Aussagenlogik: Syntax von Aussagen

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1 Aussagenlogik: Syntax von Aussagen A ::= X (A A) (A A) ( A) (A A) (A A) 0 1 Prioritätsreihenfolge :,,,,. A B: Konjunktion (Verundung). A B: Disjunktion (Veroderung). A B: Implikation. A B: Äquivalenz. A: negierte Formel. A Atom, falls A eine Variable ist. A Literal, falls A Atom oder negiertes Atom. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

2 Aussagenlogik: Semantik Zunächst pro Operation,,,, eine Funktion f op gemäß folgender Tabelle. NOR NAND XOR Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

3 Interpretation Definition Eine Interpretation I ist eine Funktion: I : {aussagenlogische Variablen} {0, 1}. I: Aussage Wahrheitswert: I(0) := 0, I(1) := 1 I( A) := f (I(A)) I(A op B) := f op (I(A), I(B)), wobei op {,,,...} I(F ) = 1, entspricht I = F. macht F wahr) ( I ist ein Modell für F, F gilt in I, I Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

4 Definition: Tautologie usw. A ist eine Tautologie (Satz, allgemeingültig) gdw. für alle Interpretationen I gilt: I = A. A ist ein Widerspruch (widersprüchlich, unerfüllbar) gdw. für alle Interpretationen I gilt: I(A) = 0. A ist erfüllbar (konsistent) gdw. es eine Interpretationen I gibt mit: I = A. ein Modell für eine Formel A ist eine Interpretation I mit I(A) = 1. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

5 Beispiele für Tautologie usw. X X ist eine Tautologie. (X Y ) ((Y Z) (X Z)) ist eine Tautologie. X X ist ein Widerspruch. X Y ist erfüllbar. I mit I(X) = 1, I(Y ) = 0 ist ein Modell für X Y Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

6 Komplexitäten 1. Ist A erfüllbar? ist N P-vollständig. 2. Ist A Tautologie? ist co-n P-vollständig. 3. D.h. für beides sind nur worst-case EXPTIME-Algorithmen bekannt. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

7 Folgerungsbegriffe semantische Folgerung: =. A = B gdw. Für alle Interpretationen I: I(A) = 1 I(B) = 1 syntaktische Folgerung (, Herleitung) Regelsystem zum Herstellen von Aussagen ( Folgerungen) A B Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

8 Kalkül: Korrektheit und Vollständigkeit Kalkül: Ein (i.a. nicht-deterministischer) Algorithmus A, der aus einer Menge von Formeln H eine neue Formel H berechnet. (H A H) A ist korrekt (sound), gdw. H A H impliziert H = H A ist vollständig (complete), gdw. H = H impliziert, dass H A H Kalküle (z.b.): Wahrheitstafeln BDDs und Varianten Resolution Tableau Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

9 Deduktionstheorem Eine wichtige Eigenschaft der Aussagenlogik: Satz {F 1,..., F n } = G gdw. F 1... F n G ist Tautologie. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

10 Äquivalenz F, G sind äquivalent (F G), gdw. wenn F G ist Tautologie F G gdw für alle I: I = F gdw. I = G gilt. Beachte z.b. X Y X Y Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

11 Aussagenlogische Sätze und sind kommutativ, assoziativ, und idempotent: F G G F F F F F (G H) (F G) H F G G F F (G H) (F G) H F F F Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

12 Äquivalenzen: ( A)) A (A B) ( A B) (A B) ((A B) (B A)) (A B) A B (DeMorgansche Gesetze) (A B) A B A (B C) (A B) (A C) Distributivität A (B C) (A B) (A C) Distributivität (A B) ( B A) Kontraposition A (A B) A Absorption A (A B) A Absorption Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

13 Normalform DNF disjunktive Normalform (DNF). Disjunktion von Konjunktionen von Literalen. (L 1,1... L 1,n1 )... (L m,1... L m,nm ) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

14 Normalform CNF konjunktive Normalform (CNF) = Konjunktion von Disjunktionen von Literalen. (L 1,1... L 1,n1 )... (L m,1... L m,nm ) Auch: Klauselform oft: Menge von Mengen -Schreibweise Literal L z.b. X, Y Klausel (L m,1... L m,nm ) z.b. (X Y ) {L m,1,..., L m,nm } (L 1,1... L 1,n1 ) Klauselmenge... z.b. {{X, Y }, {Y }} (L m,1... L m,nm ) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

