Prozeßalgebren. Prof. Dr. Ursula Goltz

Transkript

1 Prozeßlgebren Prof Dr Ursul Goltz Stnd: 24 Oktober 2012

2 Vorwort Ds vorliegende Skript ist die Ausrbeitung einer Vorlesung, die wesentliche Grundbegriffe us dem weiten Feld der Prozeßlgebren einführt Dbei liegt der Schwerpunkt uf den semntischen Grundbegriffen Insbesondere werden uch kuslitätsbsierte Semntiken vorgestellt, die erluben, Prllelität und nichtdeterministisches Interleving von Aktionen zu unterscheiden Diese Vorlesung wurde in unterschiedlichen Vrinten bereits seit vielen Jhren ngeboten An dieser Stelle möchte ich mich insbesondere bei Prof Dr Dr hc mult Wilfried Bruer und Prof Dr-Ing Ulrich Herzog bednken, die mir dmls die Gelegenheit gben, diese Vernstltung n der Technischen Universität München und n der Universität Erlngen-Nürnberg durchzuführen Weiterhin möchte ich mich hier sehr herzlich bei Stefn Heymer bednken, uf dessen Ausrbeitung ds vorliegende Skript beruht Dnk gebührt vielen weiteren Kollegen und Mitrbeitern, deren Anregungen und konstruktive Kritik eingeflossen sind Norbert Götz ht viele Anregungen in einem frühen Stdium beigesteuert und den dmligen Stnd der Vorlesung dokumentiert, Dr Stefn Milius ht durch zhlreiche kritische Anmerkungen sehr zur Verbesserung der Endfssung beigetrgen, Jens-Wolfhrd Schicke ht mit großem Schverstnd die inhltliche und technische Endredktion übernommen Ihnen und llen nderen, die zum Entstehen dieses Skripts beigetrgen hben, n dieser Stelle meinen herzlichen Dnk Brunschweig, Ursul Goltz 1

3 Inhltsverzeichnis 1 Einführung 1 2 Eine einfche bstrkte Sprche 13 3 Trnsitionssysteme 15 4 Sequentielle Semntik von L Strukturelle opertionelle Semntik Kompositionelle Bumsemntik für L Zusmmenhng zwischen einer opertionellen Semntik und einer Bumsemntik für L 30 5 Petrinetze Definitionen Schrittsemntik von beschrifteten Netzen 38 6 Petrinetzsemntik für L Definition der Netzsemntik Vergleich von Netzsemntik und opertioneller Semntik 48 i

4 7 Ereignisstrukturen Eine Ereignisstruktursemntik für L Beziehung der Ereignisstruktursemntik zur Netzsemntik Konsistenz zur Schrittsemntik 63 8 Synchronistion Sequentielle Semntik von L s Bumsemntik von L s Strukturelle opertionelle Semntik von L s Synchronistion in kuslitätsbsierten Modellen Netzsemntik von L s 74 9 Beschreibung unendlicher Verhlten Sequentielle Semntik von L r Opertionelle Netzsemntik für Sprchen mit Rekursion Netzsemntik für L r Konsistenz der opertionellen Netzsemntik zur sequentiellen Semntik Vergleich opertioneller Netzsemntiken mit kuslitätsbsierten Semntiken für endliche Verhlten Erweiterung von L r um Synchronistion Sequentielle Semntik von L rs Opertionelle Netzsemntik für L rs 88 ii

5 1043 Kompositionelle Netzsemntik für endlich drstellbre Prozesse Semntische Opertoren Synchronistion Äquivlenzbegriffe 104 iii

6 Abbildungsverzeichnis 11 Schem sequentieller Progrmmsysteme 2 12 Schem rektiver Progrmmsysteme 2 13 Synchronistionsgrph für b 7 14 Synchronistionsbum für Σ 7 15 Synchronistionsbum für Σ 8 16 Synchronistionsbum für Σ 9 17 Petri Netz für die tomre Aktion c Petri Netz für den Prozeß c 1 ;n Petri Netz für den Prozeß P 1 = c 1 ;n 1 ;P Petri Netz für den Prozeß P 1 = p;c 1;v;n 1 ;P 1 ; Petri Netz für den Prozeß P 1 P Petri Netz für den Semphor Prozeß S = p; v; S Synchronistion durch Verschmelzen von Trnsitionen Netz für ds System Σ = (P 1 P 2 ) {p,v} S Ein Trnsitionssystem Die Abwicklung des Trnsitionssystems 18 iv

7 33 Zwei Trnsitionssysteme, die nicht bisimultionsäquivlent sind Ds Trnsitionssystem Rech(A( b)) zum Prozeß b Ds Trnsitionssystem Rech(A(bnil + bnil)) zum Prozeß bnil+bnil Der Bum zum Opertor nil Der Bum für t Der Bum zum Opertor Drstellung eines beliebigen Bums t Die Bumsemntik ST ( b) =ST (b+b) Trnsitionssystem für A(P) Trnsitionssystem für A(P ) Isomorphie von A(nil R) und A(R) Ein Beispiel für Abw(A(P)) = ST(P) A(nil) ST (nil) A(P ) ST (P ) Petrinetz für den Prozeß P 1 = b Petrinetz für den Prozeß P 2 = b+b Ein Kontkt in einem Petrinetz Beispiel zur mehrfchen Ausführung einer Aktion in einem Schritt Beispiel zur Schrittsemntik von beschrifteten Netzen Um Benennungen für die Stellen erweitertes Netz us Abbildung v

8 57 Schritt-Trnsitionssystem und Interleving-Trnsitionssystem für ds Netz us Abbildung Ds Netz nil Ds Netz N Ds Netz N 1 N Ds Netz +b ls Summe der Netze und b Ds Netz b+c ls Summe der Netze b und c Ein Beispiel für die Notwendigkeit von I i = N i Beispiele zur Definition der A Netze A I (N(+)) = A(+) Netz des Prozesses P Bisimultion zwischen A I (N(P )) und A(P ) Die Schrittsemntik unterscheidet die Netze b und b+b Schrittrnsitionssysteme für die Prozesse P 1 = b und P 2 = b+b Netzsemntiken der Prozesse P 1 = b und P 2 = b+b Eine Ereignisstruktur für den Term b+b Skizze zum Beweis von E(P ) = E(N(P )) = E(N(P)) KonstruktiondesIsomorphismuszumBeweis von E(P 1 P 2 ) = E(N(P 1 P 2 )) Erzeugung des Isomorphismus φ us den Komponenten φ 1 und φ Bumsemntik des Prozesses (bnil) {} (nil+cnil) 68 vi

9 82 Trnsitionssystem für den Prozeß bnil {,b} bnil Zwei Ereignisstrukturen Synchronistion der Ereignisstrukturen us der Abbildung 83 über der Menge {} Synchronistion zweier Petri Netze Synchronistion der Petri Netze zu den Ereignisstrukturen us Abbildung Synchronistion der Ereignisstrukturen b {,b} b Bumsemntik des Semphorprozesses Endliche Drstellung des Semphorprozesses Trnsitionssystem zum Prozeß Q = µx(x+b) Trnsitionssystem zum Prozeß Q = µx((bx c)) Opertionelle Netzsemntik zum Term (b c) Opertionelle Netzsemntik zum Term µx((bx c) N(P) und ON(P) für den Prozeß P = Opertionelle Netzsemntik des Prozesses (+b) {,b} Opertionelle Netzsemntik des Prozesses µx(b(x {b} x)) Modellierung von Vriblen durch beschriftete Stellen Pfeilgewichte sind notwendig Trnsition mit Pfeilgewichten Trnsitionen können in einem Schritt mehrfch schlten Ein Beispiel zum Schrittbegriff 94 vii

10 1011Ein Beispiel zur Schltregel Konstruktion zum Auswhlopertor Netz für eine CCS rtige Prllelkomposition Probleme bei der Prllelkombintion Vervollständigung von Netzen Probleme beim über Vervollständigung definierten Prllelkombintors Petrinetz für den Prozeß µx((bx c)+d) Einordnung verschiedener Äquivlenzbegriffe 106 viii

