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1 Black Scholes Modell Seit dem Aufsatz von FISHER BLACK und MYRON SCHOLES haben sich die Märkte für Optionen schneller als die für jedes andere Finanzprodukt in der Geschichte entwickelt. Damals herrschte noch große Unsicherheit, wie man überhaupt eine Option bewerten sollte. Diese Unsicherheit drückte sich in breiten Margen für Brief- und Geldkurse aus, welche einen liquiden Handel behinderte und was wiederum die breiten Margen rechtfertigte. 1 Vgl. [1].

2 1 Black Scholes Formel 2 Mit dem Modell von BLACK SCHOLES gelang es erstmals, einen fairen Preis von Optionen zu bestimmen, wenn auch unter sehr restriktiven Annahmen. Aber gerade die daraus resultierende Einfachheit des Modells hat wohl zu seiner weiten Verbreitung geführt, so daß es heute für vieles als Standard-Referenz-Modell verwendet wird, und dies obwohl viele der getroffenen Annahmen in der Realität verletzt sind. 1 Black Scholes Formel Bei dem von BLACK und SCHOLES präsentierten Ansatz zur Bewertung von europäischen Aktienoptionen wird ein Portefeuille aus einer Option und einem variablen Anteil einer Aktie gebildet, so daß der Gewinn bzw. Verlust der Aktienposition bei einer Veränderung des Aktienkurses durch den der Optionsposition vollständig neutralisiert wird. Für den besonderen Fall, daß der risikolose Zins konstant und die Aktienrenditen mit konstanter Volatilität normalverteilt sind, ergibt sich, daß die gerade gewählte Zusammensetzung des Portefeuilles über einen infinitesi-

3 1 Black Scholes Formel 3 malen Zeitraum risikolos ist und sich sein Wert daher aus Arbitragegründen mit dem risikolosen Zinssatz verzinsen muß. Es ergibt sich die sogenannte Black-Scholes Differentialgleichung 2 (1) rd T S D 2 ; (1) bei der D T : den Preis des Derivates mit der Restlaufzeit T, S : den Preis der Aktie, T : die Restlaufzeit, r : den risikolosen stetigen Zinssatz, : die Standardabweichung der erwarteten stetigen Rendite (Volatilität) 2 Vgl. [1, S. 464] und [4, S. 220].

4 1 Black Scholes Formel 4 bezeichnet. Da der Wert der Optionen am Verfalltagbekannt ist, läßt sich mit diesen Randwerten die Differentialgleichung (1) lösen. Ihre Lösungen sind die Optionspreisformeln (2). C = S N(d 1 ), Xe,rT N(d 2 ) ; P = Xe,rT N(,d 2 ), S N(,d 1 ) : (2) Dabei bezeichnen ferner C : den Preis einer europäischen Call Option nach Black-Scholes, P : den Preis einer europäischen Put Option nach Black-Scholes, X : den Strikepreis, N() :die kummulierte Standard-Normalverteilungsfunktion,

5 2 Beurteilung der Modellannahmen 5 d 1 = ln(s=x) +(r + 2 =2)T p T d 2 = d 1, p T: ; (3) 2 Beurteilung der Modellannahmen Um ein perfektes Hedgeportefeuille zu bilden, kann es notwendig sein, eine nicht ganze Anzahl von Aktien im Bestand zu haben. Diese Annahme der beliebig teilbaren Wertpapiere bereitet keine wesentliche Schwierigkeit, da durch eine genügend große Anzahl von Optionen der Fehler durch eine ganze Zahl von Aktien beliebig klein gehalten werden kann. Die Annahme, daß Leerverkäufe nicht behindert werden, ist in den USA realistisch, da hier bei einigen Brokern ohne zusätzliche Kosten Aktien leer verkauft werden können, sofern ausreichend Sicherheiten in Form von Anleihen hinterlegt worden sind. In Deutschland ist ein Leerverkauf von Aktien nur möglich, wenn diese sich geliehenen werden. Die dabei entstehenden Kosten der Wertpapierleihe sind relativ gering.

