Musterlösung zu Übungsblatt 2

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1 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor. Bei eier komplexe Fuktio wäre dieser Graph aber eie Teilmege des vierdimesioale Raums C 2. Deshalb müsse wir us aders behelfe. Verschiedee Methode eie komplexe Fuktio f : C C, w = f(z) darzustelle wäre: (i) Ma stellt sich die Fuktio f als Verformug der Zahleebee f vor. Um diese zu zeiche, betrachtet ma die Bilder der Gitteretze Re z = kostat, Im z = kostat oder des Polarkoordiateetzes r = kostat, φ = kostat. (ii) Ma zeichet ei Höheliiebild vo f, das heisst, ma zeichet die Urbilder der Gitteretze Re w = kostat, Im w = kostat. (iii) Ma zeichet de (dreidimesioale) Graphe der Fuktio f. Führe diese Methode für f(z) = z 3 durch. Aus der Vorlesug wisse wir, dass f aalytisch, also eie koforme Abbildug ist. Wo a deie Zeichuge ka ma das auch erkee? Lösug. Eie gute Möglichkeit, die obige Darstelluge mithilfe eies Computers durchzuführe ist die offee Software SAGE (siehe doch auch adere Programme wie Maple oder Mathematica köe dazu verwedet werde. Um f(z) = z 3 hiermit darzustelle, bereche wir zuächst die Zerlegug f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Hier gilt: (x + iy) 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ). Um z.b. die Bilder der Liie Im z = kostat = c zu bestimme, setze wir also y = c ud stelle die parametrisierte Kurve x (x 3 3xy 2, 3x 2 y y 3 ) dar. Für verschiedee Werte vo c erhalte wir eie Familie vo Kurve. Der folgede SAGE-Code gibt die Bilder für y = i/ für i = 5,..., 4 aus (diese Formel soll verwirrede Symmetrie des Ausgabebildes vermeide). g=graphics() x=var( x ) for i i rage(-5,5): y=i/ p=parametric_plot( (x^3-3*x*y^2,3*x^2*y-y^3), (x,-3,3), color= blue ) g=g+p g.show() Das ausgegebee Bild ist das folgede:

2 Für das Bild der Mege {z : Re(z) = c} = { iz : Im(z) = c} ka ma sich eifach überlege, dass ( iz) 3 = iz 3, das heisst dieses Bild etsteht aus dem obige durch Multiplikatio mit i, dh. eie Drehug um 90 Grad im mathematisch positive Si. Zeiche wir beide Familie i das gleiche Koordiatesystem, erhalte wir ei Bild, auf dem wir erkee köe, dass f koform ist. Hierfür hilft es zum eie c durch eie dritte Wurzel zu skaliere, damit die Bildliie etwa de gleiche Abstad habe, zum adere sollte ma das Bild geeiget zuscheide. Beispiel für eie solche Code wäre: g=graphics() x=var( x ) for i i rage(1,5,1): y=i/ y=y.th_root(3) p=parametric_plot( (x^3-3*x*y^2,3*x^2*y-y^3), (x,-3,3), color= blue ) g=g+p y=var( y ) for i i rage(1,5,1): x=i/ x=x.th_root(3) p=parametric_plot( (x^3-3*x*y^2,3*x^2*y-y^3), (y,-3,3), color= red ) g=g+p g.xmi(-5) g.xmax(5) g.ymi(-5) g.ymax(5) g.show() 2

3 Die Bildausgabe sieht da so aus: Im obere like Quadrate sehe wir die Bilder der Schittpukte userer ursprügliche Kurve {z : Re(z) = c} ud {z : Im(z) = d} ud erkee, dass die Bildkurve sich immer och orthogoal scheide. Die adere Schittpukte der Bildkurve i der utere like Seite sid icht orthogoal, stamme aber auch icht vo Schittpukte der Ursprugskurve. Für die etsprechede Bilder des Polarkoordiateetzes stelle wir fest (re ti ) 3 = r 3 e 3ti. Also ist das Bild des Kreises {z : z = r} geau der Kreis {z : z = r 3 }. Auch für eie fixe Wikel t [0, 2π] sehe wir, dass das Bild des Strahls {re ti : r 0} gerade der Strahl {re 3ti : r 0} zum Wikel 3t ist. Um zu verstehe, was mit eier geschlossee Kurve geschieht, die um de Ursprug verläuft, hilft es, icht das Bild des Kreises um de Ursprug zu betrachte, soder diese Kreis etwas zu verschiebe ud asymmetrisch zu strecke. Der folgede Code gibt ei Bild der Ellipse um (1/2, 1) mit Halbachse 3 ud 2 aus. parametric_plot( ((0.5+3*cos(t))^3-3*(0.5+3*cos(t))*(1+2*si(t))^2, 3*(0.5+3*cos(t))^2*(1+2*si(t))-(1+2*si(t))^3), (t,0,2*pi), color= red ) Das etsprechede Bild sieht folgedermasse aus: 3