11 Kpitel 1 Einführung In dieser Vorlesung werden Prozeßlgebren behndelt Sie dienen der Beschreibung sogennnter rektiver Systeme, die in der Informtik in den letzten Jhren immer mehr n Bedeutung gewonnen hben, zum Beispiel ls Informtionssysteme, in der Telekommuniktion, ls sogennnte eingebettete Systeme (embedded systems) und in der Automtisierung von Steuerungsund Regelvorgängen In der Einführung sollen zunächst wesentliche Konzepte der Prozeßlgebren nhnd einiger Beispiele motiviert werden Sequentielle Progrmme und Progrmmsysteme Wo liegt der Unterschied zwischen den rektiven Systemen und den herkömmlichen sequentiellen Progrmmen und Progrmmsystemen (uch trnsformtionelle Systeme gennnt)? Herkömmliche Systeme erhlten eine Eingbe, die von einem Progrmm in sequentiellen Schritten berbeitet wird Ds Progrmm erzeugt us den verrbeiteten Dten eine Ausgbe, die dnn n den Benutzer weitergegeben wird Eine grphische Drstellung dieses Schems ist in Abbildung 11 zu sehen Beispiele für die Verwendung sequentieller Systeme sind ds Lösen von Gleichungssystemen und die Montsbrechnung eines Buchhltungssystems Bei solchen Progrmmen und Progrmmsystemen ist u die Terminierung wichtig: Irgendwnn soll die Berechnung mit einem Ergebnis beendet werden Rektive Systeme Der Begriff der rektiven Systeme wurde von Amir Pnueli eingeführt Er beschreibt Progrmmsysteme mit unbeschränkter Lufzeit, mit denen ein oder mehrere Benutzer kommunizieren Die Benutzer müssen nicht notwendigerweise menschlich sein: Auch Mschinen oder Sen- 1

12 Eingbe Progrmm Ausgbe Abbildung 11: Schem sequentieller Progrmmsysteme Abbildung 12: Schem rektiver Progrmmsysteme soren können mit dem Progrmmsystem intergieren Abbildung 12 zeigt ein Schem für rektive Progrmmsysteme Oft sind solche Systeme sehr komplex und bestehen us mehreren Teilkomponenten, die nicht notwendigerweise uf demselben Rechner lufen Diese Teilkomponenten können wiederum mit Benutzern oder nderen Teilkomponenten kommunizieren Für eine Modellierung ist es nur konsequent, uch die Benutzer und ihr Verhlten zu modellieren Ddurch entsteht ein in Abbildung 12 durch einen gestrichelten Ksten drgestelltes äußeres System Wichtige Chrkteristik rektiver Systeme sind ihre unbeschränkte Lufzeit, die Kommuniktion und Interktion mit der Umwelt und ihre inherente Prllelität Rektive Systeme sind oft uch sicherheitskritisch, ihr sicherer und störungsfreier Abluf muß lso gewährleistet sein Eine solche Gewähr- 2

13 leistung knn ber ufgrund der komplexen Interktionsbeziehungen zwischen Teilkomponenten des Progrmmsystems und ihrer Umwelt keineswegs llein durch Tests geliefert werden Wie knn mn die Korrektheit eines rektiven Systems gewährleisten? Es knn keine Lösung sein, ein komplexes System zu implementieren und nschließend seine Korrektheit vollständig zu verifizieren, denn die Verifiktion nichttriviler sequentieller Progrmme ist bereits schwierig Ein vielversprechender Anstz ist hier, durch systemtische Konstruktion des rektiven Systems ein korrektes System entwickeln zu können, nlog etw zu dem Anstz, sequentielle Progrmme über den wp Klkül us Spezifiktionen der Progrmme bzuleiten (siehe zum Beispiel [Gri81] oder [GD89]) Diese Erkenntnis liegt uch bestimmten prllelen Progrmmiersprchen zugrunde Prllele Progrmmiersprchen Prllele Progrmmiersprchen sind Sprchen, mit denen mn Systeme progrmmieren knn, deren Teile explizit prllel rbeiten sollen Zunächst wurden für die Progrmmierung prlleler Systeme herkömmliche Progrmmiersprchen wie Fortrn oder C verwendet Die Progrmmierung einzelner sequentieller Komponenten wird wie für sequentielle Systeme durchgeführt; die Kommuniktion erfolgt in diesem Anstz über einen gemeinsmen Speicher (shred vrible pproch) Durch die mngelhfte Strukturierung und Durchschubrkeit so entstndener Systeme entstehen jedoch Probleme bei der Verifiktion Sttt herkömmlicher Progrmmiersprchen verwendet mn deshlb Sprchen mit speziellen Konstrukten für Prllelusführung und Kommuniktion wie Ad, occm, CHILL oder LOTOS (eher eine Spezifiktionssprche) In Ad und occm können prllele Komponenten nur kommunizieren, wenn sie sich vorher synchronisieren CHILL und LOTOS werden für die Relisierung bzw Spezifiktion von Kommuniktionsprotokollen verwendet Abstrktion Eine Beobchtung zeigt, dß bei rektiven Systemen die korrekte Berechnung und Behndlung von Dten mnchml zunächst vernchlässigt werden knn, so dß llein die Synchronistionsstruktur untersucht wird Drus folgt die Idee einer Abstrktion von den Berechnungen eines Progrmmsystems, es soll eine Konzentrtion uf den Kontroll- und Informtionsfluß erfolgen Dies führt zur Entwicklung bstrkter Sprchen, die uch ls Grundlge bei der Entwicklung von Progrmmiersprchen dienen können 3

14 Prozeßlgebren Prozeßlgebren sind hier bstrkte modulre Sprchen für rektive Systeme mit ihrer Semntik Prozesse sind formle Modelle für rektive Systeme Dbei wird vom Konzept des Zustndsrums bstrhiert, im Vordergrund stehen stttdessen Konstrukte zur Komposition von Systemen us einfchen Teilen Konkreter sollen hier Grundbusteine (Aktionen),b,c, Act mit Act ls einer Menge von Aktionen betrchtet werden Diese Aktionen sind bstrkte Tätigkeiten und Ereignisse, die geschehen können, etw Zuweisungen oder Kommuniktionen Aus diesen Grundbusteinen können mit den folgenden Kompositionsopertoren komplexe Systeme zusmmengesetzt werden: Mit dem Opertor verbundene Systemteile werden unbhängig voneinnder prllel usgeführt Mit A verknüpftesystemteilewerdenprllelusgeführtmitsynchronistionsktionen us der Menge A: In P A Q können P und Q unbhängig prllel rbeiten, solnge sie keine Aktionen us A usführen wollen Aktionen us A können von P und Q nur ls eine gemeinsme Aktion usgeführt werden, wenn beide dzu bereit sind (sonst müssen die Prozesse ufeinnder wrten) Dieses Konzept wird ls Rendezvous bezeichnet Mit + verknüpft stellen die Systemteile mögliche Alterntiven des Systemverhltens dr ; steht für die sequentielle Komposition von Systemteilen Außerdem sind Itertion und Rekursion möglich Einfchste Beispiele für Prozesse sind dnn etw der Prozeß der die Aktion usführt und dnn terminiert, der Prozeß, b, in dem die Aktionen und b unbhängig prllel usgeführt werden, oder der Prozeß c;d, ds zuerst die Aktion c und dnch die Aktion d usführt Der Prozeß +c;d 4