6 2 Beurteilung der Modellannahmen 6 Diese Problematik tritt jedoch nicht in den Fällen auf, in denen man eine Long Position in der Aktie besitzt. Hier besteht die Short Position nämlich aus einer unproblematischen Verkleinerung der Long Position. Auch tritt die Problematik dann nicht auf, wenn sich nicht mit einer Position in Aktien, sondern in anderen Derivativen beispielsweise in Optionen längerer Restlaufzeit gehedgt wird, da die Derivate selbst aus dem Nichts geschaffen und somit stets geliefert werden können. Zur ständigen Anpassung des Hedges wird ein kontinuierlicher Handel vorausgesetzt. Tatsächlich wird der Handel aber, beispielsweise durch das Wochenende, unterbrochen. Der Hedge kann folglich während dieser Zeit nicht angepaßt werden. Dieses Problem wird jedoch dadurch abgeschwächt, daß die Kursschwankungen der Aktien im wesentlichen handelsbedingt zu sein scheinen. Als Zeitmaß sollten deshalb nicht Kalender-, sondern eher Handelstage verwendet werden. Schwerwiegender scheint jedoch die Annahme eines Handels ohne Sprünge zu sein, da das Portefeuille nur für infinitesimal kleine Kursbewegungen gehedged ist. Kleine Sprünge, die bei-

7 2 Beurteilung der Modellannahmen 7 spielsweise aus den von den Börsen vorgegebenen Quotierungsschritten (Tick-Größen) resultieren, bereiten im Gegensatz zu den größeren etwa nach der Bekanntgabe neuer Informationen kaum Probleme. Bei letzteren können jedoch nicht vernachläßigbarehedgeverlusteauftreten. Deshalb wurden schon relativ früh sogenannte Jump-Modelle entwickelt, die solche Sprünge berücksichtigen. 3 Aufden Aktienmärktenkommtes inregelmäßigen Abständen zu Übernahmen, bei denen die Aktien des übernommenen Unternehmen vom Markt verschwinden und somit wertlos werden. Dies kann vor allem bei längerfristigen Optionen zu einer unerwarteten Verkürzung der Laufzeit führen. Diese vorzeitigen Terminierungen werden im Modell von BLACK und SCHOLES nicht mit berücksichtigt. In der Differentialgleichung (1) wird einfachheitshalber angenommen, daß der Zinssatz r konstant ist. Er hängt also weder vom Aktienkurs noch von der Zeit oder dem Vorzeichen des Wertes der Position ab. Jedoch ist die Annahme einer konstanten und flachen Zinsstrukturkurve 3 Vgl. z.b. [8].

8 2 Beurteilung der Modellannahmen 8 ebenso unrealistisch wie die Annahme einer Identität von Soll- und Habenzins. Es stellt sich daher bei der Anwendung des Modells die Frage, welcher der am Markt beobachteten Zinssätze für das Modell verwendet werden sollte. MERTON 4 zeigte, daß am besten der Zinssatz eines Zerobonds gebraucht werden sollte, der dieselbe Restlaufzeit wie die Option besitzt. Da große Zinsänderungen auf monatlicher Basis meist deutlich kleiner als 0.75% sind, verändert sich der Optionspreis vor allem bei Optionen mit kurzer Restlaufzeit bei Zinsänderungen in nur relativ kleinem Ausmaß. Die vereinfachende Annahme eines konstanten Zinssatzes begründet daher für Aktienoptionen kein wesentliches Fehlerpotential. Die Besonderheit der Volatilität im Black-Scholes Modell ist, daß sie der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter ist. Da er jedoch als zeitlich konstant angenommener Parameter in die Optionspreisberechnung einfließt, resultieren daraus zwei Probleme: Die zeitliche Konstanz bildet ein nur relativ kleines Problem, da in erster Näherung die Wurzel des arithmetischen Mittels der Renditevarianzen verwendet werden kann. Schwieriger ist hingegen seine Ungewissheit. 4 Vgl. [7, S. 164].

