Lineare Algebra I. HP Butzmann. Vorlesung im HWS 09

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1 Lineare Algebra I HP Butzmann Vorlesung im HWS 09

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Abbildungen 2 2 Körper 15 3 Vektorräume 40 4 Basis und Dimension 53 5 Lineare Abbildungen 67 6 Matrizen 80 7 Lineare Gleichungssysteme Determinanten Diagonalisierbarkeit Euklidische Vektorräume 143 1

3 Kapitel 1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt werde ich Ihnen das Material und die Werkzeuge - Mengen und Aussagen - erklären, mit denen ich im Folgenden arbeiten will Dabei gibt es ein Problem: Stellen Sie sich vor, Sie wollen ein Haus bauen, müssen aber vorher das Material und die Werkzeuge, also zb Steine, Mörtel, Säge, Hammer, Schaufel, herstellen Dann sind Sie ziemlich lange damit beschäftigt, bevor Sie sich ans Hausbauen machen können Das ist nun hier ähnlich: Die mathematisch präzisen Definitionen von Mengen und Aussagen sind sehr aufwendig und kosten viel Zeit Daher folge ich der üblichen Prozedur, Mengen nur intuitiv einzuführen und Ihnen dann zu erklären, was man damit machen kann Bei der Gelegenheit werde ich dann die notwendigen Regeln der (Aussagen-)Logik vorführen Sozusagen learning by doing Ich gehe davon aus, dass Sie alle die Begriffe Menge und Abbildung schon gesehen haben und beginne daher ohne weitere Vorrede mit einer Definition Eine Menge Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen Nun ist das eine Definition, die den üblichen Anforderungen, die Mathematiker daran stellen, überhaupt nicht genügt, denn sie enthält ja ihrerseits gleich drei unbekannte Begriffe, nämlich Zusammenfassung, Objekt und Ganzes, und daher habe ich sie auch in Anführungszeichen gesetzt Die Wahrheit ist, dass eine mathematisch saubere Definiton einer Menge weit über den Rahmen dieser Vorlesung hinausgeht Daher ist es üblich, sich mit dieser Definiton zu begnügen, die intuitiv erklären soll, was eine Menge ist, man spricht gelegentlich von naiver Mengenlehre Sie ist für die meisten praktischen Probleme ausreichend Sie haben vielleicht mal gehört, dass es Probleme gibt, wenn man die Menge aller Mengen betrachtet Denn diese Menge enthielte als Teilmenge die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten Und die Frage, ob diese neue Menge sich nun selbst als Element enthält, führt bei jeder Antwort auf einen Widerspruch (das Russelsche Paradoxon) Eine etwas weniger abstrakte Version 2

4 dieses Paradoxons ist die folgende: Wenn in einem Dorf ein Barbier genau die Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren, rasiert er sich dann selbst? Auch hier stellt man schnell fest, dass beide Antworten zu einem Widerspruch führen (Was kann man übrigens aus dieser Tatsache folgern?) Bezeichnungsweise 11 Wenn ein Objekt x zu einer Menge M gehört, schreibt man dafür x M, wenn x nicht zu M gehört, schreibt man dafür x / M Beispiele 12 (i) Man kann Mengen dadurch beschreiben, dass man ihre Elemente explizit nebeneinder schreibt und dann das Ganze durch geschweifte Klammern einrahmt: So wird zb die Menge, deren Elemente 1, 2, 3 und keine weiteren sind, mit bezeichnet {1, 2, 3} (ii) Die folgenden, häufig auftretenden Mengen werden eigentlich immer mit denselben Symbolen bezeichnet: N Z Q R bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen bezeichnet die Menge der reellen Zahlen Es gibt keine einheitliche Vereinbarung, ob 0 eine natürliche Zahl ist In dieser Vorlesung ist sie es nicht, dh es gilt 0 / N (iii) Es seien M eine Menge und e eine Eigenschaft, die die Elemente aus M entweder haben oder nicht Dann wird die Menge aller Elemente aus M, die die Eigenschaft e besitzen, so bezeichnet: {x M : x hat die Eigenschaft e} oder auch so: Es gilt zb: {x M x hat die Eigenschaft e} {x N : x 4} = {1, 2, 3, 4} Definition 13 Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge M, in Zeichen: A M, wenn jedes Element von A auch Element von M ist Für A M und A M schreibt man auch A M und sagt, dass A eine echte Teilmenge von M ist 3

5 Auch die Bezeichnungsweise für Teilmengen ist nicht einheitlich: Viele Mathematiker (in der Tat wohl die Mehrheit) schreiben A M für A M, lassen also den Fall zu, dass A = M gilt Das Argument für diese Schreibweise ist die Tatsache, dass dies der Regelfall ist und daher eine besonders einfache Schreibweise verdient (Mathematiker haben eine Tendenz zur Bequemlichkeit) Ich meine aber, solange man für reelle Zahlen x y schreibt, sollte man diese Analogie für Mengen wahren Aber das sind natürlich nur unwesentliche Details Es ist an der Zeit für ein erstes Resultat Lemma 14 Es seien K, L, M Mengen Dann gelten: (i) Aus K L und L M folgt K M (ii) Aus M L und L M folgt L = M Beweis Die Beweise sind nicht schwierig, ich werde sie dennoch sehr ausführlich führen, um Beweismethoden zu studieren: (i) Der Klarheit wegen gliedere ich den Beweis in die klassische Form : Voraussetzung Es gilt K L und L M Behauptung Es gilt K M Beweis Es also nach 13 zu zeigen, dass jedes Element von K auch zu M gehört Da stellt sich die Frage, wie man das praktisch tun soll: Wenn K eine kleine Menge ist, kann man vielleicht jedes Element aus K betrachten und nachschauen, ob es auch zu M gehört Aber was tut man, wenn M eine große Menge ist, also zb K = N gilt? Nun da gibt es das folgende Verfahren: Ich nehme an, es sei x ein beliebiges, aber fest gewähltes Element aus K Beliebig heißt, dass wir keine weiteren Eigenschaften von x unterstellen werden Fest heißt, dass wir es im Laufe des Beweises nicht ändern werden Wir müssen dann zeigen, dass x auch zu M gehört Also: Es sei x ein beliebiges, aber fest gewähltes Element aus K Dann gilt x L, da K L gilt Daraus folgt x M, da L M gilt Da x K beliebig war, folgt also x L für alle x K und daraus K M (ii) Hier zeige ich das Prinzip des indirekten Beweises Voraussetzung Es gilt M L und L M Behauptung Es gilt L = M Beweis (indirekt) Nun, es ist zu zeigen, dass L und M dieselben Elemente besitzen Also nehme ich an, dass sei nicht so Dann gibt es (zumindest) ein Element, das zu L oder M aber nicht zu beiden Mengen gehört 1 Fall: Es gibt ein x L für das x / M gilt Aus L M folgt dann x M, also x / M und x M 4

