6.6 Grundzüge der Fehler- und Ausgleichsrechnung Fehlerarten- Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung physikalisch-technische Experiment

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "6.6 Grundzüge der Fehler- und Ausgleichsrechnung 6.6.1 Fehlerarten- Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung physikalisch-technische Experiment"

Transkript

1 Grudzüge der Fehler- ud Ausgleichsrechug 661 Fehlerarte- Aufgabe der Fehler- ud Ausgleichsrechug Jedes physikalisch-techische Experimet liefert gewisse gemessee Werte x Bei dem Messvorgag verwede wir bestimmte Messistrumete ud Messmethode Abhägig vo der Qualität der Istrumete ud der Methode beobachte wir bei aufeiaderfolgede Messuge eies Messwertes beispielsweise folgede Werte: x 1,x,x 3,,x, die i uterschiedlicher Grösse vo dem "tatsächliche" oder "wahre" Messwert x abweiche solle Die Grösse dieser Abweichuge ee wir die reale Fehler: Δf 1 =x 1 -x,δf =x -x,,δf =x -x Sie sid atürlich ubekat, weil der wahre Wert ubekat ist Zu jeder Messug berechebar sid higege die sogeate "scheibare" Fehler: Δv 1 =x 1 -p,δv =x -p,,δv =x -p, wori p der Zahlewert ist, de wir ahad der Messreihe als de wahrscheilichste Messwert beurteile Wir werde im Folgede zeige, dass wir auf der Grudlage der kleiste Fehlerquadrate für p de sogeate Mittelwert der Messreihe erreche Schliesse wir die Fehler aus, die durch falsches Ablese oder durch ubrauchbare Messgeräte etstehe, so bleibe zwei Kategorie vo Messfehler übrig: Systematische Fehler ud zufällige oder statistische Fehler Systematische Fehler etstehe durch ugeaue Messmethode oder vermeidbare Störuge beim Experimetiere Durch bloße Wiederholug vo Messuge mit deselbe Messgeräte lasse sich systematische Fehler weder erkee och ausschalte Sie sid i systematischer Weise erkebar ud durch Awedug aderer Messverfahre zu erfasse Zufällige Fehler beruhe auf uvorhersehbare Störeiflüsse im Experimet ud sid deshalb uvermeidlich Beispiele solcher Störeiflüsse sid: Kleie, icht bestimmbare Schwakuge der Umweltbediguge (Temperatur, Staubgehalt der Luft, Beleuchtug), zeitliche ud räumliche Schwakuge der Reibug im Messgerät, kleie icht zu erfassede Verlageruge vo Hebelgeleke, usw Systematische Fehler sid im Regelfall eiseitig; alle gemessee Date sid also etweder zu gross oder zu klei Die zufällige Fehler sid higege regellos verteilt Sie uterliege i ihre Abweichuge de Gesetze der Statistik ud heisse deshalb auch statistische Fehler Im Sie der Statistik stellt der Messprozess eie Zufallsbeobachtug dar, die Erfassug eies bestimmte experimetelle Wertes ist ei zufälliges Ereigis ud die Zusammestellug vo etwa Messwerte repräsetiert eie Stichprobe aus eier Grudgesamtheit Die Fehler- ud Ausgleichsrechug behadelt die Erfassug, Beurteilug ud Verarbeitug dieser Messwerte auf der Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Erfassug der Messuge geschieht meist ahad vo protokollarische Erfassuge durch Liste ud Tabelle ud ihrer grafische Darstellug i Diagramme

2 104 Die Beurteilug erfolgt zuächst durch die Bildug gewisser Maßzahle, zb des arithmetische Mittelwertes ud des Streuugsquadrates Die Verarbeitug ka zb beihalte, welche Rückschlüsse sich aus de vorliegede Messwerte auf de Geamtprozess gewie lasse (Schluss vo der Stichprobe auf die Gesamtheit) 66 Notwedige Eigeschafte der Messwerte i der Wahrscheilichkeitstheorie Für user weiteres Vorgehe forder wir vo usere Messwerte x 1,x,x 3,,x, folgede Eigeschafte, um sie im Sie der Wahrscheilichkeitstheorie bearbeite zu köe 1 Alle Messwerte uterliege dem gleiche Geauigkeitsmass bezüglich ihrer Messmethode ud bezüglich der Beobachtug Die Grösse der Abweichuge sid zufälliger Art 3 Alle Messwerte sid voeiader uabhägig Mit diese Eigeschafte köe wir die Messwerte auffasse als Beobachtugsergebisse eier Stichprobe vom Umfag eier statistische Erhebug zur Grudgesamtheit aller mögliche Messwerte ud demzufolge mit de Gesetze der Statistik behadel Bei eier Messug werde wir im Regelfall als Ergebis der Beobachtug eie Zahl erhalte; demzufolge stelle die Zufallswerte x i, 1 i, eie stetige Verteilug dar 663 Mittelwert µ ud die Stadardabweichug σ Zuächst iteressiere wir us für die Häufigkeite, mit dee die eizele Messwerte auftrete Um dies aschaulich zu mache, orde wir die Messwerte der Größe ach Wir uterteile das Gesamtitervall zwische dem größte ud dem kleiste Messwert i Klasse ud protokolliere die Klassehäufigkeite Die absolute Klassehäufigkeit i stellt da die Azahl der Messwerte i der i-te Klasse "x i dar, die relative Klassehäufigkeit h i = i gibt de Bruchteil der Messwerte i der i-te Klasse a We wir die Azahl der Messuge kotiuierlich erhöhe ud die Klassebreite verkleier, so geht die diskrete Häufigkeitsverteilug i eie stetige über Die Verteilug der Messdate mittels f i = h i ergibt schliesslich "x i eie Dichtefuktio f(x) beschriebe, i der wir folgede empirische Eigeschafte erkee 1 Die Messwerte streue symmetrisch um ei zetrales Maximum Je grösser der Abstad vom Zetrum, desto kleier wird die Azahl a Zufallsmesswerte Diese Verteilug, die a die Gauß - Verteilug eriert, erkläre wir so Jede Messug ist eier grosse Zahl icht vorhersehbarer Eiflüsse uterworfe Der beobachtete Messfehler F setzt sich also zusamme aus eier grosse Azahl zufälliger Eizelfehler F 1,F,F m, vo dee keier die adere etscheided überwiegt ud die wir als uabhägig voeiader asehe dürfe: F=F 1 +F ++F m

