Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange. Analysis 1. Aufgabenzettel 1

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1 Institut für Analysis WiSe 2018/2019 Prof. Dr. Dirk Hundertmark Dr. Markus Lange Analysis 1 Aufgabenzettel 1 Aufgabe 1: K Beweisen Sie folgende Aussagen: i A B B C A C Transitivität; ii A B A B A. iii A B = A B A B. iv A A B B. Lösungsvorschlag: Bemerkung: Wir werden in der Lösung die folgenden Abkürzungen verwenden: Def. wenn die Umformung per Definition gilt, wenn die Umformung aus den de Morganschen Regeln folgt, Asso. wenn die Umformung aus dem Assoziativgesetz folgt, Abso. wenn die Umformung aus dem Absorptionsgesetz folgt. Anwendung doppelter Negation und das Idempotenzgesetz werden nicht gesondert angegeben. i Nach Definition der Implikation gilt: A B = A B. Somit gilt nach den Grundgesetzen der Aussagenlogik. A B B C A C Def. = A B B C A C Def. = A B B C A C = A B B C A C =A B B C A C Nun zeigen wir über eine Wahrheitstafel das die letzte Ausdruck immer wahr ist und somit eine Tautologie darstellt. Wie in der Übung steht W für wahr und F für falsch. A B C A B B C A A C A B B C A C F F F F F W W W F F W F F W W W F W F F W W W W F W W F F W W W W F F W F F F W W F W W F F W W W W F F W F F W W W W F F F W W Bitte wenden!

2 Wir können dies auch durch weiteres direktes umformen des obigen Ausdrucks in eine Tautologie zeigen. Im folgenden steht T für eine immer wahre Aussage. Außerdem verwenden wir das A B C = A C B C ist, dies wurde in der Übung gezeigt. A B B C A C Asso. = A B A B C C = A A B A = T B A = B A B C Asso. = B B A C = T A C = T. B C T B C C C ii Wir formen wieder in eine Tautologie um. Def. A B A B A = A B A B A A A B = A B A } {{ B A } A A B T = A B A A B Asso. = A B A A B = A B A A B A B B A Distr. = = A T A = A A = T. Auch eine Lösung per Wahrheitstafel ist möglich! gute Übung! iii Wir verwenden eine Wahrheitstafel um zu zeigen, dass A B = A B A B. A B A B A B A B A B A B A B F F W W F W W W F W W F F F F F W F F W F F F F W W F F W F W W

3 iv Wir formen wieder in eine Tautologie um. A A B B Def. = A A B B B A B Def. = A A B B B A B = A A B B T Asso. = A B A B = A B A B = T. Aufgabe 2: Sei E eine Eigenschaft. Negieren Sie folgende Aussagen: i x X : Ex, ii x X : y Y : Ex, y. Lösungsvorschlag: i x X : Ex = x X : Ex ii x X : y Y : Ex, y = x X : y Y : Ex, y = x X : y Y : Ex, y Aufgabe 3: K Bestimmen Sie die Menge aller x R, für die die folgende Ungleichung erfüllt ist. i x 5 + x + 7. ii x x 5. Lösungsvorschlag: i Wir betrachten die Ungleichung x 5 + x Der Ausdruck x + 7 ist nur für diejenigen x R definiert, für die gilt. Für x 7 gilt x x 7 x 5 + x + 7 x 5 x + 7. Das Hauptproblem im Verlauf der weiteren Lösung ist, dass das Quadrieren der resultierenden Ungleichung keine Äquivalenzumformung wäre. Dies wäre nur dann der Fall, wenn beide Seiten der Ungleichung positiv wären. Es folgen nun zwei mögliche Lösungswege. Der erste orientiert sich eher an dem schulbekannten Vorgehen, der zweite verwendet eine Fallunterscheidung. Lösungsweg 1: Wir ersetzen nun zunächst das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und bekommen x 5 = x Bitte wenden!

4 Wir bestimmen alle x 7, die die erhaltenen Gleichung lösen. Dazu quadrieren wir beide Seiten dies ist weiterhin keine Äquivalenzumformung! und bekommen x 2 10x + 25 = x + 7 x 2 11x + 18 = 0 x 2x 9 = 0. Die Lösungen der erhaltenen Gleichung sind x 1 = 2 und x 2 = 9, wie man direkt ablesen kann. Durch Einsetzen erkennen wir, dass zwar x 2, jedoch nicht x 1 die Gleichung 2 löst. Somit gilt, dass x 2 die Ungleichung 1 erfüllt. Ferner folgt für die Mengen A 1 := [ 7, 9 und A 2 := 9,, dass entweder alle oder kein x A 1 die Ungleichung aus der Aufgabenstellung erfüllt, ebenso mit A 2. Durch Einsetzen von beliebigen Elementen aus den Mengen, z.b. x 3 = 2 und x 4 = 18, erkennt man, dass 1 genau von denjenigen x R erfüllt wird, für die beachte x 7 x [ 7, 9] gilt. Lösungsweg 2: Wir machen eine Fallunterscheidung. Im Fall x < 5 ist die Ungleichung x 5 x offenbar erfüllt, sodass die Ungleichung aus der Aufgabenstellung für alle x [ 7, 5 gilt beachte x 7!. Im Fall x 5 sind beide Seiten der Ungleichung 3 positiv. Daher ist das Quadrieren dieser Ungleichung nun eine Äquivalenzumformung und wir haben x 5 x + 7 x 5 2 x + 7 x 2 11x 18 x x x Letzteres ist genau für die x R mit x [2, 9] richtig. Damit wird 1 insgesamt genau von denjenigen x R mit erfüllt. ii Wir betrachten die Ungleichung x [ 7, 9] x x 5 4 Der Ausdruck x + 1 ist nur für diejenigen x R definiert, für die x x 1 gilt. Für x 1 ist x x 5 x x.