15 führt die Aktion, oder die Aktion c und dnch d us Die sequentielle Komposition bindet dbei stärker ls die Alterntivenbildung, ds Semikolon wird oft weggelssen: +cd Der Prozeß P = ;P beschreibt einen Prozeß P, der zuerst die Aktion usführt, um sich dnn wie P zu verhlten Durch diese rekursive Gleichung wird ein Prozeß beschrieben, der eine unendliche Folge von Ausführungen der Aktion erzeugt Die Bedeutung der Kompositionsopertoren wird später durch eine formle Semntik ngegeben, dmit wird jedem gebildeten Progrmm ein mthemtisches Objekt zugeordnet Ein Prozeß ist dnn ein Progrmm mit seiner Bedeutung, einem mthemtischen Objekt Beknnte Prozeßlgebren Hier sollen zunächst einml einige wichtige prozeßlgebrische Klküle ufgeführt werden Es sind ds 1980 von Milner entwickelte CCS [Mil80, Mil89](clculus of communicting systems), ds 1978 von Hore entwickelte und bis 1985 erweiterte und modifizierte CSP [Ho78, Ho85] (CSP steht für communicting sequentil processes), ds 1975 von Luer und Cmpbell entwickelte COSY [LC75] und die lgebr of communicting processes ACP [BW90], die 1984 von Bergstr und Klop entwickelt wurde Grundlegend wren die unbhängig voneinnder entwickelten Klküle CCS und CSP Milner bebsichtigte zuerst eine Art Lmbd Klkül für prllele Systeme zu entwickeln, bei dem die Kompositionsopertoren ngenehme lgebrische Eigenschften hben sollten Hore hingegen erweiterte Dijkstrs gurded commnds um Prllelität und ds Rendezvous Konzept für die Kommuniktion zwischen prllelen Komponenten CCS und CSP entwickelten sich dnn ber im Lufe der Jhre ufeinnder zu COSY knn ls Vorläufer der Prozeßlgebren ngesehen werden, fnd ber reltiv wenig Verbreitung ACP bsiert uf CCS, wählt jedoch einen stärker xiomtischen Anstz 5

16 Ein Beispiel: Mutul exclusion Ein im Bereich der prllelen Progrmmierung oft verwendetes Beispiel ist ds des wechselseitigen Ausschlusses (mutul exclusion) Dbei lufen mehrere Systemteile prllel b Sie hben sogennnte kritische Bereiche; zu einem Zeitpunkt drf sich jeweils nur höchstens ein Teilsystem im kritischen Bereich befinden Eine von Dijkstr vorgeschlgene Lösung verwendet ein Semphor Ein Semphor ist dbei eine gnzzhlige Vrible mit den Opertionen P und V V(s) erhöht den Wert des Semphors s um 1, P(s) erniedrigt den Wert von s um 1, wenn der Wert von s größer ls Null ist Mn verwendet für ds Beispiel in der einfchsten Form ein Semphor mit dem Anfngswert 1 ls einen Schlüssel wie folgt: Um in den kritischen Bereich eintreten zu können, muß ein Prozeß mit P(s) zuerst den Schlüssel holen, bei Verlssen des kritischen Bereichs wird er nschließend mit V(s) zurückgebrcht Für die Formulierung des Problems in der oben erläuterten Prozeßlgebr betrchtet mn n Prozesse P i = c i ;n i ;P i, 1 i n, bei denen zur Vereinfchung der kritische Bereich c i bereits m Anfng der Schleife stehen soll, gefolgt von einem unkritischen Bereich n i Für ds modellierte System ergibt sich dmit die Beschreibung Σ = P 1 P n Im folgenden sei zur Vereinfchung n = 2 ngenommen Üblicherweise wird für Prozeßlgebren eine interleving Semntik ngenommen In ihr wird Prllelität durch beliebiges Hintereinnderusführen von Aktionen der Teilsysteme simuliert In dem Prozeß b können zum Beispiel zuerst und dnn b, oder zuerst b und dnn usgeführt werden Als Drstellung der interleving Semntik sind die sogennnten Synchronistionsbäume (synchronistion trees) gebräuchlich Der Synchronistionsbum für b ist in Abbildung 13 drgestellt, derselbe Bum ergibt sich für den Prozeß ;b+b; Für ds oben ngegebene System Σ ergibt sich mit n = 2 der in Abbildung 14 drgestellte Synchronistionsbum Dieser Bum ist unendlich, d der Prozess rekursiv ist Im Synchronistionsbum liegen uf llen Pfden die kritischen Bereiche hintereinnder Dmit sieht es so us, ls würde ds Problem des wechselseitigen Ausschlusses nicht uftreten Es stellt sich jetzt 6

17 b b Abbildung 13: Synchronistionsgrph für b c 1 c 2 n 1 c 2 c 1 n 2 c 1 c 2 n 1 n 2 n 1 n 2 c 1 c 2 Abbildung 14: Synchronistionsbum für Σ herus, dß ds Problem nicht usreichend präzise modelliert wurde Bei der Verwendung von interleving Semntiken sollten die verwendeten Aktionen immer tomr bezogen uf ds ktuelle Problem sein Dies ist für diese Modellierung nicht der Fll, d hier die zeitliche Ausdehnung der kritischen Bereiche wesentlich ist ImzweitenVersuchwirdderkritischeAbschnittc i desprozessesp i unterteilt in den Anfng c A i des kritischen Bereichs und sein Ende c E i Die nichtkritischenbereichen i werdenindiesermodellierungzurvereinfchungweggelssen, dmit die entstehenden Synchronistionsbäume nicht zu unübersichtlich werden Dmit ergibt sich für die einzelnen Prozesse die Struktur P i = ca i ;ce i ;P i Für n = 2 ergibt sich die Systembeschreibung Σ = P 1 P 2 P 1 = c A 1 ;ce 1 ;P 1 P 2 = c A 2 ;ce 2 ;P 2, der Synchronistionsbum für dieses System ist in Abbildung 15 drgestellt Der gestrichelt mrkierte Pfd ist kritisch, uf ihm wird die Forderung des wechselseitigen Ausschlusses verletzt 7

18 c A 1 c A 2 c E 1 c A 2 c A 1 c E 2 Abbildung 15: Synchronistionsbum für Σ Bei der Lösung dieses Problems mit Hilfe eines Semphors werden die Prozesse P 1 und P 2 um die Semphor Aktionen p und v erweitert, es ergeben sich die Gleichungen P 1 = p;c A 1 ;ce 1 ;v;p 1 P 2 = p;c A 2 ;ce 2 ;v;p 2 Wie wird ds Semphor modelliert? D sich jeweils nur ein Prozeß in seinem kritischen Abschnitt befinden drf, genügt ein binäres Semphor Dies sollte die Opertionen p und v in diesem einfchen Fll immer genu bwechselnd erluben Dmit ergibt sich die Modellierung des Semphors ls Prozeß S = p;v;s Ds gesmte System wird dnn beschrieben durch den Prozeß Σ = (P 1 P 2) {p,v} S Die prllele Komposition mit der Synchronistionsmenge {p,v} bewirkt dbei, dß die Opertionen p und v von den beiden Prozessen nur gemeinsm mit dem Semphor usgeführt werden dürfen Strtet ds System, so knn der Prozeß P 1 oder der Prozeß P 2 zusmmen mit S die Aktion p usführen Führt der Prozeß P 1 die Aktion p us, so knn der Prozeß P 2 diese Aktion nicht mehr usführen, weil S nicht dzu bereit ist Dmit muß P 2 vor seinem kritischen Abschnitt stehenbleiben Die einzige Möglichkeit ist nun die Ausführung der Aktionen c A 1 und c E 1 von P 1, lso des gesmten kritischen Abschnittes von P 1 Nch der Ausführungder Aktion v durch P 1 stehen beide Prozesse wieder m Anfng ihrer Ausführung, es ergeben sich dieselben Whlmöglichkeiten wie m Anfng Anloge Überlegungen ergeben einen entsprechenden Verluf für den zweiten Ast des Synchronistionsbums Der Synchronistionsbum des Systems Σ ist in Abbildung 16 drgestellt Dbei wird der unendliche Bum rekursiv drgestellt 8