3 105 Gemäss dem zetrale Grezwertsatz i 6184 köe wir da de Gesamtfehler F als eie aäherd ormalverteilte Zufallsvariable darstelle Setze wir also für die Messug voraus, dass keie systematische Abweichuge soder ur zufällige Messfehler auftrete, so köe wir daraus folger, daß die Messgröße X im Regelfall eie aäherd ormalverteilte Zufallsgrösse ist mit der ormierte Dichtefuktio: f(x) = 1% x$µ ( 1 $ "# e ' * # ), $ + < x < + We ur zufällige Fehler möglich sid ud wir die Messug hireiched häufig wiederhole, so wird sich für die Messdate x 1,x,x 3,,x eie ormalverteilte Streuug um eie Mittelwert µ eistelle Dieser Wert ist somit der wahrscheilichste Messwert ud wird als der "wahre" Messwert agesehe Der Parameter Stadardabweichug σ gibt us eie Iformatio über die Geauigkeit eier Messug Kleie Werte vo σ bedeute eie schlake Verteilugskurve ud eie hohe Geauigkeit, währed grosses σ eie breite Verteilug ud eie gerigere Geauigkeit bedeute Geerell erhalte wir folgede Iformatio aus der Normalverteilug: 68,3% aller Messwerte liege imitervall :µ " # < x < µ + # 95,5% aller Messwerte liege imitervall :µ " # < x < µ + # 99,7% aller Messwerte liege imitervall :µ " 3# < x < µ + 3# Das Hauptproblem eier statistische Betrachtug besteht zuächst dari, dass die Parameter µ ud σ ubekat sid Mit eier hireiched grosse Zahl vo Messuge liesse diese sich gut approximiere, eie solche grosse Zahl vo Messuge liegt aber meist icht vor 664 Schätzwerte für de Mittelwert µ ud die Stadardabweichug σ Wir müsse deshalb versuche aus der uzureichede Azahl vo Messuge zumidest die beste (wahrscheilichste) Schätzwerte der wahre Werte µ ud σ zu ermittel Dies geschieht so Zu jeder Azahl vo Messuge existiert ei Mittelwert " x i x = m x = s = s = # ( x i " x) "1 Mittelwert (Erwartugswert) x ud ei mittlerer Fehler m x : Wir zeige u: Der Mittelwert x ist der wahrscheilichste Wert p, de wir auf der Grudlage der kleiste Fehlerquadrate eier Messreihe zuorde köe Defiiere wir für jede Messwert eie sogeate scheibare Fehler durch: v i =x i -p, so erreche wir als otwedige Bedigug dafür, dass für de wahrscheilichste Wert die Summe der Fehlerquadrate ei Miimum ergibt: ud Mittlerer Fehler (Stadardabweichug)

4 106 S(p) = " v i = "( x i #p) i = Miimum, mit ds dp = 0 " d % ( x i #p) ( ' $ * dp ' )* = # $ ( x i #p) = 0 " $ x i = +p, also p = 1 " x i = x Daach ist also der Mittelwert x der beste Schätzwert für de Erwartugswert µ Aalog ist die Stadardabweichug s der beste Schätzwert für die Stadardabweichug der ormalverteilte Grudgesamtheit Also köe wir mit diese beide Maßzahle eie Verbidug zur Gaußsche Normalverteilug herstelle, idem wir de Mittelwert x der Stichprobe als mathematische Erwartug µ ud de mittlere Fehler m x als Stadardabweichug s, mit m x = s, iterpretiere Mit dieser Vorgehesweise verwede wir eie Stichprobe vom Umfag dazu, die Wahrscheilichkeit für das Auftrete eies beliebige Messwertes zu formuliere bzw die Wahrscheilichkeit eies Messfehlers Δx=x- x vorherzusage Mit zuehmedem Umfag der Stichprobe werde sich x ud m x veräder Sid für die Messwerte die obige Voraussetzuge 1-3 gegebe, so werde diese beide Masszahle mit zuehmedem Stichprobeumfag gege die "wahre" Werte µ ud s kovergiere Wir fasse zusamme: Seie uabhägige Eizelmessuge x 1,x,x 3,,x gegebe, für die keie systematische, soder ur zufällige Messabweichuge vorliege Jede Messabweichug setzt sich zusamme aus eier Vielzahl uabhägiger Eizelfehler mit gleicher Grösseordug Da ist die gemessee Grösse ormalverteilt mit ubekate Parameter Erwartugswert µ ud Stadardabweichug σ Die ubekate Parameter ersetze wir durch folgede beste Schätzwerte: " x i x = Mittelwert der Messreihe als Schätzwert für µ ud 1 s = "1 # $ ( x i " x) Stadardabweichug der Messreihe als Schätzwert vo σ Vergrösser wir die Zahl der Messuge, so ergebe sich daraus Veräderuge i usere Schätzwerte Die Stadardabweichug für de sich veräderde Mittelwert beschreibt die Streuug der aus de verschiedee Messreihe ermittelte Werte x um de wahre Wert µ: s x = s = 1 ( "1) # $ ( x i " x)