9 2 Beurteilung der Modellannahmen 9 Denn nur bei einer bekannten Volatilität kann ein risikoloses Hedgeportefeuille gebildet werden. 5 Die Häufigkeit mit der eine Normalverteilung der Aktienkursrenditen angenommen wird, darf nicht als Indiz für die Richtigkeit dieser Annahme interpretiert werden. So deuten empirische Untersuchungen darauf hin, daß große Kursschwankungen wahrscheinlicher als angenommen sind (fat tails). Die Normalverteilungsannahme ist jedoch in den Modellen unerläßlich, da sie für das Herausfallen des Zufalls aus dem gebildeten Portefeuille bzw. der Differentialgleichung (1) verantwortlich ist. Damit muß auch die erwartete Rendite aus den bestimmenden Gleichungen herausfallen, welches eine präferenzfreie Bewertung ermöglicht.wie problematisch die Annahme einer Log-Normalverteilung ist, drückt sich meines Erachtens am deutlichsten in der Selbstverständlichkeit aus, mit der sie getroffen wird. So wird sie sowohl bei der Bewertung von Aktien, als auch von DAX Optionen unterstellt. Jedoch stellt der DAX lediglich eine gewichtete Summe von Aktienkursen dar. Die Summe (DAX) log-normalverteilter Zufallsgrößen 5 Modelle, die der Ungewissheit bezüglich der Volatilität Rechnung tragen, wurden beispielsweise in [8], [2] oder [5] entwickelt.

10 2 Beurteilung der Modellannahmen 10 (Aktienkurse) ist aber nicht log-normalverteilt. Es wird also mit sich widersprechenden Modellannahmen gerechnet. Es stellt sich aber auch hier weniger die Frage, ob eine Voraussetzung erfüllt ist oder nicht, sondern vielmehr, ob sich durch eine Verletzung der Annahme das Ergebnis bedeutend ändert. Mit anderen Worten: Solange man kein Modell hat, welches die Wirklichkeit besser beschreibt und dabei ebenso verständlich und leicht modifizierbar ist, wird bewußt mit unvollkommenen Modellen gearbeitet. 6 Die dabei zwangsläufig entstehenden Fehler sollten abgeschätzt werden. Sie sind mit dafür entscheidend, ob es sich um ein brauchbares oder unbrauchbares Modell handelt. Während das Black Scholes Modell von einem idealisierten Kapitalmarkt ausgeht, gibt es in der Realität Transaktionskosten und Steuern. Die Arbitrage-Argumentation ist deshalb so nicht 6 TOMPKINS ([9, S. 57]) vergleicht das Handeln von Optionen nach Modellen mit dem Fliegen eines Flugzeuges: Das Modell liefert Instrumente, die einem das Umfeld beschreiben, dennoch kann es niemals den Blick aus dem Fenster ersetzen.

11 2 Beurteilung der Modellannahmen 11 gültig, denn es kann kein arbitragefreier Preis, sondern lediglich eine arbitragefreie Preisspanne berechnet werden. 7 Eine Arbitragemöglichkeit ist deshalb von den individuellen Umständen, wie etwa der Besteuerung (Steuerarbitrage), abhängig. Die auf den Märkten beobachteten Preisspannen sind jedoch geringer als die Kosten der entsprechenden Hedge Strategien. Als Ursache dafür ist meines Erachtens die Konkurrenz der Finanzintermediäre bei der Vermittlung von Optionen an Anbietern und Nachfragern anzusehen. Damit das beschriebene Hedge Prinzip effektiv durchgeführt werden kann, muß die zugrundeliegende Aktie genügend liquide 8 sein. Anderenfalls kann das Hedgen einer Short Position in Optionen eine kleinere Kursschwankung zu einem adversen Trend werden lassen: Zum Hed- 7 Dabei sollte das Umfeld der Marktteilnehmer mit den günstigsten Bedingungen zugrunde gelegt werden. Diese Marktteilnehmer müssen dabei in der (finanziellen) Lage sein, die Arbitrage-Transaktionen in der benötigten Menge unter unveränderten Konditionen durchzuführen. 8 Eine Aktie heißt liquide, wennvonihrgrößere Mengen ge- und verkauft werden können, ohne daß dies ihren Preis beeinflußt.