6 und daraus ein Widerspruch 2 Fall: Es gibt ein x M für das x / L gilt Aus M L folgt dann x L, also und daraus ein Widerspruch x / L und x L Daher führt die Annahme, dass nicht gilt L = M in jedem Fall zu einem Widerspruch, und ist daher falsch Weil diese Annahme falsch ist, ist ihr Gegenteil richtig und es folgt L = M Bemerkung 15 Der indirekte Beweis beruht auf zwei Prinzipien: (1) Jede (mathematische) Aussage ist entweder richtig oder falsch (2) Aus einer richtigen Aussage kann man nur richtige Aussagen folgern Wenn man also aus einer Aussage A eine Aussage B folgern kann, die entweder falsch ist oder A widerspricht, dann kann A nach (2) nicht richtig sein und ist daher nach (1) falsch W A R N U N G Aus einer falschen Aussage kann man ohne weiteres durch (richtige!) Folgerungen richtige Aussagen gewinnen: Die Aussage 1 = 1 ist offenbar falsch, wenn man beide Seiten quadriert, erhält man 1 2 = ( 1) 2, also 1 = 1 und das ist offenbar eine richtige Aussage Also kann man eine Aussage nicht dadurch beweisen, dass man aus ihr eine richtige Aussage folgert!! (Sollte Ihnen das trotz dieser Warnung einmal passieren und der unbarmherzige Tutor die gesamte Aufgabe als falsch bewerten, trösten Sie sich mit der Tatsache, dass dieser Fehler nahezu jedem Mathematikstudenten und jeder Mathematikstudentin schon einmal unterlaufen ist!) Eines der wichtigen mathematischen Konstruktionsprinzipien besteht darin, aus vorhandenen Objekten neue zu konstruieren Ein erstes Beispiel dafür ist: Definition 16 Es seien M und L Mengen Dann heißt M L = {x : x M oder x L} die Vereinigung oder Vereinigungsmenge von M und L und M L = {x : x M und x L} heißt der Durchschnitt oder die Durchschnittsmenge von M und L 5

7 Naturgemäß kommt es am Anfang immer wieder zu Verwechslungen zwischen M L und M L Vielleicht hilft es, wenn ich sage, dass eben nicht von u, also und sondern von dem lateinischen vel, also oder kommt? Auch sollte ich sagen, dass das Wort oder im mathematischen Zusammenhang kein ausschließendes oder ist, also beide Möglichkeiten zulässt Das ausschließende oder wird in der Mathematik mit entweder - oder beschrieben Beispiel 17 {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5} = {2, 3} Neben Mengen sind Abbildungen zwischen Mengen die wichigsten Werkzeuge: Definition 18 Es seien M und L Mengen Eine Abbildung (oder Funktion) f von M nach L ist eine Vorschrift, die jedem Element aus M genau ein Element aus L zuordnet Man schreibt dann f : M L Wenn x M gilt, bezeichet f(x) das Element von L, das f dem Element x zuordnet Man nennt f(x) das Bild von x unter f Weiter nennt man M den Definitionsbereich von f und L den Wertevorrat von f Ihnen ist vielleicht aufgefallen, dass auch die Definition einer Abbildung den bisher undefinierten Begriff Zuordnung enthält Aber im Gegensatz zu den Begriffen in der Definition einer Menge ist dieser Begriff vergleichsweise einfach zu erklären Ich werde das auch demnächst tun, aber auch danach werden Sie eine Zuordnung eher intuitiv als formal behandeln Beispiele 19 Man definiert eine Abbildung f von einer Menge M nach einer Menge L, indem man die Zuordnungsvorschrift angibt Dabei muss man aufpassen, dass jedem Element aus M genau ein Element aus L zugeordnet wird (i) Man definiere f : {1, 2, 3} N durch f(1) = 5, f(2) = 27, f(3) = 17 (ii) Man definiere f : N N durch f(n) = n 2 (iii)man definiere g : Z Z durch { 17 falls z gerade ist g(z) = z - 1 falls z ungerade ist (iv) Man definiere h : N Z durch: Für alle n N sei h(n) die n-te Stelle in der Dezimalbruchentwicklung von π 6

8 (v) Es sei M eine Menge, dann definiere man durch id M : M M id M (x) = x Man nennt id M die identische Abbildung Die folgenden Vorschriften sind keine Abbildungen: (vi) f : N N definiert durch f(n) = n 2 (vii) f : R R definiert durch f(x) = x (viii) f : {x R : x 0} R definiert durch f(x) = ± x Es gibt drei Typen spezieller Abbildungen, die überall in der Mathematik, aber auch besonders in der Linearen Algebra eine wichtige Rolle spielen: Definition 110 Es seien M und L Mengen Eine Abbildung f : M L heißt (i) injektiv, wenn für alle x, y M aus x y stets f(x) f(y) folgt (ii) surjektiv, wenn es zu jedem y L ein x M gibt mit f(x) = y (iii) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist Bemerkung 111 Die Sprechweise es gibt ein steht in der Mathematik für es gibt mindestens ein Für es gibt ein und nicht mehr als ein sagt man es gibt genau ein Schließlich steht es gibt höchstens ein natürlich für es gibt nicht mehr als ein, also genau ein oder kein f ist also injektiv, wenn verschiedene Elemente aus M verschiedene Bilder haben und surjektiv, wenn jedes Element aus L Bild eines Elementes aus M ist Also ist f bijektiv, wenn jedes Element aus L Bild genau eines Elementes aus M ist Beispiele 112 (i) Die Abbildung f : {1, 2, 3} N definiert durch f(1) = 5, f(2) = 22, f(3) = 1 ist injektiv, nicht surjektiv und nicht bijektiv (ii) Die Abbildung g : Z Z definiert durch { 17 falls z gerade ist g(z) = z - 1 falls z ungerade ist ist nicht injektiv, nicht surjektiv und nicht bijektiv 7

9 Beweis (i) a) Behauptung: f ist injektiv: Beweis: Je zwei verschiedene Elemente aus {1, 2, 3} haben offenbar verschiedene Bilder b) Behauptung: f ist nicht surjektiv: Beweis: Es gibt kein Element x {1, 2, 3}, für das f(x) = 2 gilt c) Behauptung: f ist nicht bijektiv Beweis: f ist nicht bijektiv, weil f nicht surjektiv ist (ii) Behauptung: g ist nicht injektiv: Beweis: Es gilt g(2) = 17 und g(4) = 17, also g(2) = g(4), aber 2 4 Behauptung: g ist nicht surjektiv: Beweis: Ich zeige, dass es kein n Z gibt, für das g(n) = 5 gilt: Angenommen, es gibt ein n Z, für das g(n) = 5 gilt, dann gibt es zwei Fälle: 1 Fall: n ist gerade, dann folgt g(n) = 17 5, also ein Widerspruch 2 Fall: n ist ungerade, dann folgt g(n) = n 1 = 5 und daraus n = 6, also auch ein Widerspruch Behauptung: g ist nicht bijektiv Beweis: g ist nicht surjektiv (alternativ: g ist nicht injektiv) Wie der Name schon sagt, soll eine Abbildung Bilder erzeugen Diese Vorstellung liegt dem ersten Teil der folgenden Definition zu Grunde: Definition 113 Es seien M, L Mengen und f : M L eine Abbildung Weiterhin seien A M und B L Dann heißt f(a) = {y L : es gibt ein x A so dass y = f(x) gilt } die Bildmenge oder das Bild von A unter f und f 1 (B) = {x M : f(x) B} die Urbildmenge oder das Urbild von B unter f Offenbar gilt f(a) = {f(x) : x A} und dies entspricht viel mehr der Vorstellung des Bildes einer Menge als Menge aller Bilder Aber nach meiner Erfahrung ist diese Beschreibungsweise ziemlich fehlerträchtig Es gehört zu den üblichen Vorurteilen junger Studierender, zu glauben, dass f 1 (B) das Bild von B unter der Abbildung f 1, also der Umkehrabbildung 8