5 107 Beispiel Bei eier Messug werde isgesamt 5 Messwerte ermittelt Vo de Messuge wird erwartet, dass sie ormalverteilt sid Es werde Schätzwerte µ ud σ errechet ud daraus eie Gauß-Verteilug hergeleitet Messwerte = 1" = 6 " = 11" =16 " = 1" Die Schätzwerte sid µ = 54 ud " =101 Offesichtlich lasse sich Schätzwerte µ ud σ auch da ermittel, we die Messug die Voraussetzuge zu eier Normalverteilug icht erfüllt Die Frage, ob eie Darstellug mittels Normalverteilug gerechtfertigt ist, ka zuächst durch die Darstellug der Messwerte durch ei Dichtediagramm geprüft werde Ei solches Diagramm ist für die vorliegede Messwerte durch Klassebildug vo Klasse der Läge "x i =1 mit de Klassemitte 35 (Messwerte zwische 3 ud 4), 45 (Messwerte zwische 4 ud 5),usw Diese Darstellug zeigt äherugsweise eie ormalverteilte Grafik I dieser Grafik sid die Messwerte i Klasse gruppiert Die absolute Häufigkeit der Messwerte i de eizele Klasse der Läge 1 zeigt äherugsweise eie Normalverteilug Die Normalverteilug wurde mit de Schätzwerte der Messdate erstellt 665 Zuverlässigkeit der Schätzwerte Was us och fehlt, ist eie Aussage darüber, wie zuverlässig die ermittelte Schätzwerte vo µ ud σ sid Diese Zuverlässigkeit drücke wir so aus Wie gross ist die Wahrscheilichkeit P, dass der ubekate wahre Wert µ i eiem symmetrische Itervall vorgegebeer Größe um de Schätzwert x liegt Ei solches Vertrauesitervall lässt sich formuliere Die

6 108 Theorie zur Herleitug des Vertrauesitervalls geschah im Kapitel 63 Die Vorgehesweise wurde dort so beschriebe Ist die Stadardabweichug eier ormalverteilte Messreihe ubekat, so köe wir deoch für die Grösse des ubekate Mittelwertes µ eie Wahrscheilichkeit P vorgebe ud dazu ei Itervall I=[ x-c µ x+c] defiiere, so dass µ mit der Wahrscheilichkeit P i I liegt Die Abweichuge ( x-c) ud ( x+c) beschreibe symmetrisch die so geate Vertrauesgreze ach ute ud ach obe Für Messwerte bestimme wir Vertrauesgreze ± c zur Wahrscheilichkeit P mittels de Quatile der Studet- Verteilug so: Mit der Wahrscheilichkeit P soll der aus dem Mittelwert abgeleitete Wert x = x "µ s ["t,t] liegt: $ ' P "t# x "µ ) #t) = 09 s ) % ( x zu de Messwerte x 1,x,x der Studet t- Verteilug eie Wert aehme, der im Itervall Aus dieser Forderug, dere t Werte wir aus der Literatur achlese oder zb mit Mathematica bereche, erreche wir da die c Werte mittels c = t s Da heißt das Vertrauesitervall so: x " t s # µ # x + t s Für verschiedee ud P sid eiige Werte vo t i der Tabelle eigetrage Azahl P = 0683 P = 09 P = 095 P = 099 = = = = " #(Gauss) Wede wir die Tabellewerte auf user Beispiel a, so erhalte wir u a folgede Aussage Für =5 ud P=09 bzw P=095 laute die Itervalle: 54 "171# " 06# $ x $ # $ x $ # % " $ x $ bzw % " $ x $

