Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen"

Transkript

1 Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005

2 Aufgaben

3 Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die drei Maschinentypen A, B, und C passieren müssen. Die folgende Tabelle enthält die notwendigen Bearbeitungszeiten pro Mengeneinheit (ME), die monatlich zur Verfügung stehenden Maschinenkapazitäten und den Gewinn pro Mengeneinheit in Geldeinheiten (GE) für jedes Produkt: Bearbeitungszeit in h/me Maschinenkapazität Maschine P 1 P 2 in h A B C Gewinn in GE/ME 2 3 a) Bestimmen Sie das Produktionsprogramm, bei dem der Betrieb seinen höchsten Gewinn erzielt. b) Zur zweiten Komponente der Zielfunktion wird der Parameter t 2 addiert, d. h. p 2 = 3 + t 2. Wie stark kann t 2 variieren, ohne daß die optimale Basislösung aus a) ihre Optimalitätseigenschaft verliert? c) Zur zweiten Komponente des Restriktionsvektors wird der Parameter t 2 addiert, d. h. b 2 = t 2. Wie stark kann t 2 variieren, ohne daß die optimale Basislösung aus a) ihre Zulässigkeitseigenschaft verliert? d) Zu dem linearen Programm aus a) wird eine neue Variable x 3 mit dem Zielfunktionskoeffizienten p 3 = 2 und den technischen Koeffizienten a 13 = 3, a 23 = 2, a 33 = 2 hinzugefügt. Bestimmen Sie unter Berücksichtigung von x 3 dasjenige Produktionsprogramm, das den höchsten Gewinn erzielt. 1

4 Aufgabe 42 Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem: min 4x 1 + 3x 2 + 4x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 10 x 1 x 2 + 3x 3 0 x 1, x 2, x 3 0 a) Bestimmen Sie alle optimalen Lösungen und den zugehörigen Zielfunktionswert mit dem dualen Simplexverfahren. b) In welchem Intervall darf sich der Zielfunktionskoeffizient p 1 (der oben den Wert 4 besitzt) bewegen, ohne daß eine optimale Basislösung aus a) ihre Optimalitätseigenschaft verliert? c) In welchem Intervall darf sich der Restriktionsvektorkoeffizient b 2 bewegen, ohne daß eine optimale Basislösung aus a) unzulässig wird? Aufgabe 43 Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem: (P) max 40x x x 3 6x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + 6x x 1, x 2, x 3 0 a) Formulieren Sie das zu (P) duale Programm (D). b) Lösen Sie das duale Programm (D) grafisch. Markieren Sie den Zulässigkeitsbereich und geben Sie die optimale Lösung sowie den zugehörigen Zielfunktionswert an. c) Zu (P) wird eine zusätzliche Variable x 4 mit dem Zielfunktionskoeffizienten p 4 = 120 und dem Koeffizientenvektor a.4 = ( 11 15) hinzugefügt. Untersuchen Sie, ob sich die optimale Lösung von (D) ändert. d) Geben Sie unter Verwendung des Satzes vom komplementären Schlupf (Optimierung I, 5.14) die optimale Lösung und den zugehörigen Zielfunktionswert für (P) an. 2

5 Aufgabe 44 Gegeben sind die zueinander dualen Probleme P : max (x 1 + 2x 2 ), x 1 + x 2 4, x 1 3, x 2 3, x 0 D : min (4y 1 + 3y 2 + 3y 3 ), y 1 + y 2 1, y 1 + y 3 2, y 0 a) Geben Sie für beide Probleme alle Optimallösungen sowie den Zielfunktionswert mit Hilfe des primalen und dualen Simplexverfahrens an. b) Versuchen Sie, die Lösung von P und D auch graphisch nachzuvollziehen. c) Wie stark können t 1, t 2 IR variieren, ohne daß die optimale Basislösung von D mit der Zielfunktion ZF (t 1 ) = (4 + t 1 ) y 1 + 3y 2 + 3y 3 bzw. ZF (t 2 ) = 4y 1 + (3 + t 2 ) y 2 + 3y 3 ihre Zulässigkeitseigenschaft verliert? (Hinweis: Benutzen Sie das Problem P.) Aufgabe 45 Gehen Sie von den Endtableaus zu P bzw. D aus Aufgabe 44 a) aus. Mit Hilfe der in Kapitel 10 entwickelten Methoden sind beide Aufgaben P und D zu lösen, wenn alternativ a) die Nebenbedingung x 2 3 in P gestrichen wird, b) die Nebenbedingung x 1 + 2x 2 2 in P hinzugefügt wird, c) die Nebenbedingung 2y 1 + y 2 2 in D hinzugefügt wird, d) die Variable y 3 0 in D eliminiert werden soll. Aufgabe 46 Lösen Sie das Problem (2 t) x 1 x 2 max 3x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 und geben Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von t explizit an. Stellen Sie die Zielfunktion in Abhängigkeit von t graphisch dar. 3

