Brückenkurs Mathematik Dr. Karl TH Nürnberg

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1 Brükekurs Mthemtik Dr. Krl TH Nürerg Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge Copyright : Huert Krl Alle Rehte vorehlte. Diese Puliktio drf ohe die usdrüklihe shriftlihe Geehmigug des Autors weder gz oh uszugsweise reproduziert werde.

2 7- Brükekurs Mthemtik 7. Nihtliere Gleihuge 7. Voremerkuge Sie kee us de Studieriefe 5 ud 6 ereits die liere Gleihuge zw. die liere Gleihugssysteme. Bei eier liere Gleihug hdelt es sih um eie mthemtishe Beziehug vom Typ ; woei ud Kostte sid. Selstverstädlih ist die Lösug dieser liere Gleihug, sofer, sofer M k diese gewohte mthemtishe Prolemstellug äder ud stttdesse die Fuktio y etrhte. Wir wisse j, dss der Grph dieser Fuktio eie Gerde ist. Numehr frge wir h der Nullstelle für diese Fuktio y f ( ), d.h.: wir frge h demjeige -Wert (wir wolle diese Wert eiml mit ezeihe) für de der zugehörige Fuktioswert y vershwidet. Für diese -Wert soll lso gelte: Idem wir h der Nullstelle der Fuktio f suhe, suhe wir lso h demjeige -Wert der uh usere Ausggsgleihug löst. Diese Betrhtuge üertrge sih türlih uf ds Löse vo ihtliere Gleihuge. Es führt grudsätzlih uf dssele Resultt, we ih frge: Wie lutet die Nullstelle (wie lute die Nullstelle) vo ( ) e y f f oder we ih frge: Wie ist die Lösug (wie lute die Lösuge) vo f ( ) ; ( ) e? Es ist leider so, dss es für die llermeiste ihtliere Gleihuge keie llgemeie Lösugsmethodik git. Sehr selte lsse sih Lösugsformel für ihtliere Gleihuge gee. (Eiige der weige ekte Lösugsformel, ämlih die für?

3 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge H. Krl - qudrtishe Gleihuge, solle uter.. gehdelt werde). Die Lösug vo ihtliere Gleihuge lässt sih er uf die Nullstelleestimmug vo ihtliere Fuktioe zurükführe. Dieser Nullstelleestimmug vo ihtliere Fuktioe (uh we sie meist ur umerish erfolge k) kommt eie etsheidede Bedeutug zu. 7.. Qudrtishe Gleihuge Hier geht es um die gleihwertige Prolemstelluge: Etweder: Zu estimme sid die Lösuge vo.,, kost Oder: Zu estimme sid die Nullstelle vo.;,, ) ( kost f y Oder: Suhe dejeige Werte, für die.;,, kost Die Lösug des vorgelegte Prolems lässt sih leiht herleite: Ausgehed vo folgt ud weiter: ± ± De Term uf die like Seite der Gleihug shffe liefert:, ± Ds ist die vo der Shule her ekte Lösugsformel. De Term uter dem Wurzelzeihe et m Diskrimite ud kürzt ih mit D : D Ds Vorzeihe vo D etsheidet üer die Art der Lösug.

4 7- Brükekurs Mthemtik D > Die qudrtishe Gleihug ht vershiedee reelle Lösuge. D Die qudrtishe Gleihug ht eie doppelte reelle Lösug. D < Die qudrtishe Gleihug ht kojugiert komplee Lösuge. Beispiele: ) 7 Hier ist D 576 (lso D > ) ud folglih git es zwei vershiedee reelle Lösuge. Diese liege ei ud 5 7 ) Hier ist D ud folglih git es eie doppelte reelle Lösug. Diese liegt ei ) Hier ist D -9 (lso D < ) ud folglih git es zwei kojugiert komplee Lösuge. Diese liege ei,5 i,5 ud,5 i,5 Komplee Nullstelle spiele (owohl zuähst eher usehlih ) i der Mthemtik ud i der Tehik eie edeutede Rolle. Sttt vo der Lösug eier solhe Gleihug spriht m uh mhml vo der Wurzel der Gleihug. Eie Amerkug zu diese Beispiele. Greife wir gleih ds Beispiel ) ohmls herus. Asttt zu frge: Wie lute die Lösuge vo 7 hätte wir uh frge köe: Wie lute die Nullstelle vo y f ( ) 7?.?ß Zur Bestimmug dieser Nullstelle wäre d die Skizze des Fuktiosgrphe ützlih gewese. Dieser soll eiml üer dem Itervll drgestellt werde. Dmit dieser Fuktiosgrph shell ud zuverlässig gezeihet werde k, wurde die Softwre MATLAB vo MthWorks verwedet. MATLAB ist i der Pris sehr weit verreitet ud eiget sih zur Lösug vo mthemtishe Proleme ud zur grphishe Drstellug der Ergeisse. Ute fidet sih der esgte Grph der Fuktio ud vorher ds zugehörige MATLAB Progrmm. % Plot eier Prel mit Hilfe vo MATLAB for i: (i) i - ; y(i) *(i)^ *(i) - 7; ed plot(,y,'k','liewidth',),grid,... title('erstes Beispiel zu 7..'),lel('-Ahse'),... ylel('y-ahse')

