Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik

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1 Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik Lennart Schmidt

2 Inhaltsverzeichnis 1 Zeitlich veränderliche Felder Induktion Die Maxwell-Gleichungen Wechselstromkreise Effektivwerte Wechselstromwiderstände Filter Blindleistung und Wirkleistung Elektromagnetische Schwingungen Schwingkreise Hertz scher Dipol Abgestrahlte Leistung Elektromagnetische Wellen Wellengleichung im Vakuum Ebene Wellen Polarisation Energie und Impuls von elektromagnetischen Wellen

3 1 Zeitlich veränderliche Felder 1.1 Induktion Eine Induktionsspannung lässt sich durch 1. eine zeitliche Magnetfeldänderung 2. eine Veränderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche hervorrufen. Damit wird die Umwandlung elektrische Energie mechanische Energie (1.1) möglich (Generator, Elektromotor). Die Induktion wird beschrieben durch das Faradaysche Induktionsgesetz U ind = dφ m = d B da. (1.2) dt dt A Dies kann man auch in differentieller Form angeben, E = d dt B, (1.3) jedoch wird durch die differentielle Form nicht die Induktion durch eine Flächenänderung beschrieben. Das das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz auftritt, wird durch die Lenzsche Regel beschrieben: Ein Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. So führt die Stromänderung in einer Spule zu einer Induktionsspannung, die dieser Stromänderung entgegenwirkt. Dies ist die sogennante Selbstinduktionsspannung. Sie wird beschrieben durch U ind = L di dt. (1.4) Neben der Anwendung der Induktion zur Stromerzeugung hat sie auch große Bedeutung bei der Transformation von hohen Spannungen zu niedrigen und umgekehrt (z.b. Hochspannungsleitung Haushalt). Dazu verwendet man einen Transformator, dessen charakteristische Gleichung 3

4 lautet. U 2 U 1 = N 2 N 1 (1.5) 1.2 Die Maxwell-Gleichungen Im Vakuum lauten die Maxwell-Gleichungen: In Materie: E = B t E B = µ 0 j + µ 0 ε 0 t E = ρ ε 0 B = 0 (1.6) E = B t H = j + D t D = ρ ε 0 B = 0 (1.7) Da nun E nicht mehr rotationsfrei ist ( E 0), kann man es nicht mehr als Gradient eines Potentials darstellen. Man findet jedoch, dass (E + A/ t) = 0. Damit kann E + A/ t durch ein Potential Φ el ausgedrückt werden. Man erhält also 1.3 Wechselstromkreise Effektivwerte Für Wechselstrom E = Φ el A t. (1.8) ergibt sich für die mittlere Leistung U(t) = U 0 cos(ωt) (1.9) I(t) = I 0 cos(ωt) (1.10) Bei Gleichstrom hätte man P = 1 T T 0 dt U(t)I(t) = U 2 0 2R. (1.11) P = UI = U U R = U 2 R. (1.12) 4

5 Daher führt man Effektivwerte U eff = U 0 2 (1.13) I eff = I 0 2 (1.14) ein, sodass P = U eff I eff. (1.15) Wechselstromwiderstände Um den Formalismus der komplexen Widerstände einzuführen, schreiben wir zunächst einmal die Spannung und den Strom in komplexer Schreibweise, wobei dann jeweils der Realteil die physikalische Bedeutung hat: U(t) = U 0 e ıωt, (1.16) I(t) = I 0 e ı(ωt φ). (1.17) Hier haben wir gleich eine Phasenverschiebung φ zwischen Strom und Spannung berücksichtigt. Nun definiert man: Impedanz Z: Admittanz Y : Z = U(t) I(t) = U 0 I 0 e ıφ = R }{{} Ohmscher Widerstand +ı X }{{} Blindwiderstand. (1.18) Y = 1 Z = }{{} G +ı }{{} B Leitwert Blindleitwert Man findet für eine Spule einen reinen Blindwiderstand, und ebenso für einen Kondensator. (1.19) Z L = ıωl, (1.20) Z C = 1 ıωc (1.21) 5

6 1.3.3 Filter Hochpassfilter U = RI, U in = U out = RI ( R I = const. ) I ı ωc U out R = U in R ı/ωc Wir definieren die Übertragungsfunktion H(ω) als (1.22) Für den Hochpassfilter erhält man H(ω) = U out U in. (1.23) H(ω) = ωrc ω 2 R 2 C 2 + 1, (1.24) tan φ = 1 ωrc, (1.25) wobei φ die Phasenverschiebung zwischen U in und U out ist. Abbildung 1.1: Hochpassfilter Tiefpassfilter H(ω) = 1 ω 2 R 2 C 2 + 1, (1.26) tan φ = ωrc, (1.27) 6

7 Abbildung 1.2: Tiefpassfilter Bandpassfilter H(ω) = R R 2 + (ωl 1/ωC) 2 (1.28) Maximum bei ω R = 1/ LC. Abbildung 1.3: Bandpassfilter Blindleistung und Wirkleistung Mit U = ZI = (R + ıx) I erhält man P (t) }{{} Scheinleistung = RI0 2 cos 2 (ωt) }{{} Wirkleistung + XI 2 0 cos(ωt + π 2 ) cos(ωt) }{{} Blindleistung Nur die Wirkleistung wird dem Stromkreis im Mittel entzogen.. (1.29) 7