19 Σ : p p c A 1 c A 2 c E 1 v c E 2 v Σ Σ Abbildung 16: Synchronistionsbum für Σ Der Beweis der Korrektheit des Systems erfolgt durch lgebrische Methoden (siehe zum Beispiel [Mil80]) Ds Betrchten eines Systems durch lle möglichen interlevings seiner Aktionen ist ber reltiv ufwendig Die Festlegung uf tomre Aktionen steht dem top down Entwurf im Wege Zudem hben wir oben gesehen, dß eine interleving Semntik sogr bestehende Probleme verbergen knn Aus diesem Grunde werden uch lterntive Ansätze verfolgt, die Prllelität direkter beschreiben Ein solcher Anstz sind zum Beispiel die Petri Netze [Rei90] Ein Petri Netz besteht us Stellen, die durch Kreise drgestellt werden, Trnsitionen, die durch (möglicherweise beschriftete) Kästen drgestellt werden, und Pfeilen zwischen Stellen und Trnsitionen Dbei stellen die Stellen mögliche Zustände für den Kontrollfluß im System dr, während die Trnsitionen für die Ausführung von bstrkten Aktionen stehen Als einfches Beispiel ist in Abbildung 17 ds Petri Netz für die tomre Aktion c 1 drgestellt Zur Drstellung des ktuellen Systemzustnds werden Mrken verwendet Ist eine Stelle mit einer Mrke belegt, ist die Ausführung des Systems lokl bis zu dieser Stelle gelngt Die mögliche Durchführung einer Trnsition wird durch die Schltregel bestimmt Sobld lle Stellen, die einer Trnsition unmittelbr vorusgehen (der Vorbereich der Trnsition) mit Mrken belegt ist, knn die Trnsition schlten Dbei werden die Mrken von den vorngehenden Stellen der Trnsition entfernt Auf jede unmittelbr nchfolgende Stelle der Trnsition (den Nchbereich der Trnsition) wird jeweils eine Mrke gelegt, um den neuen Zustnd des Systems zu signlisieren 9

20 c 1 Abbildung 17: Petri Netz für die tomre Aktion c 1 c 1 n 1 Abbildung 18: Petri Netz für den Prozeß c 1 ;n 1 Die sequentielle Komposition zweier Teilsysteme erhält mn in einer Petrinetzmodellierung, indem mn die Netze für die Teilsysteme hintereinndersetzt Dbei werden die Ausgngsstellen des ersten Netzes mit den Eingngsstellen des zweiten Netzes identifiziert Abbildung 18 zeigt dies m Beispiel des Prozesses c 1 ;n 1 In einfchen Fällen ist es uch möglich, rekursive Prozesse uf diese Weise mit einer Semntik zu versehen Abbildung 19 zeigt dies m Beispiel des Prozesses P 1 = c 1 ;n 1 ;P 1 Prllelität erhält mn ddurch, dß die prllelen Teilsysteme Teilnetze des Netzes für ds gesmte System bilden Abbildung 111 zeigt dies für den Prozeß P 1 P 2, wobei P 1 = c 1 ;n 1 ;P 1 und P 2 = c 2 ;n 2 ;P 2 Prllelität wird lso ddurch modelliert, dß Trnsitionen unbhängig voneinnder schlten können D wir nicht nnehmen, dß ds Schlten der Trnsitionen zeitlos ist, wird hier bereits deutlich, dß sich c 1 und c 2 überlppen können Auch hier führen wir wieder einen Semphor Prozeß S = p; v; S ein, der in Abildung 112 drgestellt ist und mit den beiden prllelen Teilsystemen synchronisieren soll Wie modellieren wir ber die Synchronistion zweier Aktionen? Gemäß der Schltregel wird dies durch Verschmelzen der entsprechenden Trnsitionen korrekt modelliert (siehe Abbildung 113) D ds Semphor S mit beiden Teilprozessen P 1 und P 2 synchronisiert, entstehen jeweils zwei Verschmelzungstrnsitionen für die mit p und v beschrifteten Trnsitionen von S mit der entsprechenden Trnsition des Netzes von P 1 beziehungsweise P 2 Ds Netz für ds System Σ = (P 1 P 2 ) {p,v} S, c 1 n 1 Abbildung 19: Petri Netz für den Prozeß P 1 = c 1 ;n 1 ;P 1 10

21 p c 1 v n 1 Abbildung 110: Petri Netz für den Prozeß P 1 = p;c 1;v;n 1 ;P 1 ; c 1 n 1 c 2 n 2 Abbildung 111: Petri Netz für den Prozeß P 1 P 2 p v Abbildung 112: Petri Netz für den Semphor Prozeß S = p; v; S {} Abbildung 113: Synchronistion durch Verschmelzen von Trnsitionen 11

22 n 1 1 p v c p v c 2 n 2 Abbildung 114: Netz für ds System Σ = (P 1 P 2 ) {p,v} S ds mit dieser Konstruktion entsteht, ist in Abbildung 114 drgestellt Aus der Petri Netz Theorie ist der Begriff der S Invrinten beknnt, der eine Menge von Stellen eines Netzes bezeichnet, uf denen die Anzhl der Mrken konstnt bleibt Auf der S Invrinten, die us der Stellenmenge {2,3,5,8,9} inabbildung114 besteht, liegt nfänglich eine Mrke, es bleibt lso dbei Dmit sind sich die Aktionen c 1 und c 2 ber niemls gleichzeitig ktiviert, denn dnn müßten nfänglich zwei Mrken uf der S Invrinten liegen 12

23 Kpitel 2 Eine einfche bstrkte Sprche In diesem Kpitel betrchten wir nun zunächst eine besonders einfche Prozeßlgebr, die wir später erweitern werden Es soll keine Kommuniktion oder Synchronistion möglich sein, dh gemäß der Nottion des vorngegngenen Kpitels betrchten wir nur den Prllelopertor = Weiterhin sollen nur endliche Verhlten möglich sein, es sind lso keine Itertion oder Rekursion möglich Außerdem betrchten wir hier und uch im folgenden nur eine spezielle Vrinte der sequentiellen Komposition der Form P, wobei eine beliebige tomre Aktion und P ein Prozeß ist Die Menge der (mit,b, bezeichneten) Aktionen sei bezeichnet mit Act Nch Broy [Bro88] knn eine Aktion wie folgt beschrieben werden: Eine Aktion ist ein uf der gewählten Abstrktionsebene begrifflich ls Einheit ufzufssender Vorgng Diese Vorbemerkungen führen uf die Definition der zu betrchtenden Sprche L Definition 1 Die durch die nchfolgende Grmmtik erzeugten Ausdrücke bezeichnen wir ls L Ausdrücke oder uch ls L Progrmme: P ::= nil P ( Act) 13

24 P +P P P L bezeichnet die Menge ller L Ausdrücke Die intuitive Interprettion der Opertoren ist dbei die folgende Die Konstnte nil steht für einen leeren Prozeß, der keine Aktionen usführt Der Prozeß P hingegen führt die Aktion us und verhält sich dnch wie durch P beschrieben; ( Act) wird deshlb uch Präfix Opertor gennnt Der Prozeß P +Q verhält sich wie der Prozeß P oder wie der Prozeß Q, + wird deshlb uch der Alterntiv Opertor gennnt Im Prozeß P Q werdendieprozessep undq prllel unbhängigvoneinnderusgeführt Der Opertor wird deshlb uch prllele Komposition gennnt Um Eindeutigkeit zu erreichen, werden wie üblich Klmmern gesetzt, ußerdem gilt folgende Vorrngregel: der Präfix Opertor bindet stärker ls der Alterntiv Opertor + und die prllele Komposition Als Abkürzung wird für Act sttt nil oft nur geschrieben Als weitere Abkürzung wird der beim Präfix Opertor oft uch gnz weggelssen So knn mn zum Beispiel nsttt ((bnil) (cnil)) +(nil) uch (b c)+ schreiben In den folgenden Kpiteln sollen sequentielle Semntiken, sogennnte interleving Semntiken für die Sprche L untersucht werden Hierzu werden im nächsten Kpitel Trnsitionssysteme eingeführt 14