10 ist, und daher auch nur definiert ist, wenn f bijektiv ist Und es ist eine fast unmögliche Aufgabe für Dozenten, diesem Irrtum vorzubeugen f 1 (B) ist für jede Abbildung definiert und unabhängig davon, ob f bijektiv ist (und nur in diesem Fall ist die Umkehrabbildung f 1 überhaupt definiert) Ich versuche es dieses Mal dadurch, dass ich f 1 (B) definiere, bevor ich die Umkehrabbildung f 1 überhaupt eingeführt habe In der überwiegenden Anzahl der Fälle wird in der Linearen Algebra das Urbild von Mengen unter nicht-bijektiven Abbildungen untersucht (Sollten Sie die Erwähnung der Umkehrabbildung verwirren, legen Sie diese Bemerkung bis zum Ende des Kapitels zur Seite und lesen Sie sie dann noch einmal) Beispiel 114 Man definiere wieder g : Z Z durch { 17 falls z gerade ist g(z) = z - 1 falls z ungerade ist Dann gelten: (i) g(n) = {x N : x ist gerade} {0} {17} (ii) g 1 (N) = {z Z : z ist gerade} {x N : x 2} (iii) g 1 ({1, 3, 5, 7}) =? Klären wir zunächst einmal (iii) Sei x g 1 ({1, 3, 5, 7}), dann gilt g(x) {1, 3, 5, 7} Wenn nun x ungerade ist, ist g(x) = x 1 gerade, also gilt g(x) / {1, 3, 5, 7} Wenn andererseits x gerade ist gilt g(x) = 17 / {1, 3, 5, 7} Also gibt es kein x so dass gilt g(x) {1, 3, 5, 7} Was kann man da zu tun? Man kann das in der Definiton natürlich verbieten Aber es ist sicherlich ziemlich lästig, die Urbildmenge einer Menge B nur dann zu definieren, wenn es ein Element gibt, das nach B abgebildet wird Betrachten wir noch einmal die Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen Also ist es doch möglich, eine (besser: die) Menge zu betrachten, die gar keine Elemente besitzt Sicherlich haben Sie davon gehört, sie heißt die leere Menge Mir geht es hier nur darum, zu zeigen, dass dieser Begriff in ziemlich natürlicher Weise entstanden ist und nicht irgendeine abstrakte Idee eines Mathematikers, der den Begriff einer Menge in einer Richtung strapazieren will, die fern jeder Realität liegt Definition 115 Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt die leere Menge und wird mit bezeichnet Also füge ich hinzu: 114(iii) g 1 ({1, 3, 5, 7}) = und stelle fest, dass ich das durch die bisherige Diskussion auch bewiesen haben 9

11 Beim Beweis von 114(i),(ii) muss die Gleichheit von zwei Mengen bewiesen werden Nun besagt 14(ii), dass zwei Mengen L und M gleich sind, wenn M L und L M gilt Ich werde diese Aussage im Folgenden benutzen (und nach aller Erfahrung sollten Sie das zu Beginn auch so tun!) Beweis von 114 Ich gehe davon aus, dass die folgende Notation sich selbst erklärt: (i) Zur Vereinfachung der Schreibweise sei G die Menge aller geraden natürlichen Zahlen Es sei y g(n) beliebig, aber fest, dann gibt es ein x N so dass gilt g(x) = y 1 Fall: x ist gerade, dann folgt g(x) = 17 G {0} {17} 2 Fall: x ist ungerade, dann gilt g(x) = x 1 Also ist g(x) gerade Weiterhin gilt x 1 und daher g(x) 0 Falls x 2 gilt, folgt g(x) = x 1 N und daher g(x) G Andernfalls gilt x = 1 und damit g(x) = x 1 = 0 {0} Insgesamt folgt y = g(x) G {0} und daher y = g(x) G {0} {17} Es sei y G {0} {17} beliebig, aber fest Dann gilt y G oder y = 0 oder y = 17 Aus y G folgt, dass y+1 N ungerade ist und es folgt g(y+1) = (y+1) 1 = y, also y g(n) Aus y = 0 folgt 0 = g(1) g(n) Aus y = 17 folgt 17 = g(2) g(n) Die Behauptung folgt jetzt aus 14(ii) (ii) Es sei x g 1 (N) beliebig, aber fest, dann folgt g(x) N 1 Fall: x ist gerade, dann folgt x {z Z : z ist gerade} und daher erst recht x {z Z : z ist gerade} {n N : n 2} 2 Fall x ist ungerade, dann folgt x 1 = g(x) N und daher x 1 1, also x 2 Es sei x {z Z : z ist gerade} {n N : n 2} 1 Fall x Z ist gerade, dann folgt g(x) = 17 N und daher x g 1 (N) 2 Fall Es sei x N, x 2 beliebig Falls x gerade ist, folgt wieder g(x) = 17 N und daraus x g 1 (N) Falls x ungerade ist, folgt g(x) = x 1 N und daher x g 1 (N) Die Behauptung folgt jetzt wieder aus 14(ii) Es wird in der Mathematik immer dann besonders interessant, wenn mehrere Operationen zusammentreffen In diesem Fall ist also die Frage, wie sich das Bild oder Urbild von Mengen berechnet, die ihrerseits Vereinigungen oder Durchschnitte von Mengen sind Da ist die Lage ganz gut, mit einer Ausnahme: 10

12 Proposition 116 Es seien M, L Mengen, f : M L eine Abbildung und A, C M sowie B, D L Dann gelten: (i) f(a C) = f(a) f(c) In der Regel gilt nicht die Gleichheit (ii) f(a C) f(a) f(c) (iii) f 1 (B D) = f 1 (B) f 1 (D) (iv) f 1 (B D) = f 1 (B) f 1 (D) Beweis Ich zeige (ii) und (iii) (ii) Es sei y f(a C) beliebig, aber fest Dann gibt es ein x A C so dass gilt y = f(x) Es folgt x A und x C Aus x A folgt y = f(x) f(a) Aus x C folgt y = f(x) f(c) Insgesamt erhält man y f(a) und y f(c) und daraus y f(a) f(c) Um zu zeigen, dass im allgemeinen nicht die Gleichheit gilt, reicht es ein Beispiel anzugeben, bei dem diese Gleichheit nicht gilt Man definiere f : {1, 2} N durch f(1) = f(2) = 1 und setze A = {1} und B = {2} Dann gilt A B = und f(a) f(b) = {1} und daher f(a B) f(a) f(b) Sollten Sie dieses Beispiel für zu künstlich halten, definieren Sie g : Z Z durch g(x) = x 2 und setzen A = { 2, 1, 0, 1} und B = { 1, 0, 1, 2} Dann gilt A B = { 1, 0, 1} und daher f(a B) = {0, 1} Andererseits gilt f(a) = f(b) = {0, 1, 4} und daher f(a B) f(a) f(b) (iii) Ich zeige wieder, dass f 1 (B D) f 1 (B) f 1 (D) und f 1 (B D) f 1 (B) f 1 (D) gelten: : Es sei x f 1 (B D) beliebig, aber fest Dann gilt f(x) B D und daher f(x) B oder f(x) D Im ersten Fall gilt x f 1 (B) und daher x f 1 (B) f 1 (D) und im zweiten Fall gilt x f 1 (D) und daher x f 1 (B) f 1 (D) Also folgt in jedem Fall x f 1 (B) f 1 (D) : Es sei x f 1 (B) f 1 (D), dann gilt x f 1 (B) oder x f 1 (D) Es folgt f(x) B oder f(x) D Man erhält f(x) B D und daraus x f 1 (B D) Wie schon nach 111 festgestellt, ist eine Abbildung f : M L genau dann bijektiv, wenn es zu jedem y L genau ein x M so gibt, dass gilt f(x) = y Diese Beschreibungsweise erlaubt die Definition der Umkehrabbildung: 11

13 Definition 117 Es seien M und L Mengen und f : M L eine bijektive Abbildung Dann definiere man eine Abbildung f 1 : L M auf die folgende Weise: Es sei y L Da f bijektiv ist, gibt es genau ein x y M für das f(x y ) = y gilt Dann setze man Beispiel 118 Man definiere f 1 (y) = x y f : Z Z durch f(x) = x + 1 Dann ist f bijektiv Sei nun y Z, dann gilt f(y 1) = x, also folgt x y = y 1 und daher ist f 1 definiert durch f 1 (y) = y 1 Bemerkung 119 Es seien f : M L eine bijektive Abbildung und B L Dann ist f 1 (B) auf zweifache Weise definiert, nämlich als Urbild von B unter f und als Bild von B unter f 1 Man überlegt sich leicht, dass man in beiden Fällen dieselbe Menge erhält Wichtig ist, dass g 1 (B) für jede Abbildung g : M L definiert ist Definition 120 Es seien K, L, M Mengen und f : K L und g : L M Abbildungen Dann definiere man durch g f : K M g f(x) = g(f(x)) Man nennt g f Hintereinanderausführung oder Komposition von f und g W A R N U N G Das Symbol g f suggeriert, dass zunächst die Abbildung g und dann die Abbildung f ausgeführt wird Das ist nicht der Fall, die Umkehrung ist richtig Der Grund, warum man diese Schreibweise dennoch beibehält, ist (außer natürlich der Erziehung junger Mathematiker(innen) zur Sorgfalt) der folgende: Stellen Sie sich vor, man würde die natürliche Reihenfolge wählen, sagen wir, man definiere f g durch f g(x) = g(f(x)), dann gälte für eine weitere Abbildung h : M P : (f g) h(x) = h(f g)(x)) = h(g(f(x)) Ein wenig verwirrend, finden Sie nicht auch? 12

14 Bemerkung 121 Wenn f : K L und g : M P Abbildungen sind, ist g f nur dann definiert, wenn L = M gilt Dann ist aber keineswegs klar, ob f g definiert ist, denn dann muss ja P = K sein Aber selbst, wenn g f und f g definiert sind, gilt in der Regel g f f g Als einfaches Beispiel definiere man f, g : R R durch Dann gilt für alle x R: f(x) = x 2 und g(x) = 2x g f(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 2x 2 und und wegen folgt g f f g f g(x) = f(g(x)) = f(2x) = (2x) 2 = 4x 2 g f(1) = 2 4 = f g(1) Definition 122 Es seien M und L Mengen Dann heißt M L = {(x, y) : x M, y L} das kartesische Produkt von M und L Die Elemente aus M L heißen geordnete Paare und es gilt für alle (x, y) M L und alle (u, v) M L: (x, y) = (u, v) x = u und y = v Allgemeiner seien n eine natürliche Zahl und M 1, M n Mengen Dann heißt M 1 M n = {(x 1, x n ) : x 1 M 1,, x n M n } das kartesische Produkt der Mengen M 1,, M n Die Elemente aus M 1 M n heißen n-tupel und es gilt für alle (x 1,, x n ), (y 1,, y n ) M 1 M n : (x 1,, x n ) = (y 1, y n ) x i = y i für alle i = 1, n Gilt speziell M = M 1 = = M n, dann schreibt man Bekanntestes Beispiel ist wohl M 1 M n = M n R 2 = R R = {(x, y) : x, y R} 13

15 Es ist denkbar, dass Sie in der Schule ein geordnetes Paar in der Form (x/y) oder (x y) geschrieben haben Das ist aber gleichgültig, wichtig ist, dass Sie aus der Schreibweise ersehen können, welches die 1 Komponente und welches die 2 Komponente ist So ist es auch denkbar, ein geordnetes Paar in der Form ( ) x y zu schreiben Dies werde ich später auch tun Der Grund, warum man dies in der Regel vermeidet, ist die Tatsache, dass diese Schreibweise sehr viel Platz verbraucht: (x 1,, x n ) braucht eine Zeile, einige mehr x 1 x n Es ist relativ lästig, Beweise immer mit den Formulierungen und daraus folgt oder das impliziert oder man erhält zu führen, daher gibt es dafür eine Kurzschreibweise: Bezeichnungsweise 123 Es seien A und B Aussagen Dann schreibt man und A = B B = A wenn B aus A folgt Man sagt dann auch, dass A hinreichend für B ist und dass B notwendig für A ist Weiterhin schreibt man A B wenn B aus A folgt und A aus B folgt Man sagt dann, dass A notwendig und hinreichend für B ist oder dass A äquivalent zu B ist oder: A gilt genau dann (dann und nur dann), wenn B gilt Ich werde in der Regel die letzte Sprechweise benutzen Beachten Sie unbedingt, dass die Aussage A B im Grunde zwei Aussagen enthält, nämlich A = B und B = A Es ist ein typischer Anfänger(innen)- fehler hier eine Richtung zu übersehen! 14

16 Kapitel 2 Körper Eine der Stärken der Mathematik besteht darin, dass sie in scheinbar vollkommen verschiedenen Bereichen identische Strukturen herausfiltert und durch das Studium dieser Strukturen Ergebnisse findet, die in diesen verschiedenen Bereichen Gültigkeit haben Dies hat den Vorteil der Ökonomie, man muss die Ergebnisse nicht jedes Mal neu beweisen, aber der Nachteil ist, dass die betrachteten Strukturen ja durch Abstraktion von den konkreten Gegebenheiten entstehen und daher notwendigerweise abstrakt sind Dies macht sie für den Anfänger und die Anfängerin einigermaßen gewöhnungsbedürftig, aber es lohnt sich! Die erste Struktur, die ich betrachten werde, ist die wohl einfachste algebraische Struktur: Eine Operation auf einer Menge G ordnet je zwei Elementen aus G ein weiteres zu Es gibt davon jede Menge: Die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division von (reellen) Zahlen, die Addition oder Multiplikation von Abbildungen, die Hintereinanderausführung von Abbildungen, die Multiplikation von Matrizen und viele mehr Es hat sich herausgestellt, dass man von diesen Operationen ein paar Eigenschaften verlangen muss, damit man vernünftig damit arbeiten kann Nun ist eine Operation ja einfach eine Abbildung und damit sind wir bei Definition 21 Es seien G eine Menge und : G G G eine Abbildung Das Paar (G, ) heißt Gruppe, wenn gelten (dabei schreibt man x y = (x, y)): (G1) (x y) z = x (y z) für alle x, y, z G (G2) Es gibt ein Element e G so dass gilt e x = x e = x für alle x G (G3) Zu jedem x G gibt es ein x G so dass gilt x x = x x = e Die Gruppe (G, ) heißt kommutativ oder Abelsch, wenn gilt 15

17 (G4) Es gilt x y = y x für alle x, y G Zu (G1) - (G3) gibt es Namen: Man nennt (G1) das Assoziativgesetz, in (G2) nennt man e ein neutrales Element und in (G3) nennt man x ein zu x inverses Element Schließlich nennt man (innere) Verknüpfung oder auch Operation Beispiele 22 (i) (Z, +) und (R, +) sind kommutative Gruppen (ii) (R, ) ist keine Gruppe (iii) Es sei R = R \ {0} = {x R : x 0} dann ist (R, ) eine kommutative Gruppe (iv) Es sei G = {a} eine Menge mit einem Element Man definiere : G G G durch a a = a Dann ist (G, ) eine kommutative Gruppe (v) Gruppen kann man manchmal mit sogenannten Gruppentafeln definieren: Es sei G = {a, b}, dann definiere man durch die folgende Tafel: a b a a b b b a Dieses Schema ist so zu interpretieren: Um x y zu finden, sucht man das Element in diesem Schema, das in der Zeile steht, die mit x beginnt und in der Spalte, die mit y beginnt, steht Also gilt in diesem Fall: a a = a, a b = b, b a = b, b b = a (G, ) ist eine kommutative Gruppe (vi) Es seien M eine Menge und S(M) die Menge aller bijektiven Abbildungen von M nach M Dann ist (S(M), ) eine Gruppe, die nicht kommutativ ist, wenn M mehr als zwei Elemente besitzt Beweis (i) Ich zeige, dass (Z, +) eine kommutative Gruppe ist: Für alle x, y Z gilt x + y Z also ist + : Z Z Z eine wohldefinierte Abbildung (G1) sollten Sie aus der Schule wissen (G2): Es gilt 0 + z = z + 0 = z für alle z Z also ist 0 Z ein neutrales Element 16

18 (G3): Es sei z Z, dann gilt z Z und wegen z + z = z + ( z) = 0 ist z ein zu z inverses Element (G4) sollten Sie aus der Schule wissen (ii) Angenommen, (R, ) ist eine Gruppe, dann besitzt sie ein neutrales Element e R Dann gilt e x = x für alle x R und daher e = e 1 = 1, also ist e = 1 das einzige neutrale Element in (R, ) Nun gibt es aber kein x R so dass gilt x 0 = 1 und daher hat 0 kein inverses Element, also ist (G3) nicht erfüllt (iii) Für alle x, y R gilt x, y 0 und es folgt xy 0, also xy R und daher ist : R R R in der Tat eine Abbildung Offenbar gilt das Assoziativgesetz und 1 ist ein neutrales Element Schließlich gilt x 0 für alle x R und 1/x R ist ein zu x inverses Element Schließlich gilt offenbar (G4) (iv) Hier ist wenig zu beweisen: Es gilt (a a) a = a = a (a a) also (G1) Ein neutrales Element ist a und das zu a inverse Element ist a Schliellich gilt offenbar (G4) (v) Hier ist a ein neutrales Element, das zu a inverse Element ist a und das zu b inverse Element ist b Den Nachweis von (G1) führt man am besten durch Fallunterscheidungen (vi) Dieses Beispiel spielt in der Vorlesung keine so große Rolle, der Vollständigkeit halber beweise ich es trotzdem: Zunächst ist zu zeigen, dass eine Abbildung ist Es seien also f, g S(M), dann sind f und g bijektive Abbildungen von M nach M Nach Übungsaufgabe 4 ist dann f g bijektiv, dh es gilt f g S(M) (G1) ist eine einfache Rechnung: Es seien f, g, h S(M), dann gilt für alle x M: und Also folgt für alle x M: und daraus (f g) h(x) = (f g)(h(x) = f(g(h(x))) f (g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) (f g) h(x) = f (g h)(x) (f g) h = f (g h) also (G1) (G2) : Ein neutrales Element in S(M) ist id M Offenbar ist id M bijektiv und es gilt für alle f S(M) und alle x M: id M f(x) = id M (f(x)) = f(x) 17

19 und f id M (x) = f(id M (x)) = f(x) Es folgt id M f = f id M für alle f S(M) Also ist id M ein neutrales Element (G3): Es seien f S(M), dann kann man leicht zeigen, dass f 1 S(M) gilt und dass f 1 invers zu f ist Es bleibt zu zeigen, dass (S(M), ) nicht kommutativ ist, wenn M wenigstens drei Elemente besitzt Seien also a, b, c M drei verschieden Elemente Dann definiere man f, g : M M durch: b x = a f(x) = a x = b x sonst und c g(x) = b x x = b x = c sonst Also vertauscht f nur die Elemente a und b und g vertauscht nur die Elemente b und c und daher sind f und g bijektiv, es gilt also f, g S(M) Nun gilt: und daher f g g f f(g(b)) = f(c) = c und g(f(b)) = g(a) = a Es ist nun an der Zeit für ein paar einfache Ergebnisse Dabei ist zunächst festzustellen, dass die beiden folgenden Lemmata scheinbar offensichtlich sind Bei näherem Hinsehen stellt man fest, dass dies in der Tat nicht der Fall ist, da die Hilfsmittel, die man zur Verfügung hat (nämlich zunächst nur die Definiton einer Gruppe) sehr mager sind Beim Beweis von 23 habe ich jeden Schritt genau begründet (und so sollen Sie es zunächst auch machen), beim nächsten Lemma habe ich es mir etwas leichter gemacht (und damit Ihnen etwas schwerer) Lemma 23 Es sei (G, ) eine Gruppe Dann gelten: (i) Es gibt genau ein neutrales Element (ii) Jedes x G besitzt genau ein inverses Element Beweis (i) Es seien e und e neutrale Elemente, dann gilt weil da e ein neutrales Element ist und e e = e e e = e weil e ein neutrales Element ist, und es folgt e = e e = e 18

20 (ii) Es seien x G und x und x inverse Elemente von x, dann gilt: x = x e (G2) = x (x x ) (G3) = (x x) x (G1) = e x (G3) = x (G1) Wegen 23 nennt man ein neutrales Element das neutrale Element, und bezeichnet es mit e Ein zu x G inverses Element heißt das inverse Element und wird mit x 1 bezeichnet Das ist keine so schöne Bezeichnung, weil zb in (Z, +) ja z 1 = z gilt Lemma 24 Es seien (G, ) eine Gruppe und a, b G Dann gelten: (i) Aus a b = a folgt b = e (ii) Aus b a = a folgt b = e (iii) Aus a b = e folgt b = a 1 und a = b 1 (iv) Aus a b = a c folgt b = c (v) Aus b a = c a folgt b = c Beweis Ich überlasse es dieses Mal den Leser(inne)n, die passenden Argumente hinzufügen: (i) a b = a a 1 (a b) = a 1 a = e (a 1 a) b = e e b = e b = e (ii) analog (iii) a b = e a 1 (a b) = a 1 (a 1 a) b = a 1 e b = a 1 b = a 1 Analog der 2 Teil (iv) a b = a c a 1 (a b) = a 1 (a c) (a 1 a) b = (a 1 a) c e b = e c e b = e c b = c (v) Analog Bemerkung 25 Es sei (G, ) eine Gruppe Dann besagt dass Assoziativgesetz, dass für alle a, b, c G gilt (a b) c = a (b c) Es ist also gleichgültig, ob man zuerst die beiden ersten Elemente verknüpft und das Ergebnis dann mit dem dritten verknüpft oder zuerst die beiden letzten Elemente verknüpft und das erste Element dann mit dem Ergebnis verknüpft Nun kommt es vor, dass man mehr als drei Elemente verknüpfen will: Es sei d ein 19

21 weiteres Element, dann kann man auf die folgenden Weisen klammern: ((a b) c) d, a (b (c d)), (a b) (c d), (a (b c)) d, a ((b c) d) und diese Ausdrücke sind alle gleich: Man erhält ((a b) c) d = (a b) (c d), wenn man das Assoziativgesetz auf a b, c, d anwendet, (a b) (c d) = a (b (c d)), wenn man das Assoziativgesetz auf a, b, c d anwendet, a (b (c d)) = a ((b c) d), wenn man das Assoziativgesetz auf b, c, d anwendet, und a ((b c) d) = (a (b c)) d, wenn man das Assoziativgesetz auf a, b c, d anwendet Man kann sich überlegen (leider ist das, schon bei der Formulierung, ziemlich mühselig), dass es bei der Berechnung der Komposition von mehreren Elementen gleichgültig ist, wie man sie klammert Daher setzt man für Elemente a 1,, a n G a 1 a n = ( ((a 1 a 2 ) a 3 ) a n 1 ) a n und zur Berechnung dieses Ausdrucks kann man irgendeine Klammerung benutzen Aus 24 folgt, dass alle Elemente, die in einer Gruppentafel in einer Zeile neben dem Strich stehen, verschieden sein müssen, denn die Verknüpfung eines Elementes mit verschiedenen Elementen ergibt verschiedene Elemente Analog müssen alle Elemente, die in einer Spalte unter dem Strich stehen, verschieden sein Dies erlaubt es, ziemlich einfach alle Gruppentafeln von Gruppen mit wenigen Elementen zu konstruieren: Beispiel 26 Es sei zunächst (G, ) eine Gruppe mit 3 Elementen Wie üblich sei e das neutrale Element, dann gilt G = {e, a, b} Die Gruppentafel hat dann zunächst das Aussehen: e a b e e a b a a b b Nun steht in der dritten Zeile hinter dem Strich nacheinander a e, a a, a b Wenn nun x y gilt, folgt a x a y nach 24, also kann das Element in 3 20

22 Zeile und 3 Spalte nicht a sein, kann also nur e oder b sein Wenn es e ist, muss in der letzen Spalte dieser Zeile b stehen, also gälte e b = a b was wiederum 24 widerspricht Also erhält man: e a b e e a b a a b b b und erhält nach demselben Prinzip die folgende Gruppentafel: e a b e e a b a a b e b b e a Wir haben also bisher gezeigt: Wenn es eine Gruppe mit 3 Elementen gibt, ist das ihre Gruppentafel Um zu zeigen, dass diese Tafel wirklich die Gruppentafel einer Menge mit den Elementen e, a, b ist, muss man die Gruppenaxiome nachrechnen Dabei sind (G2) und (G3) einfach: Offenbar ist e ein neutrales Element, e invers zu sich selbst, a invers zu b und b invers zu a Offenbar gilt auch (G4), problematischer ist (G1) Hier ist zu zeigen, dass gilt (x y) z = x (y z) für alle x, y, z G Da kann man nur alle Kombinationen ausprobieren Da es für x, y, z je drei Möglichkeiten gibt, muss man = 27 Fälle ausprovieren Das kann man mit ein bißchen Geschick reduzieren Es sei nun (G, ) eine Gruppe mit 4 Elementen und neutralem Element e Dann gilt also: G = {e, a, b, c} und man erhält zunächst: e a b c e e a b c a a b b c c Nun kann nicht a a = a gelten, aber es kann a a = b, a a = c, oder a a = e gelten Alle Möglichkeiten existieren, ich nehme zuerst an, dass a a = b gilt: e a b c e e a b c a a b b b c c 21

23 Dann kann in der 3 Zeile nur noch e und c fehlen, da c aber in der 5 Spalte steht, muss c in die 4 Spalte und dann bleibt nur noch e für die 5 Spalte übrig: Analoges gilt natürlich für die 3 Spalte: e a b c e e a b c a a b c e b b c c e a b c e e a b c a a b c e b b c c c e Dasselbe Argument wie im 1 Schritt zeigt, dass in der 4 Spalte erst e und dann a stehen muss: und der Rest ist klar: e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b Ähnlich geht man vor, wenn a a = c gilt Anders ist die Lage, wenn a a = e gilt: e a b c e e a b c a a e b b c c Mit den üblichen Argumenten kann man die 3 Zeile und 3 Spalte füllen: e a b c e e a b c a a e c b b b c c c b 22

24 In der 4 Zeile und 4 Spalte kann nun e oder a stehen Sei zunächst b b = e: e a b c e e a b c a a e c b b b c e c c b Dann kann man die Tafel sofort auffüllen: und daraus e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e folgern Wenn nun b b = a gilt, erhält man: und mit den denselben Argumenten: e a b c e e a b c a a e c b b b c a c c b e a b c e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Es bleibt die Frage, wie man beweist, dass die drei Tafeln (und die 4, die ich nicht ausgerechnet habe) Gruppentafeln sind Nun, auch hier sind das neutrale Element und die inversen Elemente kein Problem, das kann man einfach ablesen Wie steht es aber mit dem Assoziativgesetz? Es ist zu zeigen, dass für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z) 23

25 Da es für x, y, z jeweils 4 Möglichkeiten gibt, sind insgesamt 4 3 = 64 Fälle zu diskutieren Das ist nun ziemlich aufwendig, und was macht man, wenn die Gruppe 17 Elemente besitzt? Nun, die Prozedur besteht darin, dass man sich überlegt, wie man aus bekannten Gruppen neue bekommt, die die gewünschten Eigenschaften haben (zb eine mit 17 Elementen) In der Tat sind alle angegebenen Tafeln Gruppentafeln Ich komme nun zu der üblichen Frage: Wie kann man aus bekannten Gruppen neue konstruieren Da gibt es zunächst Definition 27 Es sei (G, ) eine Gruppe Eine Menge U G heißt Untergruppe von (G, ), wenn U mit der eingeschränkten Komposition eine Gruppe ist, wenn also gelten: (U1) Für alle x, y U gilt x y U (U2) e U (U3) Für alle x U gilt x 1 U Beispiele 28 (i) Z ist eine Untergruppe von (R, +) (ii) Für alle k N sei kz = {kz : z Z} Dann ist kz eine Untergruppe von (Z, +) (iii) N und N 0 = N {0} sind keine Untergruppen von (Z, +) Proposition 29 Es sei (G, ) eine Gruppe Eine Menge U G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn gelten: (i) U (ii) Für alle x, y U gilt x y 1 U Beweis Man beachte, dass die Aussage genau dann, wenn zwei Aussagen enthält Da dies das erste Mal in dieser Vorlesung der Fall ist, führe ich den Beweis sehr präzise: Voraussetzung U ist Untergruppe Behauptung Es gelten (i) und (ii) Beweis Nach (U2) gilt e U und daher U, also (i) Es seien x, y U, dann gilt y 1 U nach (U3) und daher x y 1 U nach (U2) Es folgt (ii) 24

26 Voraussetzung Es gelten (i) und (ii) Behauptung U ist Untergruppe Beweis (U2): Nach (i) gibt es ein x U Aus (ii) folgt dann e = x x 1 U (U3): Es sei x U Da (U2) gilt, folgt e U und daher x 1 = e x 1 U nach (ii) (U1): Es gelte x, y U Dann folgt x, y 1 U nach (U3) und daraus x (y 1 ) 1 U nach (ii) Nach Übungsaufgabe 9a gilt aber (y 1 ) 1 = y und es folgt x y U Beispiel 210 Es seien (G 1, ) und (G 2, ) Gruppen Man definiere durch : (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ) G 1 G 2 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) Dann ist (G 1 G 2, ) eine Gruppe, die kommutativ ist, wenn (G 1, ) und (G 2, ) kommutativ sind Man nennt (G 1 G 2, ) das Produkt von (G 1, ) und (G 2, ) Beweis Man beachte, dass ich die Verknüpfung in allen Gruppen mit bezeichnet habe Offenbar gilt (x 1 x 2, y 1 y 2 ) G 1 G 2 für alle (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) G 1 G 2 und daher ist eine Verknüpfung auf G 1 G 2 (G1): Für alle (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) G 1 G 2 gilt: ((x 1, y 1 ) (x 2, y 2 )) (x 3, y 3 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) (x 3, y 3 ) = ((x 1 x 2 ) x 3, (y 1 y 2 ) y 3 ) = ((x 1 (x 2 x 3 ), (y 1 (y 2 y 3 ))) = (x 1, y 1 ) (x 2 x 3, y 2 y 3 ) = (x 1, y 1 ) ((x 2, y 2 ) (x 3, y 3 )) (G2) Es seien e 1 bzw e 2 die neutralen Elemente in G 1 bzw G 2, dann folgt für alle (x, y) G 1 G 2 : (x, y) (e 1, e 2 ) = (x e 1, y e 2 ) = (x, y) = (e 1 x, e 2 y) = (e 1, e 2 ) (x, y) also ist (e 1, e 2 ) ein neutrales Element (G3) Es sei (x, y) G 1 G 2, dann gilt (x 1, y 1 ) (x, y) = (x 1 x, y 1 y = (e 1, e 2 ) = (x x 1, y y 1 ) = (x, y) (x 1, y 1 ) also ist (x 1, y 1 ) invers zu (x, y) 25

27 Es seien G 1 und G 2 kommutativ, dann gilt für alle (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) G 1 G 2 : (x 1, y 1 ) (x 2 y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) 210 ist ein Spezialfall des Produkts von endlich vielen Gruppen, der Beweis der folgenden Proposition erfolgt völlig analog: Proposition 211 Es seien (G 1, ),, (G n, ) Gruppen Man definiere : (G 1 G n ) (G 1 G n ) G 1 G n durch (x 1,, x n ) (y 1,, y n ) = (x 1 y 1,, x n y n ) Dann ist (G 1 G n, ) eine Gruppe, die kommutativ ist, wenn G 1,, G n kommutativ sind Man nennt (G 1 G n, ) die Produktgruppe der Gruppen (G 1, ),, (G n, ) Beispiel 212 R n = R R ist zusammen mit der Operation + : R n R n R n definiert durch eine kommutative Gruppe Bezeichnungsweisen 213 (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) (i) Üblicherweise schreibt man für eine Gruppe (G, ) kurz G, wenn klar ist, welche Komposition gemeint ist So stehen Z, R, R oder S(M) für (Z, +), (R, +), (R, ) bzw (S(M), ) (Zur Erinnerung: Nach 22(iii) bezeichnet R = R \ {0} die Menge aller reellen Zahlen, die von 0 verschieden sind) (ii) Üblicherweise bezeichnet man die Komposition in einer kommutativen Gruppe mit + Das neutrale Element wird dann mit 0 bezeichnet und das zu einem Element x G inverse Element wird mit x bezeichnet Schließlich setzt man für alle x, y G x y = x + ( y) Man beachte, dass nach 29(ii) eine Teilmenge U einer kommutativen Gruppe G genau dann eine Untergruppe ist, wenn (i) U gilt und (ii) x y U für alle x, y U gilt Weiterhin schreibt sich Übungsaufgabe 9a) in der folgenden Weise: Es sei (G, +) eine kommutative Gruppe Dann gelten für alle x, y G: (x + y) = y x und ( x) = x 26

28 Ich komme nun zu einer neuen Konstruktion, die im Gegensatz zu den bisherigen beiden etwas aufwendiger ist, die Faktor- oder Quotientengruppen Dazu braucht man zunächt den Begriff der Äquivalenzrelation: Definition 214 Es sei M eine Menge Jede Teilmenge ρ M M heißt Relation auf M Man schreibt in der Regel für x, y M: xρy (x, y) ρ Eine Relation ρ auf M heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle x, y, z M gelten: Für x M heißt (R) xρx Reflexivität (S) aus xρy folgt yρx Symmetrie (T) aus xρy und yρz folgt xρz Transitivität die Äquivalenzklasse von x und [x] ρ = {y M : yρx} M/ρ = {[x] ρ : x M} heißt die Quotienten- oder Faktor-Menge von M nach ρ Falls die Äquivalenzrelation ρ klar ist, schreibt man oft [x] für [x] ρ Das ist nun wieder so etwas Ungewohntes: Die Elemente der Quotientenmenge sind ihrerseits Mengen, nämlich die Äquivalenzklassen Bevor ich mathematische Beispiele von Äquivalenzrelationen angebe, hier ein paar aus der realen Welt: Beispiel 215 Auf der Menge M aller Studierenden in einem Hörsaal definiere man Relationen ρ, σ und τ durch xρy x und y sind in demselben Jahr geboren xσy x und y wohnen in derselben Straße xτ y x und y haben dieselbe Matrikelnummer Dann sind ρ, σ und τ Äquivalenzrelationen Für alle x M ist [x] ρ die Menge aller Studierenden, die in demselben Jahr wie x geboren sind, [x] σ die Menge aller Studierenden, die in derselben Straße wie x wohnen und [x] τ die Menge aller Studierenden, die dieselbe Matrikelnummer wie x haben, also gilt vermutlich [x] τ = {x} 27

29 Äquivalenzrelationen sind kein ganz einfaches Objekt Bevor ich weiter darüber rede, zeige ich zunächst: Lemma 216 Es seien X eine Menge und ρ eine Äquivalenzrelation auf X Dann gelten: (i) x [x] ρ für alle x X (ii) Für alle x, y X gilt [x] ρ = [y] ρ oder [x] ρ [y] ρ = Beweis Für alle x X setze man [x] = [x] ρ (i) Wegen (R) gilt xρx für alle x X und daher x [x] (ii) Es seien x, y X und es gelte [x] [y] Dann ist zu zeigen, dass [x] = [y] gilt : Es sei z [x], dann gilt zρx Nach Voraussetzung gibt es ein w [x] [y] Also gilt wρx und wρy Aus (S) folgt dann xρw, also erhält man zρx, xρw, wρy Aus (T) folgt dann zρw und daraus zρy, also z [y] : Nach Voraussetzung gilt [y] [x] und aus dem ersten Teil folgt dann [y] [x] Nach 216 zerlegt eine Äquivalenzrelation eine Menge in disjunkte Teilmengen und die Elemente aus M/ρ sind genau diese disjunkten Teilmengen Man kann übrigens zeigen, dass es zu einer Zerlegung von M genau eine Äquivalenzrelation gibt, so dass die Äquivalenzklassen genau die Mengen der Zerlegung sind Bevor ich ein weiteres mathematisches Beispiel einer Äquivalenzrelation zeige, beweise ich ein einfaches, aber oft nützliches Lemma: Lemma 217 Es sei ρ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M und x, y M Dann sind äquivalent: (i) xρy (ii) x [y] (iii) [x] [y] (vi) [x] = [y] Beweis Es ist natürlich zu beweisen, dass je zwei dieser vier Aussagen äquivalent sind, dass also (i) (ii), (i) (iii ), (i) (iv), (ii) (iii), (ii) (iii) und (iii) (iv) gelten Dazu reicht es natürlich aus, zb zu zeigen, dass (i) (ii), (ii) (iii) und (iii) (iv) gelten Aber auch das kann man noch vereinfachen, indem man einen sogenannten Ringschluss durchführt: Man 28

30 beweist zb : (i) (ii) (iii) (iv) (i) Es ist wohl klar, dass die anderen Implikationen daraus folgen (i) (ii) : Aus xρy folgt x [y] nach Definition von [y] (ii) (iii) Es sei z [x] beliebig, dann folgt zρx Aus x [y] folgt xρy und daraus zρy mit (T), also z [y] (iii) (iv) : Nach 216(i) gilt x [x] Wegen [x] [y] folgt x [y] und daher x [x] [y], also gilt [x] [y] und daraus [x] = [y] mit 216(ii) (iv) (i) : Aus x [x] = [y] folgt xρy Proposition 218 Es seien G eine kommutative Gruppe und U G eine Untergruppe Dann wird durch xρ U y y x U eine Äquivalenzrelation auf G definiert Es gilt für alle x G: [x] = x + U = {x + y : y U} Man setzt G/U = G/ρ U Beweis Man setze ρ = ρ U (R): Für alle x G gilt x x = 0 U nach (U1) und daher xρx (S): Es seien x, y G und es gelte xρy, dann folgt y x U und daraus folgt mit (U3), dass gilt (x y) = y x U, also yρx Die letzte Gleichung ist dabei ÜA 9a) (T) Es gelte xρy und yρz, dann folgt y x U und z y U und daraus mit (U2): z x = (z y) + (y x) U also xρz Es bleibt zu zeigen, dass [x] = x + U gilt: : Es sei y [x], dann folgt yρx und daraus xρy, also y x U Man erhält y = x + (y x) x + U : Es sei y x+u, dann gibt es ein z U mit y = x+z Es folgt y x = z U und daraus xρy, also yρx, dh y [x] Beispiel 219 Es sei k N Dann ist kz = {kz : z Z} Z nach 28(ii) eine Untergruppe von Z Die Äquivalenzklassen, also also die Elemente von Z/kZ sind dann [0], [1],, [k 1] Also enthält Z/kZ genau k Elemente 29

31 Beweis Man beachte dass [x] = x + kz nach 218 für alle x Z gilt, so dass man die Elemente aus Z/kZ auch in der Form schreiben kann kz, 1 + kz,, k 1 + kz Zum eigentlichen Beweis brauche ich einige Eigenschaften der natürlichen Zahlen, die in der Analysis bewiesen werden Ich nehme aber an, dass sie Ihnen alle vertraut sind, so dass Sie dem Beweis folgen können: Ich muss zeigen, dass alle Äquivalenzklassen vorkommen und keine zweimal vorhanden ist Also nehme ich zunächst an, dass 0 i < j k 1 gilt Dann folgt 0 < j i k 1 < k und daraus j i / kz Also gilt [i] [j] Es sei nun [x] irgendeine Äquivalenzklasse, dann gilt [x] = x+kz, also enthält [x] natürliche Zahlen, es sei n die kleinste nicht-negative ganze in [x], dann gilt nρx und daher [x] = [n] = n + kz nach 217 Ich zeige, dass n k 1 gilt: Angenommen, n k, dann gilt n > n k 0 und wegen (n k)ρn folgt [n k] = [n] = [x] und n ist nicht das kleinste Element in [x] Widerspruch Beispiel 220 Es seien α R Man definiere U = {(x, y) R 2 : y = αx} R 2 dann ist U eine Untergruppe von R 2 In der Tat ist U die Menge aller Punkte aus R 2 die auf der Geraden mit der Gleichung y = αx liegen Es seien nun (x 0, y 0 ) R 2 und (x, y) R 2, dann gilt (x, y) [(x 0, y 0 )] (x, y)ρ U (x 0, y 0 ) (x 0 x, y 0 y) = (x 0, y 0 ) (x, y) U y 0 y = α(x 0 x) = αx 0 αx y = αx + (y 0 αx 0 ) y = αx + (y 0 αx 0 ) (x 0, y 0 ) y = αx Also sind die Äquivalanzklassen und damit Elemente von R 2 /U gerade die Parallelen zu der Geraden mit der Gleichung y = αx 30

32 Es seien G eine kommutative Gruppe und U G eine Untergruppe Dann ist die Frage, ob man auf G/U eine Operation so definieren kann, dass G/U eine kommutative Gruppe wird Die Idee ist ganz einfach: Die Elemente aus G/U haben ja die Form [x] für ein x G, also ist es naheliegend, [x] [y] = [x + y] zu versuchen: Um zwei Äquivalenzklassen zu addieren, wählt man aus jeder ein Element, addiert die Elemente und betrachtet die Äquivalenzklasse der Summe Diese Definition hat ein Problem: Es kann ja ohne Weiteres vorkommen, dass [x] = [x ] und [y] = [y ] gilt Dann haben wir zwei Möglichkeiten: und [x] [y] = [x + y] [x ] [y ] = [x + y ] Da die beiden linken Seiten ja gleich sind, geht das nur gut, wenn auch die rechten Seiten gleich sind Wenn wir also aus [x] bzw [y] je ein neues Element x bzw y wählen, gilt natürlich in der Regel x + y x + y (und das macht auch nichts), aber muss gelten [x + y] = [x + y ]: Lemma 221 Es seien G eine kommutative Gruppe und U eine Untergruppe von G Weiter seien x, x, y, y G und es gelte [x] = [x ] und [y] = [y ], dann folgt [x + y] = [x + y ] Beweis Es gilt xρx und yρy nach 217 und daraus folgt nach Definition x x U sowie y y U und daher (x + y ) (x + y) = x + y x y = (x x) + (y y) U Dies ergibt (x + y)ρ(x + y ) und 217 liefert dann [x + y] = [x + y ] Definition 222 Es seien G eine kommutative Gruppe und U eine Untergruppe Dann definiere man : G/U G/U G/U durch [x] [y] = [x + y] (Dann ist nach 221 wohldefiniert) G/U heißt die Quotientengruppe oder Faktorgruppe von G nach U Lemma 223 Es seien G eine kommutative Gruppe und U eine Untergruppe Dann ist (G/U, ) eine kommutative Gruppe 31

33 Beweis (G1) Für alle x, y, z G gilt ([x]+[y])+[z] = [x+y]+[z] = [(x+y)+z] = [x+(y+z)] = [x]+[y+z] = [x]+([y]+[z]) (G2) Fïr alle x G gilt also ist [0] ein neutrales Element (G3) Es sei x G, dann gilt also ist [ x] invers zu [x] (G4) Für alle x, y G gilt: [x] + [0] = [x + 0] = [x] = [0 + x] = [0] + [x] [ x] + [x] = [ x + x] = [0] = [x + ( x)] = [x] + [ x] [x] + [y] = [x + y] = [y + x] = [y] + [x] Damit ist die Konstruktion der Quotientengruppe beendet Beachten Sie, dass die Beweise sehr kurz sind, die Schwierigkeit besteht also fast ausschließlich darin, sich daran zu gewöhnen, dass man eine Menge betrachtet, deren Elemente ihrerseits Mengen sind und dass man diese Mengen dann sogar noch addieren kann Beispiel 224 Es sei k N Nach 219 besteht Z/kZ aus den k verschiedenen Elementen {[0], [1],, [k 1]} Also ist (Z/kZ, ) eine kommutative Gruppe mit k Elementen Wie addiert man nun zwei Elemente aus Z/kZ? Nun, es seien 0 r, s k 1 dann gilt [r] [s] = [r + s] Falls r + s k 1 gilt, ist nichts mehr zu tun, was passiert, wenn r + s k gilt? Es gilt immer noch [r] + [s] = [r + s], aber r + s taucht nicht in der obigen Liste auf Dass kann man aber schnell lösen: Falls r+s k gilt, gilt 0ler+s k k 1 und aus r + s (r + s k) = k kz folgt [r + s k] = [r + s] Man erhält also [r + s] = [r + s k] Beispiel 225 Wie sieht die Gruppentafel von Z/4Z aus: Es gilt Z/4Z = {[0], [1], [2], [3]} und weiterhin [1] [1] = [2], [1] [2] = [3] 32

34 sowie [1] [3] = [1 + 3] = [4] = [4 4] = [0] Analog löst man die anderen Rechnungen und erhält die folgende Gruppentafel: [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] Die Gruppentafel aus 225 erhält man, wenn man in der Tafel auf Seite 22 Mitte e, a, b, c durch [0], [1], [2], [3] ersetzt Also entsteht die eine Tafel aus der anderen durch Umbennung Und man überlegt sich leicht, dass die eine eine Gruppentafel ist, wenn die andere eine ist Also haben wir das Problem gelöst, eine Gruppe mit 17 Elementen zu finden: Z/17Z Es bleibt noch die Frage, wie man die vorletzte Tafel realisiert, aber das ist im Wesentlichen Z/2Z Z/2Z, wie Sie in einer Übungsaufgabe zeigen sollen Ich komme nun zu dem wichtigsten Begriff dieses Kapitels: Definition 226 Es sei K eine Menge Das Tripel (K, +, ) heißt Körper, wenn + : K K K und : K K K Kompositionen sind, so dass gelten: (A1) (x + y) + z = x + (y + z) für alle x, y, z K (A2) es gibt ein Element aus K, genannt 0 so dass gilt: 0 + x = x + 0 = x für alle x K (A3) zu jedem Element x K gibt es ein Element aus K, genannt x, so dass gilt: x + x = x + ( x) = 0 (A4) x + y = y + x für alle x, y K (M1) (x y) z = x (y z) für alle x, y, z K (M2) es gibt ein Element aus K, genannt 1, mit 1 0 so dass gilt: 1 x = x 1 = x für alle x K (M3) zu jedem Element x K, x 0 gibt es ein Element aus K, genannt x 1, so dass gilt: x 1 x = x x 1 = 1 (M4) x y = y x für alle x, y K (D) Es gilt x (y + z) = x y + x z für alle x, y, z K Dabei vereinbart man wie üblich, dass Punktrechnung vor Strichrechnung geht (D) heißt das Distributivgesetz Man nennt + bzw auch in einem beliebigen Körper Addition bzw Multiplikation 33