15 Transformation in eine Klauselmenge Notwendig für Resolution 1. Elimination von und : F G (F G) (G F ) F G F G 2. Negation ganz nach innen schieben: F F (F G) F G (F G) F G 3. Distributivität (und Assoziativität, Kommutativität) iterativ anwenden, um nach außen zu schieben ( Ausmultiplikation ). F (G H) (F G) (F H) (Das duale Distributivgesetz würde eine disjunktive Normalform ergeben.) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

16 Transformation in eine Klauselmenge, Resultat Konjunktion von Disjunktionen (Klauseln) von Literalen: (L 1,1... L 1,n1 ) (L 2,1... L 2,n2 )... (L k,1... L k,nk ) oder in (Multi-)Mengenschreibweise: {{L 1,1,..., L 1,n1 }, {L 2,1,..., L 2,n2 },... {L k,1,..., L k,nk }} Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

17 Transformation: Eigenschaften Resultat-CNF ist äquivalent zur eingegebenen Formel Dieser CNF-Algorithmus ist worst-case exponentiell Anzahl der Literale in der Klauselform wächst exponentiell Gründe: die Elimination von : Betrachte die Formel (A 1 A 2 ) (A 3 A 4 ) Ausmultiplikation mittels Distributivgesetz: (A 1... A n ) B 2... B m ((A 1 B 2 )... (A n B 2 )) B 3... B n Dies verdoppelt B 2 und führt zum Iterieren des Verdoppelns, wenn B i selbst wieder zusammengesetzte Aussagen sind. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

18 Schnelle CNF-Herstellung F F CNF in Zeit O(n log(n)). Eigenschaft: F erfüllbar gdw. F CNF erfüllbar! Evtl: F F CNF Die Idee: komplexe Subformeln durch Variablen abkürzen. F [G] (A G) F [A] (A neue Variable) Lemma F [G] ist erfüllbar gdw. (G A) F [A] erfüllbar ist. Hierbei muss A eine Variable sein, die nicht in F [G] vorkommt. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

19 Schnelle CNF-Herstellung Def: Tiefe einer Unter-Aussage (bzg.l voll geklammerter Aussagen, die (flache) Konjunktionen sind) Schneller CNF-Algorithmus Die Formel sei F 1... F n Wenn F j eine Tiefe 3 hat, dann ersetze alle Subformeln G 1,..., G m von F j in Tiefe 2 sind, und die keine Atome sind, durch neue Variablen A i : D.h. F j [G 1,..., G m ] F j [A 1,..., A m ] (G 1 A 1 )... (G m A m ) Iteriere diesen Schritt Danach wandle die verbliebenen Formeln in CNF um. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

20 Resolutionsverfahren für Aussagenlogik statt Test auf Allgemeingültigkeit von F : Testen von F auf Widerspruch. etwas allgemeiner: Lemma A 1... A n F ist allgemeingültig gdw. A 1... A n F widersprüchlich ist. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

21 Resolutionsverfahren für Aussagenlogik Resolution operiert auf Klauselmengen erzeugt aus zwei (Eltern-)Klauseln eine Resolvente die zur Klauselmenge hinzugefügt wird A B 1... B n A C 1... C m B 1... B n C 1... C m Resolution wird iteriert. Falls leere Klausel als Resolvente: Erfolgreich beendet Resolution auf Klauselmengen: als Menge von Mengen C C {R} Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

22 Terminierung der aussagenlogischen Resolution Satz Die Resolution auf einer aussagenlogischen Klauselmenge terminiert, wenn Resolutionsschritt nur erlaubt ist bei Vergrößerung der Klauselmenge Grund: Es gibt nur endlich viele mögliche Klauseln, da Resolution keine neuen Variablen einführt. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

23 Vollständigkeit der Resolution Satz Für eine unerfüllbare Klauselmenge findet Resolution nach endlich vielen Schritten die leere Klausel. Beweis:... Die Komplexität der Resolution im schlimmsten Fall: Satz Es gibt eine Folge von Formeln (die sogenannten Taubenschlagformeln bzw. pigeon hole formula, Schubfach-formeln), für die die kürzeste Herleitung der leeren Klausel mit Resolution eine exponentielle Länge (in der Größe der Formel) hat. (A. Haken 1985) (siehe auch E. Eder 1992)) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