25 Kpitel 3 Trnsitionssysteme Wir führen nun beschriftete Trnsitionssysteme ein Diese entsprechen Automten, sind ber im llgemeinen unendlich und nichtdeterministisch Definition 2 Sei L eine Menge, die Beschriftungsmenge A = (Q,,q 0 ) heißt über L beschriftetes Trnsitionssystem, flls Q eine Menge von Zuständen, Q L Q die Übergngsreltion und q 0 Q der Anfngszustnd ist Für (q,l,q ) schreiben wir uch q l q Die Nmen der Zustände sind uninteressnt, deshlb definieren wir hier einen Isomorphiebegriff zwischen zwei Trnsitionssystemen Definition 3 Zwei Trnsitionssysteme A 1 =(Q 1, 1,q 1 ) und A 2 =(Q 2, 2,q 2 ) sind isomorph, geschrieben A 1 =A2, genu dnn, wenn eine Bijektion ϕ : Q 1 Q 2 existiert mit ϕ(q 1 ) = q 2 und (q,l,q ) 1 (ϕ(q),l,ϕ(q )) 2 15

26 Mn knn sich leicht überlegen, dß dieser Isomorphiebegriff eine Äquivlenzreltion uf Trnsitionssystemen induziert Von den Zuständen eines Trnsitionssystems sind im Prinzip nur die erreichbren Zustände interessnt bezeichne die reflexive, trnsitive Hülle der Übergngsreltion ohne Beschriftung Sie ist definiert ls q q q 1,,q n Q : (q = q 1 ) (q = q n ) i,1 i < n : q i l i qi+1 Definition 4 Sei A = (Q,,q 0 ) ein Trnsitionssystem (i) q Q ist in A erreichbr, flls q 0 q (ii) Ds Trnsitionssystem Rech(A) sei definiert ls Rech(A) = (Q R, R,q 0 ), wobei und Q R = {q Q q ist in A erreichbr} R = (Q R L Q R ) Jedes Trnsitionssystem läßt sich in einen Bum bwickeln Um im Rhmenwerk der Trnsitionssysteme zu bleiben, wird zuerst definiert, welche Trnsitionssysteme Bäume sind Definition 5 Ein Trnsitionssystem A = (Q,,q 0 ) ist ein Bum, flls (i) A keine Zyklen enthält, (ii) für jedes q Q es höchstens ein q Q gibt mit l L : q l q, (jeder Knoten ht lso höchstens einen Vorgänger), und (iii) Rech(A) = A Nun knn der Begriff der Abwicklung eines Trnsitionssystems definiert werden 16

27 Definition 6 Sei A = (Q,,q 0 ) ein Trnsitionssystem Dnn ist die Abwicklung von A definiert ls Abw(A) = ( Q A, A,(q 0,, ) ), wobei Q A = i=0 Qi induktiv definiert ist durch Q 0 = {(q 0,, )}, Q i+1 = {(q,l, q) q Q i pr 1 ( q) l q} und q l A q pr 2 ( q ) = l pr 3 ( q ) = q Dbei bezeichnen pr i (i {1,2,3}) die Projektionsfunktionen uf die i-te Komponente Wie knn ds in Abbildung 31 drgestellte Trnsitionssystem bgewickelt werden? Ds Trnsitionssystem beinhltet nur einen Zustnd q 0 Nun erzeugen wir die verschiedenen Q i (i 0): Die Knoten des bgewickelten Trnsitionssystems werden durch Tripel bennnt Die Wurzel des Bumes ist der Anfngszustnd Q 0 = {(q 0,, )} Für die Bildung von Q 1 überprüfen wir für lle Zustände us Q, ob sie von den in Q 0 enthltenen Zuständen us erreichbr sind Ist dies der Fll, wird ein entsprechender neuer Zustnd in Q 1 eingefügt In diesem neuen Zustnd enthält die erste Komponente den Zustnd us Q, die zweite die Beschriftung der Knte, über die dieser Zustnd erreichbr ist, und die dritte Komponente den Zustnd us Q 0, von dem die Knte usgeht Dher gilt: Q 1 = {(q 0,,(q 0,, )),(q 0,b,(q 0,, ))} Zur Berechnung von Q 2 wird für jeden Knoten us Q untersucht, ob er von einem Zustnd us Q 1 erreichbr ist Nch Abschluß der Berechnung erhlten wir Q 2 = {(q 0,,(q 0,,(q 0,, ))),(q 0,b,(q 0,,(q 0,, ))), (q 0,,(q 0,b,(q 0,, ))),(q 0,b,(q 0,b,(q 0,, )))} Die weiteren Schritte zur Berechnung von Q i für (i 3) werden nlog durchgeführt 17

28 Abbildung 31: Ein Trnsitionssystem b Q 0 b b b Q 1 Q 2 Abbildung 32: Die Abwicklung des Trnsitionssystems Der bei der Abwicklung entstehende Bum ist in Abbildung 32 drgestellt Dieser Bum ist unendlich, lso reicht die Isomorphie zwischen Trnsitionssystemen und ihren Bumbwicklungen ls Äquivlenzbegriff nicht us Wir verwenden stttdessen die von Prk und Milner entwickelte Bisimultionsäquivlenz Bei ihr wird versucht, Zustände zweier Trnsitionssysteme derrt in Reltion zu setzen, dß sie sich gegenseitig simulieren Definition 7 Seien A 1 = (Q 1, 1,q 1 ) und A 2 = (Q 2, 2,q 2 ) Trnsitionssysteme (i) R Q 1 Q 2 heißt Bisimultion zwischen A 1 und A 2, flls () (q 1,q 2 ) R und (b) für lle (p,q) R gelten p l 1 p q Q 2 : q l 2 q (p,q ) R, q l 2 q p Q 1 : p l 1 p (p,q ) R (ii) A 1 und A 2 heißen bisimultionsäquivlent, geschrieben A 1 A 2, flls es eine Bisimultion zwischen A 1 und A 2 gibt 18

29 b c?? b c Abbildung 33: Zwei Trnsitionssysteme, die nicht bisimultionsäquivlent sind Betrchtet mn zum Beispiel die Trnsitionssysteme in Abbildung 33, so erkennt mn, dß diese beiden Systeme nicht bisimultionsäquivlent sein können Im linken Trnsitionssystem knn im Zustnd, den mn durch Ausführung von erreicht, im nächsten Schritt ein b oder ein c usgeführt werden Im rechten Trnsitionssystem erreicht mn nch Ausführung eines nur Zustände, von denen us nur ein b bzw nur ein c durchführbr ist Dher läßt sich der Zustnd des linken Trnsitionssystems nch keinem der beiden Zustände des rechten Systems zuordnen Aus diesem Grund sind die Trnsitionssysteme nicht bisimultionsäquivlent Mn sieht leicht ein, dß die Bisimultionsäquivlenz eine Äquivlenzreltion, ds heißt reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist Stz 1 Sei A = (Q,,q 0 ) ein Trnsitionssystem Dnn ist A Abw(A) Beweis: Übung Wir können nun uch formlisieren, dß wir uns nur für den erreichbren Teil des Trnsitionssystems interessieren Stz 2 Sei A = (Q,,q 0 ) ein Trnsitionssystem Dnn ist A Rech(A) Beweis: Übung 19

30 Kpitel 4 Sequentielle Semntik von L Wir formlisieren in diesem Kpitel die Bedeutung der Sprche L durch zwei Arten von Semntiken: 1 Eine strukturelle opertionelle Semntik bsierend uf Trnsitionssystemen und 2 eine kompositionelle Semntik, bei der ds System ls Bum drgestellt wird Später in diesem Kpitel werden wir zeigen, dß die beiden Semntiken äquivlent im Sinne der Bisimultionsäquivlenz sind 41 Strukturelle opertionelle Semntik Wir ordnen jedem Prozeß P L ein mit Aktionsnmen beschriftetes Trnsitionssystem A(P) zu Dbei soll die Zustndsmenge L sein, eine nch Definition unendliche Zustndsmenge, die gerde lle möglichen Prozesse ufzählt Der Anfngszustnd soll P, ds zu beschreibende Progrmm, sein Die Übergngsreltion wird durch Ableitungsregeln ngegeben sei definiert ls die kleinste Menge, die die durch Ableitungsregeln spezifizierten Tripel enthält Ein Beispiel für eine solche Ableitungsregel ist P P P Q P Q 20