5 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - A. : Grph der Fuktio y f ( ) 7 üer dem Itervll [-,]. M erket die Nullstelle ei 5 ud erht mehr die Nullstelle ei -7. Zum Themekreis qudrtishe Gleihuge git es türlih sehr viele Aufge ud prktish orietierte Beispiele. Diese solle de Nhmittgsüuge vorehlte sei. 7.. Verllgemeierte Betrhtuge Wede wir us gleih dem Prolem zu, dss iht loß eie qudrtishe Gleihug, formuliert ls Nullstelleprolem f ( ),, kost.; soder uh eie sogete kuishe Gleihug f ( ) d,,, d kost.; oder uh eie Gleihug höhere Grdes gegee ist. f ( ) L, L, kost.; Um es gleih voreweg zu sge: für de Fll eier Gleihug. Grdes (ds ist die kuishe Gleihug) ud für de Fll git es oh Lösugsformel. Diese werde llerdigs wege ihrer umstädlihe Hdhrkeit prktish selte verwedet. Für Gleihuge vom Grde 5 ud höher (so k m zeige) git es im Allgemeie üerhupt keie solhe Lösugsformel mehr. Im kokrete Fll läuft die Lösug eier solhe Gleihug uf die umerishe Bestimmug des Nullstelleprolems hius. H. Krl 5

6 7- Brükekurs Mthemtik Aer es git oh sehr ützlihe, weitere Sätze zu de Lösuge vo Gleihuge höhere Grdes zu otiere. Dvo hdel die ähste Uterpukte. Bevor wir diese gehe, greife wir uf eie wihtige Begriff zurük, de Sie sho vo de Studieriefe ud her kee: De des Polyoms. M et eie Ausdruk vom Typ L mit türlihe Zhl ud, -,,, elieige reelle Zhle (Koeffiziete get) ud ei Polyom vom Grde. Ei Polyom vom Grde ist z.b.: y f ( ) it (vgl.. Voremerkg.) ud dmit eie liere Fuktio. I de Studieriefe / wird es uh lieres Polyom get. Ausdrüke vom Typ: y f ( ) ; > L (Polyom - te Grdes), y f e er uh ( ) sid ihtliere Fuktioe. We ih lso sge: gesuht sid die Nullstelle vo ( ) e y f d suhe ih die Nullstelle eier ihtliere Fuktio. Ud we ih sge: gesuht sid die Nullstelle vo y d suhe ih die Nullstelle eier sehr spezielle ihtliere Fuktio, ämlih die eies Polyoms. Währed m üer die Nullstelle (vor llem wie viele es dvo git) eies Polyoms geue Aussge mhe k, geligt dies für die Nullstelle elieiger ihtlierer Gleihuge iht. Vo grudlegeder Wihtigkeit ist folgeder Stz: Ei Polyom - te Grdes ht geu Nullstelle (dies ist die Aussge des sogete Fudmetlstzes der Alger); die Nullstelle eier elieige ihtliere Fuktio (wie z.b. uf Seite drgestellt) köe uedlih viele sei. L f ( ) 7.. Der Stz vo VIETA (Der Wurzelstz vo VIETA) Betrhtet werde eie Gleihug -te Grdes (Es hdelt sih um ei Polyom -te Grdes. Ud d der Koeffiziet ei de höhste Potez i ist, so spriht m vo eiem ormierte Polyom.) L 6