8 Abbildung 1.4: Sperrfilter 8

9 2 Elektromagnetische Schwingungen 2.1 Schwingkreise Für den in Abb. 2.1 dargestellten Stromkreis gilt nach den Kirchhoffschen Regeln Abbildung 2.1: Elektromagnetischer Schwingkreis RI + Q C + LdI dt = 0. (2.1) Leiten wir dies nach der Zeit ab, so erhalten wir d 2 I dt 2 + R di L dt + 1 LC I = 0, (2.2) was die Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung ist. Der Lösungsansatz, der zu 3 verschiedenen Lösungen führt, ist durch I(t) = ce λt (2.3) gegeben. In Tabelle (2.1) ist die Analogie zwischen den hier vorliegenden elektromagnetischen Schwingungen und den mechanischen Schwingungen ausgeführt. 9

10 elektromagnetisch mechanisch L m 1/C Federkonst. κ R Reibung γ Q x I v E el = Q 2 /2C E pot = Dx 2 /2 E magn = LI 2 /2 E kin = mv 2 /2 Tabelle 2.1: Analogie zwischen elektromagnetischen und mechanischen Schwingungen. 2.2 Hertz scher Dipol Wir betrachten nun einen Leiter in Stabform der Länge l. Soll in dem Stab eine elektromagnetische Schwingung stattfinden, so gilt, dass sich an den Stabenden Spannungsbäuche und Stromknoten befinden. Dies legt die möglichen Wellenlängen fest: n λ 2 = l λ = 2l, n = 1, 2,.... (2.4) n Solch eine Stabantenne kann als schwingender Dipol angesehen werden. Die Elektronen verschieben sich während der Schwingung gegen die positiv geladenen Atomrümpfe. Dies erzeugt zeitlich veränderliche E- und B-Felder, wobei man zwischen Fernfeld und Nahfeld unterscheidet. 2.3 Abgestrahlte Leistung Zur Berechnung der abgestrahlten Leistung definieren wir den Poynting-Vektor S = E H = 1 µ 0 E B (im Vakuum). (2.5) Man erhält, dass der Betrag des Poynting-Vektors gegeben ist durch mit S = cw em (Energieflussdichte), (2.6) w em = w el + w magn = 1 2 ε 0 E B 2, (2.7) 2 µ 0 der elektromagnetischen Energiedichte. Für den Hertzschen Dipol erhält man S = p2 0 ω4 sin 2 Θ 16π 2 ε 0 c 3 r 2 sin 2 (ωt kr). (2.8) Die Gesamtstrahlungsleistung im zeitlichen Mittel ergibt sich zu 10

11 P = p2 0 ω4 12πε 0 c 3. (2.9) 11

12 3 Elektromagnetische Wellen 3.1 Wellengleichung im Vakuum Aus den Maxwell-Gleichungen in Vakuum (1.6) lassen sich Wellengleichungen für E und B herleiten: c = 1/ µ 0 ɛ 0 ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit Ebene Wellen E 1 2 E c 2 t 2 = 0 (3.1) B 1 2 B c 2 t 2 = 0. (3.2) Eine mögliche Lösung der Wellengleichungen ist durch ebene Wellen gegeben. Betrachte dazu eine ebene Welle, die sich in z-richtung ausbreitet: E(r, t) = E(z, t). Damit wird die Wellengleichung für E zu 2 E z E c 2 t 2 = 0. (3.3) Mit E = 0 folgt, dass E z / z = 0 ist und damit bleibt 2 E i z E i c 2 t 2 = 0, i = x, y. (3.4) Die allgemeine Lösung solch einer Wellengleichung ist durch die Superposition einer vorwärts laufenden und einer rückwärts laufenden Welle gegeben: Ein Beispiel für so eine Lösung ist E(z, t) = f(z ct) }{{} + g(z + ct) }{{} Vorwärtswelle Rückwärtswelle (3.5) E = E 0 sin(ωt kz), (3.6) was man analog auch komplex schreiben kann E = E 0 e ı(ωt kz). (3.7) Allgemeiner mit Ausbreitungsrichtung ˆk = k/ k : 12

13 E = E 0 e ı(ωt k r), (3.8) mit Wellenvektor k, k = 2π/λ. Im Vakuum gilt B = 1 ω k E, (3.9) woraus folgt, dass B senkrecht auf k und E steht. Zudem steht auch E senkrecht auf k und damit gilt: B E k. (3.10) 3.2 Polarisation Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, wie eine elektromagnetische Welle polarisiert sein kann: linear, zirkular, elliptisch, unpolarisiert. Betrachte dazu eine elektromagnetische Welle, die sich in z-richtung ausbreitet und deren x- und y-komponenten folgende Form haben Dann können wir unterscheiden: E x = E 0x cos(ωt kz) (3.11) E y = E 0y cos(ωt kz + φ). (3.12) φ = 0 linear polarisiert φ = ± π 2, E 0x = E 0y zirkular polarisiert φ = ± π 2, E 0x E 0y elliptisch polarisiert 3.3 Energie und Impuls von elektromagnetischen Wellen Da c = E / B ergibt sich die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes zu w em = 1 2 ε 0 E B 2 = ε 0 E 2. (3.13) 2 µ 0 Damit ergibt sich für den Betrag des Poynting-Vektors S(t) = cε 0 E 2 (t). (3.14) 13

14 Bei einer ebenen Welle im Vakuum gilt, dass der Poynting-Vektor parallel zur Ausbreitungsrichtung ist: S k. Da durch eine elektromagnetische Welle auch Impuls übertragen wird, definiert man die Impulsdichte π als Damit erhält man π = S c 2. (3.15) π = ε 0 EB = w em. (3.16) c Trifft die Strahlung auf eine vollständig absorbierende Wand, so wird der Impuls π übertragen. Dies erzeugt einen Druck p rad = c π = ε 0 E 2 = w em. (3.17) Quellen: Skript Experimentalphysik II, Prof. Rief; Wikipedia 14

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