31 Dbei nennen wir P P die Hypothese und P Q P Q die Konklusion der Regel Wnn immer wir einen Prozeß P hben, der usführen knn und sich dnch wie der Prozeß P verhält, kommen wir im Trnsitionssystem A(P) von dem mit P beschrifteten Knoten über eine mit beschriftete Knte zu einem mit P beschrifteten Knoten Die Konklusion der oben stehenden Regel besgt, dß dieses Verhlten von P uch durch den Kontext eines prllel blufenden Prozesses Q nicht geändert wird Allgemein lssen sich die Ableitungsregeln durch ds Schem P 1 1 P 1,P 2 2 P 2,,P n n P n P Q (n 0) beschreiben Wenn P 1 1 P 1, P 2 2 P 2,, P n n P n zu gehören, dnn gehört uch P Q zu ist dnn definiert ls die kleinste Menge, die den Ableitungsregeln genügt Ein weiteres Beispiel ist die Ableitungsregel P P mit der leeren Hypothesenmenge Axiome wie dieses sind notwendig, dmit die Übergngsreltion nicht leer ist In unserem Flle sind die Axiome genu diejenigen für lle Präfixopertionen über Act Definition 8 Sei P 0 L Ds Trnsitionssystem von P 0 ist definiert ls A(P 0 ) = (L,,P 0 ), wobei die kleinste Menge ist, die den folgenden Regeln genügt ( Act): Pref P P P P Q Q Sum 1 P +Q P Sum 2 P +Q Q Pr 1 P P P Q P Q Pr 2 Q Q P Q P Q Die Abwesenheit einer Regel für nil bedeutet, dß von nil us kein Übergng mehr geschehen knn 21

32 nil bnil b nil bnil nil nil b nil nil Abbildung 41: Ds Trnsitionssystem Rech(A( b)) zum Prozeß b Als erstes Beispiel sei die Berechnung des erreichbren Teils des Trnsitionssystems A(P 1 ) für den Prozeß P 1 = b gegeben Offensichtlich gilt vermöge Pref, und dmit und nil nil nil nil bnil vermöge Pr 1 Anlog erhält mn vermöge Pref, und und bnil nil bnil nil bnil nil nil nil nil bnil b nil b nil nil b nil nil vermöge Pr 2 Drus ergibt sich ds Trnsitionssystem us Abbildung41 Es stellt den erreichbren Teil Rech(A(P 1 )) des Trnsitionssystems A(P 1 ) dr Als zweites Beispiel soll die Berechnung von Rech(A(P 2 )) mit P 2 = b+b dienen Mn erhält sofort nil nil und vermöge Pref, und ebenso bnil bnil b nil bnil 22

33 bnil bnil + bnil b nil b nil Abbildung 42: Ds Trnsitionssystem Rech(A(bnil+bnil)) zum Prozeß bnil + bnil und bnil b nil vermöge Pref Vermöge Sum 1 und Sum 2 erhält mn dnn und bnil + bnil bnil + bnil bnil b nil Ds sich ergebende Trnsitionssystem ist in Abbildung 42 drgestellt Die Trnsitionssysteme us Abbildung 41 und 42 sind isomorph, wir hben lso A( b) =A(bnil+bnil) gezeigt Es gilt: P L A(P) ht keine Zyklen (Übung) Die entstehenden Trnsitionssysteme sind trotzdem keine Bäume Die Abwicklungen Abw(A) von mit Act beschrifteten (endlich verzweigten) Trnsitionssystemen A (beziehungsweise deren Isomorphieklssen) nennt mn synchronistion trees [Mil80] oder Synchronistionsbäume Für L sind die erzeugten Bäume immer endlich, d die Systeme keine Zyklen enthlten 42 Kompositionelle Bumsemntik für L Die ngegebene Trnsitionssystemsemntik ist nicht kompositionell (oder denottionell) im folgenden Sinne: 23

34 Gegeben [P]und [Q] ls Semntiken von P undq Sei opein binärer syntktischer Opertor Dnn ergibt sich die Semntik von P op Q durch [P op Q] = [P]op [Q], wobei op ein entsprechender semntischer Opertor ist Oft werden op und op mit dem gleichen Nmen bezeichnet (nme overloding) Wir wollen nun die kompositionelle Semntik mit Synchronistionsbäumen ls Modelle von Systemen ngeben, und definieren dfür die semntischen Opertoren Für die syntktische Konstnte nil wird der semntische Opertor nil = ({q 0 },,q 0 ) definiert Dmit ergibt sich der Bum us Abbildung 43 Abbildung 43: Der Bum zum Opertor nil Präfix Opertoren: Sei ein Bum t = (Q,,q 0 ) gegeben Dnn sei t definiert ls t = (Q {q 0 }, {(q 0,,q 0)},q 0 ) Dbei bezeichnet die disjunkte Vereinigung D wir Trnsitionssysteme hierimmerbisufisomorphiebetrchten, könnenwirnnehmen,dßq 0 Q gilt Der sich ergebende Bum ist in Abbildung 44 drgestellt Abbildung 44: Der Bum für t t Für den semntischen Summenopertor + seien die Bäume t=(q t, t,q t ) und u=(q u, u,q u ) gegeben Der Bum t + u ergibt sich durch Identifiktion der Wurzelknoten von t und u miteinnder, siehe Abb 45 Forml 24

35 sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit Q t Q u = und q 0 / Q t Q u ngenommen Dnn ist t+u definiert ls t+u = (Q,,q 0 ) mit Q = (Q t \{q t }) (Q u \{q u }) {q 0 } und = ( t u ) (Q Act Q) {(q 0,,q) (q t,,q) t } {(q 0,,q) (q u,,q) u } Der sich ergebende Bum ist in Abbildung 45 skizziert Offensichtlich ist + uf Bäumen kommuttiv und ssozitiv, es gilt lso t+u = u+t und Außerdem uch t+(u+v) = (t+u)+v t+nil = t t u Abbildung 45: Der Bum zum Opertor + Für die Behndlung der prllelen Komposition muß zuerst die Beobchtung gemcht werden, dß jeder endlich verzweigte Bum t (wie in Abbildung 46 drgestellt) mit den bisher eingeführten Opertionen und mit den obigen Eigenschften von + drstellbr ist ls t = m i t i (m 0) i=1 Insbesondere ist nil drstellbr mit m = 0 25

36 1 2 m t 1 t 2 t m Abbildung 46: Drstellung eines beliebigen Bums t Sei lso t = n i=1 it i und u = l j=1 b ju j Dnn ist t u rekursiv definiert ls n l ( ) t u = i (t i u)+ b j (t u j ) i=1 j=1 Mit den so definierten semntischen Opertionen läßt sich nun eine kompositionelle Semntik für L ngeben Definition 9 Sei P L Dnn ist die Bumsemntik ST(P) von P induktiv definiert durch ST(nil) = nil ST(P) = ST (P) ST (P +Q) = ST (P)+ST (Q) ST(P Q) = ST (P) ST(Q) Hierbei ist zu bechten, dß,+ und uf der linken Seite der Gleichungen syntktische Opertoren uf den Termen von L sind, während sie uf den rechten Gleichungsseiten semntische Opertoren uf Bäumen drstellen Als Beispiel sei die Bumsemntik zum Prozeß P = b entwickelt: ST(nil bnil) = ST(nil) ST(bnil) = ST (nil) bst(nil) = nil bnil ( jetzt semntische Opertoren! ) = (nil bnil)+b(nil nil) = (nil+b(nil nil))+b((nil nil)+nil) = (nil+b(nil+nil))+b((nil+nil)+nil) 26