6 Aufgabe 47 Man löse folgende lineare Programme mit einem Parameter: a) in der Zielfunktion g(x, t) = (3 + t)x 1 + 2x 2 + t max Nebenbedingungen: x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 6 Aufgabe 48 x 1, x 2 0 b) in dem Beschränkungsvektor g(x) = 3x 1 + 2x 2 max Nebenbedingungen: x 1 + 2x t 2x 1 + x 2 6 3t x 1, x 2 0 Gegeben ist das folgende parametrische lineare Optimierungsproblem: x 1 2x 2 + x 3 max unter x 1 + x 2 = 5 + t x t x 1, x 2, x 3 0, t IR Die Menge aller t IR, für die Optimallösungen existieren, sei mit T bezeichnet. a) Berechnen Sie die Menge T sowie die Optimallösungen x (t) für alle t T. b) Erstellen Sie eine graphische Darstellung des optimalen Zielfunktionswertes in Abhängigkeit von t T. Aufgabe 49 Gegeben ist das parametrische (t IR) lineare Optimierungsproblem: max (x 1 + x 2 + x 3 ) mit A) 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 + t x 1, x 2, x 3 0 B) x 1 + x 2 = 1 + t C) x 1 + x 2 x 3 = t a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Problems in Abhängigkeit von t durch Lösung des Gleichungssystems für x 1, x 2, x 3 0. b) Mit Hilfe von a) ermittle man alle Optimallösungen des Problems sowie den Zielfunktionswert in Abhängigkeit von t. c) Lösen Sie das Optimierungsproblem für t 0 mit Hilfe der Zweiphasenmethode. Hinweis: Mit einer geschickten Auswahl der jeweiligen Pivotspalte kann man sich eine Fallunterscheidung für die möglichen Parameterwerte von t ersparen. 4

7 Aufgabe 50 Eine Sportartikelfirma stellt in ihren vier Verkaufsstellen Differenzen zwischen den Bestandsund Bedarfsmengen eines Saisonartikels fest: Verkaufsstelle Bestandsmenge Bedarfsmenge Um die Bestandsmengen an die Bedarfsmengen anzupassen, sind Transporte zwischen den Verkaufsstellen notwendig, deren Kosten pro Einheit durch die Matrix C 0 gegeben sind: C 0 = a) Welche Mengen x ij (i j) sind zwischen den Verkaufsstellen zu transportieren, wenn die Gesamttransportkosten minimiert werden sollen und außerdem diejenigen Verkaufsstellen, deren Bedarf größer als ihr Bestand ist, nichts abgeben? Geben Sie auch die minimalen Gesamttransportkosten explizit an. b) Prüfen Sie, ob die gefundene Lösung eindeutig ist. Geben Sie gegebenenfalls eine Begründung. Aufgabe 51 Von den drei Lagern L 1, L 2, L 3 sind die drei Kaufhäuser K 1, K 2, K 3 mit einem bestimmten Gut zu beliefern. Folgende Tabellen geben an, wie viele Mengeneinheiten dieses Gutes in L i vorrätig sind bzw. in K j benötigt werden: in: L 1 L 2 L 3 in: K 1 K 2 K 3 Vorrat: Bedarf: Der Transport einer Mengeneinheit von Lager L 1 zu einem der Kaufhäuser K j, j = 1,..., 3, kostet jeweils 9 Geldeinheiten; die entsprechenden Transportkosten pro Mengeneinheit für die Lager L 2 und L 3 sind folgender Tabelle zu entnehmen: nach: K 1 K 2 K 3 von L 2 : von L 3 : Bestimmen Sie eine Optimallösung zu diesem Transportproblem und geben Sie die dabei entstehenden Gesamttransportkosten an. 5

8 Aufgabe 52 Zwei Unternehmen U1, U2 werden von drei Lägern L1, L2, L3 bedient, in denen jeweils 80 Mengeneinheiten eines homogenen Gutes lagern. Unternehmen U1 benötigt 140 Mengeneinheiten und Unternehmen U2 benötigt 60 Mengeneinheiten dieses Gutes. Die Transportkosten pro Mengeneinheit sind in der folgenden Tabelle angegeben (Angaben in Geldeinheiten): U1 U2 L L L In jedem Lager entstehen gegebenenfalls Lagerkosten von jeweils 2 Geldeinheiten pro Mengeneinheit. a) Bestimmen Sie die transportkostenminimalen Lieferungen. b) Geben Sie die resultierenden Gesamtkosten an. c) Zeigen Sie, daß für ein beliebiges Standardtransportproblem mit d = m a i = n i=1 b j j=1 die Variablenwerte x ij = a i b j d eine zulässige Lösung darstellen. i = 1,...,m; j = 1,..., n Aufgabe 53 Auf 5 Baustellen B 1,..., B 5 steht je ein Kran. Vier dieser Kräne sind auf je eine neue Baustelle N 1, N 2, N 3, N 4 zu bringen. Mit der Entfernungstabelle N 1 N 2 N 3 N 4 B B B B B soll die insgesamt zurückzulegende Wegstrecke minimiert werden. Man bestimme a) eine zulässige Lösung mit der Nordwesteckenregel, b) eine optimale Lösung mit dem MODI Verfahren. 6