5 Es folgen nun, wie in Teil a, zwei mögliche Lösungswege. Lösungsweg 1: Zunächst ersetzen wir das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und erhalten x + 1 = 5 x. 5 Quadrieren ergibt x + 1 = 25 10x + x 2 x 2 11x + 24 = 0 x 3x 8 = 0. Man liest die Lösungen x 1 = 3 und x 2 = 8 ab. Durch Einsetzen erkennen wir, dass zwar x 1, jedoch nicht x 2 die Gleichung 5 löst. Somit gilt, dass x 1 die Ungleichung 4 erfüllt. Analog zu oben betrachten wir die Mengen A 2 := [ 1, 3 und A 2 := 3,. Durch Einsetzen von beliebigen Elementen aus diesen Mengen, z.b. x 3 = 0 und x 4 = 8, erkennen wir, dass 4 genau von denjenigen x R erfüllt wird, für die beachte x 1 x [ 1, 3] gilt. Lösungsweg 2: Wir machen eine Fallunterscheidung. Fall 1: Im Fall x > 5 ist die Ungleichung x x 6 offenbar nicht erfüllt, sodass die Ungleichung der Aufgabenstelung für kein x 5, erüllt ist. Fall 2: Im Fall x [ 1, 5] beachte x 1! sind beide Seiten der Ungleichung 6 positiv, sodass Quadrieren derselben nun eine Äquivalenzumformung ist. Man erhält x x x x 2 24 x 2 11x 24 x x x Diesist genau für die x R mit x, 3] [8, richtig. Von den x [ 1, 5] sind das diejenigen mit x [ 1, 3]. Insgesamt wird 4 also genau von denjenigen x R mit erfüllt. x [ 1, 3] Aufgabe 4: K Es seien zwei identische Gläser gegeben. Das erste Glas enthalte x ml Wein und das zweite x ml of Wasser x 1. Wir entnehmen dem ersten Glas 1 ml Wein und schütten diesen in Glas 2. Der Wein und das Wasser in Glas 2 vermischen sich gleichmäßig. Nun entnehmen wir dem zweiten Glas 1 ml des Gemisches und schütten es in Glas 2. Zeigen Sie, dass nun die Menge an Wasser in Glas 1 gleich groß ist wie die Menge an Wein in Glas 2. Lösungsvorschlag: Sei {a, b} die Menge von Wein und Wasser. Am Anfang ist Glass 1 gegeben durch die Menge {x, 0} und Glass 2 durch {0, x}. Nach dem ersten Schritt sehen die Bitte wenden!

6 Glässer mengentheoretisch aus wie {x 1, 0} und {1, x}. Im zweiten Schritt wird das Gemisch { 1 x+1, x x+1 } von Glass 2 in Glass 1 geschüttet. Somit enthält am Ende Glass 1 die Menge und in Glass 2 enthält { x x + 1, 0 + x } { x 2 = x + 1 x + 1, x } x + 1 { 1 1 x + 1, x x } { x = x + 1 x + 1, x 2 }. x + 1 Also stimmt die Menge an Wasser in Glas 1 mit der Menge an Wein in Glas 2 überein. Aufgabe 5: Im Rahmen einer Zensusbefragung wird eine Frau in ihrem Haus befragt Wer wohnt hier? Sie antwortet: Mein Mann und ich mit unseren drei Töchtern. Wie alt sind ihre Töchter? Multipliziert man ihr Alter ist das Ergebnis 36 und die Summe ist unsere Hausnummer. Der Zensus-Mitarbeiter schaut auf die Hausnummer, denkt kurz nach und sagt: Die gegeben Informationen reichen noch nicht aus um das Alter ihrer Töchter zu bestimmen. Die Frau antwortet: Oh, da haben Sie Recht. Dann sag ich Ihnen noch das meine älteste Tochter gerade in ihrem Zimmer schläft. Ah! Dankeschön. Wie alt sind die Töchter? Lösungsvorschlag: Das jeweilige Alter der Töchter ist eine positive ganze Zahl. Wir benennen diese mit a, b, c und nehmen an das a b c gilt. Wir wissen aus der Unterhaltung das abc = 36 und das die Kenntnis von a + b + c ist nicht genug um a, b, c eindeutig festzulegen. Wir bestimmen also erstmal alle Möglichkeiten a b c so das abc = 36. Dies sind die Triple , , , 1 4 9, 1 6 6, 2 2 9, 2 3 6, Durch Berechnung der jeweiligen Summen sehen wir das nur und keine eindeutigen Summen haben. Da wir aber auch noch wissen das es eine eindeutige älteste Tochter gibt, kann der Fall nicht richtig sein. Somit müssen die Töchter der Frau das Alter a = 2, b = 2 und c = 9 haben.