7 Gauß-Fehlerfortpflazug 6661 Idirekte Messgrösse Viele physikalische Gesetze Z=f(X,Y,) verküpfe zwei oder mehrere voeiader uabhägige ud ormalverteilte Variable Häufig ist es eifacher, auf idirektem Weg zuächst die Meßvariable X,Y, zu bestimme ud daraus aschließed mit dem physikalische Gesetz Z=f(X,Y,) zu erreche, als Z direkt durch eie Messug zu bestimme ZB köe wir das ideale Gasgesetz pv =1, wori p der Druck, v das spezifische Volume, T die Temperatur ud RT R die spezifische Gaskostate bedeute, ach v auflöse: v = v(p,t) = RT p Iteressiere wir us i eiem Experimet für das spezifische Volume v oder die Dichte " = 1, so ist es ratsam v idirekt über die Meßwerte vo p ud T zu bestimme Bei dieser Methode stellt sich die Frage, i welcher Weise der gesuchte Mittelwert v eier Meßreihe vom v Umfag vo de Mittelwerte abhägt: p = 1 " p i ud T = 1 " T i Für eie allgemeiere Darstellug kehre wir vom spezielle Beispiel zu de Begriffe X,Y, ud Z für die Name der Zustadsvariable ud x,y, ud z für die Werte der Zustadsvariable zurück Dabei gehe wir aus vo eier Meßreihe vom Umfag ud zwei gemessee Größe X ud Y: x 1,x,x 3, ud y 1,y,y 3, ud de Mittelwerte x = 1 " x i ud y = 1 " y i Die eizele Messwerte besitze vom jeweils zugehörige Mittelwert die Abweichuge ud s i : r i = x i " x ud s i = y i " y Dies ergibt für x i ud y i : x i = x + r i ud y i = y + s i Setze wir diese Werte ei i die Fuktiosgleichug z=f(x,y) so erhalte wir isgesamt idirekte Meßwerte: z i = f( x i,y i ) = f( x + r i,y + s i ) Die Differeze vo jedem idirekt bestimmte z i zum Wert w i = z i " f( x,y) = f( x i,y i ) " f( x,x) = f( x + r i,y + s i ) " f( x,y) Ma beachte, daß wir zuächst keie Aussage z = f x,y ( ) formuliere köe Eie solche Aussage etsteht, we wir für kleie Abweichuge s i die Werte w i durch das totale Differetial dz i ersetze: w i " dz i = df( x,y) = f x ( x,y)r i + f y ( x,y)s i f( x,y) seie: r i ud r i

8 110 Da gilt äherugsweise: z i " f(x,y) = f(x i,y i ) " f(x,y) = f x (x,y)r i + f y (x,y)s i ud z i = f( x i,y i ) = f(x,y) + f x (x,y)r i + f y (x,y)s i Wir bilde aus de - Messwerte de Mittelwert z = 1 " z i = 1 " [ f(x,y) + f x (x,y)r i + f y (x,y)s i ] $ ( = 1 %" f(x,y) + f(x,y) #" r i + f(x,y) #" s i ) ' =#f (x,y) =0 =0 * = 1 ## f(x,y) = f(x,y) Nu köe wir de Mittelwert eier idirekte Meßgröße defiiere Defiitio des Mittelwertes eier idirekte Meßgröße Der Mittelwert z der idirekte Meßgröße Z=f(X,Y) läßt sich aus de Mittelwerte beide voeiader uabhägige Meßgröße X ud Y bereche: x ud y der z = f(x,y)

9 Fehlerfortpflazug ach Gauß Die Stadardabweichuge s x ud s y i de beide voeiader uabhägige Meßgröße x ud y beschreibe die Streuug der Meßwerte um ihre Mittelwerte x ud y Kosequeterweise streut damit auch die aus x ud y berechete Größe z(x,y) um ihre Mittelwert z = f(x,y) Die Stadardabweichug s z der idirekte Meßgröße Z wird vo s x, s y ud dem fuktioale Zusammehag z=f(x,y) abhäge Zuächst rufe wir us die Notatio für die Abweichuge der idirekte Meßwerte z i =f(x i,y i ) vom Mittelwert z = f(x,y) is Gedächtis: w i = z i " f( x,y) = f( x i,y i ) " f( x,y) = f( x + r i,y + s i ) " f( x,y) Für kleie Abweichuge r i ud s i ersetze wir die Werte w i durch das totale Differetial dz i : w i = z i " z # dz i = f x ( x,y)r i + f y ( x,y)s i f y (x,y) kür- Für die Summe der Abweichugsquadrate erreche wir, wobei wir für zer f x ud f y schreibe: ( ) " w i = "(z i # z) = " f x $ r i + f y $ s i = (f x $ " ri + f x $ f y $r i $ s i + f y $ si ) = f x $ " ri + fx f y $ " r i $ s i + f y $ " si f x (x,y) ud Für eie hireiched große Zahl vo Meßwerte ergibt die Summatio der Produkte (r i s i ), die mit gleicher Wahrscheilichkeit positiv oder egativ sid, äherugsweise Null: # r i " s i $ 0 Für die Abweichugsquadrate folgt da: " w i = "( z i # z) = f x " r i + f y s i " Für die Stadardabweichug s z der Eizelmessuge z i folgt: s z = 1 # w "1 i = 1 #( z i " z) = "1 i $ 1 "1 f x r i + # fy % s i # ' ) ( $ 1 = f x % "1 r # i ' $ ) + f y 1 ( % "1 s i # ' ) = f x * s x + fy * sx * fy, ( wori f x = f x (x,y), f y = f y (x,y), r i = x i " x ud s i = y i " y bedeute