9 Aufgabe 54 Lösen Sie das in Aufgabe 53 gestellte Problem mit Hilfe des Branch and Bound Verfahrens aus Kapitel 13. Aufgabe 55 Vier Werkstücke können auf vier Maschinen mit unterschiedlichem Energieverbrauch bearbeitet werden, der in der folgenden Tabelle angegeben ist: Maschine Werkstück Das Symbol in der Verbrauchstabelle schließt entsprechende Zuordnungen generell aus. Unter der Voraussetzung, daß jede Maschine genau einmal zum Einsatz kommt, bestimme man a) eine verbrauchsminimale Zuordnung der vier Werkstücke zu den Maschinen, b) die maximal mögliche Energieeinsparung bei Realisierung von a). c) Unter der Voraussetzung, daß jede der Maschinen auch für mehr als eines der vier Werkstücke eingesetzt werden kann, beantworte man a) und b). d) Man löse a) mit Hilfe eines geeigneten Branch and Bound Verfahrens. 7

10 Aufgabe 56 Gegeben sei das folgende Straßennetz mit Entfernungsbewertungen: A B 4 6 D 3 C a) Von A ausgehend soll ein kürzester Rundweg durch alle Orte und wieder zurück zu A ermittelt werden. b) Wie sieht ein kürzester Rundweg aus, wenn die Strecke von A nach D ausgeschlossen werden soll? c) Wie sieht der kürzeste Rundweg aus, wenn die Strecke von C nach B einzubeziehen ist? Zur Beantwortung der Fragen a) und c) ist das in Kapitel 13 der Vorlesung Optimierung II angegebene Branch and Bound Verfahren anzuwenden. Aufgabe 57 Auf einer Maschinenanlage sollen 4 Aufträge gefertigt werden, zu denen die Anlage jeweils umgerüstet werden muß. Die Kosten dafür hängen von der Reihenfolge der Auftragsfertigung ab und sind in der folgenden Tabelle angegeben: zu Auftrag A 1 A 2 A 3 A 4 Kosten der von A Umrüstung von A von A von A Die entsprechenden Kosten für die Anfangsrüstung und die Reinigung nach Abschluß der Aufträge sind: Auftrag A 1 A 2 A 3 A 4 Startkosten Schlußreinigung In welcher Reihenfolge sind die Aufträge kostenminimal durchzuführen? 8

11 Aufgabe 58 Der Absatz x t eines Produktes in der Periode t+1 sei abhängig vom Preis p t und dem Absatz x t 1 der Vorperiode. Man löse das dynamische Optimierungsproblem 3 t=1 u t (x t 1, p t ) = 3 t=1 x t 1 p t max mit den Nebenbedingungen x 0 = 10, p t {1, 2} und x t = x t p t für t = 1, 2, 3 mit Hilfe des Bellman schen Optimalitätsprinzips. Man gebe den optimalen Zustands- und den optimalen Entscheidungsvektor sowie den Umsatz an. Aufgabe 59 In Aufgabe 58 ersetze man die Zielfunktion durch min t u t (x t 1, p t ) = min t x t 1 p t max. Man interpretiere diese Zielsetzung und löse das Problem entsprechend zu Aufgabe 58. Aufgabe 60 Gegeben sei das mehrstufige Optimierungsproblem mit den Zustandsvariablen z 0 = 10, z 1, z 2 0, z 3 = 0, den Entscheidungsvariablen x 1 [0, z 0 ], x 2 [0, z 1 ], x 3 = z 2 und den Beziehungen z t = z t 1 x t (t = 1, 2, 3). Die Zielsetzung sei min (x x x2 3 ). Lösen Sie dieses Problem mit Hilfe des Bellman Algorithmus und geben Sie die optimale Lösung (z1, z 2, x 1, x 2, x 3 ) sowie den Zielfunktionswert an. 9

12 Aufgabe 61 Vier Werbebotschaften sind auf drei Medien so aufzuteilen, daß die Gesamtreichweite maximal ist. Die einzelnen Reichweiten entnehme man der Tabelle: Anzahl der Werbebotschaften Medium Medium Medium Man stelle das Problem als dynamisches Optimierungsproblem dar und löse es. Aufgabe 62 Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2 mit f 1 (x) = e x + x ln x f 2 (x 1, x 2 ) = 2x 1 x 2 2x 2 1 x2 2. a) Für welche x IR bzw. (x 1, x 2 ) IR 2 sind die Funktionen f 1, f 2 konvex bzw. konkav? b) Gegeben sind die konvexen Funktionen f 1,...,f m : IR IR. Zeigen Sie allgemein, daß f : IR IR mit f(x) = max i=1,...,m f i(x) konvex ist. c) Für f 1, f 2 : IR IR mit f 1 (x) = x, f 2 (x) = x2 2 veranschauliche man die Aussage b) graphisch und gebe f(x) = max f i(x) explizit an. i=1,2 Aufgabe 63 Gegeben sei das Optimierungsproblem: a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. max (6x 1 + 8x 2 ) mit (x 1 1) 2 + x x 1 x 2 2 x 1, x 2 0 b) Zeigen Sie, daß das gegebene Optimierungsproblem mit der Zielfunktion min ( 6x 1 8x 2 ) anstatt max (6x 1 + 8x 2 ) konvex ist und die Slaterbedingung erfüllt ist. c) Überprüfen Sie die in a) erhaltene Optimallösung mit Hilfe der lokalen Kuhn-Tucker Bedingungen. 10