24 Davis-Putnam Algorithmus DP ( ) 1 a. Wenn leere Klausel in C: RETURN true. b. Wenn C leere Klauselmenge: RETURN false. 2. wenn 1-Klausel {P } (bzw. { P }) ex: a b Lösche Klauseln in denen P (bzw. P ) vorkommt. Lösche Literale P (bzw. P ) in Klauseln ergibt Klauselmenge C. RETURN DP (C ) 3. Wenn isolierte Literale existieren: Lösche Klauseln, in denen isolierte Literale vorkommen. resultierende Klauselmenge: C. RETURN DP (C ) 4 Sonst: wähle eine ex. Variable P aus. RETURN DP (C {P }) DP (C P ) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

25 Beispiel für DP P, Q P, Q R P, Q, R, P Q, R P, Q, R P, Q, R P, Q, R P, Q, R Fall 1: Addiere die Klausel {P }. nach einigen Schritten: Q, R Q, R Q, R Q, R Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

26 Fall 1.1: Addiere {Q}: ergibt die leere Klausel. Fall 1.2: Addiere { Q}: ergibt die leere Klausel. Fall 2: Addiere die Klausel { P }. Nach einigen Schritten: Q Q R Q R Q R Weitere Schritte für Q ergeben R R ergibt leere Klausel.

27 Smullyan: Wer ist der Pfefferdieb? Rätsel von Raymond Smullyan: Es gibt drei Verdächtige: Den Hutmacher, den Schnapphasen und die (Hasel-)Maus. Folgendes ist bekannt: Genau einer von ihnen ist der Dieb. Unschuldige sagen immer die Wahrheit Schnapphase: der Hutmacher ist unschuldig. Hutmacher: die Hasel-Maus ist unschuldig Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

28 Kodierung: H, S, M 1. H S M 2. H (S M) 3. S (H M) 4. M (H S) 5. S H 6. H M Klauselmenge: {{H, S, M}, { H, S}, { H, M}, { S, M}, {S, H}, {H, M}} pfefferdieb = dp "((H \\/ S \\/ M) /\\ (H => -(S \\/ M)) /\\ (S => -(H \\/ M)) /\\ (M => -(H \\/ S)) /\\(-S => -H) /\\ (-H => -M))" Modell: S, -M, -H" Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

29 Eine Logelei aus der Zeit Abianer sagen die Wahrheit, Bebianer Lügen. Aussagen: 1. Knasi: Knisi ist Abianer. 2. Knesi: Wenn Knösi Bebianer, dann ist auch Knusi ein Abianer. 3. Knisi: Wenn Knusi Abianer, dann ist Knesi Bebianer. 4. Knosi: Knesi und Knüsi sind beide Abianer. 5. Knusi: Wenn Knüsi Abianer ist, dann ist auch Knisi Abianer. 6. Knösi: Entweder ist Knasi oder Knisi Abianer. 7. Knüsi: Knosi ist Abianer. A <=> I E <=> (-OE => U) I <=> (U => -E) O <=> (E /\ UE) U <=> (UE => I) OE <=> (A XOR I) UE <=> O Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

30 Logelei: Lösung Die Eingabe in den Davis-Putnam-Algorithmus ergibt: abianer1expr = "((A <=> I) /\\ (E <=> (-OE => U)) /\\ (I <=> (U => -E)) /\\ (O <=> (E /\\ UE)) /\\ (U <=> (UE => I)) /\\ (OE <=> -(A <=> I)) /\\ (UE <=> O))" Resultat: "Modell: -OE, -O, -UE, E, U, -I, -A" Damit sind Knesi und Knusi Abianer, die anderen sind Bebianer. Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

31 Das n-damen Problem: aussagenlogisch n Damen auf ein Schachbrett der Seitenlänge n Bedingung: keine Bedrohung Ein Programm zum Erzeugen der Klauselmenge erzeugt im Fall n = 4: > generate_nqueens 4 [[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16], [1, 5, 9,... davisputnam (generate_nqueens 4) davisputnamalle (generate_nqueens 4) dpqueensalle 4 dpqueensalle 6 dpqueensalle 8 (dauert etwas) Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004

32 Das n-damen Problem: aussagenlogisch Der Aufruf dpqueens 8 ergibt nach kurzer Zeit: - - D D - - D D D D D - - Deduktion, SS 04, F olien Ded Aussagen, Seite April2004