10 11 Wir ee diese Gleichug das Gaußsche Fehlerfortpflazugsgesetz für Stadardabweichuge Das Fehlerfortpflazugsgesetz für Variaze erhalte wir daraus durch quadriere Es lautet: s z = fx " sx + fy " sx " fy Nu variiere icht ur die direkt bzw idirekt ermittelte Größe x i, y i bzw z i ierhalb eier Stichprobe vom Umfag, soder es variiere für verschiedee Stichprobe auch die pro Stichprobe hergeleitete Kegröße Mittelwert ud Variaz De Zusammehag zwische de Stadardabweichuge s x, s y ud s z der Eizelmessuge ud de Stadardabweichuge der Mittelwerte s x, s y ud s z, beschreibe wir durch: s x = s x, s y = s y s z = s z = ud s z = s z Für die Stadardabweichug des Mittelwertes s z gilt da: f x " sx + fy " sy # s = f x " x # s y % ( + f y " % ( = ( f x " s $ ' $ ' x ) + ( f y " s y ) Dies ist das Fehlerfortpflazugsgesetz vo Gauß für die Stadardabweichug des Mittelwertes Für die Variaz gilt da etspreched: s = fx " s z ( x ) + ( f y " s y ) = f x " sx + fy " sy Amerkuge Das Gauß Fehlerfortpflazugsgesetz läßt sich aalog auf Messgrösse awede, die vo mehr als zwei Variable abhäge Hägt die Messgrösse W beispielsweise vo drei Variable ab, W=W(X,Y,Z) so formuliere wir gaz etspreched: s w = $ "w "x (x,y,z) # s ' % x) + "w $ ( "y (x,y,z) # s ' $ y) + "w % ( "z (x,y,z) # s ' % z) ( Dari bedeute u s x, s y,ud s z die Stadardabweichuge der Mittelwerte der drei direkt gemessee Größe X,Y ud Z ud s w die Stadardabweichug des Mittelwertes der idirekte Meßgröße W Zusammefassug Sei Z eie idirekte Meßgröße, die vo de zwei direkt meßbare Größe X ud Y abhägt: Z=f(X,Y) Aus de Messuge liege folgede Ergebisse vor: x = x ± "x ud y = y ± "y, wori x ud y die Mittelwerte ud Δx ud Δy die Meßusicherheite darstelle, welche ma im allgemeie durch die Stadardabweichuge beschreibt: "x = s x = s x ud "y = s y = s y z = f(x,y) Die idirekte Meßgröße besitzt da de Mittelwert:

11 113 Die Geauigkeit vo Z beschreibe wir durch "z = s z ud bereche s z so: s z = $ "f %"x x,y ( ) # s x ' $ ) + "f ( %"y x,y ( ) # s y ' ) ( Für eifache Zusammehäge z=f(x,y) sieht die Geauigkeit vo Z so aus: Z=X±Y: "z = ("x) + ("y) Z=k X Y: "z z = "x x + "y y Z = k " X Y : "z z = "x x + "y y Z=k X α Y β "z z = # $ "x x + %$ "y y Beispiel Für ei ideales Gas sid die Größe Druck p, Volume m v = V, wori m die Masse des Gases bedeutet ud v das spezifische Volume mit ideale Gasgesetz: v = 1 " ud ρ als Dichte, ud T verküpft durch das p = m R" T Die Größe R stellt dari die spezifische Gaskostate dar Für V die vorgegebee Temperatur T=T 0 (isotherme Messug) wurde aus Messuge vo p ud V die Gasmege im Behälter ermittelt: m = m(p,v) = p " V Dabei wurde für p ud V folgede Date abgelese: R=871, T 0 =300K R" T 0 Volume [qcm] 55,01 55,09 55,08 55,1 54,99 55,03 55,0 55,04 55,03 Druck [bar] 1, , , ,001 1, , ,0137 1, ,0139 Aus diese Meßwerte erreche wir folgede statistische Meßgröße: Mittelwert V= cm 3, Stadardabweichug des Mittelwertes s V =0014 Mittelwert p=101301, Stadardabweichug des Mittelwertes s p =00017 Die Stadardabweichuge der Eizelmessuge s V ud s p sid um de Faktor 3 größer, zb s V = " s V = 3" s V Für de Mittelwert vo m(p,v) erreche wir aus de Meßdate:

12 114 m = f(p,v) = p " V " = = R" T 0 871" 300 Die partielle Ableituge heiße: "m "p (p,v) = V "m(p,v) "p ' ) ( = m p = V R# T 0 ud "m "V (p,v) = p "m(p,v) "V = m p V = R# T 0 Also gilt: = ud = R# T 0 R# T 0 Das Gauß - Fehlerfortpflazugsgesetz liefert da folgede Wert für die Stadardabweichug s m = $ % "m "p p,v ( ) # s p ' $ ) + "m ( % "V p,v ( ) # s V Wege m=k p V gilt atürlich auch: = ( # 00017) + ( # 0014) = "z z = "x x + "y y # "m m = "p p + "V V = s p p + s V V = = 0,00169, also ist Δm= =

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft

Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

3. Einführung in die Statistik

3. Einführung in die Statistik 3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :

Mehr

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung)

