Kapitel 1: Grundbegriffe

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1 Kapitel 1: Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) 1 / 20

2 Gliederung 1 Logik Ein ganz kurzer Ausflug in die Kombinatorik Stefan Ruzika (KO) 2 / 20

3 Logik Logik Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu fragen, ob es wahr oder falsch sein kann. Beachte: wir müssen nicht wissen, ob es wahr oder falsch ist. Beispiel 1.1 Aussageformen sind sprachliche Gebilde, in denen Platzhalter (Variablen) vorkommen und die beim Einsetzen von Werten für diese Variablen Aussagen werden. Beispiel 1.2 Stefan Ruzika (KO) 3 / 20

4 Logik Negation, Quantoren Definition 1.3 Ist A eine Aussage, so können wir ihr eine negierte Aussage A ( nicht A ) zuweisen, deren Wahrheitswert dem umgedrehten Wert von A entspricht, d. h. Wahrheitstafel w: wahr f : falsch A A w f f w Beispiel 1.4 Beachte: Um Sachverhalte präzise, knapp und unmissverständlich zu beschreiben, verwenden wir die Quantoren (Existenzquantor) und (Allquantor). x : es existiert ein x, mindestens ein x erfüllt, für ein/einige/manche x gilt, x : für alle x gilt, jedes x erfüllt Beispiel 1.5 Stefan Ruzika (KO) 4 / 20

5 Logik Konjunktion, Disjunktion, Implikation Beispiel 1.6 Definition 1.7 Seien A und B Aussagen, so definieren wir folgende neue Aussagen und ihre Wahrheitswerte: A B A B A B A B A B w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w A und B A oder B aus A folgt B A und B sind (Konjunktion) (Disjunktion) (Implikation) äquivalent (Äquivalenz) Stefan Ruzika (KO) 5 / 20

6 Logik Konjunktion, Disjunktion, Implikation Bemerkung (A B) ist äquivalent zu ( A B) Beweis. Bemerkung (i) A B : A ist hinreichend für B (ii) A B : A ist notwendig und hinreichend für B (und: B ist notwendig und hinreichend für A). Beispiel 1.8 Stefan Ruzika (KO) 6 / 20

7 Menge Definition 1.9 (Intituitiver begriff nach G. Cantor) Eine Menge ist eine Zusammenfassung verschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden Elemente der Menge genannt. können dargestellt werden durch der Angabe ihrer Elemente, z. B. N := {1, 2,... }, Z := {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } die Beschreibung charakterisierender Eigenschaften: G := {n N : n ist gerade} Beachte: Die Reihenfolge der Elemente ist unerheblich; bei mehrfach auftretenden Elementen werde diese nur einmal gezählt. Beispiel: {e, l, e, m, e, n, t} = {t, e, l, m, n} = {m, t, l, e, n} Stefan Ruzika (KO) 7 / 20

8 Obermenge, Teilmenge Notation 1.10 (Schreibweisen) x M : x ist Element von M x / M : x ist nicht Element von M : die leere Menge Definition 1.11 A B (A ist Teilmenge von B) : x A x B ( wenn jedes Element aus A auch in B liegt ) B heißt dann auch Obermenge von A Beachte: Hier ist A = B erlaubt. Wenn wir ausdrücken, dass A eine echte Teilmenge von B ist (d. h. A B, A B), so schreiben wir A B oder A B. Stefan Ruzika (KO) 8 / 20

9 Kardinalität, Potenzmenge Notation Mit A bezeichnen wir die Kardinalität der Menge A (d. h. die Anzahl ihrer Elemente) 2 Ist A eine Menge, so ist 2 A := {B : B A} = {B : B ist Teilmenge von A} die Potenzmenge von A. Beispiel 1.13 Stefan Ruzika (KO) 9 / 20

10 Durchschnitt, Vereinigung, Differenz Definition 1.14 Seien A, B. a) A B := {x : x A und x B} = {x : x A x B} ist der Durchschnitt der A und B. b) A B := {x : x A oder x B} = {x : x A x B} ist die Vereinigung der A und B. c) A \ B := {x : x A und x / B} = {x : x A x / B} ist die Differenz von A und B. Stefan Ruzika (KO) 10 / 20

11 Rechenregeln Satz 1.15 (Rechenregeln) Sind A, B und C, so gilt: 1 A B = B A und A B = B A (Kommutativgesetze) 2 (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) (Assoziativgesetze) 3 A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) (Distributivgesetze) Beweis. Stefan Ruzika (KO) 11 / 20

12 Rechenregeln Satz 1.16 (Regeln von de Morgan) Seien A, B und S mit A S und B S. Wir definieren für M S: Dann gilt M := S \ M (Komplement von M bzgl. S) i) S \ (A B) = (S \ A) (S \ B) bzw. A B = Ā B ii) S \ (A B) = (S \ A) (S \ B) bzw. A B = Ā B Beweis. Stefan Ruzika (KO) 12 / 20