13 Aufgabe 64 Gegeben sei die nichtlineare Optimierungsaufgabe: min (4x x2 2 + x2 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 4 x 2 + 2x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 a) Zeigen Sie, daß ein konvexes Optimierungsproblem vorliegt. b) Geben Sie einen inneren Punkt, einen Randpunkt und einen Eckpunkt des zulässigen Bereichs an. c) Welche der zulässigen Lösungen (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 1) oder (0, 1, 1) erfüllt die lokalen Kuhn Tucker Bedingungen? Ist eine der beiden zulässigen Lösungen optimal? Aufgabe 65 Gegeben sei das Optimierungsproblem g(x 1, x 2 ) = (x 1 6) 2 + x 2 min unter der Nebenbedingung x 2 1 x 2 ( ) x1 sowie mit IR 2 +. x 2 a) Schreiben Sie die Nebenbedingung in der Form f(x 1, x 2 ) 0 und zeigen Sie (mit Hilfe der Hesse Matrizen), daß die Funktionen f und g konvex sind. b) Berechnen Sie alle Optimallösungen des obigen Optimierungsproblems mit Hilfe des Satzes von Kuhn Tucker und ermitteln Sie den Zielfunktionswert. Hinweis: Zeigen Sie, daß die Slater Bedingung erfüllt ist. 11

14 Aufgabe 66 Gegeben sei das Optimierungsproblem: (x 1 2) 2 + x ex 3 min x 1 x 2, (x 1 + x 2 ) 2 + x 2 3 4, x i 0 a) Weisen Sie nach, daß es sich um ein konvexes Optimierungsproblem handelt. b) Stellen Sie die Lagrange Funktion und die Kuhn Tucker Bedingungen auf. c) Zeigen Sie, daß der Vektor (x 1, x 2, x 3 ) = (1, 1, 0) die einzige Optimallösung des obigen Optimierungsproblems ist, und geben Sie den optimalen Zielfunktionswert an. d) Geben Sei sämtliche Sattelpunkte der Lagrange Funktion an. Aufgabe 67 (s. Optimierung I, 9.11) Das binäre Optimierungsproblem max (80x x x x x 5 ) mit 20x x x 3 + 2x x x x x 3 + 8x x x 1 + 6x x x x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 {0, 1} ist mit Tabu Search zu lösen. Dabei ist von den Startfestlegungen k = 2, t max = 9, x 0T = (1, 1, 0, 1, 1) auszugehen. 12

15 Aufgabe 68 (s. Optimierung II, 13.2) Für ein quadratisches Zuordnungsproblem sei die Kostenmatrix C B 1 B 2 B 3 B 4 A A A A gegeben. Mit den Startfestlegungen k = 1, t max = 10 sowie der Startlösung x : bzw , g(x0 ) = ist eine gesamtkostenminimale Zuordnung mit Hilfe von Tabu Search zu ermitteln. Dabei verwende man: N(x t ) = {x zulässig : x entsteht aus x t durch genau einen Austausch von 2 Einsen} Aufgabe 69 (s. Optimierung II, 17.6) Lösen Sie das nichtlineare Optimierungsproblem min [(x 1 6) 2 + x 2 ] = min g(x) mit x 2 1 x 2, x 1, x 2 0 mit Threshold Accepting sowie den Startfestlegungen α = 0.1, β = 0.8, γ = 2, d = 1, x 0 = ( 3 10), g(x 0 ) = 19, s min = 1, c max = 2. Zufällige Nachbarlösungen seien x 11 = ( ) ( ), x 12 3 ( ) = für t = 1 und x ( =, x 22 2 = ) für t = 2. 13

16 Aufgabe 70 Gegeben sei das ganzzahlige lineare Optimierungsproblem sowie die zulässige Startlösung max g(x) = max (x 1 + 3x 2 + 2x 3 ) mit x 1 + x 2 + 2x 3 20 x 1 + 4x 2 + 2x 3 30 x 1, x 2, x 3 Z + x 0 = (0, 3, 8) mit g(x 0 ) = 25. Zur Lösung ist das Prinzip des Threshold Accepting mit anzuwenden. Ferner sei α = 0.05, β = 0.8, γ = 2, d = 1, s min = 0.5, c max = 2 N(x t ) = {x zulässig : x variiert gegenüber x t in genau einer Komponente} und anstatt der zufälligen Auswahl von Lösungen aus N(x t ) bestimme man die besten c t Lösungen aus N(x t ). Aufgabe 71 Zum Elternpaar (x 2, x 4 ) aus Beispiel 17.3 bestimme man alle möglichen 1 Punkt Crossover Lösungen ohne Mutation und prüfe die Ergebnisse auf ihre Zulässigkeit. Aufgabe 72 Gegeben sei die Population P t mit folgenden Fitnesswerten: Lösung x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Fitness Berechnen Sie die Auswahlwahrscheinlichkeiten für eine fitnessproportionale sowie eine rangbasierte Elternauswahl. Wie viele Möglichkeiten der Zufallsauswahl von 4 fitnessproportionalen bzw. rangbasierten Elternpaaren nach 17.4 gibt es? 14