Behandlung von Messunsicherheiten (Fehlerrechnung) Behadlug vo Messusicherheite (Fehlerrechug). Ermittlug vo Messusicherheite. Messug ud Messusicherheit Die Messug eier physikalische Größe erfolgt durch de Vergleich dieser Größe mit eier Bezugseiheit ach

Mehr

Übungen mit dem Applet erwartungstreu

Übungen mit dem Applet erwartungstreu Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz

Mehr

4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2

4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2 4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form

Mehr

Tests statistischer Hypothesen

Tests statistischer Hypothesen KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Zufall ud Mittelwerte Für alle techische Studiegäge Prof. Dr.-Ig. habil. Thomas Adamek Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug. Eiführug Grudlage vo Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug

Mehr

Kapitel 5: Schließende Statistik

Kapitel 5: Schließende Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte

Mehr

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur

Stichproben im Rechnungswesen, Stichprobeninventur Stichprobe im Rechugswese, Stichprobeivetur Prof Dr Iree Rößler ud Prof Dr Albrecht Ugerer Duale Hochschule Bade-Württemberg Maheim Im eifachste Fall des Dollar-Uit oder Moetary-Uit Samplig (DUS oder MUS-

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

elektr. und magnet. Feld A 7 (1)

elektr. und magnet. Feld A 7 (1) FachHochschule Lausitz Physikalisches Praktikum α- ud β-strahlug im elektr. ud maget. Feld A 7 Name: Matrikel: Datum: Ziel des Versuches Das Verhalte vo α- ud β-strahlug im elektrische ud magetische Feld

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug

Mehr

Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5

Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5 Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe

Mehr

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008 1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl

Mehr

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung .3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße

Mehr

Statistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik

Statistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel 1» Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische

Mehr

Methode der kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten Quadrate Methode der kleiste Quadrate KAPITEL 5: REGRESSIONSRECHNUNG Die Methode der kleiste Quadrate (MklQ) ist ei Verfahre zur Apassug eier Fuktio a eie Puktwolke. Agewadt wird sie beispielsweise, um eie Gesetzmäßigkeit

Mehr

Die notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier:

Die notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier: Fakultät für Mathematik Istitute IAG ud IMO Prof. Dr. G. Kyureghya/Dr. M. Hödig Schätz- ud Prüfverfahre Die otwedige Verteilugstabelle fide Sie z.b. hier: http://www.ivwl.ui-kassel.de/kosfeld/lehre/zeitreihe/verteilugstabelle.pdf

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen

Testumfang für die Ermittlung und Angabe von Fehlerraten in biometrischen Systemen Testumfag für die Ermittlug ud Agabe vo Fehlerrate i biometrische Systeme Peter Uruh SRC Security Research & Cosultig GmbH peter.uruh@src-gmbh.de Eileitug Biometrische Systeme werde durch zwei wichtige

Mehr

Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie

Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie Streuugsmaße Istitut für Geographie Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel,

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.

Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen. 3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse

Mehr

Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit

Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit - 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete

Mehr

Wirksamkeit, Effizienz

Wirksamkeit, Effizienz 3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und

Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte

Mehr

Kapitel 1. Einige Begriffe aus der Asymptotik. 1.1 Wiederholung

Kapitel 1. Einige Begriffe aus der Asymptotik. 1.1 Wiederholung Kapitel Eiige Begriffe aus der Asymptotik. Wiederholug Eiwesetlicher Teil der Ökoometrie befasst sichmit der Ermittlug voschätzer ud dere Eigeschafte. Diese werde beötigt, um aus de beobachtbare Date eier

Mehr

Wirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel

Wirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische

Mehr

Empirische Verteilungsfunktion

Empirische Verteilungsfunktion KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,

Mehr

Monte Carlo-Simulation

Monte Carlo-Simulation Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil

Mehr

Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung

Fehlerrechnung und Fehlerabschätzung Fehlerrechug ud Fehlerabschätzug Vorbemerkug Eiteilug der Meßfehler. Grobe Fehler. Systematische Fehler.3 Zufällige oder statistische Fehler Fehlerrechug ud Fehlerabschätzug. Bei direkte Messuge.. Durchschittlicher

Mehr

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)

Beschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac) Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:

Mehr

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html

Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html Statistik Prof. Dr. K. Melzer kari.melzer@hs-esslige.de http://www.hs-esslige.de/de/mitarbeiter/kari-melzer.html Ihaltsverzeichis 1 Eileitug ud Übersicht 3 2 Dategewiug (kurzer Überblick) 3 2.1 Plaugsphase

Mehr

Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer

Kapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer 7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte.

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte. Statistik Vorlesug,. ärz, Statistische aßzahle Iformatio zu verdichte, Besoderheite hervorzuhebe ittelwerte Aufgabe: die Lage der Verteilug auf der Abszisse zu zeige. Der odus: derjeige Wert, der im Häufigste

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier

Der natürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtungen zum uniaxialen Zugversuch am Beispiel von Furnier Der atürliche Werkstoff Holz - Statistische Betrachtuge zum uiaxiale Zugversuch am Beispiel vo Furier B. Bellair, A. Dietzel, M. Zimmerma, Prof. Dr.-Ig. H. Raßbach Zusammefassug FH Schmalkalde, 98574 Schmalkalde,

Mehr

Kapitel 9: Schätzungen

Kapitel 9: Schätzungen - 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK WS 005/06 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik vom 9..006 Musterlösuge Aufgabe A: Gegebe sei eie Urliste

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

n 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen

n 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen Regressio Dieser Text rekapituliert die i der Aalsis ud Statistik wohlbekate Methode der kleiste Quadrate, auch Regressio geat, zur Bestimmug vo Ausgleichsgerade Regressiosgerade ud allgemei Ausgleichpolome.