37 b b Abbildung 47: Die Bumsemntik ST( b) =ST(b+b) = (nil+bnil)+b(nil+nil) = bnil + bnil Der sich ergebende Bum ist in Abbildung 47 drgestellt Ebenso erhält mn für den Prozeß b+b die Bumsemntik ST (bnil+bnil) = ST (bnil)+st (bnil) = ST (bnil)+bst (nil) = bst (nil)+bst (nil) = bnil + bnil, ws offensichtlich isomorph zu der Bumsemntik ST ( b) us Abbildung 47 ist Um zu zeigen, dß unsere Semntik ttsächlich immer einen Synchronistionsbum ergibt, müssen wir uns überzeugen, dß der Prllelopertor immer wie im obigen Beispiel durch sukzessives Anwenden von (*) eliminiert werden knn Dies ergibt sich us dem folgenden Stz Stz 3 Zu jedem Ausdruck P L gibt es einen Ausdruck P L, in dem der Prllelopertor nicht vorkommt, mit ST (P) = ST( P) Beweis Sei P = Q R, komme in Q und R nicht vor Sei weiterhin Q = m i=1 iq i und R = l j=1 b jr j Sei nun P definiert ls P = m i (Q i R)+ i=1 Dnn gilt ST (P ) = ST (P) l b j (Q R j ) Betrchte nun Teilusdrücke, die den Prllelopertor enthlten, etw Q i R Flls Q i = nil, ersetze Q i R durch R (es gilt ST(nil R) = ST(R)) Flls Q i nil, wende die beschriebene Prozedur uf den Teilusdruck Q i R n j=1 27

38 A(P) : P Q R 1 Q R j Q R l Q 1 R Q i R Q m R b 1 b j b l 1 i m Abbildung 48: Trnsitionssystem für A(P) Ds Verfhren terminiert, d mindestens einer der beteiligten Opernden kleiner wird, ds heißt schließlich Ausdrücke der Form nil oder nil erreicht werden Für P beliebig wende ds Verfhren für lle Vorkommen des Prllelopertors von innen nch ußen n Für die Bumsemntik ist dmit geklärt, dß lle Prllelopertoren entfernt werden können Ds folgende Lemm besgt, dß dies uch (bis uf Isomorphie) in der Trnsitionssystemsemntik möglich ist Lemm 1 Für den im Beweis des obigen Stzes zu P konstruierten Ausdruck P gilt A(P ) =A(P) Beweis Wir zeigen, dß die Isomorphie der Trnsitionssysteme für die beiden verwendeten Trnsformtionen gilt Sei zuerst lso P = Q R, Q = m i=1 iq i, R = l j=1 b jr j und P = m i (Q i R)+ i=1 l b j (Q R j ) Die Trnsitionssysteme A(P) und A(P ) sind in den Abbildungen 48 und 49 drgestellt Offensichtlich gilt A(P) =A(P ) Weiterhin betrchten wir Ausdrücke der Form nil R und R Die Trnsitionssysteme zu diesen Prozessen sind in Abbildung 410 drgestellt Offensichtlich gilt uch hier A(nil R) =A(R) 28 j=1

39 A(P ) : P b 1 (Q R 1 ) (Q R j ) (Q R l ) b j b l 1 i m (Q 1 R) (Q i R) (Q m R) Abbildung 49: Trnsitionssystem für A(P ) A(nil R) : nil R A(R) : Ṛ nil R 1 nil R j nil R l R 1 R j R l b 1 b 2 b l b 1 b 2 b l Abbildung 410: Isomorphie von A(nil R) und A(R) 29

40 A(P) : + Abw(A(P)) : ST(P) : nil Abbildung 411: Ein Beispiel für Abw(A(P)) = ST (P) 43 Zusmmenhng zwischen einer opertionellen Semntik und einer Bumsemntik für L Nun stellt sich die Frge, wie die beiden vorgestellten Semntiken zusmmenhängen Allgemein gilt leider nicht, dß die Abwicklung Abw(A(P)) eines Trnsitionssystems isomorph zur Bumsemntik ST(P) des Prozesses ist; ein Gegenbeispiel zeigt die Abbildung 411 für den Prozeß P = + Eine Isomorphiebeziehung zwischen den beiden Semntiken ist lso nicht gegeben Der nächste Stz zeigt ber, dß Bisimultionsäquivlenz besteht Stz 4 Sei P L Dnn gilt A(P) ST(P) Beweis Der Beweis der Behuptung erfolgt durch Induktion über den Aufbu von P Dbei wird induktiv eine Bisimultionsreltion R konstruiert unter der Annhme, dß Bisimultionsreltionen für die Komponenten existieren 1 Sei P = nil Dnn ist R = {(nil, q)} die gesuchte Bisimultionsreltion Abbildung 412 stellt diesen Zusmmenhng dr A(nil): nil ST(nil): Abbildung 412: A(nil) ST(nil) 2 Sei P = P Nch Induktionsvorussetzung gibt es eine Bisimultionsreltion R zwischen den Zuständen von A(P ) und den Knoten von ST (P ) 30

41 Sei R = {(P,q 0 )} R Offensichtlich gilt (P,q 0 ) R Sei nun (R,q) R Flls (R,q) R, so sind die Bisimultionseigenschften per Induktionsvorussetzung erfüllt Sei lso (R,q) = (P,q 0 ) P P ist der einzige mögliche Übergng von P in A(P) Es gilt ber q 0 q in ST (P), und (P,q ) R nch Induktionsvorussetzung Drus folgt (P,q ) R Umgekehrt ist q 0 q der einzig mögliche Übergng von q 0 in ST (P) Es gilt ber P P in A(P) und (P,q ) R Abbildung 413 zeigt die konstruierte Bisimultionsreltion R A(P): ST(P): q 0 P P q A(P ) ST (P ) Abbildung 413: A(P ) ST(P ) 3 Sei P = P 1 +P 2 Nch Induktionsvorussetzung gibt es Bisimultionsreltionen R 1 und R 2 zwischen A(P 1 ) und ST(P 1 ) beziehungsweise A(P 2 ) und ST(P 2 ) Sei nun und Die Bumsemntiken seien und dbei sei und A(P i ) = (L,,P i ) A(P 1 +P 2 ) = (L,,P 1 +P 2 ) ST(P i ) = (Q i, i,q i ) ST(P 1 +P 2 ) = (Q, ST,q 0 ), Q = Q 1 \{q 1 } Q 2 \{q 2 } {q 0 } ST = ( 1 2 ) (Q Act Q) {(q 0,,q) (q 1,,q) 1 } {(q 0,,q) (q 2,,q) 2 } 31

42 Die Bisimultionsreltion sei definiert ls R = {(P 1 +P 2,q 0 )} (R 1 (L Q)) (R 2 (L Q)) Offensichtlich ist (P,q 0 ) R Sei nun (R,q) R Flls (R,q) R 1 oder (R,q) R 2, folgen die verlngten Eigenschften direkt us der Induktionsvorussetzung (mn bechte dbei, dß q 1 und q 2 keine Eingngspfeile hben) Sei lso (R,q) = (P,q 0 ) Angenommen, für P = P 1 +P 2 gilt P P Dnn gilt nch der Definition von A(P) P 1 P oder P 2 P Angenommen, es gilt P 1 P (für P 2 P gelten die folgenden Beobchtungen nlog) Nch Induktionsvorussetzung gilt (P 1,q 1 ) R 1 und es gibt ein q Q 1, so dß q 1 1 q und (P,q ) R 1 (q q 1 ) Nch Definition von ST gilt dnn (q 0,,q ) ST Also q 0 q in ST (P) Weiter gilt (P,q ) R, d (P,q ) R 1 und q Q Der Gednkenverluf für die umgekehrte Richtung unter der Annhme q 1 ST q bleibt dem Leser ls Übung 4 Sei P = P 1 P 2 Nch dem bereits gezeigten Stz gibt es einen Ausdruck P L mit ST ( P) = ST (P), weiterhin gilt nch dem Lemm A(P) =A( P), und P enthält keinen Prllelopertor Mit den ersten drei Fällen gilt ST (P) = ST( P) A( P) =A(P) Dmit gilt ST(P) A(P) Wir können nun einen Äquivlenzbegriff zwischen zwei Prozessen ngeben, welcher uf dem interleving Verhlten der beiden Prozesse bsiert Definition 10 Seien P, Q L P und Q sind interleving bisimultionsäquivlent, geschrieben ls P ib Q, genu dnn, wenn ST (P) ST(Q) Der folgende Stz beschreibt einige wichtige lgebrische Eigenschften der Übereinstimmung im interleving Verhlten 32