4 Wir erkee, dass sich die Bildkurve isgesamt dreimal um de Ursprug widet. Dass die Zahl der Widuge gleich dem Grad der Nullstelle der Fuktio f a dieser Stelle etspricht, ist kei Zufall! Als ächstes betrachte wir die Urbilder der Gitteretze Re w = kostat ud Im w = kostat. Dies sid gerade die Höheliie der Fuktioe x 3 3 x y 2, 3 x 2 y y 3 vo obe. Beachte hier, dass für ei festes c R für alle z C gilt: Re(z 3 ) = c Im((e π/6i z) 3 ) = c. Also etstehe die Urbilder der Gitterliie für de Imagiärteil gerade durch Drehug um π/6, also 30 Grad i mathematisch positiver Richtug aus de Urbilder für de Realteil. Zur Darstellug mit SAGE köe wir die Fuktio implicit_plot verwede, z.b. implicit_plot(x^3-3*x*y^2-2,(x,-5,5),(y,-5,5)) für das Urbild der Gerade mit Gleichug Re(z) = 2. Zeichet ma Urbilder der Real- (blau) ud Imagiärgitterliie (rot) i ei gemeisames Bild, erket ma wiederum, dass die Fuktio f koform ist. 4

5 Schliesslich köe wir us och de Graphe der Fuktio f asehe. Wie obe sieht ma z 3 = z 3. Ma sieht also, dass f(z) icht vom Argumet vo z abhägt, der Graph i C R ist also rotatiossymmetrisch um die R-Achse. Er ist gerade die Rotatiosfläche des Graphe der Fuktio R R, x x 3. Für eie Darstellug i SAGE ka ma z.b. plot3d((x^2+y^2)^(3/2),(x,-2,2), (y,-2,2)) verwede. Aufgabe 2. Sei f : U C eie aalytische Fuktio mit U C offe ud zusammehäged. Zeige, dass f kostat sei muss, we eie der folgede Bediguge erfüllt ist: Re f = kostat Im f = kostat f = kostat Lösug. Betrachte wir zuächst de Fall Re f = kostat. I der übliche Darstellug f = u + iv bedeutet dies gerade u = kostat. Zusamme mit de Cauchy-Riema Gleichuge erhalte wir: x = u y = 0, y = u x = 0. Also hat die differezierbare Fuktio v : U C überall Ableitug 0. Da U zusammehäged ist, ist v kostat, also ist f kostat. Das Argumet für Im f = kostat ist aalog. Alterativ köte wir hier f durch if ersetze, wodurch wir auf de erste Fall reduziert hätte, de da gilt Re if = 5

6 kostat. Im Fall f = kostat gilt offebar auch f 2 = u 2 + v 2 = kostat. Partielle Ableitug ach x, y ergibt 2u u + 2v = 0, 2u u + 2v x x y y = 0. Falls f = 0 ist, ist die Fuktio sowieso kostat 0. Aderfalls verschwidet der Vektor (u, v) T für keie Pukt x + iy U. Also folgt aus de Gleichuge obe, dass die Vektore ( u, x x )T ud ( u, y y )T beide orthogoal zu diesem Vektor (u, v) T sid, ud damit liear abhägig sei müsse. Also erfülle sie 0 = u x y u ( ) 2 u y x = + x ( ) 2 u. y Im letzte Schritt habe wir ereut die Cauchy-Riema Gleichuge verwedet. Also müsse beide partielle Ableituge vo u verschwide. Somit ist u kostat ud wir sid wieder im erste Fall dieser Aufgabe. Eie allgemeiere Heragehesweise a diese Aufgabe wäre zu zeige, dass die Cauchy- Riema Gleichuge impliziere, dass die Jacobi-Matrix eier aalytische Fuktio f : U C etweder verschwidet, oder volle Rag 2 hat. Hat die Fuktio f also irgedwo eie icht-verschwidede Ableitug, folgt mit dem Satz der Umkehrfuktio scho, dass ihr Bild eie offee Teilmege der komplexe Zahle ethält. Dies ist für keie der Mege Re z = kostat, Im z = kostat oder z = kostat erfüllt. Aufgabe 3. (i) Sei A(z) = k=0 z. Bereche vo Had die Potezreiheetwicklug vo A 2 bis zur Ordug 5. (ii) Zeige, dass A(z) = z für z < 1. (1 z) 2 (iii) Wir defiiere die Beroullizahle B durch =0 B! z = z e z 1. Bereche B für 4. (iv) Bereche die Kovergezradie vo (log ) 2 z ud =1 =1! z. Lösug. (i) Um die Etwicklug vo A 2 bis zur Ordug 5 bereche wolle, müsse wir auch vo A ur die Terme bis zur füfte Ordug berücksichtige. Damit ergibt sich: A(z) A(z) = (z + 2z 2 + 3z 3 + 4z 4 + 5z 5 + O( z 5 ) (z + 2z 2 + 3z 3 + 4z 4 + 5z 5 + O( z 5 ) = z 2 + (2 + 2)z 3 + ( )z 4 + ( )z 5 + O( z 6 ) = z 2 + 4z z z 5 + O( z 6 ). 6