17 Aufgabe 73 Für das binäre Optimierungsproblem der Aufgabe 67 seien die folgenden zulässigen Lösungen x 1T : ( ) x 2T : ( ) x 3T : ( ) x 4T : ( ) sowie die Elternpaare (x 1, x 2 ), (x 3, x 4 ) gegeben. a) Mit Hilfe von 1 Punkt Crossover nach der 2. Position (z.b ) ermittle man eine neue Population gemäß Eliteselektion, wobei eine Mutation der Nachkommen außer Acht gelassen werden soll. b) Zeigen Sie, daß die Lösung von a) unverändert bleibt, wenn das 1 Punkt Crossover nach der 3. Position erfolgt. Aufgabe 74 Das nichtlineare Optimierungsproblem min (4x x2 2 + x2 3 ) mit x 1 + x 2 + x 3 4 x 2 + 2x 3 3 x 1, x 2, x 3 0 ist mit einem evolutionären Algorithmus der Form 17.7 mit p = 4, r = 6, σ = τ = 0 (ohne Mutation), t max = 1 zu analysieren. Die Startpopulation P 0 bestehe aus den zulässigen Lösungen ) ) ) ) x 1 = ( 1 1 1, x 2 = ( 0 3 0, x 3 = ( 0 1 2, x 4 = ( 0 1 1, aus denen die 6 Elternpaare (x 1, x 2 ), (x 1, x 3 ), (x 1, x 4 ), (x 2, x 3 ), (x 2, x 4 ), (x 3, x 4 ) gebildet werden. Bestimmen Sie alle Nachkommen mit intermediärer Rekombination sowie eine neue Population P 1 gemäß Eliteselektion. 15

18 Aufgabe 75 Das ganzzahlige Optimierungsproblem max (2x 1 + 3x 2 ) mit x 1 + 2x 2 8 2x 1 + x 2 9 x 1, x 2 Z + besitzt die Optimallösung x T = (2, 3) mit ZF(x ) = 13. Zu p = 3, r = 5, σ = 1.48, τ = 0.2 sowie den rekombinierten Nachkommen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1, 2, 3, 4 führe man eine Mutation mit den Realisationen ŝ = 1 sowie ( ) ( ) ( ) ( ẑ j = 0.2, 0.6, 0.6, 0.3 ), ( ) von N(0, 1) verteilten Zufallsvariablen durch und ermittle eine neue Population gemäß Eliteselektion, wobei nichtganzzahlige mutierte Nachkommen in geeigneter Weise zu runden sind. 16

19 Lösungen

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298

Einführung. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Kapitel 1 Einführung Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2015 14 / 298 Inhalt Inhalt 1 Einführung Was ist Operations Research? Planungsprozess im OR Peter Becker (H-BRS) Operations

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte)

Diplomprüfung. Operations Research I WS 2007/2008 (4 Punkte) Dr. Jörg Kalcsics 11.0.008 Diplomprüfung (Wiederholungsprüfung gem. NPO) Operations Research I WS 007/008 ( Punkte) Vorbemerkung: Zugelassene Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner. Beginnen

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Lineare Optimierung Ergänzungskurs

Lineare Optimierung Ergänzungskurs Lineare Optimierung Ergänzungskurs Wintersemester 2015/16 Julia Lange, M.Sc. Literatur Werner, F.; Sotskov, Y.N. (2006): Mathematics of Economics and Business; Routledge; London Bemerkungen Diese Unterlagen

Mehr

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen!

Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 2009. Prüfungsbogen. Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Klausur: 1122 1 von 12 Prüfung: Produktion, Logistik und Operations Research SS 29 Prüfer: Prof. Dr. Karl Inderfurth Prüfungsbogen Vom Klausurteilnehmer auszufüllen! Name, Vorname : Fakultät : Matrikelnummer

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Mathematik-Klausur vom 2. Februar 2006

Mathematik-Klausur vom 2. Februar 2006 Mathematik-Klausur vom 2. Februar 26 Studiengang BWL DPO 1997: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang B&FI DPO 21: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang BWL DPO 23:

Mehr

Mathematische Planungsverfahren

Mathematische Planungsverfahren Mathematische Planungsverfahren Stefan Etschberger Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg 12 April 2005 Organisatorisches Literatur Starke Orientierung an Hauke/Opitz:

Mehr

Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler

Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Wintersemester 2005/06 20.2.2006 Prof. Dr. Jörg Rambau Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname:

Mehr

ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES LINEARE OPTIMIERUNG

ARBEITSUNTERLAGEN ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER UNIVERSITÄT DES SAARLANDES LINEARE OPTIMIERUNG ¾ REITSUNTERLGEN ZUR VORLESUNG UND ÜUNG N DER UNIVERSITÄT DES SRLNDES LINERE OPTIMIERUNG IM SS Lineare Optimierung (SS ). ufgabe (Graphische Lineare Optimierung) Nach einem anstrengenden Semester steht

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015

Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung Quantitative Methoden der Betriebswirtschaftslehre I Frühjahrssemester 2015 Universität Bern Bern, den. März Professur für Quantitative Methoden der BWL Schützenmattstr., Bern Prof. Dr. Norbert Trautmann, Oliver Strub E-Mail: oliver.strub@pqm.unibe.ch Aufgabenblatt 6 zur Lehrveranstaltung

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII Inhaltsverzeichnis Vorwort................................................................. V Symbolverzeichnis...................................................... XIII Kapitel 1: Einführung......................................................

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung Teil II Optimierung Gliederung 9 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 10 Lineare Optimierung 11 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung 12 Dynamische Optimierung Literatur: zu 10-12: Neumann,

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte

Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Einführung in die Mathematik für Volks- und Betriebswirte Von Prof. Dr. Heinrich Bader und Prof. Dr. Siegbert Fröhlich Mit 45 A bbildungen 8. A uflage R. Oldenbourg Verlag München Wien INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

Produktionsplanung und Lineare Optimierung im Rahmen des Projekts Mathematik und Ökonomie 12./13. November 2003 in Düsseldorf.

Produktionsplanung und Lineare Optimierung im Rahmen des Projekts Mathematik und Ökonomie 12./13. November 2003 in Düsseldorf. Übungsaufgaben Aufgabe 1a Medikamentenmischung Ein Pharmaziehersteller möchte ein neues Medikament auf den Markt bringen. Das Medikament kann aus vier verschiedenen Komponenten (K1 K4) zusammengestellt

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Ü5.1: Die entsprechende Bellman sche Funktionalgleichung kann angegeben werden als: Vct (, ) = max qt D { r rt t ( min{ q t, c} ) min{ q t, c} Vc ( min{ q t,

Mehr

Mathematik-Klausur vom 28.01.2008

Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Studiengang BWL PO 1997: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang B&FI PO 2001: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang BWL PO 2003: Aufgaben

Mehr

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

Kapitel 2. Mathematik für Mikroökonomie

Kapitel 2. Mathematik für Mikroökonomie Kapitel Mathematik für Mikroökonomie 1 Mathematik der Optimierung Ökonomische Theorien basieren auf der Annahme, dass die Agenten versuchen, den optimalen Wert einer Funktion zu wählen. Konsumenten maximieren

Mehr

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen

Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Fachhochschule Bochum Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Wirtschaftsingenieurwesen Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Prüfung: Mathematik Termin: August 2008 Bearbeitungszeit: 180 Minuten

Mehr

Operations Research für Wirtschaftsinformatiker. Vorlesungsskript von Richard Mohr

Operations Research für Wirtschaftsinformatiker. Vorlesungsskript von Richard Mohr Operations Research für Wirtschaftsinformatiker Vorlesungsskript von Richard Mohr Fachhochschule Esslingen, SS 2005 INHALTSVERZEICHNIS i Inhaltsverzeichnis Lineare Optimierung. Graphische Lösung des linearen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 8.02.11

Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 8.02.11 HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 8.02.11 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 6 gesamt erreichbare P. 6 10 12 12

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler

Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Wintersemester 2007/08 27.2.2008 Dr. Sascha Kurz Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname: Anschrift:

Mehr

Grundlagen und Basisalgorithmus

Grundlagen und Basisalgorithmus Grundlagen und Basisalgorithmus Proseminar -Genetische Programmierung- Dezember 2001 David König Quelle: Kinnebrock W.: Optimierung mit genetischen und selektiven Algorithmen. München, Wien: Oldenbourg

Mehr

Mathematik-Klausur vom 4.2.2004

Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Mathematik-Klausur vom 4.2.2004 Aufgabe 1 Ein Klein-Sparer verfügt über 2 000, die er möglichst hoch verzinst anlegen möchte. a) Eine Anlage-Alternative besteht im Kauf von Bundesschatzbriefen vom Typ

Mehr

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen - Einführung in die Theorie, Numerische Methoden und Anwendungen Dr. Abebe Geletu Ilmenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes

Mehr

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aufgabenkomplex 5: Hauptachsentransformation, Lineare Optimierung, Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zunächst die kritischen Stellen und entscheiden

Mehr

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206

Unimodularität. Kapitel 1. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Kapitel 1 Unimodularität Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2015/16 11 / 206 Inhalt 1 Unimodularität Total unimodulare Matrizen Inzidenzmatrix Optimierungsprobleme auf Graphen Peter