12 2 Beurteilung der Modellannahmen 12 gen der Position muß die Aktie bei steigenden Aktienkursen nachgekauft und bei fallenden verkauft werden. Damit verstärkt das Hedgen selbst die adverse Kursentwicklung und dies unter Umständen so stark, 9 daß weitere Hedgemaßnahmen erforderlich werden. Bei der Bildung des Hedge Portefeuilles wurde angenommen, daß keine sonstigen Vor- oder Nachteile durch das Halten der Aktie entstehen. Unternehmen zahlen jedoch regelmäßig Dividenden, so daß das Halten der Aktie vorteilhaft sein kann. Die Höhe und der Zeitpunkt dieser Dividenden sind aber in der Regel bekannt 10 und stellen daher keine unbekannten Einflußfaktoren dar, so daß sie durch eine Modifikation der verwendeten Parameter berücksichtigt werden können. Eine gute Approximation kann beispielsweise erreicht werden, indem der Bewertung zugrunde gelegte Aktienkurs um den Barwert der Dividenden vermindert wird. 9 Dies war wahrscheinlich mit eine der Ursachen für den Börsencrash am schwarzen Montag Vgl. [6, S ,].

13 3 Interpretation des Modells 13 3 Interpretation des Modells Durch die Annahme der Normalverteilung der stetigen Aktienkursrenditen fällt die erwartete Rendite der Aktie aus der Differentialgleichung (1) heraus. Die Lösung der Differentialgleichung muß deshalb von der erwarteten Rendite und damit von der Risikoeinstellung unabhängig sein. Wenn aber jede Risikoeinstellung zur gleichen Bewertung führt, kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit Risikoneutralität 11 angenommen werden. Bei einem im Gleichgewicht befindlichem Kapitalmarkt müssen alle Investitionen insbesondere auch Aktien, Optionen und risikolose Anlagen die gleiche erwartete Rendite besitzen, sofernrisikoneutralität herrscht. Konkret bedeutet dies für eine europäische Call Option, daß ihr heutiger Wert risikolos aufgezinst ihrem erwarteten Wert am Verfalltag entsprechen muß. Mit der auf Seite 4 eingeführten Notation gilt also unter risikoneutraler (rn) Betrachtung 11 Bei Risikoneutralität werden Investitionsprojekte ausschließlich anhand ihrer erwarteten Rendite bewertet.

14 3 Interpretation des Modells 14 C exp(rt ) = (E[S T j S T >X], X) {z } (rn) erwarteter Wert des Calls, sofern im-geld P(S T >X) {z } (rn) Wahrscheinlichkeit von im-geld sein +0 P(S T X) {z } Wahrscheinlichkeit der Wertlosigkeit = (E[S T j S T >X], X) P(S T >X) (4) = S exp(rt ) N(d 1) N(d 2 ), X = S exp(rt )N(d 1 ), X N(d 2 ) ; N(d 2 ) (5) wobei P() die Wahrscheinlichkeit, E[] den Erwartungswertoperator und S T den unsicheren Aktienkurs bei Fälligkeit der Option bezeichnet. Auf einen Beweis für die Äquivalenz des Erwartungswert Ausdruckes beim Übergang von Gleichung (4) in (5) soll hier verzichtet werden, da es sich hierbei lediglich um längere, formale Umformungen handelt. Die verständnisfördernde Beweisidee wird schon durch das Zeigen der Äquivalenz von P(S T >X)=N(d 2 ) (6)

15 3 Interpretation des Modells 15 deutlich. 12 Sie basiert auf der Problemtransformation in realisierte Renditen. Zunächst definiert man daher die nicht periodisierte kritische Aktienrendite y X über die Gleichung (7). S e y X = X bzw. yx =ln(x=s) (7) Für jede nicht periodisierte realisierte Rendite Y T,diegrößer als die kritische Rendite y X ist, liegt dann der realisierte Aktienkurs S T über dem Strikepreis. Es gilt also S T >X, Y T >y X und damit gilt es, die Beziehung (8) herzuleiten. P(Y T >y X ) (6) =N(d 2 ) (8) Die Aktienkursrendite Y T ist jedoch annahmegemäß normalverteilt mit der Standardabweichung p T und dem Erwartungswert 12 Die Herleitung basiert auf [3, S ]. = ln(s E =S), 2 T=2; (9)