13 Kartesisches Produkt Definition 1.17 Seien A, B. i) A B := {(a, b) : a A und b B} ist die Produktmenge oder das kartesisches Produkt oder die Menge der geordneten Paare von A und B. ii) A 1 A 2 A n := {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i, i = 1... n} ist die Menge aller geordneten n-tupel. Beispiel 1.18 Stefan Ruzika (KO) 13 / 20

14 Wichtige Definition 1.19 Einige spezielle definieren/notieren wir kurz wie folgt: N = {1, 2, 3,... } Menge der natürlichen Zahlen N 0 = {0, 1, 2,... } Menge der nicht-negativen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Menge der ganzen Zahlen Q = { p q : p Z, q N} Menge der rationalen Zahlen (Brüche) R: Menge der reellen Zahlen R, R + : Menge der negativen/positiven reellen Zahlen R 0, R+ 0 : Menge der nicht-positiven/nicht-negativen reellen Zahlen R R = R 2, R R R = R 3, R R = R }{{} n. n-mal Beachte: Die reellen Zahlen führen wir hier nicht rigoros (etwa über Äquivalenzrelationen von Cauchy-Folgen in Q oder über Dedekindsche Schnitte) ein. Uns genügt die Vorstellung, dass jedem Element in R genau ein Punkt auf dem Zahlenstrahl entspricht und umgekehrt. Dies gilt für Q nicht. Stefan Ruzika (KO) 14 / 20

15 Rechengesetze der reellen Zahlen Beispiel 1.20 Rechengesetze für a, b, c R: 1 Kommutativgesetze: a + b = b + a, a b = b a 2 Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c, a (b c) = (a b) c 3 Distributivgesetze: a (b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc In R gelten die Grundgesetze der Ordnung: Seien a, b und c reelle Zahlen. Dann gilt: 1 Die Zahlen a und b erfüllen genau eine der drei folgenden Beziehungen: 2 Aus a < b und b < c folgt: a < c a < b, a = b, a > b 3 Aus a < b und für beliebiges d R folgt: a + d < b + d 4 Aus a < b und c > 0 folgt: a c < b c Stefan Ruzika (KO) 15 / 20

16 Intervalle, Schranken Definition 1.21 [a, b] := {x R : a x x b} abgeschlossenes Intervall ]a, b] := {x R : a < x x b} halboffenes Intervall [a, b[:= {x R : a x x < b} halboffenes Intervall ]a, b[:= {x R : a < x < b} offenes Intervall [a, b] [c, d] := {(x, y) R 2 : x [a, b] y [c, d]} Definition 1.22 Sei M R. Eine Zahl s R heißt obere (untere) Schranke für M und M heißt dann nach oben (unten) beschränkt, wenn x s (x s) für alle x M gilt. Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Beispiel 1.23 Stefan Ruzika (KO) 16 / 20

17 Supremum, Infimum Definition 1.24 a) Eine obere Schranke s R für die Menge M R heißt Supremum ( kleinste obere Schranke ) von M (in Zeichen: s = sup M), wenn für jede obere Schranke u von M gilt: s u. Falls s = sup M und s M, so bezeichnen wir s als Maximum von M und schreiben s = max M. b) Analog nennen wir eine untere Schranke s R für die Menge M R Infimum ( größte untere Schranke ) von M (in Zeichen: s = inf M), wenn für jede untere Schranke l von M gilt: l s. Falls s = inf M und s M, so bezeichnen wir s als Minimum von M und schreiben s = min M. Beispiel 1.25 Stefan Ruzika (KO) 17 / 20

18 Ein ganz kurzer Ausflug in die Kombinatorik Fakultät Definition 1.26 Für k N 0 ist die Fakultät k! definiert durch 0! := 1 und (k + 1)! := (k + 1) k! k Also ist k! = k (k 1) (k 2) =: j. j=1 ( ) n Für n, k N 0 ist der Binomialkoeffizient ( n über k ) definiert durch k ( ) n n! := k k!(n k)! Also ist ( ) n n (n 1) (n 2)... (n (k 1)) =. k k (k 1) (k 2) ( ) ( ) n n Insbesondere ist = 1 und = 1. 0 n Stefan Ruzika (KO) 18 / 20

19 Ein ganz kurzer Ausflug in die Kombinatorik Fakultät Bemerkung Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge) Beispiel 1.27 Beispiel 1.28 Stefan Ruzika (KO) 19 / 20

20 Ein ganz kurzer Ausflug in die Kombinatorik Binomische Formeln, Binomischer Lehrsatz, Bernoulli-Ungleichung Satz 1.29 (Binomische Formeln/Binomischer Lehrsatz) Seien a, b R, n N 0. Dann gilt: 1 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3 (a + b)(a b) = a 2 b 2 n ( ) n 4 (a + b) n = a n k b k k k=0 Die Koeffizienten in 4. erhält man mithilfe des Pascal schen Dreiecks. Satz 1.30 (Bernoulli-Ungleichung) Für n N 0 und a 1 gilt: (1 + a) n 1 + n a Stefan Ruzika (KO) 20 / 20