43 Stz 5 Für P,Q,R L gilt 1 ds Kommuttivgesetz für + und 2 ds Assozitivgesetz für + und 3 die Neutrlität von nil für + und 4 und die Idempotenz von + P +Q ib Q+P P Q ib Q P, P +(Q+R) ib (P +Q)+R P (Q R) ib (P Q) R, P +nil ib P P nil ib P, P +P ib P Beweis Die Beweise der Behuptungen folgen zum Teil direkt us der Definition der Semntik 33

44 Kpitel 5 Petrinetze Mit den beiden bisher vorgestellten Semntiken ist eine Unterscheidung zwischen Hintereinnderusführung und echter Prllelität nicht möglich Für diese Unterscheidung ist eine kompliziertere Semntik notwendig Als eine solche Semntik wird hier die Beschreibung eines Prozesses ls Petrinetz vorgestellt Für die Prozesse P 1 = b und P 2 = b+b sind die sich ergebenden Petrinetze in den Abbildungen 51 für P 1 und 52 für P 2 drgestellt DsNetzfürP 1 modelliertdenwesentlichenbegriffderunbhängigkeit (concurrency) zweier Aktivitäten Weitere wichtige Begriffe sind der Konflikt, wie er im Netz für P 2 n der Stelle s 0 uftritt, und die kusle Abhängigkeit, wie sie im Netz für P 2 zum Beispiel durch die Stellen s 3 und s 4 modelliert wird s 1 s 3 t 1 b t 2 s 2 s 4 Abbildung 51: Petrinetz für den Prozeß P 1 = b 34

45 s 0 t 1 b t 2 s 1 s 3 t 3 b t 4 s 2 s 4 Abbildung 52: Petrinetz für den Prozeß P 2 = b+b 51 Definitionen Wir stellen hier Trnsitionen in der Form (Vorbereich, Aktionsnme, Nchbereich) dr Dmit ergibt sich zum Beispiel für die Trnsition t 3 in Abbildung 52 die Drstellung t 3 = ({s 1 },b,{s 2 }) Definition 11 Ein Netz N = (S,T,I) heißt über Act beschriftetes Netz, flls S eine Menge von Stellen ist, T P + (S) Act P + (S) eine Menge von Trnsitionen ist ( P + (S) beschreibt dbei die Menge der nichtleeren Teilmengen von S), und I S eine Menge usgezeichneter Stellen ist, die Anfngsstellen gennnt werden Mit t = pr 1 (t) bezeichnen wir den Vorbereich, mit t = pr 3 (t) 35

46 den Nchbereich einer Trnsition t T bezeichnet die Beschriftung von t l(t) = pr 2 (t) Die nsonsten übliche Drstellung N = (S,T,F) eines Petrinetzes, wobei S und T disjunkte Mengen sind und F S T T S die Flußreltion des Netzes ist, knn mn us unserer Drstellung N = (S,T,I) gewinnen durch die Beziehung (x,y) F (x S y T x y) (x T y S y x ) Die Vor- und Nchbereiche von Stellen werden nlog zu den Vor- und Nchbereichen von Trnsitionen mit und s = {t T tfs} s = {t T sft} bezeichnet Interessnt sind uch Anfng des Netzes N und Ende des Netzes N, die mit N = {s S : s = } bzw beschrieben werden N = {s S : s = } Wichtig für die Verwendung von Petrinetzen zur Modellierung von Prozessen ist ds dynmische Verhlten eines Petrinetzes Eine Trnsition t knn schlten, wenn lle Stellen s t eine Mrke trgen Ds Schlten der Trnsition entfernt jeweils eine Mrke us den Stellen des Vorbereiches, und legt in jeder Stelle s t eine Mrke b Hier sind llerdings noch einige Punkte zu klären: Ws pssiert zum Beispiel in der Sitution, die in Abbildung 53 drgestellt ist? Wenn wir nicht mehr ls eine Mrke pro Stelle erluben, sollte die Trnsition nicht schlten können, es liegt nämlich eine sogennnte Kontktsitution vor Dieses Verbot des Schltens gilt in der Klsse der EN Systeme (elementry net systems) Erhält mn ds Verbot nicht ufrecht und erlubt mehrere Mrken uf Stellen, erhält mn Stellen/Trnsitions Systeme, wie in Definition 42 Im folgenden wird eine dritte Alterntive verwendet: Die sogennnten 1- sicheren Netze Dbei wird zwr erlubt, dß im Nchbereich einer Trnsition Mrken vorhnden sind, diese Stellen müssen dnn ber uch im Vorbereich der Trnsition liegen, so dss sich nie mehr ls eine Mrke uf einer 36

47 s 0 s 2 s 1 s 3 Abbildung 53: Ein Kontkt in einem Petrinetz Stelle befinden knn Ein Netz ist lso 1-sicher wenn immer gilt t M t (M \ t) = Wir betrchten lso Mrkierungen M, in denen eine Stelle höchstens eine Mrke trägt Mrkierungen können lso ls Teilmengen der Stellenmenge beschrieben werden Ein Netz soll nun einen Schritt usführen, indem mehrere Trnsitionen unbhängig voneinnder schlten Definition 12 Sei N = (S,T,I), G T mit G, und seien M,M S G heißt Schritt von M nch M (M [G M ), flls lle m Schritt beteiligten Trnsitionen ktiviert sind, lso t G : t M t M = die m Schritt beteiligten Trnsitionen sich nicht im Konflikt befinden, lso t,t G,t t : t t = und und t,t G,t t : t t =, in der Folgemrkierung die Mrken us den Stellen in den Vorbereichen der m Schritt beteiligten Trnsitionen entfernt und in den Stellen in den Nchbereichen der m Schritt beteiligten Trnsitionen hinzugefügt worden sind, lso M = (M \ t) t t G t G 37

48 Für G = {t} schreiben wir uch M [t M Interessnt ist die Menge der von den Anfngsstellen durch eine Folge von Schritten us erreichbren Mrkierungen Definition 13 Sei N = (S,T,I) ein (endliches) Netz Die Menge der von I erreichbren Mrkierungen von N ist die kleinste Menge [N, I mit I [N, I M [N,I M [t M M [N,I ( Für Netze, in denen unendliche Schritte möglich sind, müßte diese Definition modifiziert werden, solche Netze treten jedoch im folgenden nicht uf ) Besonders interessnt sind die kontktfreien Netze Definition 14 Sei N = (S,T,I) N heißt kontktfrei, flls gilt M [N,I t T : t M t M = 52 Schrittsemntik von beschrifteten Netzen In dem Netz in Abbildung 54 knn eine Aktion mehrfch in einem Schritt usgeführt werden Der Schritt G = {t 1,t 2 } bewirkt eine zweimlige Ausführung der Aktion Um die Vielfchheit von Aktionen usdrücken zu können, verwenden wir Multimengen von Aktionen A : Act N Um mit Multimengen forml korrekt rbeiten zu können geben wir hier eine Definition: 38

49 t 1 t 2 Abbildung 54: Beispiel zur mehrfchen Ausführung einer Aktion in einem Schritt Definition 15 Sei S eine Menge 1 M : S N (M N S ) heißt Multimenge über S 2 0 S : S N,0(s) = 0 für lle s S, ist die leere Multimenge über S (den Index S lssen wir weg, wenn die Grundmenge us dem Zusmmenhng klr ist), 3 N S + := N S \{0} ist die Menge ller nichtleeren Multimengen über S 4 Für M,M N S ist M +M N S gegeben durch (M +M )(s) := M(s)+M (s) für lle s S Flls s S : M(s) M (s), ist M M N S gegeben durch (M M )(s) := M(s) M (s) für lle s S Für M N S,k N ist k M N S gegeben durch (k M)(s) := k M(s) für lle s S 5 Für M 1 N S 1,M 2 N S 2,S 1 S 2 = sei M 1 M 2 N S 1 S 2 die Multimenge, die durch Vereinigung der Grphen von M 1 und M 2 entsteht: { M1 (s) flls s S (M 1 M 2 )(s) := 1, M 2 (s) flls s S 2 Definition 16 Sei N = (S, T, I) ein Netz Ds Schritt Trnsitionssystem A S (N) von N ist definiert durch A S (N) = (P(S),,I), 39