Mehr

Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 1_Fallstudie)

Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 1_Fallstudie) (Die Thesen zur Vorlesung 1_Fallstudie) das Thema der Vorlesung Grundlagen der Methode der linearen Optimierung (Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des ) Prof. Dr. Michal Fendek

Mehr

Logistik: Rundreisen und Touren

Logistik: Rundreisen und Touren Logistik: Rundreisen und Touren 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Von Universitätsprofessor Dr. Wolfgang

Mehr

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe

Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010. Prof. Dr. S. Dempe Skript zur Vorlesung Optimierung linearer Modelle Gültig ab Sommersemester 2010 Prof. Dr. S. Dempe Inhaltsverzeichnis Kapitel 0. Einleitung 5 0.1. Historische Entwicklung 5 0.2. Begriff des Operations

Mehr

Aufgabe 1: Bestimmen Sie Zahlen a b. ,, für die. = b. und gleichzeitig a + b + 1 = 0 gilt. Lösung zu Aufgabe 1:

Aufgabe 1: Bestimmen Sie Zahlen a b. ,, für die. = b. und gleichzeitig a + b + 1 = 0 gilt. Lösung zu Aufgabe 1: WS 99/99 Aufgabe : Bestimmen Sie Zahlen a b,, für die 6 b a und gleichzeitig a + b + gilt. Lösung zu Aufgabe : WS 99/99 Aufgabe : Ein Unernehmen stellt aus ohstoffen (,,, ) Zwischenprodukte ( Z, Z, Z )

Mehr

Übungsserie 11: Modellierung

Übungsserie 11: Modellierung HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Lineare Optimierung Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie : Modellierung Die über die Modellierung

Mehr

Doing Economics with the Computer Sommersemester 2002. Excel Solver 1

Doing Economics with the Computer Sommersemester 2002. Excel Solver 1 Universität Bern Kurt Schmidheiny / Manuel Wälti Doing Economics with the Computer Sommersemester 2002 Excel Solver 1 Mit dem Solver unterstützt Excel eine Funktion, mit der u.a. komplex verschachtelte

Mehr

Mathematik Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1

Mathematik Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1 Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Aufgabe 1 1 Analysis 1.1 Erläutern Sie anhand einer Skizze, ob das Integral π sin(x)dx π 2 größer, kleiner oder gleich Null ist. 1.2 Für eine Funktion f gilt: 3 (1) f (x) = 0

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des

Mehr

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni 2004-1- Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung

Mehr

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1

Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011. Übungsblatt 1 Universität Heidelberg Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Graduiertenschule HGS MathComp Dr. Stefan Körkel Magdalena Gottfried Übungen zur Linearen Optimierung Sommersemester 2011

Mehr

Übungsaufgaben. Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Teil 1: Lineare Algebra und Optimierung.

Übungsaufgaben. Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Teil 1: Lineare Algebra und Optimierung. Übungsaufgaben Grundkurs Höhere Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Teil : Lineare Algebra und Optimierung Wintersemester Matrizenrechnung Aufgabe ( 3 0 Gegeben sind die Matrizen A = 2 5 2 4 D =

Mehr

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem

Mehr

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen

Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf

Mehr

Mathematische Optimierung. Volker John

Mathematische Optimierung. Volker John Mathematische Optimierung Volker John Sommersemester 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 I Lineare Optimierung 6 1 Grundlagen 7 2 Geometrische Deutung des Linearen Programms 10 3 Basislösungen eines

Mehr

Einführung in die Mathematische Optimierung

Einführung in die Mathematische Optimierung Einführung in die Mathematische Optimierung Rainer E. Burkard Technische Universität Graz Institut für Mathematik Steyrergasse 30 A-800 Graz, Austria burkard@opt.math.tu-graz.ac.at 2 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Mathematik-Klausur vom 08.02.2012 Finanzmathematik-Klausur vom 01.02.2012

Mathematik-Klausur vom 08.02.2012 Finanzmathematik-Klausur vom 01.02.2012 Mathematik-Klausur vom 08.02.2012 Finanzmathematik-Klausur vom 01.02.2012 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3, Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3, Dauer der Klausur: 60

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 20.02.2015

Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 20.02.2015 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am 20.02.205 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 2 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare P.

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher

Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung. Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher Planen mit mathematischen Modellen 00844: Computergestützte Optimierung Leseprobe Autor: Dr. Heinz Peter Reidmacher 11 - Portefeuilleanalyse 61 11 Portefeuilleanalyse 11.1 Das Markowitz Modell Die Portefeuilleanalyse

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

1 Der Simplex Algorithmus I

1 Der Simplex Algorithmus I 1 Nicoletta Andri 1 Der Simplex Algorithmus I 1.1 Einführungsbeispiel In einer Papiermühle wird aus Altpapier und anderen Vorstoffen feines und grobes Papier hergestellt. Der Erlös pro Tonne feines Papier