16 3 Interpretation des Modells 16 wobei S E den erwarteten Aktienkurs am Verfalltag bezeichnet. Unterstellt man Risikoneutralität, so entspricht der erwartete zukünftige Aktienkurs S E dem momentanen jedoch risikolos aufgezinst. S E = Se rt, ln(s E =S) =rt (10) Für jede ( z ; z ) normalverteilte Zufallsgröße Z gilt bekanntermaßen die Beziehung P(Z >z k )=P(Z> z +(z k, z )) =P(Z< z, (z k, z )) =P(Z<2 z, z k ) (2z, z k ), z =N =N z, z k z z ; (11)

17 3 Interpretation des Modells 17 bei der N() die kummulierte Standard Normalverteilung bezeichnet. Setzt man nun (10) in (9) ein, so folgt die gewünschte Beziehung (8). P(Y T >y X ) (11) (rt, 2 T=2), ln(x=s) = N p T ln(s=x) +(r, 2 =2)T =N (3) =N(d 2 ) p T Die hier vorgebrachteinterpretationbasiert auf der Risikoneutralität, da der gebildete Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeit der Optionsausübung von der erwarteten Rendite der Aktie abhängen. Wenn aufgrund von Risikoaversion beispielsweise die erwartete Rendite den risikolosen Zinssatz übersteigt, dann vergrößern sich bei einer Call Option sowohl sein Erwartungswert als auch seine Ausübungswahrscheinlichkeit. Da jedoch der zukünftige Wert des Calls unsicher ist, muß nun dieser Wert mit einem risikobehafteten Zinssatz diskontiert werden, um seinen Preis zu erhalten. Es ergibt sich nun, daß die Erhöhung im zu verwendenen Zinssatz genau so groß ist,

18 4 Einfluß der Optionsparameter 18 daß der Optionspreis unverändert bleibt. Die beiden Veränderungen im zu verwendenen Diskontsatz und im erwarteten Optionswert heben sich also vollständig auf. 4 Einfluß der Optionsparameter In den Abbildungen 1 bis 8 werden die Einflüsse der verschiedenen Parameter auf den Preis von Call bzw. Put Optionen verdeutlicht. Zur Berechnung wurde eine Volatilität von 30%, eine Restlaufzeit von einem Jahr, ein Zinssatz von 6% und ein Aktienkurs von DM 50 unterstellt. 13 Es wurden jeweils drei Strikepreise (DM 60 ( ), DM 50 ( ) und DM 40 ( )) gewählt, um den teilweise recht deutlich unterschiedlichen Einfluß dokumentieren zu können. 13 Selbstverständlich gilt dies jeweils für den Parameter nicht, der in der Graphik als Ordinate gewählt wurde.

19 4.1 Aktienkurs Aktienkurs Die Abbildungen 1 und 2 zeigen den Wert von Call bzw. Put Optionen in Abhängigkeit des Aktienkurses. Ihr Verlauf ist intuitiv klar: Je tiefer die jeweilige Option jetzt im-geld liegt, umso eher lohnt sich ihre Ausübung am Verfalltag und ist deswegen umso teurer. Da eine Option ein freiwilliges Recht des Inhabers zur Ausübung darstellt, kann selbstverständlich ihr Preis nicht negativ sein. Es mag vielleicht zunächst verwundern, daß ein am-geld liegender Call teurer ist als der entsprechende Put. Aus der Put-Call Parität wird jedoch unmittelbar klar, daß sie den gleichen Preis beim diskontierten Strikepreis besitzen müssen. 4.2 Volatilität Aus den Abbildungen 3 und 4 erkennt man, daß mit der Volatilität auch der Optionspreis steigt. Dies erstaunt nicht sonderlich, da eine höhere Volatilität mehr Wahrscheinlichkeitsmasse in die Extremwerte verlagert und damit eine Ausübung wahrscheinlicher und dies mit einer höher erwarteten Auszahlung macht.