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler 9.04.008 Äderug Übugsstude Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Gruppe vo Markus trifft sich am Doerstag statt im HCI D zusamme mit der Gruppe

Mehr

Tests für beliebige Zufallsvariable

Tests für beliebige Zufallsvariable Kapitel 10 Tests für beliebige Zufallsvariable 10.1 Der Chi-Quadrat-Apassugstest Sei x eie gaz beliebige Zufallsvariable, dere Dichtefuktio icht oder icht geau bekat ist. Beispiel: Es seie z.b. mittels

Mehr

Fehlerrechnung. 3. Genauigkeit von Meßergebnissen am Beispiel der Längenmessung

Fehlerrechnung. 3. Genauigkeit von Meßergebnissen am Beispiel der Längenmessung 1 Gie 11/000 Fehlerrechug 1. Physikalische Größe: Zahlewert ud Eiheit. Ursache vo Meßfehler 3. Geauigkeit vo Meßergebisse am Beispiel der Lägemessug 4. Messug eier kostate Größe ud Mittelwert 5. Messug

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen

Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen . Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.

Mehr

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung

Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitung Dr. Markus Kuze WS 2013/14 Dipl.-Math. Stefa Roth 11.02.2014 Stochastik für WiWi - Klausurvorbereitug Gesetz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes (Ω, F, P) Wahrscheilichkeitsraum, E 1,..., E F

Mehr

2. Diophantische Gleichungen

2. Diophantische Gleichungen 2. Diophatische Gleichuge [Teschl05, S. 91f] 2.1. Was ist eie diophatische Gleichug ud wozu braucht ma sie? Def D2-1: Eie diophatische Gleichug ist eie Polyomfuktio i x,y,z,, bei der als Lösuge ur gaze

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady

Mehr

"Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe."

Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe. THEORETISCHE GRUNDLAGEN I der Biophysik versuche wir biologische Vorgäge mit physikalische Methode zu utersuche ud zu verstehe. Wir setze dabei voraus, dass biologische Größe quatitativ gemesse ud mit

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Parameterschätzung. Kapitel Schätzfunktionen

Parameterschätzung. Kapitel Schätzfunktionen Kapitel 8 Parameterschätzug 8.1 Schätzfuktioe Def. 8.1.1: Es seie X 1,X,...,X uabhägige ZV, die alle die gleiche Verteilug besitze. θ sei ei ubekater Parameter dieser Verteilug. X 1,X,...,X ist als eie

Mehr

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis

6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis 6. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug 6.. Defiitioe ud Beispiele Spiele aus dem Alltagslebe: Würfel, Müze, Karte,... u.s.w. sid gut geeiget die Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug darzustelle. Wir

Mehr

s xy x i x y i y s xy = 1 n i=1 y 2 i=1 x 2 s 1 n x n i Streudiagramme empirische Kovarianz x=5,5 y=7,5

s xy x i x y i y s xy = 1 n i=1 y 2 i=1 x 2 s 1 n x n i Streudiagramme empirische Kovarianz x=5,5 y=7,5 Streudiagramme für metrisch skalierte Variable paarweise Messwerte (x,y) x 5 7 y 7 5 7 5 5 7 Aussage zu Zusammehäge. empirische Kovariaz Stadardabweichug der WertPAARE x i x y Wert x Mittelwert aller x

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern

FormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis

Mehr

1 Einführung in die Fehlerrechnung

1 Einführung in die Fehlerrechnung Physik für Biologie ud Zwei-Fächer-Bachelor Chemie Kap.: Eiführug i die Fehlerrechug Eiführug i die Fehlerrechug Tiefemessschiee Abbildug: Messschieber. Theoretische Grudlage Bei jeder physikalische Messug

Mehr

Statistik, Abschnitt (1) Gegeben sei der Stichprobenvektor (X 1,..., X n ). Die Stichprobenfunktion. ˆµ k := 1 n. Xi k (1) i=1.

Statistik, Abschnitt (1) Gegeben sei der Stichprobenvektor (X 1,..., X n ). Die Stichprobenfunktion. ˆµ k := 1 n. Xi k (1) i=1. Statistik, Abschitt.. Schätzmethode.. Mometemethode Für Parameter, die sich i bekater Weise aus de Momete zusammesetze, erhält ma Schätzuge, idem ma die theoretische Momete durch die sogeate empirische

Mehr

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012. Musterlösung zu Blatt 0 UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Rolad Speicher M.Sc. Tobias Mai Übuge zur Vorlesug Fuktioetheorie Sommersemester 01 Musterlösug zu Blatt 0 Aufgabe 1. Käpt Schwarzbart,

Mehr

Ereignis Wahrscheinlichkeit P (A) A oder B P (A + B) A und B P (AB) B, wenna P (B A)