Mehr

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse

Mehr

Funktionaler Zusammenhang. Lehrplan Realschule

Funktionaler Zusammenhang. Lehrplan Realschule Funktionaler Bildungsstandards Lehrplan Realschule Die Schülerinnen und Schüler nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge, erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge

Mehr

Microsoft Excel 2010 Solver

Microsoft Excel 2010 Solver Hochschulrechenzentrum Justus-Liebig-Universität Gießen Microsoft Excel 2010 Solver Solver in Excel 2010 Seite 1 von 11 Inhaltsverzeichnis Einleitung... 2 Solver installieren... 2 Die Problemstellung

Mehr

Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe

Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe ei Vorliegen mehrerer Engpässe ist zunächst zu prüfen, ob ein Engpass die anderen Engpässe dominiert. Ist dies der Fall, reduziert sich das Optimierungsproblem auf den

Mehr

Bearbeiten Sie alle sechs Aufgaben A1-A6 und eine der zwei Aufgaben B1-B2!

Bearbeiten Sie alle sechs Aufgaben A1-A6 und eine der zwei Aufgaben B1-B2! Bachelor-Kursprüfung International Finance Schwerpunktmodule Finanzmärkte und Außenwirtschaft 6 Kreditpunkte, Bearbeitungsdauer: 90 Minuten SS 2015, 22.07.2015 Prof. Dr. Lutz Arnold Bitte gut leserlich

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme

Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung. 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Newton-Verfahren zur gleichungsbeschränkten Optimierung Armin Farmani Anosheh (afarmani@mail.uni-mannheim.de) 3.Mai 2016 1 Gleichungsbeschränkte Optimierungsprobleme Einleitung In diesem Vortrag geht es

Mehr

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)

Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) 1 Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14) Einleitung Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 11. Oktober 2013) 2 Kommunikationsnetzwerke...

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Mathematische Optimierung

Mathematische Optimierung Mathematische Optimierung Geschrieben von Jan Pöschko auf Grundlage der Vorlesung von Bettina Klinz TU Graz Sommersemester 2007 Stand: 27. Oktober 2009 Inhaltsverzeichnis I Lineare Optimierung 7 1 Grundlegende

Mehr

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS)

Beispielarbeit. MATHEMATIK (mit CAS) Abitur 2008 Mathematik (mit CAS) Beispielarbeit Seite 1 Abitur 2008 Mecklenburg-Vorpommern Beispielarbeit MATHEMATIK (mit CAS) Hinweis: Diese Beispielarbeit ist öffentlich und daher nicht als Klausur verwendbar.

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Optimierung. Florian Jarre Josef Stoer. Springer

Optimierung. Florian Jarre Josef Stoer. Springer 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Florian Jarre Josef Stoer Optimierung Springer Inhaltsverzeichnis

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr

Zugeordneter bipartiter Graph

Zugeordneter bipartiter Graph Zugeordneter bipartiter Graph Für ein Transportproblem sei A = {A 1,...,A m } die Menge der Fabriken und B = {B 1,...,B n } sei die Menge der Warenhäuser. Wir ordnen nun einem Transportproblem einen bipartiten

Mehr

Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten)

Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten) HTW Dresden 9. Februar 2012 FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. J. Resch Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten) Name, Vorname: Matr.-nr.: Anzahl der abge-

Mehr

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS

BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Name: Vorname: Matrikel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Prüfungsgebiet: MWiWi 1.6 Logistik- und Informationsmanagement Wirtschaftsinformatik Modul

Mehr

Wintersemester 2010/2011

Wintersemester 2010/2011 Methoden des Production and Operations Management Wintersemester 2010/2011 Wintersemester 2010/2011 1 Production and Operations Management 2 Vorlesungszeit: donnerstags, 12-14 14 Uhr Vorlesungsbeginn:

Mehr

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1 Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 4 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung

Mehr

Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1

Klausur zum Fach Mathematik 1 Teil 1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever 06.07.202 Klausur zum Fach Mathematik Teil Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: ein (beidseitig)

Mehr

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel

Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005. Anita Schöbel Einführung in die Optimierung Sommersemester 2005 Anita Schöbel 9. Juli 2010 Vorwort Das vorliegende Vorlesungsskript entstand aufgrund der Notizen der von mir im Sommersemester 2005 gehaltenen Vorlesung

Mehr

A 95 223 B 125 396 C 75 169 D 105 277 E 115 421 F 85 269

A 95 223 B 125 396 C 75 169 D 105 277 E 115 421 F 85 269 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsstatistik Wiederholungsaufgaben für die Klausur

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

3. UNGLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGSSYSTEME

3. UNGLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGSSYSTEME 3. UNGLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGSSYSTEME 3.1. Ungleichungen (a) Definition Im vorigen Kapitel wurden Terme miteinander verglichen, indem sie gleichgesetzt wurden. Ein andere Art, Terme zu vergleichen, ist

Mehr

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens

Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens in einige Teilbereiche der für Studierende des Wirtschaftsingenieurwesens Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Kursrechnung Festverzinsliche Wertpapiere Wertpapier: Investor erwirbt für bestimmten Preis

Mehr