7 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - Ud es seie die Nullstelle dieser Gleihug D gilt:,,, L, ( ) ( ) L( ) L Beispiel: Die ihtliere Gleihug (speziell ds Polyom) y f ( ) 7 6 ht die Nullstelle, 5, Wir ilde umehr U ( ) ( ( 5) ) ( ( ) ) ( ) ( 5) ( ) Ud erhlte h Ausmultipliziere i der Tt: ( ) ( 5) ( ) 7 6 Aus diesem llgemei (d.h. für jede Ordug ) gültige Shverhlt folge zwei iteresste Aussge:,,, L,.) Sid die Nullstelle eies Polyoms vom Typ.) L d gilt uh ( ) L.) Weiterhi gilt L Üerprüfe wir dies m oige Beispiel: Hier ist i der Tt: ( 5) ( ) 6 ( ) ( 6) ud weiter: ( 5) ( ) ; vgl. oe Die isher getroffee Aussge gelte mit gerige Ergäzuge uh d oh, we kei ormiertes Polyom vorliegt. H. Krl 7

8 7- Brükekurs Mthemtik Beispiel: We ls Polyom vorliegt f ( ) d etrhte f ( ) ( 9 6 ) Für de Klmmerterm lute die Nullstelle, 5,, Ud dmit gilt uh f ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) 7.. Adividiere vo Nullstelleterme (Polyomdivisio) Ket m vo eiem Polyom ereits eie Nullstelle, d k m diese dividiere ud erhält sod eie Produktdrstellug die es ggf. gestttet, uh oh die restlihe Nullstelle zu estimme. Betrhte wir hierzu folgedes Beispiel: Vorgelegt sei ei Polyom. Grdes Eie Nullstelle dieses Polyoms sei durh Proiere ermittelt worde zu D k m f ( ) mit dem Term (-) dividiere: ( 9 7 ) : ( ) 6 9 ( f ( ) 9 7 ) 6 ( ) 9 (9 7 ) ( ) f () K k m d drstelle ls ( 6 9 ) ( ) f ( ) 8

9 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - Numehr versuhe wir oh vom Term q ( ) 6 9 eie weitere Nullstelle zu estimme. Offer ist eie solhe weitere Nullstelle. Dividiere wir jetzt vo q() diese Nullstelle, so erhält m ( 6 9) ( 5 ) ( ) q( ) Vom qudrtishe Term köe wir türlih die Nullstelle estimme (vgl. Seite 5). Diese Nullstelle sid Somit erhält m ( 6 9 ) ( 5 ) ( ) ( )( ) ( ) q( ) ud dmit gilt für f ( ) 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ud f() ht lso Nullstelle ei,, ud. M sgt uh: f() ht eie doppelte Nullstelle ei, Epoetilgleihuge Epoetilgleihuge sid z. B. Ausdrüke wie oder Solhe Gleihuge lsse sih meist ur oh umerish (ud dmit äherugsweise) löse. Ud wie sho erwäht: We m eie Lösug eier Epoetilgleihug 8 gefude ht, weiß m iht, wie viele weitere Nullstelle es oh git. Nur mhml ( Glüksfll ) hilft Logrithmiere uf eide Seite der Gleihug: lg lg somit lg ( ) ( ) lg( ) lg( ) ( ) lg( ) lg( ) lg( ) lg( ) ( ) lg( ) lg( ) /lg lg lg( ) ( ) lg( ) lg( ),867 H. Krl 9

10 7- Brükekurs Mthemtik Nhrehe! Eie sheir gleihrtige Reheufge wie würde mit eidseitigem Logrithmiere iht lösr sei. Hier empfiehlt sih (we kei Lösugsverfhre gefude werde k) eie umerishe Lösug. Z.B. mit Uterstützug eies Fuktiosgrphe vo y f ( ) Hier liest m : eie Nullstelle vo f() ist. ei 9,565. Es wird i jedem Fll empfohle, ds Ergeis durh Nhrehe zu üerprüfe. D.h.: die Berehug vo f 9,565 9,565 ( 9,565 ) 9,565 liefert f (9,565 ) 9,565 9,565 9,565, Der Wert 9,565 ist derjeige Wert der (h mehrmliger Vergrößerug des Fuktiosgrphe) gerde oh gelese werde k. M sieht er, dss die Nullstelle oh iht geu geug erreiht ist. Es ist ee f(9,565), folglih ist f(,565).