Ereignis Wahrscheinlichkeit P (A) A oder B P (A + B) A und B P (AB) B, wenna P (B A) Kapitel 10 Statistik 10.1 Wahrscheilichkeit Das Ergebis eier Messug oder Beobachtug wird Ereigis geat. Ereigisse werde mit de Buchstabe A, B,...bezeichet. Die Messug eier kotiuierliche Variable x gibt

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung Mathematik Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1

Mehr

Herleitung der Parameter-Gleichungen für die einfache lineare Regression

Herleitung der Parameter-Gleichungen für die einfache lineare Regression Herleitug der Parameter-Gleichuge für die eifache lieare Regressio Uwe Ziegehage. März 03 Historie v.0 6.03.009, erste Versio hochgelade v.0 0.03.03, eie Vorzeichefehler beseitigt, diverse Gleichuge ud

Mehr

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum

Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =

Mehr

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert

h i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert Deskriptive Statistik dimesioale Date Date ud Häufigkeite Seite Nomial Ordial Metrisch (Kardial Metrisch klassiert Beschreibug: Date habe keie atürliche Reihefolge. Bsp: Farbe, Religio, Geschlecht, Natioalität...

Mehr

Anwendung für Mittelwerte

Anwendung für Mittelwerte Awedug für Mittelwerte Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit icht zufällig?... beobachtete Mittelwert zufällig Statistik für SoziologIe 1

Mehr

Stochastisches Integral

Stochastisches Integral Kapitel 11 Stochastisches Itegral Josef Leydold c 26 Mathematische Methode XI Stochastisches Itegral 1 / 2 Lerziele Wieer Prozess ud Browsche Bewegug Stochastisches Itegral Stochastische Differetialgleichug

Mehr

Parameter von Häufigkeitsverteilungen

Parameter von Häufigkeitsverteilungen Kapitel 3 Parameter vo Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte Mo Der Modus (:= häufigster Wert, Abk.: Mo) ist der Merkmalswert mit der größte Häufigkeit, falls es eie solche gibt. Er sollte ur bei eigipflige

Mehr

2 ISO/BIPM-Leitfaden Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008 überarbeitet, die deutsche Fassung ist [3])

2 ISO/BIPM-Leitfaden Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, GUM (2008 überarbeitet, die deutsche Fassung ist [3]) I- Messusicherheite: Lit.: Prof. Dr. Gerz Wahrscheilichkeitsrechug ud Usicherheitsberechug IO/BIPM-Leitfade Guide to the Epressio of Ucertaity i Measuremet, GUM (008 überarbeitet, die deutsche Fassug ist

Mehr

Aufgaben zur Übung und Vertiefung

Aufgaben zur Übung und Vertiefung Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,

Mehr

Normierte Vektorräume

Normierte Vektorräume Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y,

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Repetitionsaufgaben Potenzfunktionen

Repetitionsaufgaben Potenzfunktionen Repetitiosaufgabe Potezfuktioe Ihaltsverzeichis A) Vorbemerkuge/Defiitio 1 B) Lerziele 1 C) Etdeckuge (Graphe) 2 D) Zusammefassug 7 E) Bedeutug der Parameter 7 F) Aufgabe mit Musterlösuge 9 A) Vorbemerkuge

Mehr

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten Zur Ableitug zulässiger Messusicherheite aus Toleraze bei Igeieurvermessuge a Krabahe Has Schulz Vo de jeweilige Herstelltoleraze ist für die Vermessug ei bestimmter Ateil die Vermessugstoleraz vorzusehe,

Mehr

Klausur vom

Klausur vom UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Domiik Faas Stochastik Witersemester 00/0 Klausur vom 7.0.0 Aufgabe 3+.5+.5=6 Pukte Bei eier Umfrage wurde 60 Hotelbesucher ach ihrer Zufriedeheit

Mehr

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

Folgen und Reihen. 23. Mai 2002 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Sind Sie mit unserem Angebot zufrieden? ja nein weiß nicht

Sind Sie mit unserem Angebot zufrieden? ja nein weiß nicht STATISTIK Eiführug Statistik kommt vom italieische Wort statistica, was so viel wie Staatsma bedeutet. Früher verwedete ma de Begriff ur für eie Auswertug vo Date (Klima, Bevölkerug, Bräuche,...) eies

Mehr

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,

Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id, Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits

Mehr

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008

BINOMIALKOEFFIZIENTEN. Stochastik und ihre Didaktik Referentin: Iris Winkler 10.11.2008 Stochasti ud ihre Didati Refereti: Iris Wiler 10.11.2008 Aufgabe: Führe Sie i der Seudarstufe II die Biomialoeffiziete als ombiatorisches Azahlproblem ei. Erarbeite Sie mit de Schülerie ud Schüler mithilfe

Mehr

Teil II Zählstatistik

Teil II Zählstatistik Teil II Zählstatistik. Aufgabestellug. Vergleiche Sie experimetelle Zählverteiluge mit statistische Modelle (POISSON-Verteilug ud Normalverteilug) 2. Theoretische Grudlage Stichworte zur Vorbereitug: Impulszahl,

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)

LV Grundlagen der Informatik Programmierung in C (Teil 2) Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr