parallelstrahlen werden beim Durchgang durch die Linse zerstreut, daher der Begri Zerstreuungslinse ) Aber es kann auch eine der beiden Seiten konvex sein, solange Gl. (7) erüllt ist, z.b. (also innen dünner als außen ) Zur Bildkonstruktion muss man wegen < immer den jenseitigen Brennpunkt nehmen. Sonst ist das Vorgehen analog dem in <36...>: Kombination von Linsen Werden mehrere Linsen hintereinandergeschaltet, addiert sich die Brechkrat, d.h. ges (8) 5

6 FRESNEL-Linse Da die Wirkung der Linse au der Brechung an den Oberläche beruht, hat die FRESNEL-Linse praktisch dasselbe Verhalten. Probleme ergeben sich bei der Fertigung und durch Beugung an den Stuen Linsenmaterialien Hinweis: in Gl. (5) steht (n - ), die Gleichung gilt ür n > Anderenalls muss man schreiben: n n r r n... Brechungsindex des Linsenmaterials n... Brechungsindex der Umgebung (5 ) Bei n < n (z.b. Lutlinse in Wasser) wir also alles anders Dicke Linsen Bisher haben wir stillschweigend die Brechungseigenschaten der Linse den Brechungseigenschaten der gekrümmten Grenzlächen gleichgesetzt, d.h. wir haben die Rolle der Linsendicke vernachlässigt. Linsen, ür die solch eine Herangehensweise zutrit bezeichnet man als dünne Linsen. Berücksichtigt man den Einluss der Linsendicke, so ergeben sich andere Verhältnisse: (einaches) Beispiel: 6

7 Die Beschreibung erolgt über zwei Hauptebenen H und H. Die Brennweiten werden von den Hauptebenen aus gerechnet, die Bild- und Gegenstandsweiten ebenso. Damit gilt die Abbildungsgleichung ür eine Linse weiterhin: b g (6) Der Mittelpunktsstrahl zeigt Parallelversatz. Das Beispiel ist ausgesucht einach. Die Hauptebenen können sich z.b. auch außerhalb des Linsenkörpers beinden Linsenehler Die Abbildung durch Linsen ist in der Regel nicht vollkommen, d.h. ein Punkt wird nicht wieder genau in einen Punkt abgebildet Sphärische Aberration Die Herleitung in <36..> galt nur ür annähernd achsenparallele Strahlen, so dass unter anderem δ sin δ angesetzt werden konnte. Dies heißt gleichzeitig, dass achsennahe Strahlen vorausgesetzt wurden (weil außerdem au die Transormation Parallelstrahl Brennpunktstrahl orientiert wurde) Eine genaue Betrachtung zeigt, dass sich mit zunehmender Achsenerne/Schrägheit die eektive Brennweite verringert. Ein mögliches Gegenmittel ist die Randstrahlbegrenzung durch eine Blende. Aberration (lat.)... Abirrung, Abweichung 7

8 Diese Art Abbildungsehler liegt in der Natur der sphärischen Linse. Linsen dürten eigentlich nicht sphärisch sein Astigmatismus schieer Bündel Dieser Linsenehler besteht darin, dass ein Punkt in einen Strich abgebildet wird. Beispiel: Zylinderlinse Für die Strahlen AB und AD ist die Brechkrat Null Die Zylinderlinse ist ein Extremall. Der typische Fall ist, dass die Brechkrat ür einzelne Strahlen des Bündels unterschiedlich ist, z.b. weil das Bündel schräg autritt. Die okusverkürzende Wirkung lt. <36.3..> tritt hier bei den Strahlen AB und AD au. Dadurch ist S näher als S Es kommt zur Abbildung von A in zwei senkrecht zueinander stehende Striche S und S. Dies geschieht schon bei einer idealen sphärischen Linse, nur inolge des schrägen Einalls (im Gegensatz zu < >) Astigmatismus inolge der Abweichung von der Rotationssymmetrie Dieser Linsenehler tritt bereits bei nicht-schrägen Strahlenbündeln au. Astigmatismus (griech.)... Punktlosigkeit (stigma... Punkt) 8

9 Chromatische Aberration Inolge der Tatsache, dass n n(λ) ist (Dispersion, vgl. <35.5.>), kommt es zu dieser Form von Abbildungsehlern. Die Linse wirkt spektralzerlegend, wie das Prisma. Als Gegenmaßnahme verwendet man die Kombination geeigneter optischer Gläser, z.b. Kommentar: Die gezeigte Kombination ist natürlich kein Äquivalent ür die Kronglaslinse Billige Optiken (Kunststolinsen) haben Farbsäume Verzeichnungen Um die Abbildungsschäre wieder zu verbessern, selektiert man durch Blenden enge Strahlenbündel, die dann wieder einigermaßen einheitlich gebrochen werden und dadurch wieder schärer abbilden. Beispiel: Blende vor der Linse 9

10 Die Peilmitte wird mit Bündel A, die Peilspitze mit Bündel B abgebildet. Bündel B ällt schräger ein und erährt eine stärkere Brechkrat das Peilvordere wird gestaucht. Man spricht von tonnenörmiger Verzeichnung, wenn mit zunehmendem r r die r r zu kurz abgebildet werden. Ordnet man die Blende hinter der Linse an, entsteht eine kissenörmige Verzeichnung Abbildungsmaßstab und Vergrößerung Der Abbildungsmaßstab ist das Verhältnis von Bild- zu Gegenstandsgröße.

11 β B G b g B... Bildgröße G... Gegenstandsgröße b... Bildweite g... Gegenstandsweite Die Vergrößerung hat also etwas mit dem Winkel zu tun, unter dem man den Gegenstand sieht. Bezugsgröße ist die Betrachtung in ca. s 5 cm Enternung (deutliche Sehweite; Leseenternung). (9) Die Vergrößerung v ist v ε ε ε... Sehwinkel bei s 5 cm Der geringste schar einstellbare Abstand beträgt (bei jungen Leuten) ca. cm maximale Vergrößerung von v,5 erreichbar Au der Netzhaut aulösbar sind Details mit einem Winkelabstand von einer Bogenminute (ε ): () am Gegenstand also noch aulösbar, sind voneinander um x enternte Details π x cm,3 cm 3 µ m Haar-Durchmesser 36 6 Wenn wir mehr aulösen wollen, brauchen wir optische Instrumente

12 36.5. Optische Instrumente Lupe Am entspanntesten kann man bei au akkomodiertem Auge sehen, d.h. der Gegenstand beindet sich im Brennpunkt. Das Bild beindet sich dann im. Entscheidend ist der Sehwinkel ε G G ε arctan () der ohne Lupe gleich ε wäre ε G s () Einsetzen von Gl. () und () in Gl. () ür die Vergrößerung ergibt v ε ε s (3) Beispiel: Briemarkenlupe mit 5 cm ach Uhrmacherlupen mit... cm... ach Fotoapparat... besteht aus einem Gehäuse mit Film. Ein Objektiv projiziert ein umgekehrtes reelles Bild au diesen.

13 Die Schareinstellung au einen näheren Gegenstand (g sinkt) hat eine steigende Bildweite b zur Folge. Um einen näheren Gegenstand schar abzubilden, müssen also der Auszug vergrößert und gegebenenalls Zwischenringe angewendet werden. Für g >> liegt b nur ganz knapp oberhalb der Brennweite. Bildwinkel: Das Verhältnis von Filmabmessung und Brennweite bestimmt den Bildwinkel. Ein Normalobjektiv hat etwa den Sehwinkel des menschlichen Auges ; die Brennweite des Normalobjektivs hängt jedoch von der Bildgröße ab: 4 x 36 mm 5 mm 6 x 6 mm 8 mm Bildwinkel 5 Die beiden Objektive bilden au das unterschiedliche Format jeweils dasselbe ab. Der dargestellte Sachverhalt ist eigentlich trivial, da er nur die Anwendung der Abbildungsgleichung ür Linsen (Gl. (6)) verkörpert. Dies lässt sich au ganz einachem Wege mit jedem Fotoapparat mit Zoom-Objektiv ausprobieren 3

14 Für den Kleinbildilm ist 8 schon ein Teleobjektiv; der Bildausschnitt (X) wird au das gesamte Format vergrößert 8 v,6ach 5 Das Önungsverhältnis bestimmt die pro Filmläche durchgelassene Lichtenergie. Önungsve rhältnis Beispiel:,8er Objektiv (Zeiss Tessar) maximaler Blendendurchmesser Brennweite Blendendurchmesser d 8 mm ür 5 d 9 mm ür 8 Langbrennweitige Objektive sind bei gleicher Lichtstärke viel größer und teurer Durch Abblenden erreicht man, dass nur noch achsennahe/achsenparallele Strahlen hindurchgelassen werden die Abbildungs- und Tieenschäre steigt Lichtmikroskop... besteht aus zwei optischen Systemen: Objektiv und Okular, die durch den sogenannten Tubus verbunden sind. 4

15 Der Gegenstand beindet sich wenig außerhalb des Objektivbrennpunktes. Somit entsteht ein stark vergrößertes Bild B am anderen Tubusende (eigentlich analog der Kamera in <36.5..>, nur sind hier B und G vertauscht). Für die Objektivvergrößerung olgt somit v Ob B G b g t (4) t... Tubuslänge ( 5 cm)... Objektivbrennweite Das Bild wird durch das Okular ( Lupe) vergrößert betrachtet; deswegen olgt ür die Okularvergrößerung mit Gl. (3) s v Ok... Okularbrennweite (3 ) Die Gesamtvergrößerung des Lichtmikroskops ergibt sich durch Multiplikation von Gl. (3 ) und (4) v M v Ob v Ok s t (5) (Astronomisches) Fernrohr Das Objektiv erzeugt das Bild eines sehr ernen Gegenstandes praktisch in seinem Brennpunkt Unter Anwendung von Gl. (6) mit g olgt soort b. Damit erhält man aus Gl. (9) b β B G g g... Objektivbrennweite B (6) G g 5

16 Die Betrachtung dieses Bildes aus der Sehweite s erolgt unter dem Winkel Β ε arctan s B s (7) ansonsten wäre der Winkel ε G s (8) Die Vergrößerung des Objektivs ergibt sich also mit Gl. (7), (8) v ε Ob ε B s G g Setzt man noch Gl. (6) zur Umormung ein, so ergibt sich B s v Ob B s (9) Die Betrachtung mit einem Okular ( Lupe) erbringt nochmals einen Vergrößerungsaktor s v Ok... Okularbrennweite (3 ) Die Gesamtvergrößerung ergibt sich wieder Multiplikation s v s () Hinweis: heute verwendet man vorwiegend Spiegelteleskope, wegen ehlender chromatischer Aberration einacherer Herstellung (Fehlerreiheit des Glasvolumens unwichtig) besserer Fixierbarkeit (Glas ließt) Außerdem erweist sich au der Erdoberläche der Einluss der Erdatmosphäre als problematisch (Szintillation/Streulicht) Space-Teleskop Hubble 6

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