7 (ii) Wir verwede die geometrische Reihe: für z < 1 gilt 1 1 z = I der Tat hat diese Reihe Kovergezradius 1 ud ma überprüft, dass das Produkt vo 1 z mit dieser Reihe gerade kostat 1 ist. Damit habe wir: ( z (1 z) = z z 1 ) ( 1 z = z ) z k z k k=0 k=0 ( m ) = z 1 1z m m=0 k=0 = z (m + 1)z m = (m + 1)z m+1. m=0 m=0 Durch eie Idexverschiebug m = m + 1 erhalte wir das gewüschte Ergebis. (iii) Eie Möglichkeit, die Zahle B zu bestimme, wäre die Fuktio f(z) = z bis e z 1 zu vier mal abzuleite ud da a der Stelle 0 auszuwerte, de es gilt gerade B = f () (0). Wir möchte hier eie adere Möglichkeit zeige. Durch Betrachtug der Potezreihe der Expoetialfuktio im Neer erhalte wir: z e z 1 = = = k=0 z 1 + z z z3 + 1 z z z z z4 1 z k. 24 z z5 + O( z 6 ) z5 + O( z 6 ) z z z z4 + O( z 5 ) Wir möchte also gerade das Iverse der Potezreihe 1 k=0 (k+1)! zk bereche. Hierfür setze wir a 1 =(a! 0 + a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 + O( z 5 )) ( z z z3 120 z4 + O( z 5 )) =a 0 + ( a a 1)z + ( a a a 2)z 2 + ( a a a a 3)z 3 +( a a a a a 4)z 4 + O( z 5 ). Vergleicht ma die Koeffiziete ergibt sich a 0 = 1, a 1 = a 0 2 = 1 2, a 2 = a 0 6 a 1 2 = = 1 12, a 3 = a 0 24 a 1 6 a 2 2 = = 0, a 4 = a a 1 24 a 2 6 a 3 2 = =

8 Mit B =!a ergibt sich B 0 = 1, B 1 = 1, B 2 2 = 1, B 6 3 = 0 ud B 4 = (iv) Für grosse gilt 1 (log ) 2, also folgt 1 = lim sup 1 lim sup (log ) 2 lim sup = 1. Also ist lim sup (log ) 2 = 1 ud damit hat die Reihe Kovergezradius 1/1 = 1. Für die zweite Reihe verwede wir, dass ach der Stirlig-Formel gilt:! ( e ) 2π 1 für. Deshalb überlegt ma sich, dass ma i der Berechug des Limes superior de Ausdruck! durch ( ) e 2π ersetze ka (da 1 = 1). Also habe wir )! ( lim sup = lim sup e 2π (1 ) = lim sup 2π e ( ) ( ) 1 = lim sup 2π lim sup = 1 e e. } {{ } =1 wie obe Also ist der Kovergezradius gerade 1/(1/e) = e. Aufgabe 4. Gibt es eie komplexe Wurzelfuktio? Geauer: Gibt es eie stetige Fuktio f : C {0} C {0} mit f(z) 2 = z für alle z 0? Hiweis: Zeige zuerst: gäbe es eie solche Fuktio, köte sie so gewählt werde, dass sie f(zw) = f(z)f(w) für alle z, w 0 erfüllt. Lösug. Nehme wir a, f sei eie komplexe Wurzelfuktio. Quadriert ma die im Hiweis erwähte Gleichug f(zw) = f(z)f(w) erhält ma die korrekte Gleichug zw = f(zw) 2 = f(z) 2 f(w) 2 = zw. Deshalb ist die ursprügliche Gleichug erfüllt bis auf Vorzeiche. Darum ist der Ausdruck h(z, w) = f(zw)/(f(z)f(w)) für alle z, w C {0} etweder 1 oder 1. Da die Abbildug C {0} C {0}, u 1/u stetig ist, hägt h(z, w) stetig vo z, w ab. Da zudem C {0} C {0} zusammehäged ist, muss die stetige Abbildug h : C {0} C {0} {1, 1} kostat sei. Durch Multiplikatio vo f mit 1 köe wir auf jede Fall erreiche, dass h = 1 ud damit die gewüschte Gleichug erfüllt ist. Da gilt aber: 1 = f(1) 2 = f(1)f(1) = f(1 1) = f(1) = f(( 1) ( 1)) = f( 1) f( 1) = f( 1) 2 = 1, ei Widerspruch. 8

9 Aufgabe 5. Utersuche die Kovergez der folgede Reihe auf dem Kovergezradius, dass heisst für z = 1: (i) z k k=1 k 2 (ii) z k k=1 k Hiweis: Abelsche partielle Summatio Lösug. Im Allgemeie wird es im Folgede für die Zusatzaufgabe keie Musterlösuge gebe. Bei Frage wede dich a deie Assistete. Aufgabe 6. Versuche eie Defiitio der quaterioische Ableitug aalog zur komplexe Ableitug zu fide ud utersuche die Fuktio f : H H, f(h) = h 2 mit deier Defiitio auf quaterioische Differezierbarkeit. 9

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