20 4.2 Volatilität 20 Wert Aktienkurs Wert Aktienkurs Abbildung 1 Wert eines Calls in Abhängigkeit des Aktienkurses Abbildung 2 Wert eines Puts in Abhängigkeit des Aktienkurses Überraschen könnte zunächst der parallele Verlauf von Call und Put Optionen mit dem gleichen Strikepreis. Dies ist jedoch eine weitere Folgerung aus der Put-Call-Parität, weil die Diffe-

21 4.3 Zinssatz 21 renz (Forward) von der Volatilität unabhängig ist. Ferner könnte der anfängliche fast horizontale Verlauf verwundern. Dieser ist darauf zurückzuführen, daß die Optionen fast sicher ausgeübt oder verfallen werden. Dies gilt auch für die am-geld liegenden Optionen, jedoch nicht für die Optionen, deren Strikepreis dem aufgezinsten Aktienkurs entspricht. Bei diesen steigen die Werte fast linear von Anfang an. 4.3 Zinssatz Die Abhängigkeit des Optionspreises vom Zinssatz ist annähernd linear, jedoch mit positiver Steigung für Call und negativer für Put Optionen (vgl. Abb. 5 und 6). Da mit steigenden Zinsen der Barwert des zu zahlenden bzw. des zu erhaltenen Strikepreises fällt, entspricht dieser Zusammenhang der Intuition. Die Preisdifferenzen zwischen den im- oder aus-dem-geld liegenden Call und Put Optionen sind bei einem Zinssatz von 0% schwieriger zu erklären. Sie werden jedoch verständlich, wenn man sich vergegenwärtigt, daß die zu realisierenden Aktienrenditen, um von DM 50 auf DM 40

22 4.3 Zinssatz 22 Wert Wert % 5% 10% 15% 20% 25% 30% Volatilität 0-0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Volatilität Abbildung 3 Wert eines Calls in Abhängigkeit der Volatilität Abbildung 4 Wert eines Puts in Abhängigkeit der Volatilität

23 4.3 Zinssatz 23 Wert % 4% 8% 12% 16% Zinssatz Wert % 4% 8% 12% 16% Zinssatz Abbildung 5 Wert eines Calls in Abhängigkeit des Zinssatzes Abbildung 6 Wert eines Puts in Abhängigkeit des Zinssatzes

24 4.4 Restlaufzeit 24 zu fallen, ln(40), ln(50) -22%, für einen Anstieg auf DM 60 jedoch nur ln(60), ln(50) 18% betragen. Ein Preis über DM 60 ist deshalb wahrscheinlicher als ein Preis unter DM Restlaufzeit Der Einfluß der Restlaufzeit ist meines Erachtens mit Abstand am schwierigsten zugänglich. Während noch verständlich ist, daß mit abnehmender Restlaufzeit der Zeitwert einer Option verschwinden muß, der Wert der Option also gegen ihren inneren Wert 14 konvergiert, so erstaunen doch die unterschiedlichen Verläufe. Calls scheinen fast gleichmäßig über die Zeit an Wert zu verlieren, leicht zunehmend jedoch mit kürzer werdener Restlaufzeit (vgl. Abb. 7). Für die letzten Tage vor Verfall gilt jedoch ein davon abweichendes Verhalten: Für im- oder aus-dem-geld liegende Optionen gilt ab einem gewissen Zeitpunkt die spätere Ausübung bzw. der spätere Ver- 14 Der Wert einer Option unterteilt sich definitionsgemäß in den inneren Wert und in den Zeitwert. Unterinneren Wert versteht man dabei den Betrag, mit dem die Option momentan im-geld liegt.