11 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - Für geuere Berehuge sollte m uf die eishlägige Softwreprodukte zurükgreife. Ih verwede hier wieder MATLAB. Betrhte Sie die eide ute stehede Listigs: % Qulitef Epoetilgleihuge for i: (i)9.5(i-)*.; y(i) ^((i)) - ^((i)-) -^((i)); ed plot(,y,'k','liewidth',),is([ ]),grid,... title('grph der utersuhte Fuktio') puse % Neustrt mit dem MATLAB - Befehl "fmi" % Dieser Befehl suht ds Miimum eier Fuktio. % D die vorgelegte Fuktio f() ^ - ^(-) -^() % zwishe 9,56 ud 9,57 ds Vorzeihe % wehselt, wird stttdesse ds Miimum der Fuktio % Fkt() f()*f() gesuht. Diese Fuktio Fkt wird i % eiem etr M - file mit dem Nme Fkt.m erehet. [X,fvl,eitflg] fmid(@fkt,9.56,9.57) Getret zu shreiede Fuktio (mit Nme Fkt.m) futio y Fkt() z ^ - ^(-) -^; yz * z; Ds Ausgemedium hierzu ist efriediged geu: 9, ud f( ), * Logrithmishe Gleihuge Logrithmishe Gleihuge lsse sih mhml (jedoh iht immer) geshlosse löse. Häufig muss m uf die umerishe Berehug der Nullstelle zurükgreife. Beispiele: H. Krl

12 7- Brükekurs Mthemtik 5 5 ) lg lg Sustitutio: liefert: 5 y lg y y y y y ; y Betrhte wir zuähst de Fll y : 5 lg ; Gleihug uf eide Seite 5 lg ;" hoh " uf eide Seite: 5 qudr: M üerlege sih, o der Fll y - üerhupt möglih ist. I jedem Fll ist eie Kotrolle üer ds erreihte Ergeis durh Eisetze i die Ausggsgleihug sivoll. ) lg ( ) lg ( ) ; lg ( ) lg ( ) ; ( ) lg lg ( ) -hoh uf eide Seite liefert: Ud somit 9 6 ( ) ; zw.: ( ) ; 9 M üerlegt sih, dss der Fll ussheidet. Betrhtug des Flls : ( ) lg( ) ; lg löst lso die vorgelegte logrithmishe Gleihug. Wir köe er iht sge, o wir dmit die eizige Lösug für die gestellte Aufge gefude he. (Skizze des Fuktiosgrphe wäre hilfreih)

13 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - 7. Ei prktishes Reheverfhre: die Regul flsi Betrhte Sie die hfolgede Aildug: Y X X S() X X Y Die zu erehede Nullstelle eier ihtliere Gleihug y f() sei. Es gilt mithi f( ) ud der Grph der Fuktio y f() sheidet dort die - Ahse. Ht m u grphish oder mit Hilfe eier Wertetelle zwei Werte ud i der Nähe vo gefude ud sid die zugehörige Fuktioswerte y f( ) ud y f( ), so sollte diese utershiedlihe Vorzeihe he (z.b.: f( ) < ud f( ) > wie i der oige Aildug). De d muss die Fuktio y f() zwishe ud eie Nullstelle he. Bei der Regul flsi ersetzt m die Fuktio y f() durh eie Gerde ( Sekte ) die durh (,y ) ud (,y ) hidurhgeht. De Shittpukt dieser Sekte mit der -Ahse (im oige Bild ist ds ) k m ls Näherugswert für die gesuhte Nullstelle sehe. Sie Gleihug der Sekte lutet: S( ) y ( ) y y Folglih lutet der Ausdruk für die Nullstelle der Sehe: y y y Ds Verfhre k fortgesetzt werde: Im ähste Shritt ersetzt m (,y ) durh (,f( )) ud zieht eie eue Sehe vo (,y ) h (,y ).. H. Krl

