DAP2-Klausur

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Philipp Walter
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1 DAP2-Klausur Vorname : Familienname: Ich studiere (Bitte markieren): Informatik/Inform. Lehramt/Inf.technik/Physik/ Mathe/Statistik/Sonstiges: Bitte beachten: Auf jedem Blatt Matrikelnummer gut lesbar eintragen! (Die Klausur wird bei der Korrektur entklammert.) Nur Papier verwenden, das von uns ausgeteilt wurde! (Papiernachschub kann von der Klausuraufsicht erbeten werden.) Nur dokumentenechte Schreibgeräte verwenden! (Z.B. Kugelschreiber, nicht Bleistifte.) Nur Vorderseiten beschriften! Wir als Klausurveranstalter sind organisatorisch nicht dazu in der Lage, vor bzw. während der Klausur zu überprüfen, ob die Teilnehmer/-innen dazu berechtigt sind, die Klausur mitzuschreiben bzw. ob sie ordnungsgemäß bei der jeweils zuständigen Stelle angemeldet sind. Daher gilt folgendes: Durch die Teilnahme an der Klausur erkennt der Teilnehmer bzw. die Teilnehmerin an, dass diese unter Vorbehalt stattfindet. Genauer: Die Teilnahmeberechtigung und Anerkennung der Klausur wird erst nach der Klausur von der jeweils zuständigen Stelle überprüft und ist nicht automatisch durch die Teilnahme an der Klausur gegeben. Pro Aufgabe werden 10 Punkte vergeben. Richtwert: Zum Bestehen der Klausur sollten 40 Prozent der Punkte erreicht werden. Bewertung, nur vom Korrektor/der Korrektorin auszufüllen: Aufgabe Gesamt Punkte 1

) Nur Papier verwenden, das von uns ausgeteilt wurde! (Papiernachschub kann von der Klausuraufsicht erbeten werden.) Nur dokumentenechte Schreibgeräte verwenden! (Z.B.

2 Punkte 1. Aufgabe: Segmentbäume Gegeben sei das Array (a 1,..., a 6 ) := ( 2, 4, 3, 1, 0, 2). a) Zeichne den zu diesem Array gehörenden Segmentbaum. Trage dabei in jedem Knoten die Informationen ein, die in diesem Knoten gespeichert sind. b) Markiere in dem unter a) gezeichneten Baum diejenigen Knoten, die bei einer Anfrage query(3, 5) aufgesucht werden. c) Gegeben sei ein n-elementiges Array. Nenne die Worst-case-Laufzeit für den Aufbau eines Segmentbaums für das Array. Nenne die Worst-case-Laufzeit für eine Anfrage query(i, j). (Mit 1 i j n.) (Angabe in O-Notation genügt!) d) Beim Beweis der Laufzeit für eine Operation query(i, j) spielte die folgende Aussage eine entscheidende Rolle. Sei v ein bündiger Knoten im Segmentbaum, an dem ein Baum der Tiefe d hängt. Dann gilt: In diesem Baum werden höchstens 2d + 1 Knoten besucht. Beweise diese Aussage. Du darfst dich im Beweis auf den Fall v rechtsbündig und i mitte beschränken. 2

b) Markiere in dem unter a) gezeichneten Baum diejenigen Knoten, die bei einer Anfrage query(3, 5) aufgesucht werden. c) Gegeben sei ein n-elementiges Array.

3 Fortsetzung 1. Aufgabe: 3

4 Fortsetzung 1. Aufgabe: 4

5 Punkte 2. Aufgabe: OBDDs a) Sei π = (x 3, x 1, x 2 ). Zeichne ein minimales π-obdd für die Funktion (x 1 x 2 ) x 3. Dabei ist die XOR-Operation, die ODER-Operation und die Negation. b) Gegeben sei ein π-obdd für eine boolesche Funktion f auf den Variablen x 1,..., x n. Gib eine formale Definition für die beiden Operationen der Quantifizierung an. c) Gegeben seien zwei π-obdds G = (V G, E G ) und H = (V H, E H ) sowie eine binäre Operation. Beschreibe, wie man die Syntheseoperation durchführt. (Es genügt, die Konstruktion via DFS zu beschreiben, bei der die Reduktionsregeln nicht in die Syntheseoperation integriert sind.) Erkläre dabei insbesondere, wie sich die Knotenmenge, Kantenmenge sowie Knotenbeschriftungen im Ergebnis-OBDD ergeben. 5

c) Gegeben seien zwei π-obdds G = (V G, E G ) und H = (V H, E H ) sowie eine binäre Operation. Beschreibe, wie man die Syntheseoperation durchführt.

6 Fortsetzung 2. Aufgabe: 6

7 Fortsetzung 2. Aufgabe: 7

8 Punkte 3. Aufgabe: AVL-Bäume a) Beim Einfügen eines neuen Schlüssels in einen AVL-Baum können Knoten aus der Balance geraten. Angenommen, man befindet sich an einem Knoten v, dessen Balancegrad zunächst von 1 auf 2 geändert wird. Das rechte Kind von v habe einen Balancegrad von +1. Beschreibe schematisch, welche Modifikationen dann stattfinden, um die Balance wieder herzustellen. (Bei der Aktualisierung der Balancegrade darfst Du Dich auf einen der auftretenden Fälle beschränken.) Müssen die Balancegrade oberhalb von v anschließend noch aktualisiert werden oder nicht? b) Wie tief können beliebige (also nicht nur AVL-) Bäume mit n Schlüsseln höchstens werden? c) Wie tief können AVL-Bäume mit n Schlüsseln höchstens werden? (Angabe in O- Notation genügt!) d) Beweise deine in c) getroffene Aussage. Genauer: Erkläre, was A(d) ist. Stelle eine geeignete Rekursionsgleichung für A(d) auf. Begründe die Rekursionsgleichung. (Lösen der Gleichung ist nicht erforderlich!) Erkläre, wie sich aus der Eigenschaft A(d) d die in c) getroffene Aussage ergibt. 8

Beschreibe schematisch, welche Modifikationen dann stattfinden, um die Balance wieder herzustellen.

9 Fortsetzung 3. Aufgabe: 9

10 Fortsetzung 3. Aufgabe: 10

11 Punkte 4. Aufgabe: Quicksort a) Beschreibe, wie die Prozedur Partition von Quicksort funktioniert. Genauer: Erläutere, welche beiden Invarianten für die verwendeten Zeiger L, R und pos(p) erhalten werden müssen. Wie werden die Zeiger initialisiert, wann wird gestoppt? Erläutere, wie die Zeiger umgesetzt werden dürfen, damit die Invarianten erhalten bleiben. Du darfst dich auf die Fälle L < pos(p) < R beschränken. b) Nenne die Best-case-, Average-case- und Worst-case-Laufzeiten von Quicksort. (Angabe in O-Notation genügt!) c) Stelle die Rekursionsgleichung für die Average-case-Laufzeit von Quicksort auf und begründe diese. (Lösen der Gleichung ist nicht erforderlich!) 11

Erläutere, wie die Zeiger umgesetzt werden dürfen, damit die Invarianten erhalten bleiben. Du darfst dich auf die Fälle L < pos(p) < R beschränken.

12 Fortsetzung 4. Aufgabe: 12

13 Fortsetzung 4. Aufgabe: 13

14 Punkte 5. Aufgabe: Batchersort Bei dem Sortierverfahren Batchersort spielt das Mischverfahren Batchermerge ( BM ) eine entscheidende Rolle. Gegeben seien zwei sortierte Folgen a 1 a n und b 1 b n. Die Zahl n sei dabei eine Zweierpotenz. a) Beschreibe das Verfahren BM(a 1,..., a n ; b 1,..., b n ) in Pseudocode (wie er z.b. im Skript verwendet wird). b) Nenne die Anzahl Vergleiche und die parallele Laufzeit von BM und von Batchersort. (Angabe in O-Notation genügt!) c) Begründe, warum BM tatsächlich korrekt mischt. 14

Gegeben seien zwei sortierte Folgen a 1 a n und b 1 b n. Die Zahl n sei dabei eine Zweierpotenz.

15 Fortsetzung 5. Aufgabe: 15

16 Fortsetzung 5. Aufgabe: 16

17 Punkte 6. Aufgabe: Optimales Alignment Wir haben in der Vorlesung das Problem optimales globales Alignment aus der Bioinformatik kennen gelernt. a) Definiere das Problem formal. Erkläre dabei insbesondere: Was ist als Eingabe gegeben? Wann heißt ein String x Erweiterung eines Strings x? Was ist ein Alignment und wie wird es bewertet? Was soll berechnet werden? b) Wie löst man das Problem mit Hilfe der Dynamischen Programmierung? Gib insbesondere die bellmansche Optimalitätsgleichung an und begründe, warum sie gilt. Definiere die in der Optimalitätsgleichung auftretenden Parameter. c) Nenne und begründe die Laufzeit dieses Verfahrens. (Angabe in O-Notation genügt!) 17

Was ist ein Alignment und wie wird es bewertet? Was soll berechnet werden? b) Wie löst man das Problem mit Hilfe der Dynamischen Programmierung?

18 Fortsetzung 6. Aufgabe: 18

19 Fortsetzung 6. Aufgabe: 19

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