25 4.4 Restlaufzeit 25 fall als annähernd sicher, so daß sie schon vorher ungefähr ihrem inneren Wert entsprechen. 15 Ob die am-geld liegende Option jedoch ausgeübt wird, ist bis zuletzt unsicher und rechtfertigt damit eine deutlichere Abnahme bis zum Verfalltag. Der Grund für den überproportional starken Verfall ist darin zu sehen, daß die kleinste Veränderung im Aktienkurs über die Ausübung bzw. den Verfall entscheidet. Die Kosten zur Bildung eines risikolosen Portefeuilles steigen hier überproportional an. Für Put Optionen ist die Lage ähnlich. Jedoch bewirkt hier der positive Zinssatz zum einen, daß mit zunehmender Restlaufzeit eine Ausübung immer unwahrscheinlicher wird, und zum anderen, daß der Barwert des erhaltenen Strikepreises fällt. Deshalb beginnen die Optionspreise ab einen gewissen Zeitpunkt an zu fallen. Ein Fallen des Optionspreises ist aber auch für im-geld liegende Put Optionen mit kurzer Restlaufzeit zu beobachten. Diese liegen, gemessen an der 15 Wenn man den Versicherungswert der Option wegen der fast sicheren Ausübung bzw. Verfall vernachlässigt, dann besteht der Zeitwert der Option nur noch aus einem Zinswert.Dieserdrückt den Zinsvorteil aus, der dadurch entsteht, daß der Strikepreisggf. erst bei der Ausübung bezahlt werden muß.

26 4.4 Restlaufzeit 26 Wert Wert Restlaufzeit in Jahren Restlaufzeit in Jahren Abbildung 7 Wert eines Calls in Abhängigkeit der Restlaufzeit Abbildung 8 Wert eines Puts in Abhängigkeit der Restlaufzeit

27 4.5 Zusammenfassung 27 Länge ihrer Restlaufzeit, so tief im-geld, daß ihre Ausübung als nahezu sicher gilt und daher der zwischenzeitliche Zinsgewinn auf den zu erhaltenen Strikepreis (Zinswert) größer ist, als der Schutz vor einem weiteren Fall des Aktienkurses (Versicherungswert). 4.5 Zusammenfassung Wie in den vorangegangenen Unterabschnitten gezeigt wurde, sind die Einflüsse der verschiedenen Parameter auf Call oder Put unterschiedlich. Die prinzipiellen Zusammenhänge werden in der Tabelle 1 nochmals übersichtlich zusammengefaßt. Literatur [1] BLACK, F.,UND SCHOLES, M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economics 81 (Mai Juni 1973),

28 Literaturverzeichnis 28 Tabelle 1 Ceteris paribus Analyse von Aktienoptionen Parameter (%) Call-Option Put-Option Begründung Aktienkurs % & mehr bzw. eher im- / ausdem-geld Restlaufzeit a % (%) Versicherungswert steigt Zinssatz % & Barwert des Strikepreises vermindert sich Volatilität % % Versicherungswert steigt a Die Aussagen beziehen sich auf Call Optionen auf Aktien ohne Ausschüttungen. Die Preise europäischer Put Optionen können auch mit zunehmender Restlaufzeit fallen (vgl. Unterabschnitt 4.4). [2] DOTHAN, M. U. A random volatility correction for the black-scholes options-pricing formula. Advances in Futures and Options Research 3 (1987),

29 Literaturverzeichnis 29 [3] GALITZ, L.Financial Engineering. Financial Times / Pitman Publishing, London, [4] HULL, J.C.Option, Futures, and other Derivatives, dritte Aufl. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA, [5] HULL, J.C.,UND WHITE, A. An analysis of the bias in option pricing caused by a stochastic volatility. Advances in Futures and Options Research 3 (1988), [6] LINTNER, J. Distribution of income of corporations among dividends, retained earnings, and taxes. American Economic Review 46, 2 (Mai 1956), [7] MERTON, R. C. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economic and Management Science 4 (1973), [8] MERTON, R. C. Option pricing when underlying stock returns are discontinouos. Journal of Financial Economics 3, 1 2 (Januar März 1976), [9] TOMPKINS, R.Options Explained 2. Macmillan Press Ltd, Hants, England, 1994.

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