14 7- Brükekurs Mthemtik 7. Ugleihuge 7.. Liere Ugleihuge (i) Eiführugseispiel Liere Ugleihuge spiele i der Pris eie gz hervorgehoee Rolle. Es ist verlüffed, dss ds Rehe mit liere Ugleihuge für de Betrieswirt ud de Volkswirt zu de Stdrd-Rehemethode gehört. Aer uh für de Igeieur ud Tehiker spiele liere Ugleihuge eie große Rolle. I de Igeieurwisseshfte werde diese jedoh selte gewedet. Es leit zu hoffe, dss die Beispiele hierzu ds Iteresse dieser Methode weke! Beispiel : Eie Firm stellt Shleifmshie ud Bohrmshie her. Bei der Herstellug ist folgedes zu ehte: ) Die Ateilug die die Gehäuse herstellt, k im Mot höhstes isgesmt Gehäuse für Shleifmshie oder Bohrmshie herstelle. ) Die Motgeteilug für Shleifmshie k höhstes 6 Shleifmshie im Mot zusmmeue. ) Die Motgeteilug für Bohrmshie k im Mot höhstes 8 Bohrmshie motiere. d) Die Ateilug für elektrishe Istlltio k höhstes 8 Shleifmshie oder Bohrmshie oder eie etsprehede Komitio im Mot fertigstelle. Der Gewi für eie Shleifmshie ist ud der Gewi für eie Bohrmshie ist 9. Wie viele Bohrmshie ud wie viele Shleifmshie sid herzustelle, dmit der Gewi möglihst hoh ist? Um ds vorgelegte Prolem zu löse ezeihe wir zuähst die (oh uekte) Azhl der pro Mot gefertigte Shleifmshie mit ud die (oh uekte) Azhl der pro Mot gefertigte Bohrmshie mit. D lutet die Forderug: Der Gewi soll möglihst hoh sei ( ) M 9 Z, Die Akürzug Z(,) ht sih i der Liere Optimierug eigeürgert ud steht für Zielfuktio. Die Bedigug lutet: Die Bedigug lutet: Die Bedigug lutet: 6 8 Die Bedigug d ist etws shwieriger zu formuliere. 8

15 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - We für eie Shleifmshie der Gesmtzeit ud für eie Bohrmshie der Gesmtzeit i der Elektroteilug ufgerht werde muss, d k die Summe der eide Zeite, ämlih iht größer ls die Gesmtreitszeit sei: Dmit lutet die Bedigug d : 8 zw. oder: Shließlih sollte m erüksihtige, dss keie egtive Stükzhle hergestellt werde köe. Wir müsse lso oh forder: Zusmmegefsst he wir ud Z(, ) M Wir löse ds Prolem grphish. Zuerst werde ur die Ugleihuge erüksihtigt: Numehr wird uh oh die Zielfuktio hgetrge woei vershiedee Werte vo Z mrkiert sid. M vergleihe mit der ähste Seite. Dort ist zuähst der Verluf der Zielfuktio gedeutet, we gilt H. Krl 5

16 7- Brükekurs Mthemtik 9 Sie sid ufgefordert, de Verluf der Zielfuktio hzutrge. 9 7 M liest us der oige Zeihug : Zm.. Hierzu gehört eie Produktio vo Shleifmshie ud 6 Bohrmshie. 7.. Zur prktishe Awedug vo liere Ugleihugssysteme I der prktishe Awedug ht m es oft mit Zielfuktioe zu tu, i der viele (oft mehrere tused) Vrile i der Zielfuktio uftrete. Eeso liege oft uh viele Neeediguge i Ugleihugsform vor. Es ist klr, dss i solhe Fälle die grphishe Bestimmug eier optimle Lösug (welhe die Zielfuktio mimiert ud lle Neeediguge erfüllt) iht möglih ist. Auh die Hdrehug stößt ihre Greze. Hier ht sih seit viele Jhre ei Reheverfhre ewährt, ds sih leiht progrmmiere lässt: der Simplelgorithmus. Für ds oige Reheeispiel hätte m ei Verwedug der Softwre MATLAB folgedes Eigemedium: % Demoprogrmm zur Hdhug des MATLAB-Befehls "liprog" % Beispiel: Vorgelegt sei ds folgede Optimierugsprolem % Zielfuktio: * 9* m % Neeediguge: < 6

17 Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge - % < 6 % < 8 % * * < % >,> %Eigemedium: f [-; -9]; % Die Gewikoeffiziete lso mit % egtivem Vorzeihe A [ ]; % Die Neeediguge vorzeiherihtig [; 6; 8; ]; % "Höhstmege" % lzeros(,); u oes(,)*.e5; % l lower oud; espriht der Forderug % lle i> % u upper oud [,fvl]liprog(f,a,,[],[],l,u) % I de leere ekige Klmmer % Neeediguge i Gleihugs- % form %Ausgemedium: % Optimiztio termited suessfully. % %. % 6. % fvl -.e5 % Der rihtige Wert der optimle Fuktio wäre sod % fopt -fvl,*^5 7. Nihtliere Ugleihuge.. Qudrtishe Ugleihuge Zum Themekomple qudrtishe Ugleihge gehöre Aufge wie > ; < ; ; ( L ] ; [ U ] ; [ ) ( L ] ;,5[ ) ( L ) Solhe Ugleihuge köe uh ls Neeediguge vo Optimierugsufge uftrete. Bei mehr ls Vrile gestltet sih die Lösug vo solhe Proleme ls sehr shwierig. H. Krl 7